板壳力学读书报告

板壳力学读书报告李晗2013级工程力学2班2013301890037

板壳力学，顾名思义，主要内容就是板和壳，就教材而言，前面第十三章到第十八章是板的内容，主要也是薄板，包括薄板的小挠度弯曲问题、薄板的振动问题、薄板的稳定问题以及薄板的大挠度问题，后面从第十九章到第二十二章是壳的内容，主要包括壳体的一般理论，柱壳、旋转壳以及扁壳问题。板壳力学是弹性力学的下册，自然是和弹性力学紧密地联系在一起的，弹性力学中有四条基本假设，同样，在板壳力学中也有几条假设，分别如下：

1)板壳是均匀的、连续的，并且是各向同性的；

2)板壳是线弹性的；

3)板壳的变形是微小的；

4)直法线假设，即认为板壳变形前垂直于中面的法线线段在变形后仍保持为

直线，并垂直于变形后的中面，且其长度不变；

5)法向应力很小，可以忽略；

6)板的中面没有变形。

除了这几条基本假设，弹性力学中的平衡方程、物理方程以及几何方程在板壳力学中也有广泛地应用。

一、板的问题

板的中面为一个平面，板分为薄板和厚板，所谓的薄和厚，主要是看板的厚度δ与中面最小尺寸b 的相对关系，如果板的厚度δ远小于中面的最小尺寸b （例如小于/8b 至/5b ），则称其为薄板，反之则称其为厚板。

1、薄板的小挠度弯曲问题

所谓薄板的小挠度弯曲问题，就是指这样的薄板：板虽然很薄，但是仍具有相当的弯曲刚度，因而板受横向荷载时挠度远小于它的厚度，这种问题就是板的小挠度弯曲问题，如果板的挠度和板的厚度同阶，则称其为大挠度弯曲问题。薄板的小挠度弯曲问题有三个基本假定，分别为（1）垂直于中面方向的正应变z ξ为零；（2）应力分量zx τ、zy τ、z σ远小于其余三个应力分量，因而是次要的，它们所引起的形变可以忽略，但是它们本身却需要维持平衡，所以他们本身不可以忽略，这一点还是很奇妙的；（3）薄板中面内的个点都没有平行于中面的位移，这就是说，中面的任意一部分，虽然弯曲成为弹性曲面的一部分，但是它在xy 平面上的投影形状却不变，从这可以推

导出，一个薄板，即使它受到横向荷载的作用，但是在小挠度弯曲问题的背

景下，它在水平面上的投影依然保持不变。

薄板的小挠度弯曲问题按位移求解，取薄板的挠度w为基本未知量，经

过前面的一系列假设以及弹性力学的三个基本方程，可以推导出薄板的弹性曲面微分方程为

4

D w q

?=（1）

式中D为薄板的弯曲刚度，为

3

3

12(1)

Eδ

μ

-

，一般求解薄板的小挠度弯曲问题时，

现根据边界条件和弹性曲面微分方程求出挠度w，然后可以依次根据变换式求出应力分量。就薄板的边界条件，如果薄板的边界受有扭矩，则可以根据基尔霍夫的理论，将扭矩变换为等效的横向剪力，原来的横向剪力进行合并，这样子就可以大大减少运算的困难度。

在薄板的小挠度弯曲问题中，纳维解法和莱维解法则分别根据薄板是四边简支和两个对边被简支这两种特殊边界来求解的。而对于圆形薄板的问题，用极坐标就更为简便，可以将前面章节中的直角坐标用弹性力学中的变换方法变换成极坐标即可。

前面所讨论的问题均为薄板的厚度不变的这种情形，如果是变厚度薄板，则相对来说处理比较困难，这时必须把弯曲刚度D看作是x和y的函数，这时候弹性曲面微分方程也会有很大的变化，随着薄板的厚度的不同变化规律，微分方程的系数也就取不同的函数形式，这时候就需要不同的求解方法，考察常见的厚度沿某一方向线性变化，这是一种特殊的情况，也是较为简单求解的情形。

2、差分法和变分法求解薄板的小挠度弯曲问题

在求解薄板的小挠度弯曲问题时，需要求解一个四阶的微分方程，计算量很大，因而人们就想到了运用差分法和变分法进行求解，在薄板的中面上织成网格，根据弹性曲面微分方程和边界条件的差分形式，求出挠度在各点的数值，从而求得内里在各结点出的数值，以及边界上各结点出的反力数值。经过证明推导，差分法对于集中荷载的问题、变集度的分布荷载、文克勒地基上的基础板、连续板的问题、变厚度板的问题以及温度应力的问题均有很好的解决方法。同时，弹性力学中的里茨法和伽辽金法在这个地方也有很好的应用。

3、薄板的振动问题

薄板的振动，分为自由振动和强迫振动，根据振动力学的解释，自由振动就是在振动过程中不受外力的作用，只在初始时收到力的作用，而强迫振动则是在振动过程中一直受到强迫力的作用，讨论最多的还是薄板的自由振动。根据教材，薄板自由振动的一般问题是这样提出的：在一定的横向荷载作用下处于平衡位置的薄板，受到干扰力的作用而偏离这一位置，当干扰力被除去之后，在平衡位置附近作微幅振动。谈到振动，自然就少不了频率，频率是振动问题中最关键的一环。依然是从弹性曲面微分方程开始，这时候

所受荷载q 就变成q 和惯性力i q 的和，此时微分方程变成24

2t t w D w q m t ??=-?，为了简便，把薄板的挠度从平衡位置开始算起，建立起薄板的自由振动微分方程为24

20m w w D t ??+=?，对于这个微分方程，假设挠度w 可以展开成三角级数与一个振型函数(,)W x y 的乘积，为了求出各种振型下的振型函数m W 以及相应的频率m ω，我们取(cos sin )(,)w A t B t W x y ωω=+，代入到振动微分方程

中去，消去因子cos sin A t B t ωω+，即可得到42

D W m W ω?=，求出相应的频率。这是求解自由振动频率的一种方法，从前面讨论的问题可知，也可以采用差分法求解自由振动频率。4、薄板的稳定问题

根据材料力学中，当一根杆受压时会失稳，这个现象同样也存在于薄板之中，通过前面的讨论我们得知，当一个薄板受到横向荷载的作用时，会产生弯曲，也就是挠度的产生，同样，当一个薄板受到纵向力时，也会产生纵向弯曲，发生伸缩和切应变，这是每单位宽度的平面应力将合成所谓的中面内里或薄膜内力Tx F 、Ty F 、Txy F 以及Tyx F ，其中Tx F 和Ty F 是拉应力，Txy F 和Tyx F 是平错力或者纵向剪力。

当薄板在边界上受有纵向荷载时，板内将发生一定的中面内力，如果这个中面内力在各个部位、各个方向都不是压力，则此时薄板的平衡状态是稳定的，但是，如果纵向荷载所引起的中面内力在某些部位、某些方向上是压力，则当纵向荷载超过临界荷载是，薄板的平衡状态就是不稳定的，这就是说，在薄板收到横向干扰力的而弯曲以后，即使干扰力被撤去，薄板也无法

目前针对薄板的小挠度弯曲问题有了很深入的研究，对于薄壳也是如此，但是实际中有很多为中厚板，虽然针对中厚板也已经有这样那样的计算方法被提出来了，但是目前还不便应用于工程实际问题。