北京大学数学科学学院期末试题-高等代数-2012
01
北京大学数学学院期末试题
2011－ 2012学年第一学期
考试科目 高等代数 I 考试时间 2012年 1 月 3 日 姓 名 学 号
1 1
10分）已知 n 阶方阵 A =
11
求矩阵 X , 使得 A X = B .
解: 对矩阵 [ A | B ] 作初等行变换 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0
1 1 1 1 1 1 0 0 1
2 2
2
0 1 0 0
0 1 1 1 1 1 1 1 2 3 3
0 1 1
0 1 2
2 0
1 1 1
1 1
2
3 n
0 1 1
1
0 1 2
n1
1 0 0
0 1 1 1 1
1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0
0 1 1 1
0 1 0 0
0 1 1 1 0 0 1
0 0 1
1
0 0 1
0 0 1
1
1 1 0 0 1 n
2 0 0
0 1
0 0
0 1
1 1 1
1
01
110 二(. 15分)设 A : X A X 是 R 3
上的线性变换 , 其中
A =
1 1 2
002
(1) 求线性变换 A 像空间的维数和一组基 ; (2) 求矩阵 A 的特征值与特征向量 ; (3) 判断矩阵 A 能否对角化并说明理由 .
解: (1) 在标准基下 , A 像空间就是矩阵 A 的列空间 , 它的一组基
10 为 1 , 2
, 维数是 2 .
02
22
(λ 2) (λ2
2λ) λ(λ 2) 2
A 的特征值为 = 2 ( 代数二重 ), 0 .
对 = 2 解齐次方程组 ( A - 2 I ) X = 0 :
1 1 0 1 1 0
1 1 2
001 0 0 0 000
通解为 x 1 = x 2 , x 3 = 0 , x 2 为自由变量 . 写成向量形式
x 1
x
2
1 x 2
x 2 x 2 1 x
3
α1 = [ 1 1 0 ] T
构成 = 2 特征子空间的一组基 .
(2)
| λI A | 1
10 λ 1
2 0 λ 2 ( λ 2)
对 = 0 解齐次方程组 A X = 0 :
1 1 0 1 1 0 1 1
2 0 0 1 0 0
2
0 0 0
通解为 x 1 = - x 2 ,x 3 = 0 , x 2 为自由变量 . 写成向量形
式
α1 = [ -1 1 0 ] T
构成 = 0 特征子空间的一组基 . （3） 由于特征值 = 2特征子空间的维数 1小于其代数重数 2,
A 不能否对角化 .
三．（35分）填空题 （多选） .
1．已知 3阶矩阵 A 的特征值为 1, 1/2 , 0 , 相应的特征向量为
使得 AB = I . 当t 取 1 时, 存在非零矩阵 C ,使得 C
A = 0 .
3. 当 -4/5 < t < 0 时, 三元二次型
x 2 + y 2 + 5 z 2
+ 2 t x y – 2 x z + 4 y z 正定
.
[ 1 0 1 ]T , [ 0 1 0 ]T , [ 1 2 0 ]T , 则
2 A 3–
3 A 2
= 11
0 1 2
1
0 0
1 1 1t
2 0 0 1 0
1/ 2 0 0 1 0 0 1 0 1
1
1
2
01 1/ 2 1
01
当 t 取 不等于 1 的值 时 , 存在矩阵 B , 2. 设 A
2t 4 10
4. 设是n维欧氏空间里的单位列向量, 则| I – 5 T |
= - 4 注: 可计算行列式或利用| I m–A B | = | I n–B
A | .
5. 在实数域上，以下诸矩阵的相抵分类是{A,B,D},{C} ,
相似分类是{A,D},{B},{C} , 合同分类是{A},{B},{C},{D} .
1 0 1 0 1 0 1 0 0
2 1 2
A 0 1 0 ,
B 1 3 1 ,
C 0 1 0 ,
D 0 1 0
1 0 1 0 1 0 3 0 1 0 0 0
6. 以下说法正确的有 (a)(b)(c)(d) 多( 选).
a) 如果两个实对称矩阵相似, 它们也一定合同;
b) 实方阵都能写成P Q 的形式, 其中P 是实对称矩阵,
Q是正交矩阵c) 每个矩阵都能写成P J的形式, P是可逆
矩阵, J是行简化阶梯矩阵d) 实方阵都能写成Q R 的形
式, Q 是正交矩阵, R 是上三角矩阵四.(12 分)判断对
错, 正确的请给出证明, 错误的举出反例.
