九年级数学下册应用举例同步测试(新版)新人教版

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第1课时 仰角﹨俯角与圆弧问题 [见B 本P84]

1．身高相等的四名同学甲﹨乙﹨丙﹨丁参加放风筝比赛，四人放出风筝的线长﹨线与地面的夹角如下表(假设风筝线是拉直的)，则四名同学所放的风筝中最高的是( D )

同学 甲 乙 丙 丁 放出风筝线长 140 m 100 m 95 m 90 m 线与地面夹角

30°

45°

45°

60°

A.甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁

【解析】 设风筝的线长﹨风筝高分别为l ，h ，线与地面的夹角为α，所以h ＝l sin α，代入计算，比较大小．

2．如图28－2－9，为测量某物体AB 的高度，在D 点测得A 点的仰角为30°，朝物体AB 方向前进20米，到达点C ，再次测得A 点的仰角为60°，则物体AB 的高度为( A ) A ．103米 B ．10米 C ．203米 D.

203

3

米

图28－2－9

3．如图28－2－10，在两建筑物正中间有一旗杆，高15米，从A 点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C 点，且俯角α为60°，又从A 点测得D 点的俯角β为30°，若旗杆底G 点为BC 的中点，则矮建筑物的高CD 为( A ) A ．20米 B ．103米 C ．153米 D ．56米

图28－2－10

4．如图28－2－11，⊙O 的半径为4 cm ，PA ，PB 是⊙O 的两条切线，∠APB ＝60°，则AP ＝__43__cm__．

图28－2－11

5．如图28－2－12，在高度是21米的小山A 处测得建筑物CD 顶部C 处的仰角为30°，底部D 处的俯角为45°，则这个建筑物的高度CD ＝__73＋21__米(结果可保留根号)．

图28－2－12

6．如图28－2－13，为测量江两岸码头B ，D 之间的距离，从山坡上高度为50米的点A 处测得码头B 的俯角∠EAB 为15°，码头D 的俯角∠EAD 为45°，点C 在线段BD 的延长线上，AC ⊥BC ，垂足为C ，求码头B ，D 之间的距离(结果保留整数，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27)．

图28－2－13

解：∵AE ∥BC ，∴∠ADC ＝∠EAD ＝45°. 又∵AC ⊥CD ，∴CD ＝AC ＝50.

∵AE ∥BC ，∴∠ABC ＝∠EAB ＝15°. 又∵tan ∠ABC ＝AC BC ，∴BC ＝

AC

tan∠ABC

≈185.2，

∴BD ＝BC －CD ≈185.2－50≈135(米)． 答：码头B ，D 之间的距离约为135米．

图28－2－14

7. 天封塔历史悠久，是宁波著名的文化古迹．如图28－2－14，从位于天封塔的观测点C 测得两建筑物底部A ，B 的俯角分别为45°和60°，若此观测点离地面的高度为51米，A ，B 两点在CD 的两侧，且点A ，D ，B 在同一水平直线上，求A ，B 之间的距离(结果保留根号) 解：由题意得，∠ECA ＝45°，∠FCB ＝60°， ∵EF ∥AB ，

∴∠CAD ＝∠ECA ＝45°，∠CBD ＝∠FCB ＝60°， ∵∠ADC ＝∠CDB ＝90°， 在Rt △CDB 中，tan ∠CBD ＝CD BD

， ∴BD ＝

51

tan 60°

＝173米，

∵AD ＝CD ＝51米，

∴AB ＝AD ＋BD ＝51＋173.

答：A ，B 之间的距离为(51＋173)米．

8．如图28－2－15，甲楼AB 的高度为123 m ，自甲楼楼顶A 处，测得乙楼顶端C 处的仰角为45°，测得乙楼底部D 处的俯角为30°，求乙楼CD 的高度(结果精确到0.1 m ，3取1.73)．

图28－2－15

第8题答图

解：如图，过点A作AE⊥CD于点E，根据题意，∠CAE＝45°，∠DAE＝30°.

在Rt△ADE中，DE＝AB＝123，∠DAE＝30°，

∴AE＝3DE＝1233.

