大学物理作业解答

物理作业解答

1-5 质点沿x 轴运动，其加速度和位置的关系为 a ＝2+62x ，a 的单位为2s m -?，x 的单位为 m. 质点在x ＝0处，速度为101s m -?,试求质点在任何坐标处的速度值． 解： ∵ x

v v

t

x x v t

v a d d d d d d d d ===

分离变量： x x adx d )62(d 2+==υυ 两边积分得

c x x v

++=3

2

2221

由题知，0=x 时，100=v ,∴50=c

∴ 13s m 252-?++=x x v

1-6 已知一质点作直线运动，其加速度为 a ＝4+3t 2s m -?，开始运动时，x ＝5 m ， v =0，求该质点在t ＝10s 时的速度和位置． 解：∵ t t

v a 34d d +==

分离变量，得 t t v d )34(d += 积分，得

1

2

234c t t v ++

=

由题知，0=t ,00=v ,∴01=c 故 2

2

34t t v += 又因为 2

234d d t t t

x v +

==

分离变量， t t t x d )2

34(d 2

+

=

积分得 23

2

2

12c t t x ++=

由题知 0=t ,50=x ,∴52=c 故 52

123

2

++=t t x

所以s 10=t 时

m

705

510

2

110

2s

m 190

10231043

2

101

2

10=+?+

?=?=?+?=-x v

1-11 飞轮半径为0.4 m ，自静止启动，其角加速度为 β= 0.2 rad ·2s -，求t ＝2s 时边

缘上各点的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度．

解：当s 2=t 时，4.022.0=?==t βω 1s rad -? 则16.04.04.0=?==ωR v 1s m -?

064.0)

4.0(4.02

2

=?==ω

R a n 2

s

m -?

08.02.04.0=?==βτR a 2

s

m -?

2

2

22

2s m 102.0)

08.0()064.0(-?=+=

+=

τa a a n

1-12 如题1-12图，物体A 以相对B 的速度v ＝gy 2沿斜面滑动，y 为纵坐标，开始时

A 在斜面顶端高为h 处，

B 物体以u 匀速向右运动，求A 物滑到地面时的速度．

解：当滑至斜面底时，h y =，则gh v A 2=',A 物运动过程中又受到B 的牵连运动影响，

因此，A 对地的速度为

j

gh i gh u v u v A

A )sin 2()cos 2('αα++

=+=地

题1-12图

2-9 一质量为m 的质点在xOy 平面上运动，其位置矢量为

j t b i t a r

ωωsin cos +=

求质点的动量及t ＝0 到ω

π

2=t 时间内质点所受的合力的冲量和质点动量的改变量．

解: 质点的动量为

)cos sin (j t b i t a m v m p

ωωω+-==

将0=t 和ω

π

2=

t 分别代入上式，得

j b m p

ω=1,i a m p ω-=2 ,

则动量的增量亦即质点所受外力的冲量为

)(12j b i a m p p p I

+-=-=?=ω

2-12 设N 67j i F -=合．(1) 当一质点从原点运动到m 1643k j i r

++-=时，求F 所作

的功．(2)如果质点到r 处时需0.6s ，试求平均功率．(3)如果质点的质量为1kg ，试求动能的变化．

解: (1)由题知，合F

为恒力，

∴ )1643()67(k j i j i r F A

++-?-=?=合

J 452421-=--= (2) w 756

.045==?=

t

A P

(3)由动能定理，J 45-==?A E k

2-21 一质量为m 的质点位于(11,y x )处，速度为j v i v v y x

+=, 质点受到一个沿x 负方向的力f 的作用，求相对于坐标原点的角动量以及作用于质点上的力的力矩． 解: 由题知，质点的位矢为

j y i x r

11+=

作用在质点上的力为

F f i =-

所以，质点对原点的角动量为

v m r L ?=0

)()(11j v i v m i y i x y x +?+=

k mv y mv

x x y

)(11-=

作用在质点上的力的力矩为

0111()()M r F x i y j fi y fk =?=+?-=

2-27 计算题2-27图所示系统中物体的加速度．设滑轮为质量均匀分布的圆柱体，其质量为

M ，半径为r ，在绳与轮缘的摩擦力作用下旋转，忽略桌面与物体间的摩擦，设1m ＝50

kg ，2m ＝200 kg,M ＝15 kg, r ＝0.1 m

解: 分别以1m ,2m 滑轮为研究对象，受力图如图(b)所示．对1m ,2m 运用牛顿定律，有

a m T g m 222=- ① a m T 11= ②

对滑轮运用转动定律，有

β)2

1(

2

12Mr r T r T =- ③

又， βr a = ④ 联立以上4个方程，得

2

212s

m 6

.721520058.92002-?=+

+?=

+

+=

M m m g m a

题2-27(a)图 题2-27(b)图

题2-28图

2-28 如题2-28图所示，一匀质细杆质量为m ，长为l ，可绕过一端O 的水平轴自由转动，杆于水平位置由静止开始摆下．求： (1)初始时刻的角加速度； (2)杆转过θ角时的角速度. 解: (1)由转动定律，有

