4《圆周角和圆心角的关系》教学设计

第三章圆

《圆周角和圆心角的关系（第1课时）》

一、目标确定的依据

1、课程标准的相关要求

理解圆周角的概念，认识圆周角，探索圆周角及其所对弧的关系，了解并证明圆周角定理及其推论

2、教材分析

《圆周角与圆心角的关系》是北师大版九年级下册第三章第3小节的内容，本课是在学生学习了圆的圆心，半径，直径，弦，弧，圆心角等概念以及圆的对称性的基础上，用推理论证的方法研究圆周角与圆心角关系。它在与圆有关推理、论证和计算中应用广泛，是本章重点内容之一

3、学情分析

学生在本章的第二节课中，通过探索，已经学习了同圆或等圆中弧、弦和圆

心角的关系，并对定理进行了严密的证明，通过一系列简单的练习对这个关系熟

悉，具备了灵活应用本关系解决问题的基本能力.

在之前的学习过程中，学生已经经历了“猜想-验证”、分类讨论的数学方法，

获得了在得到数学结论的过程中采用数学方法解决的经验，同时在学习过程中也

经历了合作学习的过程，具有了一定的合作学习的能力，具备了一定的合作和交

流的能力.

二、目标

1、理解圆周角的概念及其相关性质

2、经历探索圆周角和圆心角的关系的过程

3、体会由特殊到一般、分类、化归思想、并能熟练地应用“圆周角与圆心角的关系”进行论证和计算。

三、评价任务

本节共分2个课时，这是第1课时，主要内容是圆周角的定义以及探究圆周

角定理，并利用定理解决一些简单问题.具体地说，本节课的教学目标为：

1．理解圆周角定义，掌握圆周角定理.

2．会熟练运用定理解决问题.

四、教学设计分析

本节课设计了七个教学环节：知识回顾——探究新知1——定义的应用——探究新知2——方法小结——定理的应用——课堂小结（作业布置）.

第一环节知识回顾

活动内容：

1.圆心角的定义?——顶点在圆心的角叫圆心角

2.圆心角的度数和它所对的弧的度数有何关系?

如图：∠AOB弧AB的度数

3.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条、两条中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.

活动目的：通过三个简单的练习，复习本章第二节课学习的同圆或等圆中弧和圆心角的关系.练习1是复习圆心角定义：顶点在圆心的角叫圆心角；练习2和练习3是复习定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.

活动的注意事项：题目以复习概念和定理为主，特别是定理当中的前提条件“同圆或等圆”，需要再特别向学生强调一遍，同时要学生明白何为三组量中其中一组量相等，那么其余各组量也分别相等.

第二环节探究新知1

活动内容：

（1）问题：我们已经知道，顶点在圆心的角叫圆心角，那当角顶点发生变化时,我们得到几种情况?

圆心角圆周角

类比圆心角定义，得出圆周角定义：顶点在圆上,并且两边分别与圆还有一个交点的角叫做圆周角.

活动目的：本环节的设置，需要学生类比圆心角的定义，采用分类讨论和类比的思想方法得出圆周角的定义.

活动的注意事项：问题当中的角的顶点位置发生变化可得到几种情况，其实是点和圆的位置关系知识点的应用，老师在此应注意知识之间的联系，达到触类旁通的目的.

第三环节定义的应用

活动内容：

（1）练习、如图，指出图中的圆心角和圆周角

解：圆心角有∠AOB、∠AOC、∠BOC

圆周角有∠BAC、∠ABC、∠ACB

活动目的：在学习了圆周角的定义后，为了下面学习圆周角

的定理做铺垫，有必要先让学生熟练判断圆中哪些是同一条弧所对的圆周角，并掌握如何在比较复杂的图形中按照一定的规律寻找所有的圆周角和圆心角，这一能力对于学习后续的圆的相关证明题是很必要的.