在Rt△ACE中，由∠CAE＝45°，得CE＝AE＝1233，

∴CD＝CE＋DE＝123(3＋1)≈335.8(m)．

答：乙楼CD的高度为335.8 m.

图28－2－16

9. 如图28－2－16，小明为了测量小山顶上的塔高，他在A处测得塔尖D的仰角为45°，再沿AC方向前进73.2米到达山脚B处，测得塔尖D的仰角为60°，塔底E的仰角为30°，求塔高。(精确到0.1米，3≈1.732)

解：∵ 在山脚B处测得塔尖D的仰角为60°，塔底E的仰角为30°。

∴∠DBC＝ 60°，∠EBC＝ 30°

∴∠DBE＝∠DBC－∠EBC＝60°－30°＝ 30°

又∵ ∠BCD＝90°

∴∠BDC＝ 90°－∠DBC＝ 90°－60°＝ 30°

即∠BDE＝ 30°

∴∠BDE＝∠DBE，BE＝DE.

设EC＝x，则BE＝2EC＝2x，BC＝BE2－EC2＝（2x）2－x2＝3x

DE＝BE＝2x，DC＝EC＋DE＝x＋2x＝3x

又∵ 在A处测得塔尖D的仰角为45°，AB＝73.2

∴△ACD为等腰直角三角形，即AC＝DC＝3x，BC＝AC－AB＝3x－73.2

∴ 3x ＝3x

－73.2，即

1.732x ＝3x －73.2，

2.268x ＝7

3.2，x ≈32.3(米) 故塔高约为6

4.6米．

10．校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验(如图28－2－17)：先在公路旁边选取一点C ，再在笔直的车道l 上确定点D ，使CD 与l 垂直，测得CD 的长等于21米，在l 上点D 的同侧取点A ，B ，使∠CAD ＝30°，∠CBD ＝60°.

(1)求AB 的长(精确到0.1米，参考数据：3≈1.73，2≈1.41)；

(2)已知本路段对校车限速为40千米/时，若测得某辆校车从A 到B 用时2秒，这辆校车是否超速？说明理由．

图28－2－17

解：(1)由题意得：在Rt △ADC 中，

AD ＝CD tan30°＝21

3

3

＝213≈36.33.

在Rt △BDC 中，BD ＝CD tan60°＝21

3

＝73≈12.11，

所以AB ＝AD －BD ≈36.33－12.11＝24.22≈24.2(米)． (2)校车从A 到B 用时2秒，

所以该车速度约为24.2÷2＝12.1(米/秒)． 因为12.1×3 600＝43 560，

所以该车速度约为43.56千米/时，大于40千米/时， 所以此校车在AB 路段超速．

图28－2－18

11. 如图28－2－18，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 是边AB 上一点，以BD 为直径的⊙O 与边AC 相切于点E ，连接DE 并延长DE 交BC 的延长线于点F . (1)求证：BD ＝BF ；

(2)若CF ＝1，cos B ＝35

，求⊙O 的半径． 解：(1)证明：连接OE .∵AC 与⊙O 相切于点E ， ∴OE ⊥AC .∴∠OEA ＝90°.

∵∠ACB ＝90°，∴∠OEA ＝∠ACB ，∴OE ∥BC .∴∠OED ＝∠F . ∵OE ＝OD ，∴∠OED ＝∠ODE ，∴∠F ＝∠ODE ，∴BD ＝BF . (2)设BC ＝3x ，则AB ＝5x ，又CF ＝1， ∴BF ＝3x ＋1，

由(1)知BD ＝BF ，∴BD ＝3x ＋1，∴OE ＝3x ＋12，AO ＝5x －3x ＋12＝7x －1

2

. ∵OE ∥BF .∴∠AOE ＝∠B ，∴

OE OA ＝3

5

， 即3x ＋127x －12

＝35，解之，得：x ＝43. ∴⊙O 的半径为

3x ＋12＝5

2

.

第2课时 方位角与坡度问题 [见A 本P86]

1．如图28－2－19，某游乐场一山顶滑梯的高为h ，滑梯的坡角为α，那么滑梯长l 为( A ) A.

h sinα B.h tanα C.h

cos α

D ．h ·sin α 【解析】 ∵sin α＝h

l

，∴l ＝

h sinα

.

