2020高考数学(理科)全国一卷高考模拟试卷(20)

2020高考数学（理科）全国一卷高考模拟试卷（20）

一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）

1．（5分）已知集合A ＝{x |4x 2﹣3x ≤0}，B ＝{x |y =√2x ?1}，则A ∩B ＝（ ） A ．[0，3

4]

B ．?

C ．[0，1

2

]

D ．[12

，3

4

]

2．（5分）若a +2i ＝（1﹣i ）（1+bi ）（a ，b ∈R ，i 为虚数单位），则复数a ﹣bi 在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

3．（5分）已知某团队有老年人28人，中年人56人，青年人84人，若按老年人，中年人，青年人用分层抽样的方法从中抽取一个容量为12的样本，则从中年人中应抽取（ ） A ．2人

B ．4人

C ．5人

D ．3人

4．（5分）已知双曲线C 与双曲线x 22

?

y 26

=1有公共的渐近线，且经过点P(?2，√3)，则

双曲线C 的离心率为（ ） A ．√2

B ．

2√3

3

C ．4

D ．2

5．（5分）阅读下面的程序框图，如果输出的函数值f(x)∈[14

，2]，那么输入的实数x 的取值范围是（ ）

A ．[﹣1，2]

B ．[﹣2，1]

C ．（﹣∞，1]∪[2，+∞）

D ．（﹣∞，1]∪（2，+∞）

6．（5分）已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，其平面展开图如图所示，则该

凸多面体的体积V ＝（ ）

A ．1+√2

6

B ．1

C ．

√26

D ．1+√2

2

7．（5分）设{a n }是等比数列，若a 2＝3，a 7＝1，则数列{a n }前8项的积为（ ） A ．56

B ．80

C ．81

D ．128

8．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（ ）（单位：cm 3）

A ．2

B ．6

C ．10

D ．12

9．（5分）设（1+2x +3x 2）7＝a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 14x 14，则a 4+a 6+a 8+a 10+a 12+a 14＝（ ） A ．129927

B ．129962

C ．139926

D ．139962

10．（5分）若抛物线x ＝﹣my 2的焦点到准线的距离为2，则m ＝（ ） A ．﹣4

B ．1

4

C ．?1

4

D ．±1

4

11．（5分）已知f(x)={|log 3(x +1)|，x ∈(?1，8)

4x?6，x ∈[8，+∞]若f [（m ﹣1）f （x ）]﹣2≤0在定义域

上恒成立，则m 的取值范围是（ ） A ．（0，+∞）

B ．[1，2）

C ．[1，+∞）

D ．（0，1）

12．（5分）设[x ]为不超过x 的最大整数，a n 为[x [x ]]（x ∈[0，n ））可能取到所有值的个数，S n 是数列 {

1

a n +2n

}前n 项的和，则下列结论正确个数的有（ ） （1）a 3＝4

（2）190是数列{a n }中的项 （3）S 10=5

6

（4）当n ＝7时，a n +21n

取最小值

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4

二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）

13．（5分）已知平面向量a →

，b →

的夹角为π

6

，|a →

|＝1，|b →

|＝2，则a →?b →

= ．

14．（5分）已知实数x ，y 满足{x ?y ≤52x +y ?1≥0x +2y ?2≤0，则z ＝3x +y 的最小值为 ．

15．（5分）已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，其中M （π

3，3）是图象的一个最高点，N （

4π3

，0）是图象与x 轴的交点，将函数f （x ）的图象

上所有点的横坐标缩短到原来的

1

12

后，再向右平移π4

个单位长度，得到函数g （x ）的图

象，则函数g （x ）的单调递增区间为 ．

16．（5分）某学校数学建模小组为了研究双层玻璃窗户中每层玻璃厚度d （每层玻璃的厚度相同）及两层玻璃间夹空气层厚度l 对保温效果的影响，利用热传导定律得到热传导量q 满足关系式：q ＝λ1

|△T|

d(λ1l

λ2d +2)