β)3

1(22

ml l

mg

= ∴ l g 23=β

(2)由机械能守恒定律，有

2

2

)3

1(21sin 2

ωθml l mg

=

∴ l

g θ

ωsin 3=

2-32 弹簧、定滑轮和物体的连接如题2-32图所示，弹簧的劲度系数为2.0 N ·m -1

；定滑轮的

转动惯量是0.5kg ·m 2

，半径为0.30m ，问当6.0 kg 质量的物体落下0.40m 时，它的速率为多大? 假设开始时物体静止而弹簧无伸长．

解: 以重物、滑轮、弹簧、地球为一系统，重物下落的过程中，机械能守恒，以最低点为重力势能零点，弹簧原长为弹性势能零点，则有

2

2

2

2

12

1

2

1kh I mv

mgh +

+

=

ω

又 R v /=ω

故有 I

mR

k

kh mgh v +-=

2

2

2

)2(

1

2

2

2

s

m 0

.25.03.00.63

.0)4.00.24.08.90.62(-?=+???-???=

题2-32图

4-4 质量为kg 10103

-?的小球与轻弹簧组成的系统，按20.1cos(8)(S I)3

x t ππ=+

的规

律作谐振动，求：

(1)振动的周期、振幅和初位相及速度与加速度的最大值；

(2)最大的回复力、振动能量、平均动能和平均势能，在哪些位置上动能与势能相等? (3)s 52=t 与s 11=t 两个时刻的位相差；

解：(1)设谐振动的标准方程为)cos(0φω+=t A x ，则知：

3/2,s 4

12,8,m 1.00πφω

π

πω===

∴==T A

又 πω8.0==A v m 1s m -? 51.2=1

s m -?

2.632

==A a m ω2s m -?

(2) 0.63N m m F ma ==

J 1016.32

12

2

-?==m mv E

J 1058.12

12

-?===E E E

k p

当p k E E =时，有p E E 2=， 即

)2

1(

2

1212

2

kA kx

?=

∴ m 20

22

2±

=±

=A x

(3) ππωφ32)15(8)(12=-=-=?t t

4-5 一个沿x 轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为A ，周期为T ，其振动方程用余弦函数表示．如果0=t 时质点的状态分别是：

(1)A x -=0；

(2)过平衡位置向正向运动； (3)过2

A x =

处向负向运动； (4)过2

A x -=处向正向运动．

试求出相应的初位相，并写出振动方程． 解：因为 ???-==0

00

0sin cos φωφA v A x

将以上初值条件代入上式，使两式同时成立之值即为该条件下的初位相．故有

)2cos(1ππ

πφ+==t T

A x

)2

32cos(2

32πππφ+==

t T A x

)32cos(33π

ππ

φ+==t T

A x

)4

52cos(

4

54πππ

φ+

==

t T

A x

4-6 一质量为kg 10

103

-?的物体作谐振动，振幅为cm 24，周期为s 0.4，当0=t 时位移

为cm 24+．求：

(1)s 5.0=t 时，物体所在的位置及此时所受力的大小和方向； (2)由起始位置运动到cm 12=x 处所需的最短时间； (3)在cm 12=x 处物体的总能量．

