一次函数及其图像知识点总结
第一部分：变量与函数
1、函数的概念、变量（自变量、因变量）、常量的概念。
2、函数的三种表示方法：
3、学习函数在现阶段我们主要关注函数的哪些特征及性质：
（1）定义域（即自变量的取值范围或者说x的取值范围）
（2）值域（即因变量的取值范围或者说y的取值范围）
（3）图像与x轴和y轴的交点坐标及其意义（与x轴的交点，表示当0,___
y x
==；与y轴的交点表示当0,____
x y
==）
（4）极值点：包括最大值及最小值
（5）单调性：
的对称。
（7）、位置关系：主要包括直线的平行与垂直。特别是平行，以及平移的研究：包括点的上、下、左、右平移及及直线的上、下、左、右平移。
（8）、函数与方程、不等式之间的关系。
第二部分：函数的图像
1、直角坐标系组成；以及各象限上点的特征。
2、点的表示（横坐标，纵坐标）
注意：①不要丢了括号和中间的逗号；
②表示的意思：当___
x=时，___
y=如点A（2，1）表示：当2
x=时，1
y=
③同时要注意x轴上点的特征：(___,0)即纵坐标等于0;y轴上点的特征：(0,___)即：横坐标等于
0。概括：坐标轴上的点的横坐标和纵坐标至少有一个为0。
3、点(,)
P a b到x轴的距离为________；到y轴的距离为_______
在解决面积问题中经常用点，主要用于充当三角形的高。如下列求阴影部分的面积：
4、 点的对称性研究：（如果忘记了，可以自己作一个直角坐标系研究一下）
(,)P a b 关于x 轴对称_________；关于y 轴对称__________；关于原点对称___________
思考：如何解决点关于y=x ，y=-x 对称，以及点旋转90°之后的坐标。
5、 点的平移：(,)P a b 向上平移2格______；向下平移3格_______；向右平移1格______；向右平移5格_______（概括：左右平移改变的是横坐标，上下平移改变的是纵坐标）
6、 两点之间的距离
①在同一条水平上线上的时候：求A 、B 两点之间的距离
概括：A 、B 两点之间的距离为：12x x -或12y y -
②当两点不在同一水平上的时候，我们是通过构造直角三角形的方法来进行求解的，这就需要用到勾股定理的相关知识，同时也要用到①中两点在同一水平线上的时候，两点之间的距离求法。
A 、B
两点之间的距离：AB =A 、 B 两点的中点坐标为：12
12
(
,)2
2
x x y y ++
7、 1）、如何根据解析式作图，在作图的过程中，我们应该关注哪些方面
①确定x 的取值范围，特别要小心有些情况下x 并不能取到所有的值，图像也会受到一定的限制。
②初步判断函数图像的增、减性，来初步判断函数应该是上升的、还是下降的。
B(4,3)
A(-2,3)
O
B(-2,2)
A(-2,3)
O
③判断函数图像是直线、曲线、还是双曲线（可以通过x 的指数来判断，也可以通过变化速度是匀速的还是变速的来进行判断）
④最后从函数与x 轴（未必一定会有）、y 轴的交点；以及极值点（未必一定会有）；对称性（如关于x 轴、y 轴、原点对称或者关于某一条直线对称等）；分段性；从而画出比较准确的草图。 2）、作图的一般步骤：列表、描点，连接
注意：在列表的过程中，我们应该去体会方程的解与函数图像上的点之间的关系；同时要学会如何判断一个点是否会在该函数图像上。
列表：并绘制出下列两个函数的图像。
描出22y x =-图像上的点，我们挑出其中一个点（-2，-6）显然这个点在其函数图像上，同时这个点所表示的意义：当2x =-时，6y =-时方程22y x =-（或22y x -=-）这个二元一次方程的一组解。
3）、如何判断一个点是否在该函数图像上（其本质就是判断这个点所代表的,x y 的值是不是方程的解。 如：判断点(4,6)是否在函数2
23y x x =--图像上，即相当于4,6x y ==是不是方程2
23
y x x =--的解。或者说：当4x =，22
234243y x x =--=-?-是否会等于6。
4）、已知横坐标求纵坐标、或者已知纵坐标求横坐标
如：22y x =-的图像上 已知点A 的横坐标为2，点B 的纵坐标为-4；求点A 、B 的坐标。 解析：A 点相当于问你，当 2x =时，____y =；B 点相当于问你：4y =-时，___x =。 第三部分：一次函数与反比例函数
