2018年普通高中数学学业水平测试知识点大全

2018 年普通高中数学学业水平测试知识点大全

【必修一】

一、 集合与函数概念 并集：由集合 A 和集合 B 的元素合并在一起组成的集合，如果遇到重复的只取一次。记作： A ∪B 交集：由集合 A 和集合 B 的公共元素所组成的集合，如果遇到重复的只取一次记作： A ∩B

补集：就是作差。

1、集合 a 1,a 2,...,a n 的子集个数共有 2n 个；真子集有 2n –1个；非空子集有 2n

–1 个；非空的真 子有 2n

–2 个.

2、求 y f(x)的反函数：解出 x f 1(y)， x, y 互换，写出 y f 1

(x)的定义域；函数图象关于 y=x 对称。 3、( 1)函数定义域：①分母不为 0；②开偶次方被开方数 0；③指数的真数属于 R 、对数 的真数 0. 4、函数的单调性： 如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x 1，x 2，当 x 1

偶函数： 是f(- x)= f (x ) ，函数图象关于 y 轴对称。 6、指数幂的含义及其运算性质：

1)函数 y a x

(a 0且a 1) 叫做指数函数。

2) 指数函数 y a x

(a 0,a 1)当 0 a 1 为减函数，当 a 1为增函数； ① a r a s a r s

；

② (a r )s a rs ；③ (ab)r a r b r

(a 0,b 0,r,s Q) 。 3) 指数函数的图象和性质

0a1

(1) 定义域：

R (2)值域：( 0，+∞)

(3)过定点( 0， 1)，即 x=0 时， y=1

( 4)在 R 上是增函数 (4)在 R 上是减函数

(5) x 0,a 1; x

x 0,0 a 1

(5) x 0,0 a x

1;

x

x 0,a 1

a1

7、对数函数的含义及其运算性质：

1)函数 y log a x(a 0,a 1) 叫对数函数。

2)对数函数 y log a x(a 0,a 1) 当 0 a 1为减函数，当 a 1为增函数； ①负数和零没有对数；② 1 的对数等于 0 ： log a 1 0 ；③底真相同的对数等于 1：

log a a 1 ，

(3)对数的运算性质：如果 a > 0 , a ≠ 1 , M > 0 , N > 0 ，那么： ① log a MN log a M log a N ； ② log a M

log a M log a N ； ③ N log a M n

nlog a M (n R) 。

4)换底公式： log a b

log

c b

(a

0且 a 1,c 0且 c 1,b 0) log c a

(5) 对数函数的图象和性质

0a1

(1) 定义域：(0， +∞)

2)值域： R

3)过定点( 1， 0)，即 x=1 时， y=0

4)

在 (0，+∞)上是增函数 ( 4)在( 0，+∞)上是减函数

1

8、幂函数： 函数 y x 叫做幂函数(只考虑 1,2,3, 1, 的图象)。

2

9、方程的根与函数的零点： 如果函数 y f (x)在区间 [ a , b ] 上的图象是连续不断的一 条曲线，并且有 f(a) f(b) 0 ，那么，函数 y f (x)在区间 ( a , b ) 内有零点，即存 在c (a, b) ，使得 f (c) 0这个 c 就是方程 f(x) 0的根。 【必修二】

