工程光学习题解答第九章-光的电磁理论基础

第九章光的电磁理论基础

1. 一个平面电磁波可以表示为

140,2cos[210()],0

x y z z E E t E c π

π==?-+=,求(1)该电磁波的

频率、波长、振幅和原点的初相位？（２）拨的传播方向和电矢量的振动方向？（３）相应的磁场Ｂ的表达式？

解：（1）平面电磁波cos[2()]z

E A t c πν?=-+

对应有14

62,10

,,3102

A Hz m

ν?λ-===

=?。

（2）波传播方向沿z 轴，电矢量振动方向

为y 轴。

（3）B E →

→与垂直，传播方向相同，∴0By Bz ==

610[210()]2

z Bx CEy t c π

π=

==??-+ ２. 在玻璃中传播的一个线偏振光可以表示

2150,0,10cos 10(

)0.65y z x z

E E E t c

π===-，试求（1）光的频率和

波长；（2）玻璃的折射率。

解：（1）2

15cos[2()]10cos[10(

)]0.65z

E A t t c

πν?π=-+=-

∴15

14210510v Hz πνπν=?=?

72/2/0.65 3.910n k c m

λππ-===? （2）

8714310 1.543.910510n c c n v

λν-?==

==???

3.在与一平行光束垂直的方向上插入一片透明薄片，薄片的厚度0.01h mm =,折射率n=1.5,若光波的波长为500nm λ=,试计算透明薄片插入前后所引起的光程和相位的变化。

解：光程变化为 (1)0.005n h mm ?=-= 相位变化为

)

(202500

10005.026

rad πππλδ=??=?

4. 地球表面每平方米接收到来自太阳光的功率为1.33kw,试计算投射到地球表面的太阳光的电场强度的大小。假设太阳光发出波长为600nm λ=的单色光。

解：∵2201

I cA ε== ∴

320

2()10/I A v m

c ε=B

5. 写出平面波8

100exp{[(234)1610]}E i x y z t =++-?的传播方向上的单位矢量0

k 。

解：∵°exp[()]

E A i k r t ω=-u r r r g

x y z k r k x k y k z

?=?+?+?r r

0000000000

2,3,4234x y z x y z k k k k k x k y k z x y z k x y z ===∴=?+?+?=++=+r u u r u u r u u r u u r u u r u u r u u r u u r u u r u u r

6. 一束线偏振光以45度角从空气入射到玻璃的界面，线偏振光的电矢量垂直于入射面，试求

反射系数和透射系数。设玻璃折射率为1.5。解：由折射定律

2211221122111122sin sin cos 1.5cos cos 0.3034cos cos 22cos 0.6966cos cos s s n n n r n n n t n n θθθθθθθθθθ=

=∴=-∴==-+===+

7. 太阳光（自然光）以60度角入射到窗玻璃（n=1.5）上，试求太阳光的透射比。解：

2221

21112222221

22111212sin sin 212111.54cos 4sin cos 30.8231cos sin ()

cos 4sin cos 0.998

cos sin ()cos ()()

0.91

2s p s p n n ocs n n n n θθθθθθτθθθθθθτθθθθθτττ==∴=???=

=+=?=+-+∴=

8. 光波以入射角1

θ从折射率为1

n 介质入射到折

射率为2

n 的介质，在两介质的表面上发生反射和

折射（折射角为2

θ，见图10-39），s 波和p 波的

振幅反射系数和投射系数分别为s

r 、p

r 和s t 、p

t 。

若光波从2

n 介质入射到1

n 介质（见图10-39b ）中，

入射角为2

θ，折射角为1

θ，s 波和p 波的反射系数

和透射系数分别为's

r 、'p

r 和's t 、'p

t 。试利用菲涅耳

公式证明（1）'s

r r =-；（2）'p

r =-；（3）'

t t τ=；（4）

'p p p

t t τ=（p

τ为p 波的透射比，s

τ为s 波的透射比）。

)

b 图

10-39

解：

11221122

11222211

121221

121212cos cos (1)cos cos 'cos''cos'cos cos ''cos''cos'cos cos (2)1

2cos sin 2cos'sin'2cos sin 3,'sin()sin('')sin()s s s

s s n n r n n n n n n r r n n n n t t θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ-=+--=

