南京鼓楼实验学校数学平面图形的认识(一)单元培优测试卷
一、初一数学几何模型部分解答题压轴题精选(难)
1.如图,已知AB∥CD,现将一直角三角形PMN放入图中,其中∠P=90°,PM交AB于点E,PN交CD于点F
(1)当△PMN所放位置如图①所示时,则∠PFD与∠AEM的数量关系为________;(2)当△PMN所放位置如图②所示时,求证:∠PFD?∠AEM=90°;
(3)在(2)的条件下,若MN与CD交于点O,且∠DON=30°,∠PEB=15°,求∠N的度数.
【答案】(1)∠PFD+∠AEM=90°
(2)过点P作PG∥AB
∵AB∥CD,
∴PG∥AB∥CD,
∴∠AEM=∠MPG,∠PFD=∠NPG
∵∠MPN=90°
∴∠NPG-∠MPG=90°
∴∠PFD-∠AEM=90°;
(3)设AB与PN交于点H
∵∠P=90°,∠PEB=15°
∴∠PHE=180°-∠P-∠PEB=75°
∵AB∥CD,
∴∠PFO=∠PHE=75°
∴∠N=∠PFO-∠DON=45°.
【解析】【解答】(1)过点P作PH∥AB
∵AB∥CD,
∴PH∥AB∥CD,
∴∠AEM=∠MPH,∠PFD=∠NPH
∵∠MPN=90°
∴∠MPH+∠NPH=90°
∴∠PFD+∠AEM=90°
故答案为:∠PFD+∠AEM=90°;
【分析】(1)过点P作PH∥AB,然后根据平行于同一条直线的两直线平行可得PH∥AB∥CD,根据平行线的性质可得∠AEM=∠MPH,∠PFD=∠NPH,然后根据∠MPH+∠NPH=90°和等量代换即可得出结论;(2)过点P作PG∥AB,然后根据平行于同一条直线的两直线平行可得PG∥AB∥CD,根据平行线的性质可得∠AEM=∠MPG,∠PFD=∠NPG,然后根据∠NPG-∠MPG=90°和等量代换即可证出结论;(3)设AB与PN 交于点H,根据三角形的内角和定理即可求出∠PHE,然后根据平行线的性质可得∠PFO=∠PHE,然后根据三角形外角的性质即可求出结论.
2.已知点C在线段AB上,AC=2BC,点D、E在直线AB上,点D在点E的左侧
(1)若AB=18,DE=8,线段DE在线段AB上移动
①如图1,当E为BC中点时,求AD的长;
②点F(异于A,B,C点)在线段AB上,AF=3AD,CE+EF=3,求AD的长;
(2)若AB=2DE,线段DE在直线AB上移动,且满足关系式,则
________.
【答案】(1)解:①
又 E为BC中点
;
②设,因点F(异于A、B、C点)在线段AB上,可知:
,和
当时,
此时可画图如图2所示,代入得:
解得:,即AD的长为3
当时,
此时可画图如图3所示,代入得:
解得:,即AD的长为5
综上,所求的AD的长为3或5;
(2) .
【解析】【解答】(2)①若DE在如图4的位置
设,则
又
(不符题设,舍去)
②如DE在如图5的位置
设,则
又
代入得:
解得:
则 .
【分析】(1)①根据AB的长和可求出AC和BC,根据中点的定义可得CE,再由可得CD,最后根据计算即可得;②设,因点F(异于A、B、C点)在线段AB上,可知,和,所以需分2种情况进行讨论:和,如图2、3(见解析),先根据已知条件判断点
E、F位置,再将EF和CE用含x的式子表示出来,最后代入求解即可;(2)设,先判断出DE在AB上的位置,再根据得出x和y 满足的等式,然后将其代入化简即可得.
3.数轴上A, B, C, D四点表示的有理数分别为1, 3, -5, -8
(1)计算以下各点之间的距离:①A、B两点, ②B、C两点,③C、D两点,
(2)若点M、N两点所表示的有理数分别为m、n,求M、N两点之间的距离.
【答案】(1)AB=3-1=2;BC=3-(-5)=8;CD=-5-(-8)=-5+8=3.