一、直线 平面 简单的几何体

1、长方体的对角线长 l 2 a 2 b 2 c 2

；正方体的对角线长 l 3a 2、球的体积公式： v 4

R 3 ； 球的表面积公式： S 4 R 2

3

3、柱体、锥体、台体的体积公式：

a1 图象

(5) x 1,log a x 0 ；

0 x 1,log x 0 (5) x 1,log a x

0；

0 x 1,log x 0

V柱体=S h （S为底面积，h为柱体高）；V锥体=1Sh （S为底面积，h

为柱体高）3

1

V台体=1（S'+ S'S+S）h （S', S分别为上、下底面积，h为台

体高）3

4、点、线、面的位置关系及相关公理及定理：

（1）公理公理公理

四公理三推论 : 若一条直线上有两个点在一个平面内，则该直线上所有的点都在这个平面内。经过不在同一直线上的三点，有且只有一

个平面。

如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些

公共点的集合条过这个公共点的直线。

经过一条直线和这条直线外的一点 ,有且只有一个平面。经过两条

相交直线 ,有且只有一个平面。

经过两条平行直线 ,有且只有一个平面。

1：

2：3：是推论一：推论二：推论

三：公理 4：平行于同一条直线的两条

直线平行（2）空间线线，线面，面面

的位置关系：空间两条直线的位置关

系：相交直线——有且仅有一个公共

点；平行直线——在同一平面内，没有

公共点；异面直线——不同在任何一个

平面内，线。

空间直线和平面的位置关系：（1）直线在平面内（无数个公共点）

（ 2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；（3）直线和平面平行（没有公共点）它们的图形分别可表示为如下，符号分别可表示为a ，aA，a// 。

空间平面和平面的位置关系：（1）两个平面平行——没有公共点；（2）两个平面相交——有一条公共直线。

5、直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线与平面内一条直线平

行，那么该直线与这个平面平行。

a 符号表示：

b a// 。图形表示：a//b

6、两个平面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面

平行，那么这两个平面平行。

a b 符号表示： a b P // 。图形表示： a// b//

7、. 直线与平面平行的性质定理：如果一条直线与已知平面相交，那么交线与这条直线平行。

a//

符号表示： a a// b 。图形表示：

b

8、两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么

它们交线的平行。/ / , a, b a/ /b

符号表示：

9、直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么

没有公共点。相交直线和平行直线也称

为共面直

经过这条直线的平

面与

4

10、 11、 这条直线垂直于这个平面。

符号表示 ：

a ,

b ,a b P,l a,l b l

. 两个平面垂直的判定定理： 一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 符号表示： l ,l

直线与平面垂直的性质： 如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。 a // 。 a//b 。 b

符号表示： 平面与平面垂直的性质 ：如果两个平面互相垂直，那么在其中一个平面内垂直于交线 的直线垂直于l 另一个,平面。 m 符,号l 表示m ： l .

13、异面直线所成角：平移到一起求平移后的夹角。 直线与平面所成角：直线和它在平面内的射影所成的角。 14、异面直线所成角的取值范围是 0 ,90

； 直线与平面所成角的取值范围是 0 ,90

； 二面角的取值范围是 0 ,180

； 两个向量所成角的取值范围是 0 ,180

二、直线和圆的方程 1、斜率： k tan

，k （ , ） ；直线上两点 P 1（x 1,y 1）,P 2（x 2,

y 2

）

，则斜率为 2、直线的五种方程 ： （1）点斜式 （2）斜截式 12、 如右图） k

y 2 y 1 x 2 x 1

3）两点式

y y 1 k(x x 1) ( 直线 l 过点 P 1(x 1, y 1) ，且斜率为 k )． y kx b (b 为直线 l 在 y 轴上的截距 ). y y 1 x x

1 （4） 截距式

( (

P 1(x 1,y 1)、 P 2(x 2,y 2)； ( x 1 x 2)、( y

1

y 2)). y 2 y 1 x 2 x 1 xy

1

( a 、b 分别为直线的横、纵截距， a 、b 0) ab

Ax By C 0( 其中 A 、 B 不同时为 0).

(5)一般式 3、两条直线的平行、重合和垂直： (1)

若

l 1: y k 1x b 1，l 2: y k 2x b 2

①

l

1‖ l 2 k 1 k 2且b 1≠ b 2;

② l 1与l 2重合时 k 1 k 2且b b

2 ； ③ l 1 l 2 k 1k 2 1

. (2) 若l 1: A 1x B 1y C 1 0, l 2 : A 2x B 2y C 2 0

,且 A 1、 A 2、 B 1、 B 2

都不为零 , A 1 B 1 C 1

；

B 2

C 2 ① l 1 ||l

2

A 2

②

l 1 l

2 A 1A 2 B 1B 2 0

4、两点 P 1（ x 1， y 1）、 P 2（x 2，y 2）

5、两点 P 1（ x 1， y 1）、 P 2（x 2，

y 2） 的距离公式 │ P 1P 2│ = (x 2 x 1) 2 (y 2 y 1

)