==-++===

+++∴同（）（）2211221221

2122112222221

11124sin cos sin cos sin cos 4sin cos 'sin ()sin cos sin ()cos 4sin cos cos sin ()(4)3s s s

t t n t n θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ?==?++=?=+同（）略

9. 电矢量方向与入射面成45度角的一束线偏振光入射到两介质的界面上，两介质的折射率分别为1

1, 1.5

n n

==，问：入射角1

=度时，反射光电

矢量的方位角（与入射面所成的角）？若1

θ=度，

反射光的方位角又为多少？解：

111

122

12121212sin 150sin ()30.7sin()()

0.335,0.057

sin()()

'0.3350.335,'0.057'80.33'

(2)0s p s p s s s s p p p s p s n n tg r r tg A A A

A r A A A A r A A A tg A r θθθθθθθθθθθαα-=?==?--∴=-

=-==++==∴==-=-==∴=?=-?

=-Q （），由折射定律入射光由反射系数有合振幅与入射面的夹角同理.421,0.042'

)84.3'

p s p r A arctg A α=-∴==?

10. 光束入射到平行平面玻璃板上，如果在上表面反射时发生全偏振，试证明折射光在下表面反射时亦发生全偏振。

证明：当入射角为布儒斯特角时，发生全偏振，反射光中只有s 波第

一

次

反射时，11312,90,,B

n n tg n θθθθθ=+=?=

=玻

空

n 第

二

次反

射

时

，

212',''90,''B n n n θθθθθ=+=?=

空

玻

，tg =n

得证。亦可由,s

r r 求证.

11. 光束垂直入射到45度直角棱镜的一个侧

面，并经斜面反射后由底二个侧面射出（见图10-40），若入射光强为0

I ，求从棱镜透过的出射

光强I ？设棱镜的折射率为1.52，且不考虑棱镜的吸收。解：

122

31222123000

10.52()()0.04261 2.5211 1.52()()0.0426

11 1.52

,sin 1.52sin 45901

10.0426110.04260.917n n n n I I I I ρρθθθρτρτ-===+--===++?=???>?∴=∴==-??-=经过第一面时，反射比为经过第三面时，反射比为经过第二面时，=45在此面发生全反射，即出射光强为（）（）

12. 一个光学系统由两片分离透镜组成，

两透镜

图10-40 习

的折射率分别为1.5和1.7，求此系统的反射光能损失。如透镜表面镀上曾透膜，使表面反射比降为0.01，问此系统的光能损失又为多少？设光束以接近正入射通过各反射面。解

()()()()()22

223412344

)()0.04

()()0.04

0.067

11110.80220%

0.01'10.010.96,4%

R R R R R R R ττ=======∴=----==-=111220此系统有4个反射面，设光束正入射条件下，各面反射率为

n -1 1.5-1R =(n +1 1.5+11

-1

n -1 1.51n +1+11.5

光能损失为（初始为I ）

，损失若反射比降为，则损失

13. 一半导体砷化镓发光管（见图10-41），管芯AB 为发光区，其直径3d mm ≈。为了避免全反射，发光管上部磨成半球形，以使内部发的光能够以最大投射比向外输送。要使发光区边缘两点A 和B 的光不发生全反射，半球的半径至少应取多少？(已知对发射的0.9nm λ=的光，砷化镓的折射率为3.4) 。

解：

sin sin sin 1sin sin 1

sin 3.41

sin sin sin 3.43.4 3.4 5.12

C R r

AB R

r c c R d

R r mm

θαθαθθθθθθ=?∴≤≤

∴

>=?=Q 设半球半径为，由正弦定理，管芯边缘发光的入射角有

最大为，最小为0，0若时仍不能发生全反射，则内所有光均不会发生全反射

全反射角

14. 线偏振光在玻璃-空气界面上发生全反射，线偏振光的方位角45α=度，问线偏振光以多大角度入射才能使反射光的s 波和p 波的相位差等于45度，设玻璃折射率 1.5n =。

解：

()1

2222

1141

24222112112cos (sin )2sin 1sin 1sin 0

21,45sin 0.64830.5842

1.5

53.6349.85arcsin 41.811.5

C S P tg n tg tg n n n δδ

θθδ

θδθθδθθθ=-=

??+-++= ??