，其中玻璃的热传导系数λ1＝4×10

﹣3

焦耳/（厘米?度），不

流通、干燥空气的热传导系数λ2＝2.5×10

﹣4

焦耳/（厘米?度），△T 为室内外温度差．q

值越小，保温效果越好．现有4种型号的双层玻璃窗户，具体数据如表：

型号

每层玻璃厚度d （单位：厘米）

玻璃间夹空气层厚度l （单位：厘米）

A 型 0.5 3

B 型 0.5 4

C 型 0.6 2

D 型

0.6

3

则保温效果最好的双层玻璃的型号是 型．

三．解答题（共5小题）

17．已知三角形ABC 的面积为√3，A =

5π6，D 在边BC 上，∠CAD =π

6

，BD ＝2DC ，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．求a ，b ，c ．

18．如图所示，在三棱锥S ﹣BCD 中，平面SBD ⊥平面BCD ，A 是线段SD 上的点，△SBD 为等边三角形，∠BCD ＝30°，CD ＝2DB ＝4． （Ⅰ）若SA ＝AD ，求证：SD ⊥CA ；

（Ⅱ）若直线BA 与平面SCD 所成角的正弦值为

4√195

65

，求AD 的长．

19．为了感谢消费者对超市的购物支持，超市老板决定对超市积分卡上积分超过10000分的消费者开展年终大回馈活动，参加活动之后消费者的积分将被清空．回馈活动设计了两种方案：

方案一：消费者先回答一道多选题，从第二道开始都回答单选题； 方案二：消费者全部选择单选题进行回答；

其中单选题答对得2分，多选题答对得3分，无论单选题还是多选题答错得0分；每名参赛的消费者至多答题3次，答题过程中得到3分或3分以上立刻停止答题，得到超市回馈的奖品．为了调查消费者对方案的选择，研究人员在有资格参与回馈活动的500名消费者中作出调研，所得结果如表所示：

男性消费者

女性消费者

选择方案一 150 80 选择方案二

150

120

（Ⅰ）是否有99%的把握认为消费者的性别与方案的选择有关； （Ⅱ）小明回答单选题的正确率为0.8，多选题的正确率为0.75． （ⅰ）若小明选择方案一，记小明的得分为X ，求X 的分布列以及期望；

（ⅱ）如果你是小明，你觉得通过哪种方案更有可能获得奖品，请通过计算说明理由．

附：K 2

=n(ad?bc)

2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，n ＝a +b +c +d ．

P （K 2≥k ）

0.100 0.050 0.010 0.001 k

2.706

3.841

6.635

10.828

20．已知动圆过定点F （0，1），且与直线l ：y ＝﹣1相切，动圆圆心的轨迹为C ，过F 作斜率为k （k ≠0）的直线m 与C 交于两点A ，B ，过A ，B 分别作C 的切线，两切线的交点为P ，直线PF 与C 交于两点M ，N ． （1）证明：点P 始终在直线l 上且PF ⊥AB ； （2）求四边形AMBN 的面积的最小值．

21．已知函数f （x ）＝e x （ae x ﹣x ﹣a ）（其中e ＝2.71828…是自然对数的底数）的图象与x 轴切于原点． （1）求实数a 的值；

（2）证明：f （x ）存在唯一的极大值点x 0，满足x 0∈（k ，k +1），且k ∈Z ； （3）在（2）的条件下，求使f （x 0）＜m 成立的最小整数m 的值． 四．解答题（共1小题）

22．已知曲线C 的参数方程为{x =2cosαy =sinα（α为参数），以平面直角坐标系的原点O 为极点，

x 的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线C 的极坐标方程；

（2）P ，Q 是曲线C 上两点，若OP ⊥OQ ，求|OP|2?|OQ|2|OP|+|OQ|的值．

五．解答题（共1小题）

23．已知a ＞0，b ＞0，函数f （x ）＝|2x +a |+|x ﹣b |的最小值为1

2．

（1）求证：a +2b ＝1；

（2）若2a +b ≥tab 恒成立，求实数t 的最大值．

2020高考数学（理科）全国一卷高考模拟试卷（20）

参考答案与试题解析

一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）

1．（5分）已知集合A ＝{x |4x 2﹣3x ≤0}，B ＝{x |y =√2x ?1}，则A ∩B ＝（ ） A ．[0，3

4]

B ．?