2 的中点坐标公式 M( x1 x2 ， y 1 y 2

) 22 6、点 P （ x 0，y 0）到直线（直线方程必须化为 一般式 ）Ax+By+C=0的距离公式 d= Ax0 By0 C

A 2

B 2

7、平行直线 Ax+By+C 1=0、 Ax+By+C 2=0的距离公式 d= C2 C1

A 2

B 2

8、圆的方程：标准方程 x a 2 y b 2 r 2

，圆心 a,b

，半径为 一般方程 x 2

y 2

Dx Ey F 0，（配方： （x D

）2

（y E ）2

22

r

；

22

D 2

E 2 4

F )

D 2

E 2

4F 0 时，表示一个以 ( D , E ) 为圆心，半径为 1 D 2

E 2

4F 的圆；

2 2 2

9、点与圆的位置关系：

点 P(x 0,y 0)与圆 (x a)2 (y b)2 r 2的位置关系有三种： 若 d (a x 0)2 (b y 0

)2 ，则 d r 点 P 在圆外 ; d r 点 P 在圆上 ; d r 点 P

在圆内 . 10、直线与圆的位置关系： 直线 Ax By C 0与圆 (x a)2 (y b)2 r 2

的位置关系有三种 : d

r 相离 d r 相交

0; d r 相切 0

; Aa Bb C 0

. 其中

d

A 2 B

2

11、 弦长公式： 若直线 y=kx+b 与二次曲线(圆、椭圆、双曲线、抛物线)相交于 两点，则由 二次曲线方程 y=kx+m 则知直线与二次曲线相交所截

得弦长为： A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)

AB 2 ax +bx+c=0(a ≠ 0)

(x 2 x 1)2 (y 2 y 1)2

1 k

2

x 1 x 2

1 k 1

2 y

1

k

y 2

(1 12 ) (y 1 y 2)2 4y 1 y 2 =

1 k

2 b 4ac

k

13、 空间直角坐标系，两点之间的距离公式： ⑴ xoy 平面上的点的坐标的特征 xoz 平面上的点的坐标的特征 yoz 平面上的点的坐标的特征 x 轴上的点的坐标的特征 D y 轴上的点的坐标的特征 z 轴上的点的坐标的特征 A( B C x ， E(0， E(0， x y ， 0)竖坐标 z=0 x 0， z )纵坐标 y=0 (0y ， z )横坐标 x=0 00)纵竖坐标 y=z=0

y 0)横竖坐标 x=z=0 0z)横纵坐标 x=y=0 ⑵│ P 1P 2│ = (x 2-x 1)2 (y 2-y 1)2 (z 2

-z 1)2

【必修三】

算法初步与统计：

流程线

连接程序框（流程进行的方向）

连接点

连接程序框图的两部分

注释框

帮助注解流程图

循环框 程序做重复运算

、算法的三种基本结构： （1）顺序结构（ 2）条件结构（ 3）循环结构

、算法基本语句： 1、输入语句 :输入语句的格式： INPUT “提示内容” ； 变量。 2、输出 语句 :输出语句的一般格式： PRINT “提示内容” ；表达式。 3、赋值语句 :赋值语句的一般格式： 变量=表达式。 4、条件语句（ 1）“ IF —THEN — ELSE ”语句。 5、循环语句 : 直到型循环结构 “DO — LOOP UNTIL ”语句 和当型循环结构“ WHILE — WEND ”。 三．三种常用抽样方法：