?==?=∴=??==?

∴全反射时，波与波相位差为，且将代入有或或，而上述答案均可

15. 线偏振光在1

n 和2

n 介质的界面发生全反射,

线偏振光的方位角45α=度,

证明当

cos θ=

时(θ是入射角),反射光波和波的相位差有最大

植。式中2

/n n

n =。

证明：

()()(

)()

()

()()()()()

222

22222

cos cos

2sin1cos

,cos

12]12

1[12]12

S P

tg tg y x

x x n x x x

dx x

x x n x x x x n x

θθ

δδ

δθ

∴=

--?----=

---+-=--?-

全反射时，波与波相位差为

若最大，则最大，令

令则有

cos(),

θδ

∴=

当时取最大

16. 圆柱形光纤（图10-42）其纤芯和包层的折

射率分别为

n和

n，且1n>2n。（1）

证明入

射光的最大孔径角2u

满足关系式sin u=（2）

若

1.62, 1.52,

n n

==求孔径角？

图10-42

解：

(

)(

211

120

1sin ,sin cos sin sin 21 1.62,2 1.52

268.2c c n n n u n n n u θθθθ=∴==

∴=

=====?

Q 若

17. 已知硅试样的相对介电常数0

ε=，电导率112.cm σ--=Ω，证明当电磁波的频率910HZ

ν<时，硅试

样具有良导体作用。计算6

10HZ ν=时电磁波对这种试样的穿透深度。解：

922

3610122104100.356Hz

C Hz m

σσεωπν

σνπεππν≤≤≤==???∴<=

=0当时，介质可看作良导体对于硅时，硅具有良导体作用

穿透深度x

18. 铝在50nm λ=时，有 1.5n =， 3.2nk =，试求正入射时的反射比和相位变化。解：

()()22

22222212222222

221112 1.5 3.212 1.5

0.6361.5 3.212 1.5112221 3.2

0.5771.5 3.21

29.12n k n

n k n n n k tg n n k n ρδδ++-++-?===+++?+++??=

==+-+-∴=?

正入射时

19. 两束振动方向相同的单色光波在空间某一点产生的光振动分别表示为

111cos()

E a t αω=-和222cos()E a t αω=-，若15

210

ωπ=?，1

6/a

v m

=，2

8/a

v m

=，1

=，

2/2

a π=，求合振动的表示式。

解：

()()()()()

1211222221212121122112215cos cos cos 2cos 10/sin sin 4

cos cos 3

10cos 53.13210E E E a t a t A t A a a a a v m a a tg a a E t ωαωααωαααααααπ=+=-+-=-=++-=+=

+∴=?-?合振动其中

20. 利用波的复数表达式求两个波1

cos()

a kx t ω=+和

2cos()

E a kx t ω=--的合成波。

解：

()()()()()()122]exp[]

12]exp[]exp []2sin [cos sin 2sin sin i t i t i E E E a i kx E E E a i kx a ikx e e a t kx i a kx ωωωωωωωωω-=--=+=--=-=+=-1与的复数表达式为E =aexp[i kx+t t aexp[i kx+t t t]

取实部Re E t

21. 一束沿

方向传播的椭圆偏振光表

00(,)cos()cos()

E z t x A kz t y A kz t π

ωω=-+--，试求偏振椭圆的方

位角和椭圆长半轴及短半轴大小。

解：

12221

121,2,1,2,4

22cos ,290,452sin 2sin 2sin 211.31,0.54,11a A a A kz kz a a tg a a A A tg tg A tg A A A A A tg ππααδ?δ??εεβδε

εε====-=-

∴=

→∞∴=?=?-∴==-=

===>222221212由题知方位角即设长短半轴分别为，，则有A +A =a +a =2A 求得其中略掉项

22. 有一菲涅耳棱体（见图10-21），其折射率为1.5，入射线偏振光的电矢量与入射面（即图面）成45度角，求（1）棱体的顶角α取多大时，能使从棱体射出圆偏振光？（2）若棱体的折射率为1.49，能否产生圆偏振光？解：

(

)()

()

2222

21cos 8sin 5315'5013'

2,21sin 022sin 1m c tg n n n d tg d n n π

δπ

θθ

θδθθ

δθ

θδ?==

=??-+??== ???=

+∴因为入射光的振动方向与入射面夹角为45，所以S波与P波的振幅

相同，所以只需两次全反射使S、P拨相位差为即可，那么每次反射

2产生的相位差为，有tg 2得或对于固定的必定有极大值，将上式对求导

得存2110.409422 1.4944.32,4

m n tg n n δπ

δ-?

