高二数学数系的扩充与复数的概念

数系的扩充和复数的引入教学设计

《数系的扩充与复数的引入》第1课时教案设计学校：江西省抚州市临川二中姓名：黄志彬联系方式： 学情分析： “数系的扩充与复数的引入”是北师大版选修2-2第五章第一节内容，是在学生已经学习了 x+=没有实数解，但实际需要要求此方程的解，实数以及实数有关的运算，知道方程210 所以有必要引出复数的概念以及复数的有关运算，建立新的数系。 ●教学理念： 本着“以学生为主体，教师为主导”的理念，采用探究式教学方法，按照提出问题，思考、交流进而分析得出结论的方法进行启发式教学。 教学目标： 知识技能： 1．了解数系发展原因，数集的扩展过程； 2．理解复数的有关概念以及符号表示； 过程与方法：经历了数系的扩充过程，体验了复数引入的必要，探究了复数相等的概念，领悟了类比的思想方法． 情感态度与价值观：在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求；在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系． ●教学重难点： 重点：对引入复数的必要性的认识，理解复数的基本概念 难点：虚数单位的引入以及复数概念的生成. ●设计思路： 本节课主要采用“问题发现”与“讨论探究”等方式组织教学，凸显学生的主体地位，让教师成为活动的组织者、引导者、合作者，课堂展示学生的研究过程来激发学生的探索勇气。并灵活运用多媒体辅助教学，增强教学的直观性，激发学生的学习兴趣。 教学过程： 以问题为载体，以学生思考为主线 创设情境→建构知识→知识运用→归纳总结→作业布置→课后探究 1.提出问题，探究新知：以一分四十秒数学史录音视频开始，提出问题：自然数集，整数集，有理数集，实数集的关系，继续提出问题：数集扩充到实数集之后,是不是所有的方

最新高二数学复数知识点总结教学提纲

高二数学复数知识点总结 导读：本文高二数学复数知识点总结，仅供参考，如果觉得很不错，欢迎点评和分享。 【一】 复数的概念： 形如a+bi(a，b∈R)的数叫复数，其中i叫做虚数单位。全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示。 复数的表示： 复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a叫复数的实部，b叫复数的虚部。 复数的几何意义： (1)复平面、实轴、虚轴： 点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这

个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。显然，实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数 (2)复数的几何意义：复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即 这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应;反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应。 这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法。 复数的模： 复数z=a+bi(a、b∈R)在复平面上对应的点Z(a，b)到原点的距离叫复数的模，记为|Z|，即|Z|= 虚数单位i： (1)它的平方等于-1，即i2=-1; (2)实数可以与它进行四则运算，进

行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立 (3)i与-1的关系：i就是-1的一个平方根，即方程x2=-1的一个根，方程x2=-1的另一个根是-i。 (4)i的周期性：i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i，i4n=1。 复数模的性质： 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系： 对于复数a+bi(a、b∈R)，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a;当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数;当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数;当且仅当a=b=0时，z就是实数0。 【二】 两个复数相等的定义： 如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等，即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di

高三数学考点-数系的扩充与复数的引入

5．5 数系的扩充与复数的引入 1．虚数单位为i ，规定：i 2＝________，且实数与它进行四则运算时，原有的加法、乘法的________仍然成立． 2．复数的概念 形如：a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫复数，其中a 叫做复数的______，b 叫做复数的__________． ①当________时，复数a ＋b i 为实数； ②当________时，复数a ＋b i 为虚数； ③当________且________时，复数a ＋b i 为纯虚数． 3．复数相等的充要条件 a ＋ b i ＝ c ＋ d i(a ，b ，c ，d ∈R )? ____________，特别地，a ＋b i ＝0?____________. 4．复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )与复平面上的点Z (a ，b )、平面向量OZ → 都可建立____________的关系(其中O 是坐标原点)． 5．在复平面内，实轴上的点都表示____________；虚轴上的点除____________外都表示____________． 6．复数的模 向量OZ → 的模r 叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模，记作________或||a ＋b i .即||z ＝||a ＋b i ＝r ＝________(r ≥0，r ∈R )． 7．共轭复数 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为__________，复数z 的共轭复数记作________． 8．数系的扩充 数集扩充的过程是：自然数集(N )→____________→____________→____________→复数集(C )．数集的每一次扩充，都使得在原有数集中能实施的运算，在新的数集中仍能进行，并且解决了在原有数集中某种运算不可实施的矛盾． 9．复数的加、减、乘、除的运算法则 设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则 (1)z 1±z 2＝____________________________； (2)z 1·z 2＝____________________________； (3)z 1 z 2＝____________________________ (z 2≠0)． 10．复数加、减法的几何意义 以复数z 1，z 2分别对应的向量OZ 1→，OZ 2→为邻边作平行四边形OZ 1ZZ 2，对角线OZ 表示的向量OZ → 就是____________．z 1－z 2对应的向量是____________． 自查自纠 1．－1 运算律 2．实部 虚部 ①b ＝0 ②b ≠0 ③a ＝0 b ≠0 3．a ＝c 且b ＝d a ＝b ＝0 4．一一对应 5．实数 原点 纯虚数