解：由题已知 s 0.4,m 10242=?=-T A ∴ 1

s

rad 5.02-?==ππωT

又，0=t 时，0,00=∴+=φA x 故振动方程为

m )5.0cos(10

242

t x π-?=

(1)将s 5.0=t 代入得

0.17m m )5.0cos(10

242

5.0=?=-t x π

N

10

2.417.0)2

(

10

103

23

2

--?-=???-=-==πωx m ma F 方向指向坐标原点，即沿x 轴负向． (2)由题知，0=t 时，00=φ，

t t =时 3

,0,2

0π

φ=

<+

=t v A x 故且

∴ s 3

2

2/

3=

=

?=

ππωφ

t

(3)由于谐振动中能量守恒，故在任一位置处或任一时刻的系统得总能量均为

J

101.7)24.0()2

(

10

102

12

1214

2

23

2

22

--?=???=

=

=πωA

m kA E

4-8 图为两个谐振动的t x -曲线，试分别写出其谐振动方程．

题4-8图

解：由题4-8图(a)，

∵0=t 时，s 2,cm 10,,2

3,0,0000===

∴>=T A v x 又πφ

即 1

s rad 2-?==π

πωT

故 m )2

3cos(1.0ππ+=t x a

由题4-8图(b) ∵0=t 时，3

5,0,2

000πφ=

∴>=

v A x 11t =时，2

2,0,0111π

πφ+

=∴<=v x

又 ππωφ2

53

511=

+?=

∴ πω6

5=

故 m t x b )3

56

5cos(

1.0ππ+

=

4-12 试用最简单的方法求出下列两组谐振动合成后所得合振动的振幅：

(1) ?????+=+=cm )373cos(5cm )33cos(521ππt x t x (2)?????

+=+=cm

)343cos(5cm )33cos(521

π

πt x t x 解： (1)∵ ,23

3712ππ

πφφφ=-

=

-=?

∴合振幅 cm 1021=+=A A A (2)∵ ,3

34ππ

πφ=-

=

?

∴合振幅 0=A

5-7 一平面简谐波沿x 轴负向传播，波长λ=1.0 m ，原点处质点的振动频率为ν=2. 0 Hz ，振幅A ＝0.1m ，且在t =0时恰好通过平衡位置向y 轴负向运动，求此平面波的波动方程． 解: 由题知0=t 时原点处质点的振动状态为0,000<=v y ，故知原点的振动初相为2

π

,取

波动方程为])(

2cos[0φλ

π++=x

T t A y 则有

]2

)12(2cos[1.0π

π+

+

=x t y )2

24cos(1.0π

ππ+

+=x t m

5-8 已知波源在原点的一列平面简谐波，波动方程为y =A cos(Cx Bt -)，其中A ，B ，

C 为正值恒量．求：

(1)波的振幅、波速、频率、周期与波长；

(2)写出传播方向上距离波源为l 处一点的振动方程； (3)任一时刻，在波的传播方向上相距为d 的两点的位相差． 解: (1)已知平面简谐波的波动方程

)cos(Cx Bt A y -= (0≥x )

将上式与波动方程的标准形式

)22cos(λ

π

πυx

t A y -=

比较，可知： 波振幅为A ，频率π

υ2B =，

波长C

πλ2=

，波速C

B u =

=λυ，

波动周期B

T πυ

21==

．

(2)将l x =代入波动方程即可得到该点的振动方程

)cos(Cl Bt A y -=

(3)因任一时刻t 同一波线上两点之间的位相差为 )(212x x -=?λ

π

φ

将d x x =-12，及C

πλ2=

代入上式，即得

Cd =?φ．

5-9 沿绳子传播的平面简谐波的波动方程为y =0.05cos(10x t ππ4-)，式中x ,y 以米计，

t 以秒计．求：

(1)波的波速、频率和波长；

(2)绳子上各质点振动时的最大速度和最大加速度；

(3)求x =0.2m 处质点在t =1s 时的位相，它是原点在哪一时刻的位相?这一位相所代表的运动状态在t =1.25s 时刻到达哪一点? 解: (1)将题给方程与标准式

)22cos(x t A y λ

π

πυ-

=

相比，得振幅05.0=A m ，频率5=υ1-s ，波长5.0=λm ，波速5.2==λυu 1

s m -?．

(2)绳上各点的最大振速，最大加速度分别为

ππω5.005.010max =?==A v 1

s m -?

2

2

2

max 505.0)10(π

πω=?==A a 2

s m -?

(3)2.0=x m 处的振动比原点落后的时间为

08.05

.22.0==

u

x s

故2.0=x m ,1=t s 时的位相就是原点(0=x )，在92.008.010=-=t s 时的位相， 即 2.9=φπ． 设这一位相所代表的运动状态在25.1=t s 时刻到达x 点，则

825.0)0.125.1(5.22.0)(11=-+=-+=t t u x x m

5-18 如题5-18图所示，1S 和2S 为两相干波源，振幅均为1A ，相距4

λ

，1S 较2S 位相超前

2

π

，求：

(1) 1S 外侧各点的合振幅和强度； (2) 2S 外侧各点的合振幅和强度

解：（1）在1S 外侧，距离1S 为1r 的点，1S 2S 传到该P 点引起的位相差为

πλλππ

φ=??

?

