初中数学三角形基础测试题

初中数学三角形基础测试题

一、选择题

1．下列条件中，不能判断一个三角形是直角三角形的是（）

A．三条边的比为2∶3∶4 B．三条边满足关系a2＝b2﹣c2

C．三条边的比为1∶1∶2D．三个角满足关系∠B+∠C＝∠A

【答案】A

【解析】

【分析】

根据直角三角形的判定方法，对选项进行一一分析，排除错误答案．

【详解】

A、三条边的比为2：3：4，22+32≠42，故不能判断一个三角形是直角三角形；

B、三条边满足关系a2=b2-c2，即a2+c2=b2，故能判断一个三角形是直角三角形；

C、三条边的比为1：1：2，12+12=（2）2，故能判断一个三角形是直角三角形；

D、三个角满足关系∠B+∠C=∠A，则∠A为90°，故能判断一个三角形是直角三角形．

故选：A．

【点睛】

此题考查勾股定理的逆定理的应用．解题关键在于掌握判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可；若已知角，只要求得一个角为90°即可．

2．如图，11∥l2，∠1＝100°，∠2＝135°，则∠3的度数为()

A．50°B．55°C．65°D．70°

【答案】B

【解析】

【分析】

如图，延长l2，交∠1的边于一点，由平行线的性质，求得∠4的度数，再根据三角形外角性质，即可求得∠3的度数．

【详解】

如图，延长l2，交∠1的边于一点，

∵11∥l2，

∴∠4＝180°﹣∠1＝180°﹣100°＝80°，

由三角形外角性质，可得∠2＝∠3+∠4，

∴∠3＝∠2﹣∠4＝135°﹣80°＝55°，

故选B ．

【点睛】

本题考查了平行线的性质及三角形外角的性质，熟练运用平行线的性质是解决问题的关键．

3．如图，在ABC V 中，AB AC =，点E 在AC 上，ED BC ⊥于点D ，DE 的延长线交BA 的延长线于点F ，则下列结论中错误的是（ ）

A ．AE CE =

B ．12DE

C BAC ∠=∠ C ．AF AE =

D ．1902

B BA

C ∠+∠=? 【答案】A

【解析】

【分析】 由题意中点E 的位置即可对A 项进行判断；

过点A 作AG ⊥BC 于点G ，如图，由等腰三角形的性质可得∠1=∠2=

12BAC ∠，易得ED ∥AG ，然后根据平行线的性质即可判断B 项；

根据平行线的性质和等腰三角形的判定即可判断C 项；

由直角三角形的性质并结合∠1=

12BAC ∠的结论即可判断D 项，进而可得答案． 【详解】

解：A 、由于点E 在AC 上，点E 不一定是AC 中点，所以,AE CE 不一定相等，所以本选项结论错误，符合题意；

B 、过点A 作AG ⊥B

C 于点G ，如图，∵AB =AC ，∴∠1=∠2=12

BAC ∠，

∵ED BC ⊥，∴ED ∥AG ，∴122DEC BAC ∠=∠=

∠，所以本选项结论正确，不符合题意； C 、∵ED ∥AG ，∴∠1=∠F ，∠2=∠AEF ，∵∠1=∠2，∴∠F =∠AEF ，∴AF AE =，所以本选项结论正确，不符合题意；

D 、∵AG ⊥BC ，∴∠1+∠B =90°，即1902

B BA

C ∠+

∠=?，所以本选项结论正确，不符合题意．

故选：A ．

【点睛】

本题考查了等腰三角形的判定和性质、平行线的判定和性质以及直角三角形的性质等知识，属于基本题型，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键．

4．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC 的顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，90ABC ∠=?，CA x ⊥轴，点C 在函数()0k y x x

=

>的图象上，若1AB =，则k 的值为（ ）

A ．1

B ．22

C 2

D ．2

【答案】A

【解析】

【分析】 根据题意可以求得 OA 和 AC 的长，从而可以求得点 C 的坐标，进而求得 k 的

值，本题得以解决．

【详解】

Q 等腰直角三角形ABC 的顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，90ABC ∠=?，CA ⊥x 轴，1AB =，