《复数的概念》教学设计【高中数学人教A版必修2(新课标)】

《复数的概念》教学设计 教材通过三个环节完成了对实数系的扩充过程：(1)提出问题(用什么方法解决方程x2＋1＝0在实数集中无解的问题)，引发学生的认知冲突，激发学生扩充实数系的欲望；(2)回顾从自然数集逐步扩充到实数集的过程和特点(添加新数，满足原来的运算律)；(3)类比、设想扩充实数系的方向及引入新数i所满足的条件(使i2＝－1成立，满足原来的运算律)．由于学生对数系扩充的知识并不熟悉，教学中教师需多作引导． 复数的概念是复数这一章的基础，复数的有关概念都是围绕复数的代数表示形式展开的．虚数单位、实部、虚部的命名，复数相等的概念，以及虚数、纯虚数等概念的理解，教学中可结合具体例子，以促进对复数实质的理解． 课时分配 1课时． 1．了解引进复数的必要性；理解虚数单位i以及i与实数的四则运算规律．理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部、复数相等)．2．通过问题情境，了解扩充数系的必要性，感受数系的扩充过程，体会引入虚数单位i和复数形式的合理性，使学生对数的概念有一个初步的、完整的认识． 3．通过问题情境，体会实际需求与数学内部矛盾在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系． 重点：复数的概念，虚数单位i，复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等等概念． ~ 难点：虚数单位i的引进及复数的概念． 引入新课 请同学们回答以下问题： (1)在自然数集N中，方程x＋4＝0有解吗

(2)在整数集Z中，方程3x－2＝0有解吗 (3)在有理数集Q中，方程x2－2＝0有解吗 ) 活动设计：先让学生独立思考，然后小组交流，最后师生总结． 活动成果：问题(1)在自然数集中，方程x＋4＝0无解，为此引进负数，自然数→整数； 问题(2)在整数集中，方程3x－2＝0无解，为此引进分数，整数→有理数； 问题(3)在有理数集中，方程x2－2＝0无解，为此引进无理数，有理数→实数． 数集的每一次扩充，对数学本身来说，解决了在原有数集中某种运算不能实施的矛盾，如分数解决了在整数集中不能整除的矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾． 提出问题：从自然数集N扩充到实数集R经历了几次扩充每一次扩充的主要原因是什么每一次扩充的共同特征是什么 活动设计：先让学生独立思考，然后小组讨论，师生共同归纳总结． 活动成果：扩充原因：①满足解决实际问题的需要；②满足数学自身完善和发展的需要． $ 扩充特征：①引入新的数；②原数集中的运算规则在新数集中得到保留和扩展，都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律． 设计意图 回顾从自然数集N扩充到实数集R的过程，帮助学生认识数系扩充的主要原因和共同特征． 探究新知 提出问题：方程x2＋1＝0在R上有解吗如何对实数集进行扩充，使方程x2＋1＝0在新的数集中有解 活动设计：小组讨论，类比猜想，设想新数的引进，师生共同完成． 学情预测：学生讨论可能没有统一结果，无法描述． 类比原来不同阶段数系的每一次扩充的特点，在实数集中方程x2＋1＝0无解，需要引进“新数”扩充实数集．让我们设想引入一个新数i，使i满足两个条件：(1)i是方程x2＋1＝0

高二数学复数练习试题doc

一、复数选择题 1．已知复数1z i =+，则2 1z +=（ ） A ．2 B C ．4 D ．5 2．已知复数2z i =-，若i 为虚数单位，则1i z +=（ ） A ． 3155 i + B ． 1355i + C ．113 i + D ． 13 i + 3．若复数z 为纯虚数，且()373z i m i -=+，则实数m 的值为（ ） A ．97 - B ．7 C ． 97 D ．7- 4．已知,a b ∈R ，若2 ()2a b a b i -+->（i 为虚数单位），则a 的取值范围是（ ） A ．2a >或1a <- B ．1a >或2a <- C ．12a -<< D ．21a -<< 5．已知复数z 满足()3 11z i i +=-，则复数z 对应的点在（ ）上 A ．直线12 y x =- B ．直线12y x = C ．直线12x =- D ．直线12 y 6．已知复数5i 5i 2i z =+-，则z =（ ） A B ．C ．D ．7．设2i z i +=，则||z =（ ） A B C ．2 D ．5 8．复数z 的共轭复数记为z ，则下列运算：①z z +；②z z -；③z z ?④z z ，其结果一定是实数的是（ ） A ．①② B ．②④ C ．②③ D ．①③ 9．在复平面内，复数z 对应的点是()1,1-，则1 z z =+（ ） A ．1i -+ B ．1i + C ．1i -- D ．1i - 10．设复数z 满足方程4z z z z ?+?=，其中z 为复数z 的共轭复数，若z 的实部为 ，则z 为（ ） A ．1 B ．2 C ．2 D ．4 11．复数z 对应的向量OZ 与(3,4)a =共线，对应的点在第三象限，且10z =，则z =（ ）