???+--

=

?)4(22

1

1r r 0,02

11===-=A

I A A A

（2）在2S 外侧.距离2S 为1r 的点，1S 2S 传到该点引起的位相差.

0)4

(22

22=-+

-

=

?r r λ

λ

π

π

φ

2

12

1114,2A A I A A A A ===+=

8-10 均匀带电球壳内半径6cm ，外半径10cm ，电荷体密度为2×5

10-C ·m -3求距球心5cm ，

8cm ,12cm 各点的场强． 解: 高斯定理0

d ε∑?=

?q S E s

,0

2

π4ε∑=

q r

E

当5=r cm 时，0=∑q ,0=E

8=r cm 时，∑q 3

π4p

=3

(r )3

内r -

∴ ()

2

02

3

π43

π

4r

r r

E ερ

内

-=

4

10

48.3?≈1

C

N -?， 方向沿半径向外．

12=r cm 时,3

π4∑=ρ

q -3(外r ）

内3

r ∴ ()

4

2

03

3

1010.4π43

π

4?≈-=

r

r r

E ερ

内

外

1C

N -?

沿半径向外.

8-11 半径为1R 和2R (2R ＞1R )的两无限长同轴圆柱面，单位长度上分别带有电量λ和-λ,试求:(1)r ＜1R ；(2) 1R ＜r ＜2R ；(3) r ＞2R 处各点的场强． 解: 高斯定理0

d ε∑?=

?q S E s

取同轴圆柱形高斯面，侧面积rl S π2=

则 rl E S E S

π2d =??

对(1) 1R r < 0,0==∑E q (2) 21R r R << λl q =∑ ∴ r

E 0π2ελ

=

沿径向向外

(3) 2R r > 0=∑q

∴ 0=E

8-15 两点电荷1q =1.5×10-8C ，2q =3.0×10-8C ，相距1r =42cm ，要把它们之间的距离变为2r =25cm ，需作多少功?

解: ?

?

=

=

?=

2

2

2

1

212

021π4π4d d r r r r q q r

r q q r F A εε )11(

2

1

r r -

6

1055.6-?-=J

外力需作的功 6

6.5510A A -'=-=? J

8-16 如题8-16图所示，在A ，B 两点处放有电量分别为+q ,-q 的点电荷，AB 间距离为2R ，现将另一正试验点电荷0q 从O 点经过半圆弧移到C 点，求移动过程中电场力作的

功．

题8-16图

解: 如题8-16图示

0π41ε=

O U 0)(=-R q R q

14πC U ε=

)3(R q R

q -R

q 0π6ε-

=

∴ R

q q U U q A o C O 00π6)(ε=

-=

8-18 一电子绕一带均匀电荷的长直导线以2×104

m ·s -1

的匀速率作圆周运动．求带电直线上的线电荷密度．(电子质量0m =9.1×10-31kg ，电子电量e =1.60×10-19C) 解: 设均匀带电直线电荷密度为λ，在电子轨道处场强

r

E 0π2ελ

=

电子受力大小 r e eE F e 0π2ελ=

=

∴

r

v

m

r

e 2

0π2=ελ

得 13

2

010

5.12π2-?==

e

mv

ελ1

m

C -?

8-27 在半径为1R 的金属球之外包有一层外半径为2R 的均匀电介质球壳，介质相对介电常数为r ε，金属球带电Q ．试求： (1)电介质内、外的场强； (2)电介质层内、外的电势； (3)金属球的电势．

解: 利用有介质时的高斯定理∑?

=?q S D S

d

(1)金属球内1()r R <场强 D =0，E =0

(2)介质内)(21R r R <<场强 2

2

0,4π4πr Q Q D E r r εε=

=

内，方向沿半径向外

介质外)(2R r >场强 22

0,4π4πQ Q D E r

r

ε==

外，方向沿半径向外

(3)介质外)(2R r >电势

r

Q E U 0r

π4r d ε=

?=

?

∞

外

介质内)(21R r R <<电势

22

d r d r R r

R U E E ∞=

?+

??

?

外内

2

02

0π4)11(π4R Q R r

q

r

εεε+-

=

)11(

π42

0R r

Q r r

-+

=

εεε

(3)金属球的电势

令介质内)(21R r R <<电势1r R =得到 01

2

1

1

(

)4πr r Q

U R R εεε-=

+

或：r d r d 2

2

1

?+

?=

?

?

∞

R R R E E U 外内 ?

?