(2)MN=
【解析】【分析】(1)数轴上两点间的距离等于数值较大的数减去数值较小的数,据此计算即可;
(2)因为m、n的大小未知,则M、N两点间的距离为它们所表示的有理数之差的绝对值.
4.如图(1),在△ABC和△EDC中,D为△ABC边AC上一点,CA平分∠BCE,BC=CD,AC=CE.
(1)求证:△ABC≌△EDC;
(2)如图(2),若∠ACB=60°,连接BE交AC于F,G为边CE上一点,满足CG=CF,连接DG交BE于H.
①求∠DHF的度数;
②若EB平分∠DEC,试说明:BE平分∠ABC.
【答案】(1)证明:∵CA平分∠BCE,
∴∠ACB=∠ACE.
在△ABC和△EDC中.
∵BC=CD,∠ACB=∠ACE,AC=CE.
∴△ABC≌△EDC(SAS).
(2)解:①在△BCF和△DCG中
∵BC=DC, ∠BCD=∠DCE,CF=CG,
∴△BCF≌△DCG(SAS),
∴∠CBF=∠CDG.
∵∠CBF+∠BCF=∠CDG+∠DHF
∴∠BCF=∠DHF=60°.
②∵EB平分∠DEC,
∴∠DEH=∠BEC.
∵∠DHF=60°,
∴∠HDE=60°-∠DEH.
∵∠BCE=60°+60°=120°,
∴∠CBE=180°-120°-∠BEC=60°-∠BEC.
∴∠HDE=∠CBE. ∠A=∠DEG.
∵△ABC≌△EDC, △BCF≌△DCG(已证)
∴∠BFC=∠DGC,
∵∠ABF=∠BFC-∠A, ∠HDE=∠DGC-∠DEG,
∴∠ABF=∠HDE,
∴∠ABF=∠CBE,
∴BE平分∠ABC.
【解析】【分析】(1)由角平分线定义得出∠ACB=∠ACE,由ASA证明△ABC≌△EDC即可.
(2)①由ASA证明△BCF≌△DCG,得出∠CBF=∠CDG;在△BCF,△DHF中,由三角形内角和定理得出∠BCF=∠DHF=60°.
②由全等三角形的性质得出∠A=∠DEG,∠ABF=∠BFC-∠A, ∠HDE=∠DGC-∠DEG,从而得出∠ABF=∠HDE,∠ABF=∠CBE,即BE平分∠ABC.
5.如图,EF⊥AB于F,CD⊥AB于D,点在AC边上,且∠1=∠2= .
(1)求证:EF∥CD;
(2)若∠AGD=65°,试求∠DCG的度数.
【答案】(1)证明:∵EF⊥AB于F,CD⊥AB于D,
∴∠BFE=∠BDC=90°,
∴EF∥CD.
(2)解:∵EF∥CD,
∴∠2=∠DCE=50°,
∵∠1=∠2,
∴∠1=∠DCE,
∴DG∥BC,
∴∠AGD=∠ACB=65°,
∴∠DCG=
【解析】【分析】(1)由垂直的定义,可求得∠BFE=∠CDF=90°,可证明EF∥CD;
(2)利用(1)的结论,结合条件可证明DG∥BC,利用平行线的性质可得∠AGD=∠ACB= ,则∠DCG=∠ACB-∠2即可求得.
6.如图1,点O为直线AB上一点,过点O作射线OC,使∠BOC=120°.将一直角三角板的直角顶点放在点O处,一边OM在射线OB上,另一边ON在直线AB的下方.
(1)将图1中的三角板绕点O按每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周.在旋转的过程中,假如第t秒时,OA、OC、ON三条射线构成相等的角,求此时t的值为多少?
(2)将图1中的三角板绕点O顺时针旋转图2,使ON在∠AOC的内部,请探究:∠AOM 与∠NOC之间的数量关系,并说明理由.