高中数学人教版选修2-2(理科) 第三章数系的扩充与复数的引入 3.1数系的扩充和复数的概念(包括3

高中数学人教版选修2-2（理科）第三章数系的扩充与复数的引入 3.1数系的扩充和复数的概念（包括3.1.1数系的扩充和复数的概念，3.1.2复数的几何意义）同步练 习（II）卷 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、选择题 (共8题；共16分) 1. （2分）设i是虚数单位，复数的虚部为（） A . -i B . -1 C . i D . 1 2. （2分）若，其中、，是虚数单位，则 A . ０ B . ２ C . D . ５ 3. （2分）已知tan（α+β）= ，tan（β﹣）= ，则的值为（） A . B . C . D .

4. （2分） (2018高二上·嘉兴期中) 是边长为2的等边三角形，是边上的动点， 于，则的最小值是（） A . 1 B . C . D . 5. （2分）已知复数，则z的虚部为（） A . 1 B . －1 C . i D . －i 6. （2分）在复平面上，点对应的复数是，线段的中点对应的复数是，则点对应的复数是（） A . B . C . D . 7. （2分）已知复数的实部为1，且，则复数的虚部是（） A . B .

C . D . 8. （2分）(2016·商洛模拟) 在复平面内，复数对应的点的坐标为（） A . （0，﹣1） B . （0，1） C . （，﹣） D . （，） 二、填空题 (共3题；共3分) 9. （1分） (2019高三上·大庆期中) 已知，i是虚数单位，若（1 i）（1 bi）=a，则的值为________. 10. （1分） (2019高二下·邗江月考) 设复数满足（为虚数单位），则复数在复平面内所表示的点位于第________象限. 11. （1分）已知=1+ni，其中n∈R，i是虚数单位，则n=________ 三、解答题 (共3题；共20分) 12. （10分） (2019高二下·舒兰月考) 已知复数，复数，其中是虚数单位，， 为实数． （1）若，为纯虚数，求； （2）若，求，的值． 13. （5分） (2018高二下·聊城期中) 设复数的共轭复数为，且，，复数对应复平面的向量，求的值和的取值范围.

最新数系的扩充和复数的概念教案

§3.1.1数系的扩充和复数的概念 教案 李 志 文 【教学目标】 知识与技能：1.了解数系的扩充过程；2.理解复数的基本概念 过程与方法：1.通过回顾数系扩充的历史，让学生体会数系扩充的一般性方法. 2.类比前几次数系的扩充，让学生了解数系扩充后，实数运算律均可应用于 新数系中，在此基础上，理解复数的基本概念. 情感态度与价值观: 1、虚数单位的引入，产生复数集，让学生体会在这个过程中蕴含的创 新精神和实践能力，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系; 2、初步学会运用矛盾转化，分与合，实与虚等辩证唯物主义观点看待和 处理问题。 【重点难点】 重点: 理解虚数单位i 的引进的必要性及复数的有关概念． 难点：复数的有关概念及应用． 【学法指导】 1、回顾以前学习数的范围扩充过程，体会数系扩充的必要性及现实意义； 2、思考数系扩充后需考虑的因素，譬如运算法则、运算律、符号表示等问题，为本节学习奠定方法基础. 【知识链接】 前两个学段学习的数系的扩充： 但是，数集扩到实数集R 以后，像x 2=－1这样的方程还是无解的，因为在实数范围内，没有一个实数的平方等于负数．联系从自然数到实数系的扩充过程，你能设想一种方法，使这个方程有解吗？ Q N Z R 人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了1，2，3，4等数以及表示“没有”的数0.自然数 的全体构成自然数集N 为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负整，将数系扩充至整数集Z. 为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题， 人们引进了分数，将数系扩充至有理数集Q. 用方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有 理数表示，为了解决这个矛盾，人们又引进了无理数.有 理数集与无理数集合并在一起，构成实数集R . N x 2=－1，x =?