1、简单随机抽样； 2．系统抽样； 3．分层抽样。 4．统计图表：包括条形图，折线图，饼 图，茎叶图。

四、 频率分布直方图 ：具体做法如下： （ 1）求极差（即一组数据中最大值与最小值的差） ； （2）决定组距与组数；

（3）将数据分组； （ 4）列频率分布表； （ 5）画频率分布直方图。注：频率分布直方图中小 正方形的面积 =组距×频率 。

2、频率分布直方图： 频率 =小矩形面积 （注意：不是小矩形的高度）

频数

计 算 公 式 ： 频率 =

频数 =样本容量 频率

样本容量

频率

频率 =小矩形面积 =组距

组距 各组频数之和 =样本容量， 各组频率之和 =1

3、茎叶图：茎表示高位，叶表示低位。

折线图 ：连接频率分布直方图中小长方形上端中点，就得到频率分布折线图。

4、刻画一组数据集中趋势的统计量：平均数，中位数，众数。 在一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的 众数 ； 将一组数据按照从大到小（或从小到大）排列，处在中间位置上的一个数据（或中间两 位数据的平均数）叫做这组数据的 中位数 ；

5、刻画一组数据离散程度的统计量：极差 ，极准差，方差。

（ 1）极差一定程度上表明数据的分散程度，对极端数据非常敏感。

（ 2）方差，标准差越大，离散程度越大。方差，标准差越小，离散程度越小，聚集于平 均数的程度越高。 （ 3）计算公式： 方

差：

直线回归方程的斜率为 b ?

，截距为 a?，即回归方程为 y ?

=b ?

x+ a?（此直线必过点 （ x ，y ））。

6、频率分布直方图： 在频率分布直方图中，各小长方形的面积等于相应各组的频率，方 长方形的高与频数成正比，各组频数之和等于样本容量，频率之和等于 1。 五、随机事件： 在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件。一般用大写字母 A,B,C ?表示 .

( x n x ) 2 ]

标准

随机事件的概率：在大量重复进行同一试验时 , 事件A发生的频率总接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率,记作P（A）。由定义可知 0≤P（A）

tan cot 1

5、诱导公式： （众变横不变，符号看象限）

1、 诱导公式一 ： 2

诱导公式三 ：

正弦上为正；余弦右为正；正切一三

为正。 诱导公式

≤ 1，显然必然事件的概率是 1，不可能事件的概率是 0。

1、事件间的关系： （1）互斥事件：不能同时发生的两个事件叫做互斥事件； （2）对立事件：不能同时发生，但必有一个发生的两个事件叫做互斥事件； （3）包含：事件 A 发生时事件 B 一定发生，称事件 A 包含于事件 B （或事件 B 包含事件 A ）； （4）对立一定互斥，互斥不一定对立。

2、 概率的加法公式 ： （1）当 A 和 B 互斥时，事件 A +B 的概率满足加法公式： P （ A +B ）=P （A ）+P （B ）（A 、B 互 斥）（2）若事件 A 与 B 为对立事件，则 A ∪ B 为必然事件，所以 P （A ∪B ）= P （A ）+ P （B ）=1 ， 于是有 P （A ）=1 — P （B ） ．

3、古典概型： （ 1）正确理解古典概型的两大特点： 1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个； 2） 每 个 基 本 事 件 出 现 的 可 能 性 相 等 ；（ 2 ） 掌 握 古 典 概 型 的 概 率 计 算 公 式 ： 事件 A 包含的基本事件个数 m

P （A ）

实验中基本事件的总数

n

4、几何概型： （1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积） 成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型。 （ 2）几何概型的特点： 1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个； 2）每个 基本事件出现的可能性相等． 事件 A 构成的区域的长度（面积或体积）

（ 3）几何概型的概率公式： P （A ）

实验的全部结果构成的区域的长度（面积或体积） 【必修四】 一、 三角函数

1、弧度制：（ 1）、 180

弧度， 1弧度 （180） 57 18'

；弧长公式： l | |r

（l 为 所对的弧长， r 为半径，正负号的确定：逆时针为正，顺时针为负） 2、三角函数： （ 1）、定义： sin y r

cos

tan y

cot x

xy

r x 2

y

r

tan

sin

cos

22

4、同角三角函数基本关系式： sin

2

cos 2

1 3、

sin 2k sin , cos 2k cos , tan 2k tan . sin sin ,

cos cos , tantan .