C ．[0，1

2

]

D ．[12

，3

4

]

【解答】解：依题意，A ={x|4x 2?3x ≤0}={x|0≤x ≤3

4

}，B ={x|y =√2x ?1}={x|x ≥1

2}， 故A ∩B =[1

2

，34

]． 故选：D ．

2．（5分）若a +2i ＝（1﹣i ）（1+bi ）（a ，b ∈R ，i 为虚数单位），则复数a ﹣bi 在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

【解答】解：因为a +2i ＝（1﹣i ）（1+bi ）＝（1+b ）+（b ﹣1）i ， ∴a ＝1+b 且2＝b ﹣1； 所以：a ＝4，b ＝3；

∴复数a ﹣bi 在复平面内对应的点（4，﹣3）所在的象限为第四象限． 故选：D ．

3．（5分）已知某团队有老年人28人，中年人56人，青年人84人，若按老年人，中年人，青年人用分层抽样的方法从中抽取一个容量为12的样本，则从中年人中应抽取（ ） A ．2人

B ．4人

C ．5人

D ．3人

【解答】解：据题设知，从中年人中应抽取12×56

28+56+84=4人． 故选：B ．

4．（5分）已知双曲线C 与双曲线x 22

?

y 26

=1有公共的渐近线，且经过点P(?2，√3)，则

双曲线C 的离心率为（ ） A ．√2

B ．

2√3

3

C ．4

D ．2

【解答】解：根据题意，双曲线C 与双曲线x 22

?

y 2

6

=1有公共的渐近线，设双曲线C

的方程为

x 22

?

y 26

=t ，（t ≠0），

又由双曲线C 经过点P （﹣2，√3），则有2?1

2

=t ，则t =32

， 则双曲线的C 的方程为

x 22

?

y 26

=3

2

，即：

x 23

?

y 29

=1，其焦距c ＝2√3，a =√3，

所以双曲线的离心率为：e =c

a

=2． 故选：D ．

5．（5分）阅读下面的程序框图，如果输出的函数值f(x)∈[1

4，2]，那么输入的实数x 的取值范围是（ ）

A ．[﹣1，2]

B ．[﹣2，1]

C ．（﹣∞，1]∪[2，+∞）

D ．（﹣∞，1]∪（2，+∞）

【解答】解：由题意函数f （x ）可看成是分段函数， f （x ）={2x ，x ∈[?2，2]2，x ∈(?∞，2)∪(2，+∞)，

当输出的函数值f(x)∈[1

4，2]时， ①f （x ）＝2x ∈[1

4，2]，x ∈[﹣2，2]，

即解1

4

≤2x ≤2，

解得﹣2≤x ≤1，即x ∈[﹣2，1]，

②f （x ）＝2时，x ∈（﹣∞，2）∪（2，+∞）， 由①②两种情况都有可能，所以想的范围为①②并集， 即x ∈（﹣∞，1]∪（2，+∞）． 故选：D ．

6．（5分）已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，其平面展开图如图所示，则该

凸多面体的体积V ＝（ ）

A ．1+√2

6

B ．1

C ．

√26

D ．1+√2

2

【解答】解：几何体如图：下部是正方体，棱长为1，上部是正四棱锥，高为：√22

， 所以该凸多面体的体积V ＝1×1×1+13

×1×1×√2

2

=1+

√2

6

．

故选：A ．

7．（5分）设{a n }是等比数列，若a 2＝3，a 7＝1，则数列{a n }前8项的积为（ ） A ．56

B ．80

C ．81

D ．128

【解答】解：{a n }是等比数列，若a 2＝3，a 7＝1， ∴1＝3q 5．q 5=1

3．

数列{a n }前8项的积为：a 1?a 2?a 3…a 8＝a 28q ﹣1+0+1+2+3+4+5+6

＝38×（1

3

）4＝34＝81．

故选：C ．

8．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（ ）（单位：cm 3）

A ．2

B ．6

C ．10

D ．12

【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为： 如图所示：

该几何体的底面为直角梯形，高为2四棱锥体． 故V =

13×1

2

×(1+2)×2×2=2． 故选：A ．

9．（5分）设（1+2x +3x 2）7＝a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 14x 14，则a 4+a 6+a 8+a 10+a 12+a 14＝（ ） A ．129927