1、 一次函数：y kx b =+(0)k ≠ 正比例函数：y kx =(0)k ≠
反比例函数（共三种表示方式）：k y x =
1
y k x -= x y k = (0)k ≠
其中xy k =更方便于求解解析式，而且也更容易应该于判断点是否在某个反比例函数图像上。 提醒：关于k y x
=
中k 等于多少该如何判断得引起大家的重视；如12y x
=
中的k 是多少呢？
2、 一次函数的作图：首先它的图像是一条直线，而确定一点直线只需要两个点，所以通常只要在直角
坐标系中，描出两个点并连接即可。通常的作法是：取与x 轴和y 轴的两个交点。
如：作函数2y x =-的图像 当0x =时，2y =- 即(0,2)-为一次函数与y 轴的交点坐标。 当0y =时，2x =即(2,0)为一次函数与x 轴的交点坐标。
3、 会判断点是否在直线上，正比例函数上和反比例函数上；并且已知横坐标要懂得求纵坐标，反之，
已知纵坐标要懂得求横坐标。 4、正比例和反比例函数图像匀关于原点对称。而且正比例函数一定经过原点(0,0)
5、一次函数y kx b =+(0)k ≠的四种草图，其中k 越大，直线越陡；00b b >??
图像向下平移
6、直线的平移（大家自己整理出更一般的结论）
如：31y x =-向上平移5个单位____________；向下平移2个单位_____________
备注：上下平移（即x 值不变，y 值的变化），我们可以从函数与y 轴交点的变化更容易观察出结论。 向左平移1个单位______________；向右平移2个单位_________________ 备注：左右平移（即y 值不变，x 值的变化），我们可以从函数与x 轴交点的变化更容易观察出结论。 7、 直线之间的位置关系
已知直线：1111
2222
::l y k x b l y k x b =+??=+?
①12,l l 平行的充要条件：12k k =且12b b ≠ ②12,l l 重合的充要条件：12k k =且12b b = ③12,l l 垂直的充要条件：121k k ?=-
8、 直线位置关系与方程组的解之间的关系
①、两直线相交说明方程组有唯一解；平行说明方程组无解；重合说明方程组有无穷多个解。
251y x y x =-??=-+?
方程组的解为2
1x y =??
=-?。而交点坐标为(2,1)-。
22
22y x y x =-??
=+?
方程组无解，如图所示：图像没有交点。
②、通过方程无解来说明直线平行的方法： 方程组1111
2222
::l y k x b
l y k x
b =+??
=
+?无解，则1122
12()k x b k x b k k x b b +=+?-=-， 当120k k -=且210b b -≠时方程无解，所以我们可以得到当12k k =且12b b ≠时直线平行。
9、 解析式的求解
①、解析式的求解步骤：首先要先判断它是一次函数（直线或线段）还是正比较函数（直线或给段，但经过原点），或者反比较函数（双曲线，也可能只有其中一支）；其次，设函数解析式，如下： ②、一次函数：y kx b =+(0)k ≠需要两个条件（或者两个点坐标）来列方程组，求,k b 的值。 而正比例函数：(0)y kx k =≠ 反比例函数：反比例函数：k y x
=(0)k ≠都只需要一个条件（或者
一个点坐标）去求解k 的值。 ③例课本46习题第5题。
④、写出满足下列条件的一个函数关系式： (1) 图像过点(1，1)、(3，2)的一次函数； (2) 图像过点(2,3)的正比例函数； (3) 图像过点3(,3)2
-
的反比例函数；
10、正比例函数1y k x =与反比例函数2k y x
=
有交点的条件(如上图所示)：
反比例函数和正比例函数经过相同的象限，即：1k 、2k 同号；或者说：120k k ?>
并且两个交点关于原点对称。
11、 反比例有关的面积问题（图7三角形AOB 的面积有多种方法）
12、 函数与方程、不等式之间的关系
指示：解决此类题目的关键在于，找到图像的交点，并且理解交点的意思，之后再过交点作x 轴的垂线，并且左右平移垂线，进行观察。
例1：画出函数332
y x =
+的图像，根据图像，指出：
（1）x 取什么值时，函数值y 等于0 （2）x 取什么值时，函数值y 大于0
例2、如图14，已知(4)A n -，，(24)B -，是一次函数y kx b =+的图象和反比例函数m y x
=的图象的