高二数学 4.3数系的扩充(第一课时)

高二数学 4.3数系的扩充(第一课时) 【精品】 高二数学 4、3数系的扩充(第一课时)从容说课复数系的建立经历了一个漫长的过程、事实上,在德国数学家高斯首次引进“复数”这一名词,并把这类新数与坐标平面(他称之为复平面,后人也称之为高斯平面)内的点一一对应起来之前,欧洲的数学家们已对“虚数”及其几何意义进行了将近三百年的研究、“虚数”产生于解方程需要的实际背景应向学生交待,这是矛盾产生的结果,是数学内部发展的自身需要,也是其他科学发展的需要,揭示了数形结合思想在推动这一新的研究对象发生、形成和发展中所起的重要作用;同时要告诉学生,将一个数集进行扩张,还要解决原有的运算律是否保持这样一个基本问题、通过前几节的学习,学生已经知道在复数集内如何进行四则运算,原有的加、乘运算律仍然成立,并知道开方运算在复数集内总可以实施、作为复数知识的重要应用,应引导学生运用所学知识(共轭复数、加减法运算)证明“虚根成对定理”和一元二次方程的根与原数关系的推广真正的“韦达定理”,并向学生指明复数广阔的应用领域和发展前景,着重培养学生热爱科学、追求科学、献身科学的精神、第六课时课题 4、3 数系的扩充教学目标 一、教学知识点

1、复数集与实数集的关系,CRQZNN*、 2、实系数一元二次方程的根的问题及根与系数的关系、 二、能力训练要求 1、了解数系的建立发展的过程,学会尊重科学、 2、会运用求根公式及根与系数的关系解决有关问题、 三、德育渗透目标 1、培养学生的探索与创新精神,学会尊重他人的辛勤劳动、 2、培养学生的科学文化素养,提高自身的素质(包括数学素质),懂得数学与文化的关系、教学重点在复数集中解一元二次方程、教学难点复系数一元二次方程根的探索、教学方法探索建构法:在学生已经掌握复数的运算法则和实数一元二次方程的求解的基础上,逐步让学生主动建构出各数集之间的关系,探索出实系数一元二次方程在复数集中的求解公式、韦达定理,以及复系数一元二次方程的求解法、教学过程Ⅰ、复习导入［师］我们已经学习了哪几类数?［生］正整数、零、负整数、分数、无理数、虚数等等、［师］那么这些数集之间有什么关系呢?这些数又是在什么背景下产生的呢?这一节课我们来研究:数系的扩充(板书课题)、Ⅱ、讲授新课［师］数的概念是从实践中产生和发展起来的,早在人类社会初期,人们在狩猎、采集果实等劳动中由于计数的需要,就产生了

上海高中数学-复数练习

复数综合练习题 一、 选择题 1、若22(1)(32)x x x i -+++是纯虚数，则实数x 的值是（ ） A 1 B 1- C 1± D 以上都不对 2、221(1)(4),.z m m m m i m R =++++-∈23 2.z i =-则1m =是12z z =的（ ）条件 A 充分不必要 B 必要不充分 C 充要 D 既不充分又不必要 3、若12,z z C ∈，则1212z z z z ?+?是（ ） A 纯虚数 B 实数 C 虚数 D 无法确定 4、(),()n n f n i i n N -+=+∈的值域中，元素的个数是（ ） A 2 B 3 C 4 D 无数个 5、3()m i R +∈，则实数m 的值为（ ） A ±±6、若x C ∈，则方程||13x i x =+-的解是（ ） A 12+ B 124,1x x ==- C 43i -+ D 12- 7、|34|2z i ++≤，则||z 的最大值为（ ） A 3 B 7 C 9 D 5 8、已知 z =则501001z z ++的值为（ ） A i B 1 C 2i + D 3 9、已知11x x +=，则199619961x x +的值为（ ） A 1- B 1 C i - D i 10、已知方程|2||2|z z a --+=表示等轴双曲线，则实数a 的值为（ ） A ± B 11、复数集内方程2 5||60z z ++=的解的个数是（ ）

A 2 B 4 C 6 D 8 12、复数1cos sin ,(2)z i ααπαπ=++<<的模是（ ） A 2cos 2α B 2cos 2α - C 2sin 2α D 2tan 2 α- 二、填空题 13、34i +的平方根是 、 。 14、在复平面内，若复数z 满足|1|||z z i +=-，则z 所对应的点的集合构成的图形是 。 15、设12ω=-，则集合A={|()k k x x k Z ωω-=+∈}中元素的个数是 。 16、已知复数122,13z i z i =-=-，则复数 215 z i z + = 。 三、解答题 （写出必要的运算步骤） 17 在复平面上，设点A 、B 、C ，对应的复数分别为,1,42i i +。过A 、B 、C 做平行四边形ABCD ，求此平行四边形的对角线BD 的长。 18、设,a b 为共轭复数，且2 ()3412a b abi i +-=- ，求,a b 的值。 19、已知复数z 满足|4||4|,z z i -=-且141 z z z -+ -为实数，求z 。 20、已知,z ω为复数，(13)i z +?为纯虚数，2z i ω=+，且||ω= 求复数ω。 21、求同时满足下列两个条件的所有复数z ； （1）10z R z +∈，且1016z z <+≤；（2）z 的实部与虚部都是整数。 22、=x ＋yi (x ，y ∈R )，且 222log 8(1log )x y i x y i ++-=-，求z ． 23、于x 的的方程是0)2()(tan 2 =+-+-i x i x θ；若方程有实数根， 求锐角θ和实数根；