B ．129962

C ．139926

D ．139962

【解答】解：∵（1+2x +3x 2）7＝a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 14x 14， 令x ＝0，a 0＝1；令x ＝1，即67＝a 0+a 1+a 2+…+a 14； 令x ＝﹣1，即27＝a 0﹣a 1+a 2﹣a 3+…+a 14； 两式相加，

67+272

=a 0+a 2+a 4+?+a 14，

而a 2=C 71×3+C 72

×22=105，

故a 4+a 6+a 8+a 10+a 12+a 14=67

+2

7

2

?105?1=139926，

故选：C ．

10．（5分）若抛物线x ＝﹣my 2的焦点到准线的距离为2，则m ＝（ ） A ．﹣4

B ．1

4

C ．?1

4

D ．±1

4

【解答】解：抛物线x ＝﹣my 2，y 2=?1

m x 的焦点到准线的距离为p ，由标准方程可得|12m

|

＝2， 解得m ＝±1

4，

故选：D ．

11．（5分）已知f(x)={|log 3(x +1)|，x ∈(?1，8)4x?6，x ∈[8，+∞]若f [（m ﹣1）f （x ）]﹣2≤0在定义域

上恒成立，则m 的取值范围是（ ） A ．（0，+∞）

B ．[1，2）

C ．[1，+∞）

D ．（0，1）

【解答】解：∵f(x)={|log 3(x +1)|，x ∈(?1，8)

4x?6

，x ∈[8，+∞]

，

∴当﹣1＜x ＜8时，log 3（x +1）∈（﹣∞，2），|log 3（x +1）|∈[0，2），

x ∈（﹣1，0）时，f （x ）＝|log 3（x +1）|单调递减，x ∈（0，8）时，f （x ）单调递增， 且当x =?8

9时，f （x ）＝2①． 当x ≥8时，f （x ）=4

x?6

单调递减且f （x ）∈（0，2]②， 其图象如下：

若f [（m ﹣1）f （x ）]﹣2≤0， 则f [（m ﹣1）f （x ）]≤2， ∴（m ﹣1）f （x ）≥?89

， 当f （x ）＝0时，m ∈R ；

当f （x ）＞0时，m ﹣1＞?89

f(x)，当f （x ）→+∞时，?8

9f(x)

→0，

∴m ﹣1≥0， 解得：m ≥1． 故选：C ．

12．（5分）设[x ]为不超过x 的最大整数，a n 为[x [x ]]（x ∈[0，n ））可能取到所有值的个数，S n 是数列 {1

a n +2n }前n 项的和，则下列结论正确个数的有（ ）

（1）a 3＝4

（2）190是数列{a n }中的项 （3）S 10=56 （4）当n ＝7时，a n +21n

取最小值

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4

【解答】解：a n 为[x [x ]]（x ∈[0，n ））可能取到所有值的个数， 当n ＝1时，[x [x ]]＝0，即a 1＝1，S 1=1

1+2=2（12

?1

3

）=1

3；

当n ＝2时，[x [x ]]＝0，1，即a 2＝2，S 2＝2（12

?

13

+

13

?1

4）=12

；

当n ＝3时，[x [x ]]＝0，1，4，5，即a 3＝4，S 3＝2（12

?

13

+

13

?

14

+

1

4?1

5

）=3

5； 当n ＝4时，[x [x ]]＝0，1，4，5，9，10，11，即a 4＝7，S 4＝2（12

?13

+13

?14

+14

?

15

+

15

?1

6

）

=23

；

…，可得a n ＝1+（1+2+3+…+n ﹣1）=1

2n （n ﹣1）+1，

可令a n ＝190，即n 2﹣n ﹣378＝0，可得n 不为整数，故（1）正确；故（2）错误； S 10＝2（1

2

?

13

+

13

?

14

+

14

?

15

+

15?

16

+?+

111

?