4、 诱导公式四 ： 5

诱导公式六 ：

6、两角和与差的正弦、余弦、正切：

S ( ) ： sin( ) sin cos cos sin sin( ) sin cos cos sin C ( ) ： cos(a ) cos cos sin sin C ( ) ： cos(a ) cos cos sin sin

tan tan

T ( ) ： tan( )

T ( ) ： tan( )

1 tan tan

tan +tan = tan( + )(1 tan tan )

7、辅助角公式 ：

asin x bcos x a 2

b 2

tan -tan = tan( - )(1 tan tan )

a 2

b 2

(sin x cos cosx sin ) a 2

b 2

sin(x )

8、二倍角公式 ：（1）、 S 2 ： sin2 2sin cos C 2 ：

2 2 2 2

cos2 cos 2 sin 2 1 2sin 2

2cos 2

1 T 2

：

2tan tan2 2

1 tan 2

2）、降次公式： （多用于研究性质）

1

2

1 cos

2 1 1

sin cos sin2 sin cos2

2

2 2 2

2 1 cos2 1 1

cos2 cos 2 2 2

9、在 y sin ,y cos ,y tan ,y cot 四个三角函数中只有 y cos 是偶函数， 其它

三个是寄函数。 （指数函数、对数函数是非寄非偶函数）

10、 在三角函数中求最值（最大值、最小值） ；求最小正周期；求单调性（单调第增区间、 单调第减区间） ；求对称轴；求对称中心点都要将原函数化成标准型；

y Asin （ x ） b

y Acos （ x ） b 如： 再求解。

y Atan （ x ） b y Acot （ x ） b

11、三角函数的图象与性质：

sin sin , cos cos , tan tan .

22

cos , sin .

sin cos

2

cos sin

2

sin sin ,

cos cos , tan tan .

、诱导公式五 ： 6

S

( )

tan tan 1 tan tan

a

2 b 2

sin x cosx a

2 b

2

函数y=sin

x

y=cos

x

y=

t

图象

定义域 R R { x |x k ,

2 值域 [ 1,1]

[ 1,1]

R

奇偶性 奇函数

偶函数

奇函数

周期性

2

2

单调性

在[2k

,2k ] (k Z) 增 22

在[2k ,2k 3

] (k Z) 减

22

在 [ 2k ,2k ] (k Z ) 增 在 [2 k ,2 k ] ( k Z ) 减

在 (k Z) 增

最值

当

x 2k ,k Z 时，

y max 1

2

当

x 2k ,k Z 时

,

y min

1

2

当 x 2k , k Z 时， y max 1 当

x ( 2k

1) , k Z 时，

y min

1

无

对称性

对称中心 (k ,0)， k Z 对称轴：

x k (k Z )

对称中心

(k ,0)

，

k Z

2

对称轴： x k (k Z )

对称中心 ( k ,0) ， 对

称轴：无

12．函数 y A sin x 的图象： (1)用“图象变换法”作图

由函数 y sin x

的图象通过变换得到 y Asin( x )

的图象，有两种主要途径“先平移 后伸缩”与“先伸缩后平

移” 。

法一：先平移后伸缩

横坐标变为原来的 1

倍

法二：先伸缩后平移

当函数 y Asin( x ) (A>0， 0， x [0， ) )表示一个振动量时， A 就

表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离， 通常把它叫做这个振动的振幅； 往复振动一次 2 1 2 所需要的时间 T ，它叫做振动的周期；单位时间内往复振动的次数 f ，它 T 叫做振动的频率； x

叫做相位， 叫做初相(即当 x ＝0 时的相位)。 二、平面向量 1、 平面向量的概念：

1 在平面内，具有大小和方向的量称为平面向量．

y sin x 向左 ( 0) 或向右 ( 0 )