高三数学 数系的扩充单元测试 文 人教A版

新人教A 版数学高三单元测试27【数系的扩充】 本卷共100分，考试时间90分钟 一、选择题 (每小题4分，共40分) 1. 已知复数z 满足(1)z +=，则z 的共同复数z 的虚部是（ ） A ． B ． C ．D 2. 复数 21(1)1i i +-+的虚部是 （ ） A ．52i - B ．52- C ．32i - D ．32 - 3. 若2i -1i 21+=a +bi （a,b ∈R,i 是虚数单位），则a －b 等于 （ ） A ．－7 B ．－1 C ．－51 D ．－5 7 4. 若复数i m m m m z )65()43(2 2--+--=为纯虚数，则实数m 的值（ ） A . 5 B .6 C. 1- D.4 5. 复数1i i -的共轭复数为 （ ） A ．1122i -+ B ．1122i + C ．1122i -- D ．1122i - 6. 1122 z z 2,3 4.z m i z i m =+=-复数若为实数，则实数的值为 A ．8 3 B ．32 C ．83- D ．32- 7. 定义运算 ,,a b ad bc c d =-，则符合条件,1201,1z i i i +=-+的复数Z 的共轭复数Z 对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 8. 在复平面内，复数 21i + 对应的点与原点的距离是（ ） A. 1 C.2 D.

9. 设i z +=1（i 是虚数单位），则在复平面内，22z z +对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 10. 若122 ω=-+,则等于21ωω++=( ) A ．1 B ．0 C ．3+ D ．1- 二、填空题 (共4小题，每小题4分) 11. 已知复数(2)(z i i i =-为虚数单位)，则z = . 12. 若复数z 满足2i z i i -+= ，则复数z 的模为 。 13. 复数i i z +=1在复平面上对应点的坐标为 14. 若z C ∈且221z i +-=，则12z i --的最大值是_______. 三、解答题 (共4小题，共44分，写出必要的解题步骤) 15. (本小题满分10分)已知复数i m m m z )4()43(2-+--=， 求实数m 的取值范围： （1）z 为实数；（2）z 为纯虚数；（3）z 在第三象限. 16. （本题满分10分） 已知复数i z += 31，||2z =2，221z z ?是虚部为正数的纯虚数。 （1）求221z z ?的模；（2）求复数2z 。 17. （本小题满分12分）已知复数i z 311+=，ααsin cos 32i z += ，求复数21z z z ?=实部的最值. 18. （本小题满分12分） 设1cos z x i =+，21sin z i x =+（x 为实数且[0,],2x i π∈是虚 数单位），求函数212()f x z z =-的值域。

(完整word版)高中数学-复数专题

复数专题 一、选择题 1 ．（2012年高考（天津理）） i 是虚数单位,复数7= 3i z i -+ （ ） A ．2i + B ．2i - C ．2i -+ D ．2i -- 2 ．（2012年高考（新课标理））下面是关于复数2 1z i = -+的四 个命题:其中的真命 题为 1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1- （ ） A ．23,p p B ．12,p p C ．,p p 24 D ．,p p 34 3 ．（2012年高考（浙江理））已知i 是虚数单位,则 3+i 1i -= （ ） A ．1-2i B ．2-i C ．2+i D ．1+2i 4 ．（2012年高考（四川理））复数2(1)2i i -= （ ） A ．1 B ．1- C ． i D ．i - 5 ．（2012年高考（上海理））若i 21+是关于x 的实系数方程02=++c bx x 的一个复数根,则 （ ） A ．3,2==c b . B ．3,2=-=c b . C ．1,2-=-=c b . D ．1,2-==c b . 6 ．（2012年高考（陕西理））设,a b R ∈, 是虚数单位,则“0ab =”是“复数b a i + 为纯虚数”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 7 ．（2012年高考（山东理））若复数z 满足(2)117z i i -=+( i 为虚数单位),则z 为 （ ） A ．35i + B ．35i - C ．35i -+ D ．35i -- 8 ．（2012年高考（辽宁理））复数 22i i -=+ （ ） A ．34i - B ．34i + C ．41i - D ．3 1i +

高三数学第一轮复习专题---数系的扩充与复数的引入

第五十三讲 数系的扩充与复数的引入 班级________ 姓名________ 考号________ 日期________ 得分________ 一?选择题:(本大题共6小题,每小题6分,共36分,将正确答案的代号填在题后的括号内.) 1.(2010·山东)已知2a i i +=b+i(a,b∈R),其中i 为虚数单位,则a+b=( ) A.-1 B.1 C.2 D.3 解析:由2a i i +=b+i 得a+2i=bi-1,所以a=-1,b=2,所以a+b=1,故选B. 答案:B 2.(2010·江西)已知(x+i)(1-i) =y,则实数x,y 分别为( ) A.x=-1,y=1 B.x=-1,y=2 C.x=1,y=1 D.x=1,y=2 解析:由(x+i)(1-i)=y 得(x+1)+(1-x)i=y, 又因x,y 为实数,所以有1 ,10y x x =+??-=? 解得1 .2x y =??=? 答案:D 3.(2010·新课标全国)已知复数 z 是z 的共轭复数,则z·z =( ) 1 1 ..42.1.2 A B C D 解析:∵z====== ∴z =∴z?z =|z|2=1 4,