1

12

）=56

，故（3）正确；

a n +21n

=

n 2

+22n

?

1

2

≥2√n 2?22

n ?1

2，由于n =√44（不为自然数），取不到等号， 考虑n ＝6时，有3+11

3?1

2=37

6；n ＝7时，7

2+22

7?1

2=43

7＜37

6，

则当n ＝7时，a n +21n

取最小值，故（4）正确．

故选：C ．

二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）

13．（5分）已知平面向量a →

，b →

的夹角为π

6

，|a →

|＝1，|b →

|＝2，则a →?b →

= √3 ．

【解答】解：因为平面向量a →

，b →

的夹角为π

6

，|a →

|＝1，|b →

|＝2，

∴a →?b →

=|a →

|×|b →

|×cos π6

=1×2×

√3

2

=√3，

故答案为：√3．

14．（5分）已知实数x ，y 满足{x ?y ≤5

2x +y ?1≥0x +2y ?2≤0，则z ＝3x +y 的最小值为 1 ．

【解答】解：由实数x ，y 满足{x ?y ≤5

2x +y ?1≥0x +2y ?2≤0，作出可行域如图，

联立{2x +y ?1=0x +2y ?2=0，解得A （0，1），

化目标函数z ＝3x +y 为y ＝﹣3x +z ，

由图可知，当直线y ＝﹣3x +z 过A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值为3×0+1＝1． 故答案为：1．

15．（5分）已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，其中M （π

3，3）是图象的一个最高点，N （

4π3

，0）是图象与x 轴的交点，将函数f （x ）的图象

上所有点的横坐标缩短到原来的

1

12

后，再向右平移π4

个单位长度，得到函数g （x ）的图

象，则函数g （x ）的单调递增区间为 为[π

9+kπ

3，5π

18+kπ

3](k ∈Z)． ．

【解答】解：依题意，A =3，T

4=4π

3?π

3=π，即T ＝4π， 故ω=1

2，f(x)=3sin(1

2x +φ)；

将(π3，3)代入f （x ）中，可知12×π3+φ=π2

+2kπ，k ∈Z ，故φ=π

3+2kπ，k ∈Z ；

不妨设k ＝0，得φ=π3，故函数f(x)=3sin(12x +π

3)； 将函数f （x ）的图象压缩为原来的

112

后，得到y =3sin(6x +π

3)，

再向右平移π4

个单位，得g(x)=3sin[6(x ?π

4)+π

3]=?3sin(6x ?π

6)； 要求函数的增区间，只需π

2+2kπ≤6x ?

π6

≤

3π2

+2kπ，k ∈Z ．

解得π9

+

kπ3

≤x ≤

5π18

+

kπ3

，k ∈Z ．

故函数g （x ）的单调递增区间为[π

9+kπ

3，5π

18+kπ

3](k ∈Z)．

故答案为：[π9+

kπ3

，5π18+kπ

3](k ∈Z)． 16．（5分）某学校数学建模小组为了研究双层玻璃窗户中每层玻璃厚度d （每层玻璃的厚度相同）及两层玻璃间夹空气层厚度l 对保温效果的影响，利用热传导定律得到热传导量q 满足关系式：q ＝λ1

|△T|

d(λ1l

λ2d

+2)，其中玻璃的热传导系数λ1＝4×10﹣3

焦耳/（厘米?度），不

流通、干燥空气的热传导系数λ2＝2.5×10

﹣4

焦耳/（厘米?度），△T 为室内外温度差．q

值越小，保温效果越好．现有4种型号的双层玻璃窗户，具体数据如表：

型号

每层玻璃厚度d （单位：厘米）

玻璃间夹空气层厚度l （单位：厘米）

A 型 0.5 3

B 型 0.5 4

C 型 0.6 2

D 型

0.6

3

则保温效果最好的双层玻璃的型号是 B 型．

【解答】解：A 型双层玻璃窗户：d(λ1l λ2d +2)=0.5(4×10?3

×3

2.5×10?4×0.5+2)=49； B 型双层玻璃窗户：d(λ1l λ2d +2)=0.5(4×10?3

×4

2.5×10?4×0.5+2)=65； C 型双层玻璃窗户：d(λ1l λ2d +2)=0.6(4×10?3

×2

2.5×10?4

×0.6+2)=33.2； D 型双层窗户：d(λ1l λ2d +2)=0.6(4×10?3

×3

2.5×10?4

×0.6

+2)=49.2； 根据q ＝λ1

|△T|

d(λ1l

λ2d

+2)