两个交点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)求直线A B 与x 轴的交点C 的坐标及△AO B 的面积； (3)求方程0=-
+x
m b kx 的解（请直接写出答案）
； (4) 求不等式0<-+x
m b kx 的解集（请直接写出答案）
； 例3、如图，直线6y x =+与反比例函数k y x
=（x<0）的图像交点A 、点B ，与
x 轴相交于点C ，其中点A 的坐标为（－2，4），点B 的纵坐标为2。
（1）试确定反比例函数的关系式；
（2）当x 为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值。（直接写出来） （3） 求△AOC 的面积。 13、函数中设点的一般方法
（1） 直接设(,)x y
（2）当该点在某上解析式对应的图像上时：如21y x =-+我们就可以假设该直线上某
点的坐标为00(,21)x x -+，当然0x 也可以是其他字母，关键点在于把纵坐标也用横坐标表示出来。再比如：4y x
=
上的某个点可设为00
4(,
)x x
例、如图所示：直线y kx b =+与x 、y 轴轴分别交于点E 、F ，其中点
E 的坐标为(8,0)-点A 的坐标(6,0)-。点P 为直线y kx b =+上的一动点。 （1）、求k 的值
（2）、若点(,)P x y 是第二象限内，在点P 的运动过程中，试写出△OPA 的面积s 与x 轴的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围。
（2） 、探究：当点P 运动到什么位置时，△OPA 的面积为278
，并说明理由。
14、点旋转90度与两条直线垂直的探讨
1） 点(,)A x y 顺时针旋转90°后A '的坐标_________（如图利用全等可求得A '的坐标） 2） 直线1y k x =与直线2y k x =互相垂直，那么12,k k 之间的关系？
得用1）中的结论求得1(,)A k x x '-的坐标，而且点A '在直线2y k x =上，即：
21121k k x x k k =-?=-
15、一次函数与三角
设一次函数y kx b =+经过点11(,)A x y 与22(,)B x y 那么我们可以列出方程组： 1122y kx b y kx b =+??
=+?则可以得到：21
21
y y k x x -=-
《函数及其图像》知识点归纳
华师大版八年级数学下《函数及其图像》知识点归纳一．变量与函数 1 ．函数的定义：一般的，在某个变化过程中有两个变量x和y，对于x的每一个数值y都有唯一的值与之对应，我们说x叫做自变量，y叫做因变量，y叫做x的函数。 2．自变量的取值范围： （1）能够使函数有意义的自变量的取值全体。 （2）确定函数自变量的取值范围要注意以下两点：一是使自变量所在的代数式有意义；二是使函数在实际问题中有实际意义。 （3）不同函数关系式自变量取值范围的确定： ①函数关系式为整式时自变量的取值范围是全体实数。 ②函数关系式为分式时自变量的取值范围是使分母不为零的全体实数。 ③函数关系式为二次根式时自变量的取值范围是使被开方数大于或等于零的全体实数。 3 ．函数值：当自变量取某一数值时对应的函数值。这里有三种类型的问题： （1）当已知自变量的值求函数值就是求代数式的值。 （2）当已知函数值求自变量的值就是解方程。 （3）当给定函数值的一个取值范围，欲求自变量的取值范围时实质上就是解不等式或不等式组。二．平面直角坐标系： 1．各象限内点的坐标的特征： （1）点p（x,y）在第一象限→x＞0,y＞0. （2）点p（x,y）在第二象限→x＜0,y＞0. （3）点p（x,y）在第三象限→x＜0,y＜0 （4）点p（x,y）在第四象限→x＞0,y＜0. 2 ．坐标轴上的点的坐标的特征： （1）点p（x,y）在x轴上→x为任意实数，y=0 （2）点p（x,y）在y轴上→x=0,y为任意实数 3 ．关于x轴，y轴，原点对称的点的坐标的特征： （1）点p（x,y）关于x轴对称的点的坐标为（x,-y）. （2）点p（x,y）关于y轴对称的点的坐标为（-x,y）. （3）点p（x,y）关于原点对称的点的坐标为（-x,-y） 4 ．两条坐标轴夹角平分在线的点的坐标的特征： （1）点p（x,y）在第一、三象限夹角平分在线→x=y.