故选A. 答案:A 4.(2010·广东)若复数z 1=1+i,z 2=3-i,则z 1·z 2=( ) A.4+2i B.2+i C.2+2i D.3+i 解析:z 1?z 2=(1+i)(3-i)=3-i+3i-i 2 =4+2i. 答案:A 5.(2010·浙江)对任意复数z=x+yi(x,y∈R),i 为虚数单位,则下列结论正确的是 ( ) A.|z-z |=2y B.z 2=x 2+y 2 C.|z-z |≥2x D.|z|≤|x|+|y| 解析:|z|= =|x|+|y|,D 正确,易知A ?B ?C 错误. 答案:D 6.(2010·福建)对于复数a,b,c,d,若集合S={a,b,c,d}具有性质“对任意x,y∈S,必 有xy∈S”,则当2211a b c b =??=??=? 时,b+c+d 等于( ) A.1 B.-1 C.0 D.i 解析:根据集合元素的唯一性,知b=-1,由c 2=-1得c=±i,因对任意x,y∈S,必有xy∈S,所以当c=i 时,d=-i;当c=-i 时,d=i,所以b+c+d=-1. 答案:B 二?填空题:(本大题共4小题,每小题6分,共24分,把正确答案填在题后的横线上.) 7.(2010·北京)在复平面内,复数21i i -对应的点的坐标为________. 解析:22(1)1(1)(1) i i i i i i +=--+ =-1+i,故其对应的点的坐标是(-1,1). 答案:(-1,1)

数系的扩充与复数的引入知识点总结

数系的扩充与复数的引入知识点总结 一．数系的扩充和复数的概念 １．复数的概念 (1) 复数:形如(,)a bi a R b R +∈∈的数叫做复数，a 和b 分别叫它的实部和虚部. (2) 分类:复数(,)a bi a R b R +∈∈中,当0b =,就是实数; 0b ≠,叫做虚数;当0,0a b =≠时,叫做纯虚数. (3) 复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等. 即：如果：,,,a b c d R ∈，那么：=+=+b=d a c a bi c di ????，特别地: . (4) 共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数. 即：=+=-(,)z a bi z a bi a b R ∈的共轭复数是 ２．复数的几何意义 （１）数（）可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的 平面叫做复平面，也叫高斯平面， 轴叫做实轴，轴叫做虚轴. 实轴上的点都表示实数.除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数. 复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数 复平面内的点每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应，这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法. （２）复数的几何意义 坐标表示:在复平面内以点表示复数（）； 向量表示:以原点 为起点，点为终点的向量表示复数. 向量的长度叫做复数的模，记作 .即. ３．复数的运算 （１）复数的加，减，乘，除按以下法则进行 设12,(,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈则 12()()z z a c b d i ±=±+±

沪教版(上海)数学高二下册-13.3 复数的加减法教案

复数的加减法 一、教学目标： 1、 掌握复数的加法以及其运算律，理解复数加法与向量加法的关系； 2、 掌握复数的减法，理解复数减法与向量减法的关系； 3、 会利用复数模的概念，计算平面上两点之间的距离。 二、教学过程： 复习：复数的代数表示以及与复数对应的点和向量 引入：同过实数加、减的运算结果仍然在实数域内，那么复数的加、减法运算呢？（引出今天上课的主要内容复数的加减法） 板书：复数的加、减法； 记：)R d 、c 、b 、a (di c z ,bi a z 21∈+=+= 一、 复数的加法： 规定)R d 、c 、b 、a (i ）d b （）c a （z z 21∈+++=+ 例1、 计算： )i 27()i 41)(1(-++ )i 41()i 27)(2(++- i 5)]i 34()i 23)[(3(+++-+- ]i 5)i 34[()i 23)(4(+++-+- 复数运算律： 交换律：1221z z z z +=+ 结合律：)z z (z z )z z (321321++=++ （学生自己给出证明） 例2、 在复平面上，分别标出：i 28、i 2-7、i 41++对应的向量，观察，有何发现？ 复数的加法，可以用对应向量的加法来解释。 二、 复数的减法： （复数的减法可以看成是复数减法的逆运算） )R d 、c 、b 、a (i ）d b （）c a （z z 21∈-+-=-