，且q 值越小，保温效果越好，

故答案为：B ． 三．解答题（共5小题）

17．已知三角形ABC 的面积为√3，A =5π

6，D 在边BC 上，∠CAD =π

6，BD ＝2DC ，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．求a ，b ，c ． 【解答】解：依题意，∠CAD =π

6，∠BAD =2π

3， ∵三角形ABC 的面积为√3，

∴12

bcsin

5π6

=

√3，即bc =4√3，

在△ABD 中，由正弦定理有，BD sin∠BAD =c sin∠ADB

，

在△ACD 中，由正弦定理有，CD sin∠CAD

=

b sin∠ADC ，

又BD =2CD ，sin ∠BAD =√3

2，sin∠CAD =1

2，sin∠ADB =sin∠ADC ， ∴b =

√3

2

c ，

∴b =√6，c =2√2， ∴a 2=b 2+c 2?2bccos 5π

6=6+8?2×√6×2√2×(?√32

)=26， ∴a =√26．

18．如图所示，在三棱锥S ﹣BCD 中，平面SBD ⊥平面BCD ，A 是线段SD 上的点，△SBD 为等边三角形，∠BCD ＝30°，CD ＝2DB ＝4． （Ⅰ）若SA ＝AD ，求证：SD ⊥CA ；

（Ⅱ）若直线BA 与平面SCD 所成角的正弦值为

4√195

65

，求AD 的长．

【解答】解：（Ⅰ）∵SA ＝AD ，△SBD 为等边三角形，∴AB ⊥SD ， 取BD 中点O ，连结SO ，CO ，

∵平面SBD ⊥平面BCD ，A 是线段SD 上的点，△SBD 为等边三角形，∠BCD ＝30°，CD ＝2DB ＝4．

∴SO ⊥底面BCD ，cos30°=CB 2+CD 2?BD 22×BC×CD =CB 2+16?48BC ，解得BC ＝2√3， ∴cos ∠BDC =BD 2+CD 2?BC 2

2×BD×DC =4+16?122×2×4=1

2，∴∠BDC ＝60°，∠DBC ＝90°，

∴BC ⊥BD ，∴BC ⊥平面SBD ，∵SD ?平面SBD ，∴BC ⊥SD ， ∵SD ∩BA ＝A ，∴SD ⊥平面ABC ， ∵CA ?平面ABC ，∴SD ⊥CA ．

（Ⅱ）解：SO =√SB 2?BE 2=√3．CO =√BC 2+BO 2=√12+1=√13， SC =√SO 2+CO 2=√3+13=4， 设点B 到平面SCD 的距离为h ， 由V B ﹣SDC ＝V S ﹣BCD ，得1

3×

12

×2×√42?12×?=

13

×

12

×2√3×2×√3，

解得h =

6√15

， ∵直线BA 与平面SCD 所成角的正弦值为4√19565

，sin θ=

?BA ，解得BA =154195

=√132， ∵BA 2＝BD 2+AD 2﹣2BD ?AD ?cos60°， ∴

134

=4+AD 2?2AD ，

解得AD =3

2或AD =1

7．

19．为了感谢消费者对超市的购物支持，超市老板决定对超市积分卡上积分超过10000分的消费者开展年终大回馈活动，参加活动之后消费者的积分将被清空．回馈活动设计了两种方案：

方案一：消费者先回答一道多选题，从第二道开始都回答单选题； 方案二：消费者全部选择单选题进行回答；

其中单选题答对得2分，多选题答对得3分，无论单选题还是多选题答错得0分；每名参赛的消费者至多答题3次，答题过程中得到3分或3分以上立刻停止答题，得到超市回馈的奖品．为了调查消费者对方案的选择，研究人员在有资格参与回馈活动的500名消费者中作出调研，所得结果如表所示：