活动的注意事项：图中圆里有3条半径和3条弦，当学生讲出正确答案后，则需要老师从旁总结寻找圆心角和圆周角的方法.寻找圆心角关注的是半径，任意两条半径所夹的角就是一个圆心角，个数由半径的条数决定.寻找圆周角则应关注弦和弦与圆的交点，任意两弦和两弦的交点组成一个圆周角，数圆周角关键是看弦与圆的交点，看以这个交点为顶点能引出多少条弦，每两条弦所夹的即是一个圆周角，数完一个交点后，再数另一个交点.这里要注意，因为半径AO没有延长，所以∠OAB严格来说还不算是一个圆周角，这里有必要向学生说明一下，但以后在解题中，我们又往往会忽略这些角，因为只要把半径AO延长与圆相交后，就会形成圆周角了，所以这里要特别注意.

第四环节探究新知2

活动内容：

（一）问题提出：当球员在B,D,E处射门时,他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC,∠ADC,∠AEC.这三个角的大小有什么关系?

教师提示：类比圆心角探知圆周角

在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角相等.

在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆周角有什么关系？

为了解决这个问题,我们先探究一条弧所对的圆周角和圆心角之间有什么关系.

（二）做一做：如图,∠AOB =80°，（1）请你画出几个 所对的圆周角，这几个圆周角的大小有什么关系？

教师提示:思考圆周角和圆心角有几种不同的位置关系？三种：圆心在圆周角一边上，圆心在圆周角内，圆心在圆周角外.

（2）这些圆周角与圆心角∠AOB 的大小有什么关系? ∠AOB =2∠ACB

（三）议一议:改变圆心角∠A0B 的度数，上述结论还成立吗？成立

（四）猜想出圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

符号语言： （五）证明定理：

已知：如图，∠ACB 是 所对的圆周角，∠AOB 是 所对的圆心角， 求证： 分析：1.首先考虑一种特殊情况：

当圆心(O )在圆周角(∠ACB )的一边(BC )上时,圆周角∠ACB 与圆心角∠AOB 的大小关系.

∵∠AOB 是△ACO 的外角 ∴∠AOB =∠C +∠A ∵OA=OC

AB

⌒

1

2

ACB AOB

∠=∠AB ⌒ AB ⌒

12

ACB AOB

∠=∠

∴∠A =∠C

∴∠AOB =2∠C

2.当圆心(O)在圆周角(∠ACB )的内部时,圆周角∠ACB 与圆心角∠AOB 的大小关系会怎样?

老师提示:能否转化为1的情况? 过点C 作直径CD .由1可得:

3.当圆心(O)在圆周角(∠ACB)的外部时,圆周角∠ACB 与圆心角∠AOB 的大小关

系会怎样?

老师提示:能否也转化为1的情况? 过点C 作直径CD.由1可得:

活动目的：本活动环节，首先有一个情景引出探究的问题，然后通过类比得出探究圆周角定理的方法，再通过对特殊图形的研究，探索出一个特殊的关系，然后进行一般图形的变换，让学生经历猜想，实验，证明这三个探究问题的基本环节，得到一般的规律.规律探索后，得出圆周角定理，并对探究过程中的三种情况逐一加以演绎推理，证明定理.

活动的注意事项：本环节有不少的数学思想方法，教师在教学中要注意逐一渗透.在（一）中注意渗透类比思想，在（二）中注意渗透“分类讨论”思想，在（三）中注意渗透“特殊到一般”思想，在（四）（五）中注意渗透“猜想，试验，证明”的探究问题一般步骤.

1

2

ACB AOB ∠=∠即

11,22

ACD AOD BCD BOD

∠=∠∠=∠()1

2ACD BCD AOD BOD ∴∠+∠=∠+∠1

2

ACB AOB

∠=∠即11

,22

ACD AOD BCD BOD

∠=∠∠=∠()1

2

ACD BCD AOD BOD ∴∠-∠=

∠-∠1

2

ACB AOB

∠=∠即

活动内容：

思想方法：分类讨论，“特殊到一般”的转化

活动目的：通过回顾圆周角定理的证明过程，体会探究过程中的数学思想方法的运用.

活动的注意事项：多让学生用自己的语言表述当中用到的方法，然后教师再进行深加工.