45BAC BAO ?∴∠=∠=， 22OA OB ∴==，2AC =， ∴点C 的坐标为2,22?? ? ??，

Q 点C 在函数()0k y x x

=>的图象上， 2212

k ∴=?=， 故选：A ．

【点睛】

本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形，解答本题的关键

是明确题意，利用数形结合的思想解答．

5．（11·十堰）如图所示为一个污水净化塔内部，污水从上方入口进入后流经形如等腰直角三角形的净化材料表面，流向如图中箭头所示，每一次水流流经三角形两腰的机会相同，经过四层净化后流入底部的5个出口中的一个。下列判断：①5个出口的出水量相同；②2号出口的出水量与4号出口的出水量相同；③1，2，3号出水口的出水量之比约为1：4：6；④若净化材料损耗速度与流经其表面水的数量成正比，则更换最慢一个三角形材料使用的时间约为更换一个三角形材料使用时间的8倍，其中正确的判断有（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

【答案】C

【解析】根据出水量假设出第一次分流都为1，可以得出下一次分流的水量，依此类推得出最后得出每个出水管的出水量，进而得出答案．

解：根据图示可以得出：

①根据图示出水口之间存在不同，故此选项错误；

②2号出口的出水量与4号出口的出水量相同；

根据第二个出水口的出水量为：[（

21+21）÷2+41]÷2+81=21， 第4个出水口的出水量为：[（

21+21）÷2+41]÷2+81=21， 故此选项正确；

③1，2，3号出水口的出水量之比约为1：4：6；

根据第一个出水口的出水量为：

81，第二个出水口的出水量为：[（21+21）÷2+41]÷2+81=2

1， 第三个出水口的出水量为：

83+83=43， ∴1，2，3号出水口的出水量之比约为1：4：6；故此选项正确；

④若净化材枓损耗的速度与流经其表面水的数量成正比，则更换最慢的一个三角形材枓使用的时间约为更换最快的一个三角形材枓使用时间的8倍．

∵1号与5号出水量为

8

1，此处三角形材料损耗速度最慢，第一次分流后的水量为1（即净化塔最上面一个等腰直角三角形两直角边的水量为1），

∴净化塔最上面的三角形材料损耗最快， 故更换最慢的一个三角形材枓使用的时间约为更换最快的一个三角形材枓使用时间的8倍．

故此选项正确；

故正确的有3个．

故选：C ．

此题主要考查了可能性的大小问题，根据题意分别得出各出水口的出水量是解决问题的关键．

6．图中的三角形被木板遮住了一部分，这个三角形是( )

A ．锐角三角形

B ．直角三角形

C ．钝角三角形

D ．以上都有可能

【答案】D

【解析】 从图中，只能看到一个角是锐角，其它的两个角中，可以都是锐角或有一个钝角或有一个直角，

故选D ．

7．如图，在四边形ABCD 中，,90,5,10AD BC ABC AB BC ∠=?==P ，连接,AC BD ，以BD 为直径的圆交AC 于点E ．若3DE =，则AD 的长为（ ）

A ．55

B ．45

C ．35

D ．25

【答案】D

【解析】

【分析】

先判断出△ABC 与△DBE 相似，求出BD ，最后用勾股定理即可得出结论．

【详解】

如图1，

在Rt △ABC 中，AB=5，BC=10， ∴AC=55，

连接BE ，

∵BD 是圆的直径，

∴∠BED=90°=∠CBA ，

∵∠BAC=∠EDB ，

∴△ABC ∽△DEB ，

∴AB AC DE DB

＝ ， ∴5355DB

＝ ， ∴DB=35

在Rt △ABD 中，2225BD AB -，

故选：D ．

【点睛】

此题考查勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．

8．如图，在ABC ?中，90C =o ∠，30B ∠=o ，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交

AB 、AC 于点M 和N ，再分别以M 、N 为圆心，大于12

MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连结AP 并延长交BC 于点D ，则下列说法中正确的个数是（ ） ①AD 是BAC ∠的平分线；②ADC 60∠=o ；③点D 在AB 的垂直平分线上；④:1:3DAC ABC S S ??=

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

【答案】D

【解析】

【分析】 根据题干作图方式，可判断AD 是∠CAB 的角平分线，再结合∠B=30°，可推导得到△ABD 是等腰三角形，根据这2个判定可推导题干中的结论.