高考复习函数知识点总结
高考复习 函数知识点总结 一．函数概念的理解以及函数的三要素 （1）函数的概念 ①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →． ②函数的三要素:定义域、值域和对应法则． ③只有定义域相同，且对应法则（函数关系式）也相同的两个函数才是同一函数． （2）区间的概念及表示法 ①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ； 满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ； 满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做 [,)a b ，(,]a b ； 满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做 [,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞． 注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b < ． （3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则： ① 分式的分母不为0； ② 偶次根式下被开方数大于0； ③ 0y x = ，则有0x ≠ ； ④ 对数函数的真数大于0，底数大于0切不等于1 注意：①解析式为整式的函数定义域为R ； ②若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则
其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集； ③对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知() f x的定义域 为[,] a g x b ≤≤解出． f g x的定义域应由不等式() a b，其复合函数[()] （4）求函数的值域或最值 常用方法： ①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值． ②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量 的取值范围确定函数的值域或最值． ③判别式法：若函数() =可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程 y f x 2 ++=，则在()0 a y x b y x c y ()()()0 a y≠时，由于,x y为实数，故必须有 2()4()()0 ?=-?≥，从而确定函数的值域或最值． b y a y c y ④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值． ⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代 数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题． ⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的 值域或最值． ⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法． （5）函数解析式 ①换元法；（用于求复合函数的解析式） ②配凑法；（用于求复合函数的解析式）
初三数学反比例函数知识点归纳
反比例函数知识点归纳 （一）反比例函数的概念 1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为， 在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件； 2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解 析式中的k，从而得到反比例函数的解析式； 3．反比例函数的自变量，故函数图象与x轴、y轴无交点．（二）反比例函数的图象 在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）． （三）反比例函数及其图象的性质 1．函数解析式：（） 2．自变量的取值范围： 3．图象： （1）图象的形状：双曲线． 越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直． 越小，图象的弯曲度越大． （2）图象的位置和性质： 与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线． 当时，图象的两支分别位于一、三象限； 在每个象限内，y随x的增大而减小； 当时，图象的两支分别位于二、四象限； 在每个象限内，y随x的增大而增大． （3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上， 则（，）在双曲线的另一支上． 图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上， 则（，）和（，）在双曲线的另一支上．
4．k的几何意义 如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面 积都是）． 如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为． 图1 图2 5．说明： （1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论． （2）直线与双曲线的关系： 当时，两图象没有交点； 当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称． （3）反比例函数与一次函数的联系． （四）实际问题与反比例函数 1．求函数解析式的方法： （1）待定系数法；（2）根据实际意 义列函数解析式． （五）充分利用数形结合的思想解决问 题．
导数及其应用(知识点总结)