第六环节 定理的应用

活动内容：

问题回顾：当球员在B,D,E 处射门时,他所处的位置对球门AC 分别形成三个张角∠ABC ,∠ADC ,∠AEC .这三个角的大小有什么关系?

连接AO 、CO ,

由此得出定理：同弧或等弧所对的圆周角相等.

活动目的：通过回顾之前提出的问题，直接应用圆周角定理解决问题，然后推导出另一条圆周角与弧的定理.

活动的注意事项：这里要注意引导学生学以致用，通过作辅助线添加圆心角，把问题转化到定理的直接应用上.还要注意引导学生对得出的结论加以总结，从而得出新的定理.

111

,,,

222ABC AOC ADC AOC AEC AOC ∠=∠∠=∠∠=∠Q ABC ADC AEC ∴∠=∠=∠

活动内容：

(一) 这节课主要学习了两个知识点： 1.圆周角定义.

2.圆周角定理及其定理应用.

(二)方法上主要学习了圆周角定理的证明，渗透了类比，“特殊到一般”的思想方法和分类讨论的思想方法.

(三)圆周角及圆周角定理的应用极其广泛，也是中考的一个重要考点，望同学们灵活运用.

活动目的：通过小结，让学生回顾本节课的学习内容，尤其是知识内容和方法内容都应该进行总结，让学生懂得，我们学习不但是学习了知识，更重要的是要学会进行方法的总结.

活动的注意事项：这里体现学生的总结和交流能力，只要学生是自己总结的，都应该给与鼓励和肯定，最后老师再作总结性的发言.

第八环节：附课后练习答案

随堂练习1.如图，在⊙O 中，∠BOC =50°，求∠BAC 的大小 解：在⊙O 中，∠BOC =50°

2.如图，哪个角与∠BAC 相等，你还能找到那些相等的角？ 解：∠BAC =∠BDC ∠ADB =∠ACB ∠CAD =∠CBD ∠ABD =∠ACD

00

11502522

BAC BOC ∴∠=∠=?=

习题

1.如图，OA 、OB 、OC 都是⊙O 的直径，∠AOB =2 ∠BOC ，∠ACB 与∠BAC 的大小有什么关系，为什么？ 解：∠BAC = 2 ∠ACB ，理由:

又∵∠AOB =2 ∠BOC

即∠BAC= 2∠ACB

2.如图，A 、B 、C 、D 是⊙O 上的四点，且∠BCD =100°，求∠BOD 与∠BAD 的大小 解：∵∠BCD =100°

∴优弧所对的圆心角∠BOD =2∠BCD =200° ∴劣弧所对的圆心角∠BOD =36O °-200°=160°

3.为什么电影院的作为排列呈弧形，说一说这设计的合理性.

答：有些电影院的坐位排列呈圆弧形，这样设计的理由是尽量保证同排的观众视角相等.

4.船在航行过程中，船长通过测定角数来确定是否遇到暗礁， 如图，A 、B 表示灯塔，暗礁分布在经过A 、B 两点的一个圆形 区域内，优弧AB 上任一点C 都是有触礁危险的临界点，

∠ACB 就是“危险角”，当船位于安全区域时，∠α与“危险角” 有怎样的大小关系？

解：当船位于安全区域时，即船位于暗礁区域外（即⊙O 外） ，与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角” .

五、教学设计反思

1

12AOB

∠=∠Q 1

22

BOC

∠=∠11

122222

AOB BOC BOC ∴∠=∠=?∠=∠=∠o

1

802BAD BOD ∴∠=∠=

1.根据学生特点灵活应用教案

针对编者学校学生的特点，大部分学生能力相对较高，因此课堂的容量会比较大，而且在教学过程中渗透的思想方法也较多，如果碰到学习能力不足的学生群体，则要根据实际情况进行调整，注意突出渗透分类讨论的思想方法和体会探索问题的一般步骤即可.

2.让学生有充分的探索机会，经历猜想，试验，证明的环节

学生往往会直接进行证明，这对于简单问题可行，对于复杂问题就不好做了，因此要让学生经历猜想的过程，并且需要实际动手，拿出量角器进行实际度量，验证猜想，最后再进行严密的几何证明.