图28－2－19

图28－2－20

2.河堤横断面如图28－2－20所示，堤高BC ＝6米，迎水坡AB 的坡比为1∶3，则AB 的长为( A )．

A ．12米

B ．43米

C ．53米

D ．63米

图28－2－21

3.如图28－2－21是某水库大坝横断面示意图．其中AB ，CD 分别表示水库上下底面的水平线，∠ABC ＝120°，BC 的长是50 m ，则水库大坝的高度h 是( A ) A. 253 m B ．25 m C. 252 m D.

503

3

m 4．如图28－2－22，小明同学在东西方向的沿江大道A 处，测得江中灯塔P 在北偏东60°方向上，在A 处正东400米的B 处，测得江中灯塔在北偏东30°方向上，则灯塔P 到沿江大道的距离为__2003__米．

【解析】 过P 作PD ⊥AB 于D ，在Rt △APD 中， PD ＝AD ·tan30°，在Rt △BPD 中， PD ＝BD ·tan60°， ∴(400＋BD )×

3

3

＝BD ×3， ∴BD ＝200米，

∴PD ＝3BD ＝2003米．

图28－2－22

5．某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度i ＝1∶3，坝外斜坡的坡度i ＝1∶1，则两个坡角的和为__75°__．

【解析】 设两个坡角分别为α﹨β，坝内斜坡的坡度i ＝1∶3，即tan α＝

13＝33

，α＝30°；坝外斜坡的坡度i ＝1∶1，即tan β＝1

1

＝1，β＝45°，α＋β＝30°＋45°＝75°.

图28－2－23

6．一个长方体木箱沿斜面下滑，当木箱滑至如图28－2－23位置时，AB ＝3 m ．已知木箱高

BE ＝3 m ，斜面坡角为30°，求木箱端点E 距地面AC 的高度EF . 解：连结AE ，在Rt △ABE 中，已知AB ＝3，BE ＝3， ∴AE ＝AB2＋BE2＝23

又∵tan ∠EAB ＝BE AB ＝3

3

，

∴∠EAB ＝30°

在Rt △AEF 中，∠EAF ＝∠EAB ＋∠BAC ＝60°，

∴EF ＝AE · sin ∠EAF ＝23×sin60°＝23×32

＝3 答：木箱端点E 距地面AC 的高度是3 m.

图28－2－24

7．某海滨浴场东西走向的海岸线可近似看作直线l (如图28－2－24)．救生员甲在A 处的瞭望台上观察海面情况，发现其正北方向的B 处有人发出求救信号．他立即沿AB 方向径直前往救援，同时通知正在海岸线上巡逻的救生员乙．乙马上从C 处入海，径直向B 处游去．甲在乙入海10秒后赶到海岸线上的D 处，再向B 处游去，若CD ＝40米，B 处在C 处的北偏东35°方向，甲﹨乙的游泳速度都是2米/秒，那么谁先到达B 处？请说明理由(参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43)．

【解析】 在直角△CDB 中，利用三角函数即可求得BC ，BD 的长，则可求得甲﹨乙到达B 处所需的时间，比较二者之间的大小即可．

解：由题意得 ∠BCD ＝55°，∠BDC ＝90°， ∵tan ∠BCD ＝BD CD ，

∴BD ＝CD ·tan ∠BCD ＝40×tan55°≈57.2(米)． ∵cos ∠BCD ＝CD BC

， ∴BC ＝

CD cos∠BCD ＝40

cos55°

≈70.2(米)．

∴t 甲＝

57.22＋10＝38.6(秒)，t 乙＝70.2

2

＝35.1(秒)． ∴t 甲>t 乙．

答：乙先到达B 处．

8．如图28－2－25，学校校园内有一小山坡AB ，经测量，坡角∠ABC ＝30°，斜坡AB 长为12米，为方便学生行走，决定开挖小山坡，使斜坡BD 的坡比改为1∶3(即CD 与BC 的长度之比)，A ，D 两点处于同一铅垂线上，求开挖后小山坡下降的高度AD .