导数及其应用 知识点总结 1、函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率：()()2121 f x f x x x -- 2、导数定义：()f x 在点0x 处的导数记作x x f x x f x f y x x x ?-?+='='→?=)()(lim )(00000；． 3、函数()y f x =在点0x 处的导数的几何意义是曲线 ()y f x =在点()()00,x f x P 处的切线的斜率． 4、常见函数的导数公式： ①'C 0=； ②1')(-=n n nx x ；③x x cos )(sin '=； ④x x sin )(cos '-=； ⑤a a a x x ln )('=；⑥x x e e =')(； ⑦a x x a ln 1)(log '=；⑧x x 1)(ln '= 5、导数运算法则： ()1 ()()()()f x g x f x g x '''±=±????； ()2 ()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''?=+????； ()3()()()()()()()()()20f x f x g x f x g x g x g x g x '??''-=≠????????． 6、在某个区间(),a b 内，若()0f x '>，则函数()y f x =在这个区间内单调递增； 若()0f x '<，则函数()y f x =在这个区间内单调递减． 7、求解函数()y f x =单调区间的步骤： （1）确定函数()y f x =的定义域； （2）求导数'' ()y f x =； （3）解不等式'()0f x >，解集在定义域内的部分为增区间； （4）解不等式'()0f x <，解集在定义域内的部分为减区间． 8、求函数()y f x =的极值的方法是：解方程()0f x '=．当()00f x '=时： ()1如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么()0f x 是极大值； ()2如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么()0f x 是极小值． 9、求解函数极值的一般步骤： （1）确定函数的定义域 （2）求函数的导数f ’(x) （3）求方程f ’(x)=0的根 （4）用方程f ’(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格 （5）由f ’(x)在方程f ’(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况 10、求函数()y f x =在[],a b 上的最大值与最小值的步骤是： ()1求函数()y f x =在(),a b 内的极值； ()2将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
初三总复习函数及其图像知识点
第六章：函数及其图像 知识点： 一、平面直角坐标系 1、平面内有公共原点且互相垂直的两条数轴，构成平面直角坐标系。在平面直角坐标系内的点和有序实数对之间建立了—一对应的关系。 2、不同位置点的坐标的特征： （1）各象限内点的坐标有如下特征： 点P （x, y ）在第一象限?x ＞0，y ＞0； 点P （x, y ）在第二象限?x ＜0，y ＞0； 点P （x, y ）在第三象限?x ＜0，y ＜0； 点P （x, y ）在第四象限?x ＞0，y ＜0。 （2）坐标轴上的点有如下特征： 点P （x, y ）在x 轴上?y 为0，x 为任意实数。 点P （x ，y ）在y 轴上?x 为0，y 为任意实数。 3．点P （x, y ）坐标的几何意义： （1）点P （x, y ）到x 轴的距离是| y |； （2）点P （x, y ）到y 袖的距离是| x |； （3）点P （x, y ）到原点的距离是22y x + 4．关于坐标轴、原点对称的点的坐标的特征： （1）点P （a, b ）关于x 轴的对称点是),(1b a P -； （2）点P （a, b ）关于x 轴的对称点是),(2b a P -； （3）点P （a, b ）关于原点的对称点是),(3b a P --； 二、函数的概念 1、常量和变量：在某一变化过程中可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量。 2、函数：一般地，设在某一变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数。 （1）自变量取值范围的确是： ①解析式是只含有一个自变量的整式的函数，自变量取值范围是全体实数。 ②解析式是只含有一个自变量的分式的函数，自变量取值范围是使分母不为0的实数。 ③解析式是只含有一个自变量的偶次根式的函数，自变量取值范围是使被开方数非负的实数。 注意：在确定函数中自变量的取值范围时，如果遇到实际问题，还必须使实际问题有意义。 （2）函数值：给自变量在取值范围内的一个值所求得的函数的对应值。 （3）函数的表示方法：①解析法；②列表法；③图像法 （4）由函数的解析式作函数的图像，一般步骤是：①列表；②描点；③连线 三、几种特殊的函数 1、一次函数
人教版高一数学必修一第一章 集合与函数概念知识点
高一数学必修1各章知识点总结 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性如：世界上最高的山 (2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西 洋,印度洋,北冰洋} (1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法：列举法与描述法。 ◆注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1）列举法：{a,b,c……} 2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4）Venn图: 4、集合的分类： (1)有限集含有有限个元素的集合 (2)无限集含有无限个元素的集合 (3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 A?有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是注意：B 同一集合。 ?/B 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A ?/A 或B 2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即：①任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且A≠ B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A) ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④如果A?B 同时 B?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 ◆有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集