男性消费者

女性消费者

选择方案一 150 80 选择方案二

150

120

（Ⅰ）是否有99%的把握认为消费者的性别与方案的选择有关； （Ⅱ）小明回答单选题的正确率为0.8，多选题的正确率为0.75． （ⅰ）若小明选择方案一，记小明的得分为X ，求X 的分布列以及期望；

（ⅱ）如果你是小明，你觉得通过哪种方案更有可能获得奖品，请通过计算说明理由．

附：K 2

=n(ad?bc)

2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n ＝a +b +c +d ．

P （K 2≥k ）

0.100 0.050 0.010 0.001 k

2.706

3.841

6.635

10.828

【解答】解：（Ⅰ）依题意，完善列联表如下所示：

男性消费者

女性消费者

总计 选择方案一 150 80 230 选择方案二

150 120 270 总计

300

200

500

K 2

=500×(150×120?150×80)2

230×270×300×200

≈4.831＜6.635，

故没有99%的把握认为消费者的性别与方案的选择有关． （Ⅱ）（ⅰ）X 的所有可能取值为0，2，3，4，

则P(X =0)=1

4×1

5×1

5=1

100，P(X =2)=2×1

4×1

5×4

5=8

100，P(X =3)=3

4=75

100，P(X =4)=1

4×4

5×4

5=16

100， 故X 的分布列为：

X 0

2

3

4

P

1100

8100

75100

16100

所以E(X)=0×1100+2×8

100+3×75100+4×16

100=305

100=3.05．

（ⅱ）小明选择方案一获得奖品的概率为P 1=P(X ≥3)=75100+16100=91

100=0.91， 小明选择方案二获得奖品的概率为P 2=P(X ≥3)=2×15×4

5×45+45×45=112

125=

896

1000

=0.896， 因为P 2＜P 1，所以小明选择方案一更有可能获得奖品．

20．已知动圆过定点F （0，1），且与直线l ：y ＝﹣1相切，动圆圆心的轨迹为C ，过F 作斜率为k （k ≠0）的直线m 与C 交于两点A ，B ，过A ，B 分别作C 的切线，两切线的交点为P ，直线PF 与C 交于两点M ，N ． （1）证明：点P 始终在直线l 上且PF ⊥AB ； （2）求四边形AMBN 的面积的最小值．

【解答】解：（1）∵动圆过定点F （0，1），且与直线l ：y ＝﹣1相切， ∴动圆圆心到定点F （0，1）和定直线y ＝﹣1的距离相等， ∴动圆圆心的轨迹C 是以F （0，1）为焦点的抛物线， ∴轨迹C 的方程为：x 2＝4y ，

设A(x 1，x 124)，B(x 2，x 2

24)，

∵x 2＝4y ，∴y ′=x

2

，

∴直线P A 的方程为：y ?x 124=x 12

(x ?x 1)，即：4y =2x 1x ?x 12①，

同理，直线PB 的方程为：4y =2x 2x ?x 22

②，

由①②可得：P(

x 1+x 22

，x 1x 2

4)， 因为过F 作斜率为k （k ≠0）的直线m ，所以直线m 方程为：y ＝kx +1， 联立{y =kx +1x 2=4y 可得：x 2﹣4kx ﹣4＝0，所以{x 1+x 2=4k

