高考数学模拟试题(一)

高考数学模拟试卷(一)

一、选择题：

1、设＝(2， －3)， b ＝(－4， 3)， ＝(5， 6)， 则(＋3b )·等于( )

A ．(－50， 36)

B ．－12

C ．0

D ．－14

2、“a ＝81”是“对任意的正数x ， 2x ＋x a

≥1”的( )

A ．必要不充分条件

B ．充分不必要条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

3、曲线y ＝x3－x2＋4在点(2， 8)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积是( )

A ．1

B ．2

C ．4

D ．8

4、关于x 的不等式0a x b +<的解集为{|1}x x >， 则关于x 的不等式0

2a x b

x ->-的解集为( )

A ．{|12}x x <<

B ．{|1,2}x x x <->或

C ．{|12}x x -<<

D ．{|2}x x >

5、已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯炮， 这些灯炮的外形与功率都相同且灯口向下放着， 现需要一只卡口灯炮使用， 电工师傅每次从中任取一只并不放回， 则他直到第3次才取得卡口灯炮的概率为( )

A ．2140

B ．1740

C ．3

10 D ．7120

6、已知f (x )＝x -1， 当θ∈(4

5π，

2

3

π)时， f (sin2θ)－f (－sin2θ)可化简为( ) A ．2sin θ B ．－2cos θ C ．2cos θ D ．－2sin θ

7、已知双曲线

)0(122

2

2>=-b b y x 的左、右焦点分别是1F 、2F ， 其一条渐近线方程为x y =， 点),3(0y P 在双曲线上.则1PF ·2PF ＝( )

A. －12

B. －2

C. 0

D. 4

8、在半径为3的球面上有C B A 、、三点， ABC ∠=90°， BC BA =, 球心O 到平面ABC 的

距离是22

3， 则C B 、两点的球面距离是( )

A. 3π

B. π

C. π

34

D.2π

9、2位男生和3位女生共5位同学站成一排， 若男生甲不站两端， 3位女生中有且只有两位女生相邻， 则不同排法的种数是( )

A. 60

B. 48

C. 42

D. 36

10、已知函数)(x f 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数， 且对任意实数x 都有

)()1()1(x f x x xf +=+， 则)25

(f 的值是( )

A. 0

B. 21

C. 1

D. 2

5

二、填空题：

11、一条光线从点(5， 3)射入， 与x 轴正方向成α角， 遇x 轴后反射， 若tan α＝3，

则反射光线所在直线方程是______________．

12、已知⊙M ：x2＋(y －2)2＝1， Q 是x 轴上动点， QA 、QB 分别切⊙M 于A 、B 两点， 则直线AB 恒过定点______________． 13、已知数列{}n a 满足a1＝1， an ＝a1＋2a2＋3a3＋…＋(n ―1) an ―1(n ≥2)， 则{}n a 的通项an ＝_____________．

14、已知f (x)是R 上的函数， 且f (x ＋2)＝)(1)

(1x f x f -+， 若f (1)＝32+， 则f (2009)＝

_______．

15、若直角三角形的周长为12+．则它的最大面积为_______________．

三、解答题：

16、甲、乙等五名志愿者被随机地分到A 、B 、C 、D 四个不同的岗位服务， 每个岗位至少有一名志愿者。

（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率； （Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率。

17、设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ， 2

3

cos )cos(=+-B C A ,ac b =2，

求B 。

18、设函数329

()62

f x x x x a =-+-。

（1）对于任意实数x ， ()f x m '≥恒成立， 求m 的最大值； （2）若方程()0f x =有且仅有一个实根， 求a 的取值范围。

19、设n S 为数列{}n a 的前n 项和， 2n S kn n =+， *n N ∈， 其中k 是常数。 （I ） 求1a 及n a ；

（II ）若对于任意的*m N ∈， m a ， 2m a ， 4m a 成等比数列， 求k 的值。

20、如图， 四棱锥P A B C D

-的底面是正方形， P D A B C D ⊥底面， 点E 在棱PB 上。 （Ⅰ）求证：平面A E C P D B ⊥平面；

（Ⅱ）当2P

D B =且

E 为PB 的中点时， 求AE 与平面PDB 所成的角的大小。

21、已知抛物线C：22(0)

x py p

=>上一点(,4)

A m到其焦点的距离为17

4

。

（I）求p与m的值；

（II）设抛物线C上一点P的横坐标为(0)

t t>，过P的直线交C于另一点Q，交x轴于点M，过点Q作PQ的垂线交C于另一点N。若MN是C的切线，求t的最小值。

高考数学模拟试卷答案（一）

一、选择题

1、D

2、B

3、C

4、C

5、D

6、C

7、C

8、D

9、C 10、D

二、填空题

11、12

3+-=x y 12、?

?

?

??230，

13、??