【答案】(1)解:∵三角板绕点O按每秒10°的速度沿逆时针方向旋转,
∴第t秒时,三角板转过的角度为10°t,
当三角板转到如图①所示时,∠AON=∠CON
∵∠AON=90°+10°t,∠CON=∠BOC+∠BON=120°+90°﹣10°t=210°﹣10°t
∴90°+10°t=210°﹣10°t
即t=6;
当三角板转到如图②所示时,∠AOC=∠CON=180°﹣120°=60°
∵∠CON=∠BOC﹣∠BON=120°﹣(10°t﹣90°)=210°﹣10°t
∴210°﹣10°t=60°
即t=15;
当三角板转到如图③所示时,∠AON=∠CON= ,
∵∠CON=∠BON﹣∠BOC=(10°t﹣90°)﹣120°=10°t﹣210°
∴10°t﹣210°=30°
即t=24;
当三角板转到如图④所示时,∠AON=∠AOC=60°
∵∠AON=10°t﹣180°﹣90°=10°t﹣270°
∴10°t﹣270°=60°
即t=33.
故t的值为6、15、24、33.
(2)解:∵∠MON=90°,∠AOC=60°,
∴∠AOM=90°﹣∠AON,∠NOC=60°﹣∠AON,
∴∠AOM﹣∠NOC=(90°﹣∠AON)﹣(60°﹣∠AON)=30°
【解析】【分析】(1)根据已知条件可知,在第t秒时,三角板转过的角度为10°t,然后按照OA、OC、ON三条射线构成相等的角分四种情况讨论,即可求出t的值;
(2)根据三角板∠MON=90°可求出∠AOM、∠NOC和∠AON的关系,然后两角相加即可求出二者之间的数量关系.
7.根据下图回答问题:
(1)如图1,CM平分∠ACD,AM平分∠BAC,∠MAC+∠ACM=90°,请判断AB与CD的位置关系并说明理由;
(2)如图2,当∠M=90°且AB与CD的位置关系保持(1)中的不变,当直角顶点M移动时,问∠BAM与∠MCD是否存在确定的数量关系?并说明理由;
(3)如图3,G为线段AC上一定点,点H为直线CD上一动点且AB与CD的位置关系保持(1)中的不变,当点H在射线CD上运动时(点C除外)∠CGH+∠CHG与∠BAC有何数量关系?猜想结论并说明理由.
【答案】(1)∵CM平分∠ACD,AM平分∠BAC,
∴∠BAC=2∠MAC,∠ACD=2∠ACM,
∵∠MAC+∠ACM=90°,
∴∠BAC+∠ACD=180°,
∴AB∥CD;
(2)∠BAM+∠MCD=90°,
理由:如图,过M作MF∥AB,
∵AB∥CD,
∴MF∥AB∥CD,
∴∠BAM=∠AMF,∠FMC=∠DCM,
∵∠M=90°,
∴∠BAM+∠MCD=90°;
(3)∠BAC=∠CHG+∠CGH.
理由:过点G作GP∥AB,
∵AB∥CD
∴GP∥CD,
∴∠BAC=∠PGC,∠CHG=∠PGH,
∴∠PGC=∠CHG+∠CGH,
∴∠BAC=∠CHG+∠CGH.
【解析】【分析】(1)已知CM平分∠ACD,AM平分∠BAC,根据角平分线的定义可得∠BAC=2∠MAC,∠ACD=2∠ACM,再由∠MAC+∠ACM=90°,即可得∠BAC+∠ACD=180°,根据同旁内角互补,两直线平行即可得AB∥CD;(2)∠BAM+∠MCD=90°,过M作MF∥AB,即可得MF∥AB∥CD,根据平行线的性质可得∠BAM=∠AMF,∠FMC=∠DCM,再由∠M=90°,即可得∠BAM+∠MCD=90°;(3)∠BAC=∠CHG+∠CGH,过点G作GP∥AB,即可得GP∥CD,根据平行线的性质可得∠BAC=∠PGC,∠CHG=∠PGH,所以PGC=∠CHG+∠CGH,即可得∠BAC=∠CHG+∠CGH.
8.如图,四边形ABCD的内角∠DCB与外角∠ABE的平分线相交于点F.
(1)若BF∥CD,∠ABC=80°,求∠DCB的度数;
(2)已知四边形ABCD中,∠A=105o,∠D=125o,求∠F的度数;
(3)猜想∠F、∠A、∠D之间的数量关系,并说明理由.