【详解】

题干中作图方法是构造角平分线，①正确；

∵∠B=30°，∠C=90°，AD 是∠CAB 的角平分线 ∴∠CAD=∠DAB=30°

∴∠ADC=60°，②正确

∵∠DAB=∠B=30°

∴△ADB 是等腰三角形

∴点D 在AB 的垂直平分线上，③正确

在Rt △CDA 中，设CD=a ，则AD=2a

在△ADB 中，DB=AD=2a

∵1122DAC S CD AC a CD ?=??=?，13(CD+DB)22

BAC S AC a CD ?=??=? ∴:1:3DAC ABC S S ??=，④正确

故选：D

【点睛】

本题考查角平分线的画法及性质、等腰三角形的性质，解题关键是熟练角平分线的绘制方法.

9．如图，已知AB ∥CD ，直线AB ，CD 被BC 所截，E 点在BC 上，若∠1＝45°，∠2＝35°，则∠3＝（ ）

A ．65°

B ．70°

C ．75°

D ．80°

【答案】D

【解析】

【分析】 由平行线的性质可求得∠C ，在△CDE 中利用三角形外的性质可求得∠3．

【详解】

解：∵AB ∥CD ，

∴∠C ＝∠1＝45°，

∵∠3是△CDE 的一个外角，

∴∠3＝∠C+∠2＝45°+35°＝80°，

故选：D ．

【点睛】

本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①两直线平行?同位角相等，②两直线平行?内错角相等，③两直线平行?同旁内角互补，④a ∥b ，b ∥c ?a ∥c ．

10．如图，在菱形ABCD 中，60BCD ∠=?，BC 的垂直平分线交对角线AC 于点F ，垂足为E ，连接BF 、DF ，则DFC ∠的度数是（ ）

A ．130?

B ．120?

C ．110?

D ．100?

【答案】A

【解析】

【分析】 首先求出∠CFB=130°，再根据对称性可知∠CFD=∠CFB 即可解决问题；

【详解】

∵四边形ABCD 是菱形，

∴∠ACD ＝∠ACB ＝12

∠BCD=25°， ∵EF 垂直平分线段BC ，

∴FB=FC ，

∴∠FBC=∠FCB=25°，

∴∠CFB=180°-25°-25°=130°，

根据对称性可知：∠CFD=∠CFB=130°，

故选：A ．

【点睛】

此题考查菱形的性质、线段的垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

11．如图，在ABC V 中，分别以点A 和点B 为圆心，以相同的长(大于12

AB )为半径作弧，两弧相交于点M 和点N ，作直线MN 交AB 于点D ，交AC 于点E ，连接CD ．已知CDE △的面积比CDB △的面积小4，则ADE V 的面积为（ ）

A ．4

B ．3

C ．2

D ．1

【答案】A

【解析】

【分析】 由作图步骤可知直线MN 为线段AB 的垂直平分线，根据三角形中线的性质可得S △CDA =S △CDB ，根据△CDE 的面积比△CDB 的面积小4即可得答案．

【详解】

由作图步骤可知直线MN 为线段AB 的垂直平分线，

∴CD 为AB 边中线，

∴S △CDA =S △CDB ，

∵△CDE 的面积比△CDB 的面积小4，

∴S △ADE =S △CDA -S △CDE =S △CDB -S △CDE =4．

故选：A ．

【点睛】

本题考查尺规作图——垂直平分线的画法及三角形中线的性质，三角形的中线，把三角形分成两个面积相等的三角形；熟练掌握三角形中线的性质是解题关键．

12．如图，在ABC ?，90C =o ∠，以A 为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC ，AB 于点M ，N ，再分别以M ，N ，为圆心，大于12

MN 长为半径画弧，两弧交于点O ，

作弧线AO ，交BC 于点E ．已知3CE =，5BE =，则AC 的长为（ ）

A ．8

B ．7

C ．6

D ．5

【答案】C

【解析】

【分析】 直接利用基本作图方法得出AE 是∠CAB 的平分线，进而结合全等三角形的判定与性质得出AC=AD ，再利用勾股定理得出AC 的长．

【详解】

过点E 作ED ⊥AB 于点D ，由作图方法可得出AE 是∠CAB 的平分线，

∵EC ⊥AC ，ED ⊥AB ，

∴EC=ED=3，

在Rt △ACE 和Rt △ADE 中，

AE AE EC ED ???