例3、（1）计算：)i 27()i 41(--+ （2）在复平面中，标出)i 27(、)i 41(-+以及（1）中运算结果对应的向量，观察，有何发现？ 复数的减法运算，也可以用其对应的向量减法来解释。 小结： （1） 复数的加、减法运算，就是实部与虚部分别对应相加减。 （2） 复数的加、减法运算，都可以用其对应的向量加、减法来解释。 三、 复平面上两点之间的距离 令复平面上)R b 、a (bi a z 1∈+=对应的点为 ）b ,a （Z 1，)R d 、c (di c z 2∈+=对应的点为）d ,c （Z 2 2 221)d b ()c a (|z z |-+-=- （1） |z z |21-的值可以理解为点1Z 和2Z 的距离； （2）|z z |21-的值也可以理解为对应向量12Z Z 的模。 例4、已知：i 32z 1+=，i 1z 2-=，求：|z z |21- 例5、已知复数z 满足1|z |=，求复数2z -的模的取值范围。 分析： 方法一：代数法，找出复数z 的实部、虚部，并转化为函数的值域问题 方法二：利用复数模的几何意义解题。

课后限时集训31 数系的扩充与复数的引入

数系的扩充与复数的引入 建议用时：45分钟 一、选择题 1．已知复数z 1＝6－8i ，z 2＝－i ，则z 1 z 2 等于( ) A ．－8－6i B ．－8＋6i C ．8＋6i D ．8－6i C [∵z 1＝6－8i ，z 2＝－i ， ∴z 1z 2＝6－8i －i ＝(6－8i )i －i 2＝8＋6i.] 2．设(1－i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则x ＋y i 在复平面内所对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 D [因为x ，y 是实数，所以(1－i)x ＝x －x i ＝1＋y i ，所以????? x ＝1，－x ＝y ，解得 ????? x ＝1， y ＝－1，所以x ＋y i 在复平面内所对应的点为(1，－1)，位于第四象限．故选D.] 3．(2019·福州模拟)若复数z ＝a 1＋i ＋1为纯虚数，则实数a ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2

A [因为复数z ＝a 1＋i ＋1＝a (1－i )(1＋i )(1－i )＋1＝a ＋22－a 2i ，∵z 为纯虚数， ∴??? ?? a ＋22＝0， －a 2≠0， ∴a ＝－2.] 4．已知(1－i )2 z ＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z 等于( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋i D ．－1－i D [由题意，得z ＝(1－i )2 1＋i ＝－2i 1＋i ＝－1－i ，故选D.] 5．(2019·石家庄模拟)若复数z 满足z 1－i ＝i ，其中i 为虚数单位，则共轭复 数z ＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1－i D ．－1＋i B [由题意，得z ＝i(1－i)＝1＋i ，所以z ＝1－i ，故选B.] 6．已知? ? ???1＋2i 2＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝( ) A ．－7 B ．7 C ．－4 D ．4 A [因为? ? ???1＋2i 2＝1＋4i ＋4i 2＝－3－4i ， 所以－3－4i ＝a ＋b i ，则a ＝－3，b ＝－4， 所以a ＋b ＝－7，故选A.] 7．设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于实轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1 z 2 ＝( ) A ．1＋i B.35＋45i

人教新课标版数学高二选修1-2检测 数系的扩充和复数的概念

一、选择题 1．若复数2－b i(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则b的值为() A．－2 B.2 3 C．－2 3D．2 【解析】2－b i的实部为2，虚部为－b，由题意知2＝－(－b)，∴b＝2. 【答案】 D 2．i是虚数单位，1＋i3等于() A．i B．－i C．1＋i D．1－i 【解析】由i是虚数单位可知：i2＝－1，所以1＋i3＝1＋i2×i＝1－i，故选D. 【答案】 D 3．(2012·陕西高考)设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋b i 为纯虚数”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 【解析】ab＝0?a＝0或b＝0，当a≠0，b＝0时，a＋b i 为实数，当a＋b i 为纯虚数时?a＝0，b≠0?ab＝0，故“ab＝0”是“复数a＋b i 为纯虚数”的必要不充分条件． 【答案】 B 4．若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为() A．－1 B．0 C．1 D．－1或1

【解析】 由题意可知，当????? x 2－1＝0，x －1≠0，即x ＝－1时，复数z 是纯虚数． 【答案】 A 5．以3i －2的虚部为实部，以3i 2＋2i 的实部为虚部的复数是( ) A ．3－3i B ．3＋i C ．－2＋2i D ．2＋2i 【解析】 3i －2的虚部为3,3i 2＋2i ＝－3＋2i 的实部为－3，则所求复数为3－3i. 【答案】 A 二、填空题 6．给出下列复数：2＋3，0.618，i 2,5i ＋4，2i ，其中为实数的是________． 【解析】 2＋3，0.618，i 2为实数，5i ＋4，2i 为虚数． 【答案】 2＋3，0.618，i 2 7．已知x －y ＋2x i ＝2i ，则x ＝________；y ＝________. 【解析】 根据复数相等的充要条件得 ????? x －y ＝0，2x ＝2.解得????? x ＝1，y ＝1. 【答案】 1 1 8．给出下列几个命题： ①若x 是实数，则x 可能不是复数； ②若z 是虚数，则z 不是实数； ③一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零； ④－1没有平方根； ⑤两个虚数不能比较大小． 则其中正确命题的个数为________． 【解析】 因实数是复数，故①错；②正确；因复数为纯虚数要求实部为零，虚部不为零，故③错；因－1的平方根为±i ，故④错；⑤正确．故答案为2.