反比例函数知识点总结(供参考)
反比例函数知识点总结 李苗 知识点1 反比例函数的定义 一般地，形如x k y =（k 为常数，0k ≠）的函数称为反比 例函数，它可以从以下几个方面来理解： ⑴x 是自变量，y 是x 的反比例函数； ⑵自变量x 的取值范围是0x ≠的一切实数，函数值的取值范围是0y ≠； ⑶比例系数0k ≠是反比例函数定义的一个重要组成部分； ⑷反比例函数有三种表达式： ①x k y =（0k ≠）， ②1kx y -=（0k ≠）， ③k y x =?（定值）（0k ≠）； ⑸函数x k y =（0k ≠）与y k x =（0k ≠）是等价的，所以当y 是x 的反比例函数时，x 也是y 的反比例函数。 （k 为常数，0k ≠）是反比例函数的一部分，当k=0时， x k y =，就不是反比例函数了，由于反比例函数x k y =（0k ≠）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k 的值，从而确定反比例函数的表达式。 知识点2用待定系数法求反比例函数的解析式 由于反比例函数x k y =（0k ≠）中，只有一个待定系 数，因此，只要一组对应值，就可以求出k 的值，从而确定反比例函数的表达式。
知识点3反比例函数的图像及画法 反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分 别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称，由于反比例函数中自变量函数中自变量0x ≠，函数值0y ≠，所以它的图像与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。 反比例的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线。 再作反比例函数的图像时应注意以下几点： ①列表时选取的数值宜对称选取； ②列表时选取的数值越多，画的图像越精确； ③连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用 光滑的曲线连接，切忌画成折线； ④画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐 标轴相交。 知识点4反比例函数的性质 ☆关于反比例函数的性质，主要研究它的图像的位置及函数 值的增减情况，如下表： 反比例 函数 x k y =（0k ≠） k 的 符号 0k > 0k < 图像 性质 ① x 的取值范围是0x ≠，y 的取值范围是①x 的取值范围是0x ≠，y 的取值范围是0y ≠ ②当0k <时，函数图像
三角函数图像与性质知识点总结
函数图像与性质知识点总结 一、三角函数图象的性质 1．“五点法”描图 (1)y ＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,0) ? ?? ?? ? π2，1 (π，0) ? ?? ??? 32π，－1 (2π，0) (2)y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,1)，? ?????π2，0，(π，－1)，? ???? ? 3π2，0，(2π，1) 2.三角函数的图象和性质
3.一般地对于函数()，如果存在一个非零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期) 4.求三角函数值域(最值)的方法： (1)利用sin x、cos x的有界性； 关于正、余弦函数的有界性 由于正余弦函数的值域都是[－1,1]，因此对于?x∈R，恒有－1≤sin x≤1，－1≤cos x≤1，所以1叫做y＝sin x，y＝cos x的上确界，－1叫做y＝sin x，y＝cos x的下确界.
(2)形式复杂的函数应化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式逐步分析ωx ＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响. (3)换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题． 利用换元法求三角函数最值时注意三角函数有界性，如：y ＝sin 2x －4sin x ＋5，令t ＝sin x (|t |≤1)，则y ＝(t －2)2＋1≥1，解法错误. 5.求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成形如y ＝A sin(ωx ＋φ) (ω>0)的形式，再根据基本三角函数的单调区间，求出x 所在的区间.应特别注意，应在函数的定义域内考虑.注意区分下列两题的单调增区间不同;利用换元法求复合函数的单调区间(要注意x 系数的正负号) (1)y ＝sin ? ?????2x －π4；(2)y ＝sin ? ?? ???π4－2x . 6、y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑： ①A 的确定：根据图象的最高点和最低点，即A ＝最高点－最低点 2； ②B 的确定：根据图象的最高点和最低点，即B ＝ 最高点＋最低点 2 ； ③ω的确定：结合图象，先求出周期，然后由T ＝2π ω (ω>0)来确定ω； ④φ的确定：把图像上的点的坐标带入解析式y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B ，然后根据 φ的范围确定φ即可，例如由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋K 最开始与x 轴的交点(最靠近原点)的横坐标为－φω(即令ωx ＋φ＝0，x ＝－φ ω )确定φ. 二、三角函数的伸缩变化