平移 | |个单位 sin( x ) 纵坐标变为原来的

横坐标不变

A 倍

y A sin( x )

y sin x

向左 ( 0) 或向右 ( 0 )

平移 | |个单位

sin( x )

纵坐标不变

y sin ( x )

y s i nx

横 坐 标 变 为 原 来

1

倍的

纵坐标不变

y sin x

纵坐标变为原来的 A

倍

y A sin( x )

向左( 0)或向右 ( 0)

y sin( x ) 平移 | |个单位

5 与向量 a 长度相等且方向相反的向量称为 a 的相反向量，记作 a ．

6 方向相同且模相等的向量称为相等向量． 2、实数 与空间向量 a 的乘积 a 是一个向量，称为向量的数乘运算．当 0时， a 与 a 方

2 向量可用一条有向线段来表示． 有向线段的长度表示向量的大小， 箭头所指的方向表示 向量的方向． 3

向量 的大小称为向量的模（或长度） ， 记作 ． 1的向量称为单位向量． 4 模（或长度）为 0

的向量称为零向量；模为 5 与向量 a

长度相等且方向相反的向量称为 6

方向相同且模相等的向量称为相等向量． 2、实数与向量的积的运算律： 设 λ 、μ 为实数，那么 （1） 结合律： λ（μ a ）=（ λμ） a

;（2） 第一分配律： （λ+μ） a =λ

a +μ a

;（3） 第二分配 律：λ（

a b ）= λa +λb

. 3、向量的数量积的运算律： （1） a ·b = b · a （交换律） ; （2）（ a ）·

b = （ a ·b ）= a ·b = a ·（ b

）;（3） （a b ）·c

= a ·c + b ·c

. 4、平面向量基本定理： 如果 e 1 、e 2 是同一平面内的两个不共线向量， 那么对于这一平面内的任一向量， 有且只 有一对实数 λ1、λ2，使得 a = λ1e 1 + λ2e 2． 不共线的向量 e 1、 e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组 基底 ． 5、坐标运算 ：（1）设 a x 1, y 1 ,b x 2, y 2 ，则 a b x 1 x 2, y 1 y 2 数与向量的积： λ

a x 1,y 1 x 1, y 1 ，数量积：

a b x 1x 2

y 1y

2

（2）、设 A 、B 两点的坐标分别为（ x 1，y 1），（x 2，y 2），则 AB x 2 x 1,y 2 y 1 .

（终点 减起点） a 的相反向量，记作 a ． 6、平面两点间的距离公式： （1） d A,B

=|AB|

（2）向量 a 的模| a | ：|a|2 3 4 a a x 2

y

2； （x 2 x 1）2 （y 2

y 1）2

0 a 0 ，0 a 0 ，a （ a ） 0

cos

x 1x

2 y 1y 2

（4）、向量 a x 1, y 1 ,b x 2,y

2 的夹角 ，则，

x12 y12 x22 y22

7、重要结论：（ 1）、两个向量平行： a// b a b （ R ） ，a// b

x 1y 2 x 2y 1

（2）、两个非零向量垂直 a b x 1x 2 y 1 y 2 0

ab a

b 3）、平面向量的数量积： cos ，

注意： 3）、P 分有向线段 则定比分点坐标公式 P 1P 2 的：设 P （x ，y ） ，P 1（ x 1，y 1） ，P 2（x 2，y 2） ，且 P 1P

PP 2

， x 1 x 2 x 2 y y 1 y 2 y 1

2

2 x x 1 x 2 x 1 y 1 y 2

y 1 空间向量与平面向量相

似） 中点坐标公

式 三、空间向量 1、空间向量的概念： 1 在空间中，具有大小和方向的量称为空间向量．

向相同； 当 0时， a 与a 方向相反； 当 0时， a 为零向量，记为 0． a

的

长度是 a 的长度的 倍．

3、设 ， 为实数， a ， b 是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律．

分配律：

a b a b ；结合律： a a ．

4、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行 向量，并规定零向量与任何向量都共线．

4 cos a, b a b

． ab

3 a b c a c b c ．

必修五】

a ， 5、向量共线的充要条件：对于空间任意

两个向量 实数 ，使 a b ．

6、平行于同一个平面的向量称为共面向

量． 7、向量共面定理： a ，b b 0 ， a // b 的充要条件是存在

一点 位于平面 C 内的充要条件是存在有序实数对 x ， y ，使 x y C ； 8、已知两个非零向量 a 和b ，在空间任取一点 ，作 a ， b ，则 称为