x 1x 2=?4，

∴P （2k ，﹣1），

∴k PF ×k =?1

k ×k =?1， ∴点P 始终在直线l 上且PF ⊥AB ．

（2）设直线AB 的倾斜角为α，由（1）可得： |AB|=√1+k 2|x 1?x 2|=4(1+k 2)=4(1+tan 2α)=4

cos 2α

， ∴|MN|=

4cos 2(α+90°)=4

sin 2α

，

∴四边形AMBN 的面积为：12

|AB|×|MN|=8sin 2αcos 2α

=

32sin 22α

≥32，

当且仅当α＝45°或135°，即k ＝±1时取等号，

∴四边形AMBN的面积的最小值为32．

21．已知函数f（x）＝e x（ae x﹣x﹣a）（其中e＝2.71828…是自然对数的底数）的图象与x 轴切于原点．

（1）求实数a的值；

（2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，满足x0∈（k，k+1），且k∈Z；

（3）在（2）的条件下，求使f（x0）＜m成立的最小整数m的值．

【解答】解：（1）f（x）＝e x（ae x﹣x﹣a），

∴f′（x）＝e x（2ae x﹣x﹣a﹣1），

由题意可知，f′（0）＝a﹣1＝0，

所以a＝1，

（2）由（1）可知，f′（x）＝e x（2e x﹣x﹣2），

令g（x）＝2e x﹣x﹣2，则g′（x）＝2e x﹣1，

当x＞﹣ln2时，g′（x）＝2e x﹣1＞0，g（x）单调递增，当x＜﹣ln2时，g′（x）＝2e x ﹣1＜0，g（x）单调递减，

故当x＝﹣ln2时g（x）取得最小值g（﹣ln2）＝ln2﹣1＜0，且g（0）＝0，

又x→﹣∞，g（x）＞0，x→+∞时，g（x）＞0，

故存在x0＜﹣ln2使得g（x0）＝0，

且x＜x0时，g（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）单调递增，x0＜x＜0时，g（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）单调递减，x＞0时，g（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）单调递增，故当x＝x0时，函数存在唯一的极大值，

∵g（﹣2）=2

e2

＞0，g（﹣1）=

2

e

?1＜0，

故x0∈（﹣2，﹣1），

故f（x）存在唯一的极大值点x0，满足x0∈（﹣2，﹣1），（3）由（2）可得，0＝2e x0?x0﹣2，

∴f（x0）＝e x0（e x0?x0﹣1）＝（1+1

2

x0）?（?12x0）=?14(x02+2x0)，

结合二次函数的性质可知，x0∈（﹣2，﹣1）时，?1

4

(x02+2x0)∈(0，14)，

故使得f（x0）＜m成立的最小整数m的值1．四．解答题（共1小题）

22．已知曲线C 的参数方程为{x =2cosα

y =sinα（α为参数），以平面直角坐标系的原点O 为极点，

x 的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线C 的极坐标方程；

（2）P ，Q 是曲线C 上两点，若OP ⊥OQ ，求

|OP|2?|OQ|2|OP|2+|OQ|2

的值．

【解答】解：（1）曲线C 的参数方程为{x =2cosα

y =sinα

（α为参数），转换为直角坐标方程为

x 24

+y 2=1，

转换为极坐标方程为4ρ2sin 2θ+ρ2cos 2θ＝4．即ρ2=4

3sin 2

θ+1

． （2）P ，Q 是曲线C 上两点，若OP ⊥OQ ， 设P （ρ1，θ），则Q （ρ2，θ±π

2）， 所以

|OP|2?|OQ|2|OP|+|OQ|=

1

1|OP|2+

1

|OQ|2

=

1

1ρ12+1ρ22

=

1

34sin 2θ+14+34cos 2θ+14

=4

5

．

五．解答题（共1小题）

23．已知a ＞0，b ＞0，函数f （x ）＝|2x +a |+|x ﹣b |的最小值为1

2．

（1）求证：a +2b ＝1；

（2）若2a +b ≥tab 恒成立，求实数t 的最大值．

【解答】解：（1）证明：a ＞0，b ＞0，函数f （x ）＝|2x +a |+|x ﹣b |＝|x +a 2

|+|x +a 2

|+|x ﹣b | ≥|?a 2

+a 2

|+|x +a 2

?x +b |＝0+|b +a 2

|＝b +a 2

，

当且仅当x ＝b 时，上式取得等号，可得f （x ）的最小值为b +a

2， 则b +a 2

=12

，即a +2b ＝1；

（2）若2a +b ≥tab 恒成立，由a ，b ＞0，可得t ≤1a +2

b

恒成立， 由1

a +

2b

=（a +2b ）（1a

+2

b

）＝5+

2a b +2b a ≥5+2√2a b ?2b

a

=9， 当且仅当a ＝b =1

3，上式取得等号， 则t ≤9，可得t 的最大值为9．