【答案】(1)解:∵∠ABC=80°,
∴∠ABE=180°-∠ABC=100°,
∵BF平分∠ABE,
∴∠EBF= ∠ABE=50°,
∵BF∥CD
∴∠BCD=∠EBF=50°
(2)解:∵∠FBE是△EBC的外角,
∴∠F=∠EBF-∠ECF
∵BF平分∠ABE、CF平分∠BCD,
∴∠EBF= ∠ABE=,∠ECF= ∠BCD,
∵∠ABE=180°-∠ABC,
∴∠F= (180°-∠ABC)- ∠BCD= [180°-(∠ABC+∠BCD)],
∵在四边形ABCD中,∠ABC+∠BCD=360°-∠A-∠D,
∴∠F= [180°-(360°-∠A-∠D)],
∴∠F= (∠A+∠D-180°),
∵∠A=105o,∠D=125o,
∴∠F= (105o +125o -180°)=25°
(3)解:结论:∠F= (∠A+∠D-180°)
理由如下:∵∠FBE是△EBC的外角,
∴∠F=∠EBF-∠ECF
∵BF平分∠ABE、CF平分∠BCD,
∴∠EBF= ∠ABE=,∠ECF= ∠BCD,
∵∠ABE=180°-∠ABC,
∴∠F= (180°-∠ABC)- ∠BCD= [180°-(∠ABC+∠BCD)],
∵在四边形ABCD中,∠ABC+∠BCD=360°-∠A-∠D,
∴∠F= [180°-(360°-∠A-∠D)],
∴∠F= (∠A+∠D-180°)
【解析】【分析】(1)由角平分线的性质和邻补角的定义可得:∠FBE=∠FBA= ∠ABE=(180°-∠ABC);由平行线的性质可得∠BCD=∠FBE可求解;
(2)由平行线的性质可得:∠ABC+∠A=180°;∠BCD+∠D=180°;由已知条件可得:
∠ABC=180°-∠A;∠BCD=180°-∠D;由角平分线的性质和邻补角的定义可得:
∠FBE=∠FBA= ∠ABE=(180°-∠ABC);∠BCF=∠BCD,由三角形外角的性质可得∠FBE=∠F+∠BCF,于是∠F=∠FBE-∠BCF,把求得的∠FBE和∠BCF的度数代入计算即可求解;
(3)结合(1)和(2)的结论可求解:∠F=(∠A+∠D-180°)。
9.已知直线AB//CD,P是两条直线之间一点,且AP⊥PC于P.
(1)如图1,求证:∠BAP+∠DCP=90°;
(2)如图2,CQ平分∠PCG,AH平分∠BAP,直线AH、CQ交于Q,求∠AQC的度数;
【答案】(1)证明:过P作PQ∥AB,
∴∠BAP=∠APQ
∵AB//CD
∴PQ//CD
∴∠DCP=∠CPQ
∴∠BAP+∠DCP=∠APQ+∠CPQ=∠APC
又∵AP⊥PC于P
∴∠APC=90°
∴∠BAP+∠DCP=90°
(2)解:过Q作QM∥AB,
∵CQ平分∠PCG ,AH平分∠BAP,
设∠PCQ=∠QCG=a ,∠BAH=∠HAP=b,
∵QM∥AB,∠BAQ=180° b
∴∠BAQ=∠AQM=180°
又∵AB//CD,
∴MQ//CD,
∴∠CQM=180° a
∴∠AQC=(180° b)(180° a)=a b
又∵由(1)得∴∠BAP+∠DCP=90°
∵∠DCP=180° 2a ,∠BAP=2b
∴2b+180° 2a=90°
∴a b=45°
∴∠AQC=45°
【解析】【分析】(1)过P作PQ∥AB,根据平行线的判定定理得出PQ//CD,由平行线的性质,得到∠BAP=∠APQ,∠DCP=∠CPQ,结合AP⊥PC,即可得到答案;
(2)过Q作QM∥AB,由平行线的性质和角平分线的性质,得到角度之间的关系,即可得到答案.
10.如图,在△ ABC中,∠ ABC、∠ ACB的平分线交于点O.
(1)若∠ABC=40°,∠ ACB=50°,则∠BOC=________
(2)若∠ABC+∠ ACB=lO0°,则∠BOC="________"
(3)若∠A=70°,则∠BOC=________
(4)若∠BOC=140°,则∠A=________
(5)你能发现∠ BOC与∠ A之间有什么数量关系吗?写出并说明理由.