数系的扩充与复数的引入知识点总结

数系的扩充与复数的引入知识点总结 一。数系的扩充和复数的概念 1.复数的概念 (1) 复数:形如(,)a bi a R b R +∈∈的数叫做复数，a 和b 分别叫它的实部和虚部. (2) 分类:复数(,)a bi a R b R +∈∈中,当0b =，就是实数; 0b ≠，叫做虚数;当0,0a b =≠时，叫做纯虚数. (3) 复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等． 即:如果：,,,a b c d R ∈，那么：=+=+b=d a c a bi c di ????，特别地: 。 (4) 共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数。 即：=+=-(,)z a bi z a bi a b R ∈的共轭复数是 ２。复数的几何意义 （1)数（)可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平 面叫做复平面,也叫高斯平面， 轴叫做实轴,轴叫做虚轴. 实轴上的点都表示实数．除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数. 复数集Ｃ和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数 复平面内的点每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来,复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应,这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法. (２)复数的几何意义 坐标表示：在复平面内以点表示复数（)； 向量表示：以原点为起点，点为终点的向量表示复数. 向量的长度叫做复数的模，记作．即 . ３．复数的运算 (1）复数的加，减,乘，除按以下法则进行 设12,(,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈则 12()()z z a c b d i ±=±+±

沪教版(上海)高二数学第二学期-13.2 复数的坐标表示-教案

复数的坐标表示 【教学目标】 掌握复平面的概念、复数集与复平面上的点的集合之间的一一对应关系，进一步运用类比思想。 【教学重难点】 （1）重点：复平面上的点集和复数集之间的一一对应关系。 （2）难点：复数与复平面的向量的一一对应关系的理解。 【教学过程】 （一）复习引入 复习直角坐标系及一对有序的实数（a，b）与直角坐标平面内的点z（a，b）间的一一对应关系。 讨论复数z＝a+bi与有序数对（a，b）的关系及直角坐标平面内的点z（a，b）之间的关系，从而引入复平面及其相关概念。 说明：通过复习直角坐标系类比学习复平面，学生可以类比学习知识，这是数学中很常用的思想方法。而且通过类比思想得到的知识，即便是新知，但也可以和以前的知识联系起来。这里可以设计这样的问题“已知有序实数对（a，b）与直角坐标平面内的点z（a，b）一一对应，那么复数z＝a+bi与有序数对（a，b）是否也是一一对应呢？”学生很容易理解复数z＝a+bi和平面上的点一一对应，从而引入复平面及相关概念，这样平面和数的理解就变成简单的回忆。 （二）学习新课 1．建立复平面，并规定实轴，虚轴，讨论实数，虚数，纯虚数与复平面上的点的对应关系，特别要指出虚轴上原点所表示的数不是纯虚数，而是实数零。 2．概念辨析： 在复平面内，对应于实数的点都在实轴上。 在复平面内，对应于虚数的点都在虚轴上。 在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数。 在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数。 说明：最后一个命题是错误的，其他命题都是正确的，用以考察学生对前面复平面概念的

理解。 3．例题分析 已知集合A ＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，设复数z ＝a+bi ，a ，b 可以取集合A 中的任意一个整数，问 （1）复数z ＝a+bi 共有多少个？ （2）复数z ＝a+bi 中有多少个实数？ （3）复数z ＝a+bi 中有多少个纯虚数？ 课堂小练习：课本。 在复平面内，若所对应的点在第二象限，求实数m 的取值范围。答案：(3，4) 4．复数的向量表示。 研究复数z ＝a+bi ，复平面上对应点Z （a ，b ），向量三者之间的关系，这里主要研究向量和前两者的关系。 在复平面内以原点为起点，点Z （a ，b ）为终点的向量，由点Z （a ，b ）唯一确定。因此复平面内的点集与复数集C 之间存在一一对应关系，而复平面内的点集与以原点为起点的向量一一对应，常把复数z=a+bi 用点Z （a ，b ）或向量表示，并规定相等向量表示同一复数。 5．例题分析 例2．在复平面上做出表示下列复数的向量 z1＝2+2i ，z2＝-3-2i ，z3＝2i ，z4＝-4，z5＝2-2i （三）巩固练习。 （四）课堂小结 复平面的基本概念。 复数向量的表示。 【作业布置】 已知：复数在复平面上对应的点在第二象限，求实数m 的取值范围。答案：（-0.5，0） i i m i m z 6)4()1(2-+-+=OZ OZ OZ i m m m m m m m z 62 232222-+++---=