?=== ?

?=?<

∴在极大值，不可能产生圆偏振光

23. 又旋圆偏振光以50度角入射到空气-玻璃界面（玻璃折射率为 1.5），试决定放射波和透射波的偏振状态。

解：入射为右旋圆偏振光，如图，可写为

cos Es a t ω=

cos sin 2

Ep a t a t πωω??=-= ??

若设 1.5

=波

，则布儒斯特角56B

，所以反射

光中S 波与P 波均存在。有

'sin 2'sin s s s s s s p p E r E r E r a t Ep r Ep r a t

πωω?

?==-=?- ?

?==?

∴'Es 比'Ep 落后2π相位，且有s

r ≠

∴反射光为左旋椭圆偏振光

对于透射光

''cos ''cos 2s s p p P p Es t Es t a t

E t E t a t ωπω=?=?

?==- ?

∵s

t ≠ ∴投射光为右旋椭圆偏振光。

24. 确定其正交分量由下面两式表示的光波的

偏振态： 0

5(,)cos(),(,)cos[()]4

z z E z t x A t E z t y A t c c π

ω=-=-+ 解：对于合成波有1212

,0,,44

a A ααπδπ===== ∴方位角12

2cos ,4

a a tg a a

?δ?π

==-∞∴=-

又∵sin 2sin 2sin 1,(12

tg εβδδ==-

?=略）

∵0tg ε< ∴为右旋又设长短轴为1

,A A

∴2

= （1）

且有 222

22A

A A += （2） ∴1

1.71,0.29A A A

25. 真空中沿z 方向传播的两个单色光波为

12cos 2(),cos[2()]

()

E a vt E a v v t ππ

λλ=-=--?+?，若

148100/,610,10,

a v m HZ HZ νν==??=试求合成波在0,1z z m ==和

1.5z m

=各处的强度随时间的变化关系。若两波频

率差8

310HZ ν?=?，试求合成波振幅变化和强度变化的空间周期。解：令()()

1212222,2,,k k π

πω

πνωπννλ

λλ==-?=

则 ()1

cos E a k z t ω=- ()2

cos E a k z t ω=-

则合成波强度()

24cos m m I a

t k z ω=- 其中 ()8121

21022m

rad ωωωπνπ-=

=???=?

()

122

k k k m π

--=

∴I ∝4

28410

cos 103t z ππ?

??-

???

z =时 I ∝4

28410

cos [10]

t π

π?-

1z =时 I ∝4

28410cos 10t

π?

1.5

z =时 I ∝4

28410

cos [10]

t π

π?-

若8

310Hz ν?=? 8

310m

rad ωπ=?

k m π-=

()14

21210rad ωπννπ=-??B

410k m π-?B

∴ ()()2cos cos m

E a k z t kz t ωω=--

()()8614

2cos 310cos 4101210

a z t z z πππ=-??-?

空间周期为2m

()

24cos m m I a t k z ω=-

()

28410

cos 310z t ππ=?-?

空间周期为1m

26. 试计算下列各情况的群速度：（1）

ν=

水波，g 为重力加速度）；（2）ν=T 为表面张力，ρ为质量密度）。解：群速度g

v d λ

（1）

122

g dv v

v v d λλ===

（2）1

232

g dv v v v d λ-

?=?=

27. 试求图10-43所示的周期性矩形波的傅里

叶级数表达式，并绘出其频谱图。

解：周期性矩形波为偶函数，所以0

B =

()2

A E z dz dz λ

λλλ-

-===?

()24

2cos cos sin 2

n A

E z nkzdz nkzdz n λ

λλπλλπ--=

即1

,0,,0A A A A ππ

===-=…………………

图10-43 习题27图