图28－2－25

【解析】 在Rt △ABC 中，利用三角函数即可求得BC ，AC 的长，然后在Rt △BCD 中，利用坡比的定义求得CD 的长，根据AD ＝AC －CD 即可求解． 解：在Rt △ABC 中，∠ABC ＝30°，

∴AC ＝12AB ＝6，BC ＝AB ·cos ∠ABC ＝12×

3

2＝63.

∵斜坡BD 的坡比是1∶3，

∴CD ＝1

3

BC ＝23，∴AD ＝AC －CD ＝6－23.

答：开挖后小山坡下降的高度AD 为(6－23)米．

9．如图28－2－26，一段河坝的横断面为梯形ABCD ，试根据图中的数据，求出坝底宽AD .(i ＝CE ∶ED ，单位：m)

图28－2－26

【解析】 作BF ⊥AD 于点F ，在Rt △ABF 中利用勾股定理即可求得AF 的长，在Rt △CED 中，利用坡比的定义即可求得ED 的长，进而即可求得AD 的长． 解：如图所示，过点B 作BF ⊥AD 于点F ，可得矩形BCEF ，

∴EF ＝BC ＝4，BF ＝CE ＝4.

在Rt △ABF 中，∠AFB ＝90°，AB ＝5，BF ＝4， 由勾股定理可得AF ＝AB2－BF2＝52－42＝3. 又∵在Rt △CED 中，i ＝CE ED ＝12

， ∴ED ＝2CE ＝2×4＝8.

∴AD ＝AF ＋FE ＋ED ＝3＋4＋8＝15(m)．

图28－2－27

10．如图28－2－27，C 岛位于我国南海A 港口北偏东60°方向，距A 港口602海里处．我海监船从A 港口出发，自西向东航行至B 处时，接上级命令赶赴C 岛执行任务，此时C 岛在B 处北偏西45°的方向上，海监船立刻改变航向以每小时60海里的速度沿BC 行进，则从B 处到达C 岛需要多少小时？

解：过点C 作CD ⊥AB 于点D ，由题意，得∠CAD ＝30°，∠CBD ＝ 45°，∴CD ＝AC ·sin ∠

CAD ＝602×12＝302，∴BC ＝CD

sin 45°

＝60，∴t ＝60÷60＝1(h)

答：从B 处到达C 岛需要1小时．

图28－2－28

11．钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土，为维护国家主权和海洋权利，我国海监和渔政部门对钓鱼岛海域实现了常态化巡航管理。如图28－2－28，某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A ，B ，B 船在A 船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A 的东北方向，B 的北偏东15°方向有一我国渔政执法船C ，求此时船C 与船B 的距离是多少．(结果保留根号) 解：作BD ⊥AC 于点D ，

由题意可知，∠BAC ＝45°，∠ABC ＝105°，

∴∠ACB ＝180°－∠BAC －∠ABC ＝ 30°， 在Rt △ABD 中，

BD ＝AB ·sin ∠BAD ＝20×

2

2

＝102(海里)， 在Rt △BCD 中，BC ＝

BD sin ∠BCD ＝102

1

2

＝

202(海里)．

答：此时船C 与船B 的距离是202海里．

12．如图28－2－29，某防洪指挥部发现长江边一处长600米，高10米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤(横断面为梯形ABCD )急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：沿背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽2米，加固后背水坡EF 的坡比i ＝1∶3.

①求加固后坝底增加的宽度AF ；(结果保留根号) ②求完成这项工程需要土石多少立方米？(3≈1.732)

图28－2－29

解：①过E 作EM ⊥BF 于M ，过D 作DN ⊥BF 于N ，则MN ＝ DE ＝2米，EM ＝DN ＝10米， 在Rt △AND 中AN ＝DN

tan45°

＝10米

∵i ＝EM FM

＝

1

3

，∴FM ＝103米 ∴AF ＝FM ＋MN —AN ＝(103—8)米

②∵S 梯形ADEF ＝

（DE ＋AF ）DN 2

＝(503—30)米2

∴完成这项工程需要土石为(503—30)×600≈

33 960米3

.