＝＝， ∴Rt △ACE ≌Rt △ADE （HL ），

∴AC=AD ，

∵在Rt △EDB 中，DE=3，BE=5，

∴BD=4，

设AC=x ，则AB=4+x ，

故在Rt △ACB 中，

AC 2+BC 2=AB 2，

即x 2+82=（x+4）2，

解得：x=6，即AC 的长为：6．

故答案为：C ．

【点睛】

此题主要考查了基本作图以及全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确得出BD 的长是解题关键．

13．如图，在ABC ?中，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交BC 于点E ．ABC ?的周长为19，ACE ?的周长为13，则AB 的长为（ ）

A ．3

B ．6

C ．12

D ．16

【答案】B

【解析】

【分析】 根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．

【详解】

∵AB 的垂直平分线交AB 于点D ，

∴AE=BE ，

∵△ACE 的周长=AC+AE+CE=AC+BC=13，△ABC 的周长=AC+BC+AB=19，

∴AB=△ABC 的周长-△ACE 的周长=19-13=6，

故答案为：B ．

【点睛】

本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．

14．1035边长是( )

A ．3

B ．3

C ．5

D ．6

【答案】D

【解析】

【分析】

根据题意画出图形，利用勾股定理解答即可．

【详解】

设AC=b，BC=a，分别在直角△ACE与直角△BCD中，根据勾股定理得到：2

2

2 210

2

35,

2

a

b

b

a

???

+=

? ?

???

?

??

?

+=

?

???

?

两式相加得：2236

a b

+=，

根据勾股定理得到斜边36 6.

==

故选:D.

【点睛】

考查勾股定理，画出图形，根据勾股定理列出方程是解题的关键.

15．如图，ABC

V中，5

AB AC

==，AE平分BAC

∠交BC于点E，点D为AB的中点，连接DE，则DE的长为（）

A．2 B．2.5 C．3 D5

【答案】B

【解析】

【分析】

根据等腰三角形三线合一可得AE⊥BC，再根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半即可求得DE的长度．

【详解】

解：∵5AB AC ==，AE 平分BAC ∠，

∴AE ⊥BC ，

又∵点D 为AB 的中点， ∴1 2.52DE AB =

=， 故选：B ．

【点睛】 本题考查等腰三角形三线合一和直角三角形斜边上的中线．熟练掌握相关定理，并能正确识图，得出线段之间的关系是解题关键．

16．如果把直角三角形的两条直角边长同时扩大到原来的2倍，那么斜边长扩大到原来的（ ）

A ．1倍

B ．2倍

C ．3倍

D ．4倍

【答案】B

【解析】

设原直角三角形的三边长分别是，且，则扩大后的三角形的斜边长为，即斜边长扩大到原来的2倍，故

选B.

17．如图，在方格纸中，以AB 为一边作△ABP ，使之与△ABC 全等，从P 1，P 2，P 3，P 4四个点中找出符合条件的点P ，则点P 有（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

【答案】C

【解析】

【分析】

【详解】 要使△ABP 与△ABC 全等，必须使点P 到AB 的距离等于点C 到AB 的距离，即3个单位长度，所以点P 的位置可以是P 1，P 2，P 4三个，故选C.

18．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在AC 上，且BD ＝BC ＝AD ，则∠A 的度数为( )

A．30°B．45°C．36°D．72°

【答案】A

【解析】

∵AB=AC，BD=BC=AD，

∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD，

又∵∠BDC=∠A+∠ABD，

∴∠BDC=∠C=∠ABC=2∠A，

∵∠A+∠ABC+∠C=180°，

∴∠A+2∠A+2∠A=180°，即5∠A=180°，

∴∠A=36°.

故选A.

19．如图，Rt△ABC中，∠C =90°，∠ABC的平分线BD交AC于D，若AD =5cm，CD

=3cm，则点D到AB的距离DE是（）

A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm

【答案】C

【解析】

∵点D到AB的距离是DE ，

∴DE⊥AB，

∵BD平分∠ABC，∠C =90°，

∴把Rt△BDC沿BD翻折后，点C在线段AB上的点E处，

∴DE=CD，

∵CD =3cm，

∴DE=3cm.

故选：C.

20．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在BC上，BD=3，DC=1，点P是AB上的动点，则PC+PD的最小值为（）

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】B

【解析】

试题解析：过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′=OC，连接DC′，交AB于P，连接CP．

此时DP+CP=DP+PC′=DC′的值最小．∵DC=1，BC=4，∴BD=3，连接BC′，由对称性可知∠C′BE=∠CBE=45°，∴∠CBC′=90°，∴BC′⊥BC，∠BCC′=∠BC′C=45°，∴BC=BC′=4，根据勾股定理可得DC22

+22

BC BD

'

+．故选B．

34