【答案】(1)135°
(2)130°
(3)125°
(4)100°
(5)解:BO平分∠ABC, CO平分∠ABC ∴∠OBC=0.5∠ABC ∠OCB=0.5∠ACB ∴∠OBC+∠OCB=0.5∠ABC+0.5∠ACB= 0.5(180-∠A)=90-0.5∠A ∴∠O=180-(∠OBC+∠OCB)=180-(90-0.5∠A)=90°+0.5∠A
【解析】【解答】解:(1)∵∠ABC=40°,∠ACB=50°,在△ABC中,∠ABC、∠ACB的平分线交于点O.
∴∠OBC= ∠ABC=20°,∠OCB= ∠ACB=25°,
∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-20°-25°=135°,
故答案是:135°;
( 2 )在△ABC中,∠ABC、∠ACB的平分线交于点O.
∴∠OBC= ∠ABC,∠OCB= ∠ACB,
∴∠OBC+∠OCB= (∠ABC+∠ACB)=50°,
∴∠BOC=180°- (∠ABC+∠ACB)=180°-50°=130°,
故答案是130°.
( 3 )在△ABC中,∠ABC、∠ACB的平分线交于点O.
∴∠OBC= ∠ABC,∠OCB= ∠ACB,
∴∠OBC+∠OCB= (∠ABC+∠ACB)=55°,
∴∠BOC=180°- (∠ABC+∠ACB)=180°-55°=125°,
故答案是125°;
( 4 )∵∠BOC=140°,
∴∠OBC+OCB=40°,
∵∠OBC= ∠ABC,∠OCB= ∠ACB,
∴∠ABC+∠ACB=2(∠OBC+OCB)=80°,
∴∠A=100°,
故答案是:100°;
【分析】根据角平分线的性质以及三角形内角和定理得出∠OBC和∠OCB与∠A之间的关系,然后根据△BOC的内角和定理得出∠BOC与∠A的关系.
11.已知:∠1=∠2,EG 平分∠AEC.
(1)如图1,∠MAE=50°,∠FEG=15°,∠NCE=80°.试判断EF 与CD 的位置关系,并说明理由.
(2)如图2,∠MAE=135°,∠FEG=30°,当 AB∥CD 时,求∠NCE 的度数;
(3)如图2,试写出∠MAE、∠FEG、∠NCE 之间满足什么关系时,AB∥CD.
【答案】(1)解:
∵
∴
∴
∴
∵EG 平分∠AEC
∴
∴
∴
∴;
(2)解:∵
∴
∵∠MAE=135°
∴
∵∠FEG=30°
∴
∵EG 平分∠AEC
∴
∵
∴;
(3)解:
∵
∴
∴
∴
∴
∵EG 平分∠AEC
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴ .
【解析】【分析】(1)根据可得,根据角的和差关系和角平分线的性质可得,从而得证;(2)根据可得,根据平行线的性质以及角平分线的性质可得;(3)根据可得,根据平行线的性质可得
,再根据角平分线的性质可得
,再根据平行线的性质即可得
.
12.如图1,将一副直角三角板的两顶点重合叠放于点O,其中一个三角板的顶点C落在另一个三角板的边OA上,已知∠ABO=∠DCO=90°,∠AOB=45°,∠COD=60°作∠AOD的平分线交边CD于点E。
(1)求∠BOE的度数。
(2)如图2,若点C不落在边OA上,当∠COE=15°时,求∠BOD的度数。
【答案】(1)解:∵∠COD=60°,OE为∠COD的平分线,
∴∠COE=30°,
∴∠BOE=∠AOB+∠COE
=45°+30°
=75°;
(2)解:∵∠COE=15°,
∴∠DOE=∠DOC-∠OCE=60°-15°=45°,
∵OE平分∠AOD,
∴∠AOD=2∠DOE=2×45°=90°,
∴∠BOD=∠AOD+∠AOB=90°+45°=135°.
【解析】【分析】(1)OE为∠COD的平分线,求出∠COE的度数,则∠BOE的度数等于∠AOB和∠COE的度数之和;
(2)现知∠COE的度数,则∠DOE度数可求,结合OE平分∠AOD,则∠AOD可求,于是∠BOD的度数可得;