∞+

=

2

2

2

02

0π44πdr R R R

r r

Qdr

r

Q εεε)11(

π42

1

0R R Q r r

-+

=

εεε

9-15 题9-15图中所示是一根很长的长直圆管形导体的横截面，内、外半径分别为a ,b ，导体内载有沿轴线方向的电流I ，且I 均匀地分布在管的横截面上．设导体的磁导率0μμ≈，试证明导体内部各点)(b r a << 的磁感应强度的大小由下式给出：

r

a

r a b I

B 2

22

2

0)

(2--=

πμ

解：取闭合回路r l π2= )(b r a <

<

则 ?π=?l

r B l B 2d

2

22

2

)

(a

b I

a r

I

ππππ--=∑

∴ )

(2)

(2

2

2

2

0a b r a r I B --=

πμ

9-16 一根很长的同轴电缆，由一导体圆柱(半径为a )和一同轴的导体圆管(内、外半径分别 为b ,c )构成，如题9-16图所示．使用时，电流I 从一导体流去，从另一导体流回．设电流都是均匀地分布在导体的横截面上，求：(1)导体圆柱内(r ＜a ),(2)两导体之间(a ＜r ＜

b )，（3）导体圆筒内(b ＜r ＜

c )以及(4)电缆外(r ＞c )各点处磁感应强度的大小

解： ?∑μ=?L

I l B 0d

(1)a r < 2

20

2a

Ir r B μπ=

2

02a

Ir

B πμ=

(2) b r a << I r B 02μπ=

r

I

B πμ20=

(3)c r b << I b

c b r I

r B 02

2

2202μμπ+---=

)

(2)

(2

2

2

20b c r r c I B --=

πμ

(4)c r > 02=r B π

0=B

题9-16图

9-23 一长直导线通有电流1I ＝20A ，旁边放一导线ab ，其中通有电流2I =10A ，且两者共面，如题9-23图所示．求导线ab 所受作用力对O 点的力矩． 解：在ab 上取r d ，它受力

ab F ⊥ d 向上，大小为，r

I r I F πμ2d d 102=

F d 对O 点力矩F r M

?=d ，M d 方向垂直纸面向外，大小为

r I I F r M d 2d d 2

10π

μ=

=

?

?

-?==

=

b

a

b

a

r I I M M 6

2

10106.3d 2d π

μ m N ?

题9-23图

10-1 一半径r =10cm 的圆形回路放在B =0.8T 的均匀磁场中．回路平面与B

垂直．当回路

半径以恒定速率

t

r d d =80cm ·s -1 收缩时，求回路中感应电动势的大小．

解: 回路磁通 2

πr B BS m ==Φ

感应电动势大小 40.0d d π2)π(d d d d 2

===

=

t

r r

B r B t

t

m Φε V

题10-5图

10-5如题10-5所示，在两平行载流的无限长直导线的平面内有一矩形线圈．两导线中的电流方向相反、大小相等，且电流以

t

I d d 的变化率增大，求：

(1)任一时刻线圈内所通过的磁通量； (2)线圈中的感应电动势． 解: 以向外磁通为正则 (1) ]ln

[ln

π

2d π2d π2000d

a d b

a b Il

r l r

I

r l r

I

a

b b

a

d d

m +-+=

-

=

?

?

++μμμΦ

(2) t

I

b a b d

a d l

t

d d ]ln

[ln

π

2d d 0+-+=

-

=μΦε 10-7 如题10-7图所示，长直导线通以电流I =5A ，在其右方放一长方形线圈，两者共面．线圈长b =0.06m ，宽a =0.04m ，线圈以速度v =0.03m ·s -1

垂直于直线平移远离．求：d =0.05m

时线圈中感应电动势的大小和方向．

题10-7图

解: 以线圈顺时针为正，则向内磁通为正 (1) 00d ln 2π2πd a m d

I

Ib

d a b r r d μμ++Φ==?

(2) 8

00d 1

1

d 1

1(

)

() 1.610

d 2π

d 2π

Ib Ibv d t

d

d a

t

d d a

μμε-Φ=-

=

-=-

=?++ V

0ε>，方向沿顺时针。

10-8 长度为l 的金属杆ab 以速率v 在导电轨道abcd 上平行移动．已知导轨处于均匀磁场B

中，B 的方向与回路的法线成60°角(如题10-8图所示)，B

的大小为B =kt (k 为正常)．设

t =0时杆位于cd 处，求：任一时刻t 导线回路中感应电动势的大小和方向．

解: 以线圈逆时针为正，则 ?

==?=?=

2

2

2

12160cos d klvt

lv kt Blvt S B m Φ

∴ klvt t

m -=-=d d Φε

0ε<，即沿abcd 方向顺时针方向．

题10-8图