向量 a ， b 的夹角，记作 a,b ．两个向量夹角的取值范围是： a, b 0, ． 9、对于两个非零向量 a 和b ，若 a,b ，则向量 a ，b 互相垂直，记作 a b ．

2 2

a 和

b ，则 a cos a, b ．零向量与任何向量的数量积为 0． b cos a ,b 的

乘积． 12 、 若 a ， b 为 非 零 向 量 ， e 为 单 位 向 量 ， 则 有 1 e a a e

a cos a, e

10、已知两个非零向量

11、 a

b 等于 a 的长度 a 与b 在a 的方向上的投影 2 a b a b 0 ； 3 a b

a ，

a b a 与 b 同向

2

13 、 量 数 乘 积 的 运 算 律 ： 1 a b b a ；

2 a b a b a b

14 、 若 空 间 不 重 合 两 条 a/ /b a / /b a b 直线 a ， b 的 a b a b R

，

ab 0

异面垂直时 a b a b a b 0 ．

15、若空间不重合的两个平面 a b a b 0 ．

16、直线 l 垂直 ，取直线 l 的方向向量 a

方向向量分别为a ，b ，

， 的法向量分别为 a ，b ，则 / a/ b a b ，

a 称为平面 的法向量．

111

、解三角形 ：（ 1）三角形的面积公式： S ab sin C acsin B

bcsin A ：

222

2）正弦定理

2 2abcosC (a b)2

2ab(1 cocC)

sin A sin B

3）、余弦定理： 2 R,边用角表示： a 2Rsin A, b 2Rsin B ， sinC 2 a b 2

c 2RsinC b 2 a 2 c 2 c 2

2bc cosA 2ac

cosB 4)求 角 ：

2 b 2 cos A

22

ca

2b c 222

acb cos B

2ac

2

a cosC

22

b

2

c 2

2ab 二 . 数列 1、数列的前 n 项和： S n a

1 a 1 S 1(n 1) a

2 a

3 a n ； 数列前 n 项和与通项的关系： a n a S 1n S S 1n (n 1(n 1)2) 2、等差数列 ：（1）、定义 ：等差数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常 数 （a n a n 1 d ） ； （2）、通项公式 ： a n a 1 （n 1）d （其中首项是 a 1 ，公差是 d

；） （ 3）、前 n 项和： na 1(d 0) S

n n(a 1 a n

)

n(n 1) (d ≠0)

na

1 d

1

（4）、等差中项： ab A 是a 与b 的等差中项： A 2 或 2A a b

，三个数成等差常 a-d ，a ， a+d 3、等比数列： （1）、定义 ：等比数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常 数（ a n q ） （q 0

）。

a

n 1

2）、通项公式： 3）、前 n 项和： a n a 1q n 1

（其中：首项是 a 1

，公比是 q

） na 1,( q 1) S n a 1 a n q a 1 (1 q n ) 1 q 1 q (q 1) 4）、等比中

项：

有两个） G 是 a 与 b 的等比中项： ，G b 即G 2

ab

aG 或 G ab

，等比中项 三：不等式 1、重要不等式： （1） a,b R 22

a

2 b 2

2ab

＝b 时取“ =”号 ）．

22 ab

或

a b (

2

当且仅当 a

2、均值不等式： （ 2） a,b

R （当且仅当 a ＝ b 时取

a 2

b

ab 或ab (a

2 b

b 2

2 向量可用一条有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．

3 向量的大小称为向量的模（或长度），记作

4 模（或长度）为0 的向量称为零向量；模为1 的向量称为单位向量．