???≥=)2(2!)1(1n n n

14、2+3 15、

41

三、解答题：

16、解：（Ⅰ）记甲、乙两人同时参加A 岗位服务为事件A E ， 那么332454

1

()40A A P E C A ==，

即甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率是1

40

．

（Ⅱ）记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E ， 那么4424541

()10A P E C A ==，

所以， 甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是9

()1()10

PE

PE =-=

17、解：由cos （A -C ）+cosB=3

2

及B=π-（A+C ）得

cos （A -C ）-cos （A+C ）=3

2

，

cosAcosC+sinAsinC -（cosAcosC -sinAsinC ）=3

2

,

sinAsinC=3

4

.

又由2b =ac 及正弦定理得 2sin sin sin ,B A C =

故 23

sin 4B =，

3sin B = 或 3sin B = 于是 B=3π 或 B=23

π

.

又由 2b ac =知a b ≤或c b ≤

所以 B =

3

π。

18、解：(1) '2()3963(1)(2)f x x x x x =-+=--,

因为(,)x ∈-∞+∞,'()f x m ≥, 即 239(6)0x x m -+-≥恒成立,

所以 8112(6)0m ?=--≤, 得3

4

m ≤-， 即m 的最大值为34-

(2) 因为 当1x <时, '()0f x >。当12x <<时, '()0f x <。当2x >时, '()0f x >。

所以 当1x =时,()f x 取极大值 5

(1)2

f a =-。

当2x =时,()f x 取极小值 (2)2f a =-。

故当(2)0f > 或(1)0f <时, 方程()0f x =仅有一个实根. 解得 2a <或5

2

a >。

19、解：（Ⅰ）当1,111+===k S a n ，

12)]1()1([,2221+-=-+--+=-=≥-k kn n n k n kn S S a n n n n （*） 经验， ,1=n （*）式成立， 12+-=∴k kn a n （Ⅱ）m m m a a a 42,,Θ成等比数列，

m m m a a a 42

2.=∴，

即)18)(12()14(2+-+-=+-k km k km k km ， 整理得：0)1(=-k mk ， 对任意的*∈N m 成立， 10==∴k k 或

21、解：（Ⅰ）由抛物线方程得其准线方程：2

p

y -

=， 根据抛物线定义 点)4,(m A 到焦点的距离等于它到准线的距离， 即4

17

24=+p ， 解得21=p

∴抛物线方程为：y x =2， 将)4,(m A 代入抛物线方程， 解得2±=m

（Ⅱ）由题意知， 过点),(2t t P 的直线PQ 斜率存在且不为0， 设其为k 。 则)(:2

t x k t y l PQ -=-， 当,,02k kt t x y +-=

= 则)0,(2k

kt

t M +-。 联立方程?

??=-=-y x t x k t y 2

2)(， 整理得：0)(2

=-+-t k t kx x 即：0)]()[(=---t k x t x ， 解得,t x =或t k x -=

))(,(2t k t k Q --∴， 而QP QN ⊥， ∴直线NQ 斜率为k

1

-

)]([1)(:2t k x k t k y l NQ ---=--∴， 联立方程??

?

??=---=--y x t k x k

t k y 2

2

)]([1)( 整理得：0)()(1

122=----+t k t k k

x k x ， 即：0]1)()[(2=+---+t k k t k x kx

0)](][1)([=--+-+t k x t k k kx ， 解得：k

t k k x 1

)(+--

=， 或t k x -= )]1)([,1)((22k t k k k t k k N +-+--∴， )

1()1(1)(]1)([2222222

--+-=

+--

+--+-=∴k t k kt k k

kt t k t k k k t k k K NM 而抛物线在点N 处切线斜率：k

t k k y k k

t k k x 2

)(21)(---=

'

=+--

=切

ΘMN 是抛物线的切线， k t k k k t k kt k 2

)(2)

1()1(2

222---=--+-∴， 整理得02122=-++t tk k 0)21(422≥--=?t t Θ， 解得32-≤t （舍去）， 或32≥t ， 32

min =∴t

20、（Ⅰ）∵四边形ABCD 是正方形， ∴AC ⊥BD ，

∵P D A B C D ⊥底面，

∴PD ⊥AC ， ∴AC ⊥平面PDB ，

∴平面A E C P D B ⊥平面.

（Ⅱ）设AC ∩BD=O ， 连接OE ，

由（Ⅰ）知AC ⊥平面PDB 于O ， ∴∠AEO 为AE 与平面PDB 所的角， ∴O ， E 分别为DB 、PB 的中点，

∴OE//PD ， 1

2

OE PD =， 又∵P D A B C D ⊥底面，

∴OE ⊥底面ABCD ， OE ⊥AO ，

在Rt △AOE 中，

12O E P D A B A O ==，

∴45A O E ?

∠=， 即AE 与平面PDB 所成的角的大小为45?.