1) 在包含n (n>1)个向量的向量组中, 若任意n - 1 个向量都线性
无关, 则整个向量组也线性无关.
12
解: 此命题错误. 例如, 考察向量组0,0, 其中由任意一个向量构成的部分组都线性无关, 但整个向量组线性相关.
2) 设 A 是m n 矩阵. 若存在矩阵 B 与C, 使得BA = I
n , AC = I 则必有m = n , 且B = C .
解: 此命题正确. 由矩阵乘法的结合律, 有
C = ( BA ) C = B ( AC ) = B , 于是m = n.
五.(20分)设 f = 2 x1 x2 + 2 x1 x3 + 2 x2 x3 是三元二次
型 .
(1) 将 f 写成X T A X 的形式, 并求A 的特征值与特征向量 ;
(2) 求正交矩阵P 及对角矩阵D, 使得 A = P D P T;
(3) 求二次齐次函数 f ( x1 , x2 , x3 ) 在单位球面x12+ x22+ x32= 1
上的最大 、 最小值 , 并确定在何处取到 .
A 的特征值为 = - 1 （代数二重 ）, 2 .
对 = - 1 解齐次方程组 ( A + I ) X = 0 :
1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1
0 0 0
通解为 x 1 = - x 2-x 3 , x 2 、x 3 为自由变量 . 写成向量形
式
x 1
x 2 x 3 1 1 x 2 x 2 x 2 1 x 3 0 x 3
x 3
0 1
α1 = [ -1 1 0 ] T
, α2 = [ -1 0 1 ]T
构成 = - 1特征子空间的一组基 .
对 = 2解齐次方程组 ( A - 2 I ) X = 0 :
2 11 1 2 1
1 0 1
1 21
2 1 1
0 1 1 1
12
0 0 0
0 0 0
解 : (1)
f X AX x
1 x
2
λ 1 1
λ 11
λ 2 1 | λI A| 1 λ 1
1
λ1
1 λ1 1
1 1 λ
01 λ λ 1
0 λ1
(λ 1)( λ2 λ 2)
2
(λ 1)
( λ 2)
11 x
x 1 1 x 2 01 x 3 1 0 11
通解为x1 = x3 , x2 = x3 , x3 为自由变量. 向量形式:
x 1 x 3 1
x 2
x
3
x
3
1 x
3
x
3
1
于是 α3 = [ 1 1 1 ] T
构成 = 2特征子空间的一组基 . (2) 将 α1 = [ -1 1 0 ] T , α2 = [ -1 0 1 ]T
正交化: 令 β1 = α1 ,
再单位化 :
1 1 将 α3 = [ 1 1 1 ] T
也单位化 :
γ
3 3
1 .
3
1
1
, 2 , 3 构成 R 3
的标准正交基 , P = [ 1
(3) 做正交替换 X = P Y ,
f = X T A X = Y T P T A P Y = Y T
D Y
由于 P 正交, x 12
+ x 22
+ x 32
= 1 当且仅当 y 12
+ y 22
+ y 32
=
1.
β
2
( α2,β1) (β,
1
1
1
1
2
2
1
2
1 ||β
β1
1 1 , γ2
1 ||β2
β2
6
6 2 3
] 为正交矩阵
1
A PDP T
[ γ1
γ2
γ3
]
1
γ1T
T
γ
2
2 γ3T
y 12
- y 22
+ 2 y 32
.
β
1
11111
1
2
当y12+ y22+ y32= 1 时,
f = - y12- y22+ 2 y32222
2( y12+ y22+ y32)
等号成立 当且仅当 y 3 = ±1, y 1 = y 2= 0, 即 X 取 = 2 特征子空间 中的单位向量 3时成立 .
类似地 , 当 y 12
+ y 22
+ y 32
= 1 时 ,
f = - y 12
- y 22
+ 2 y 32
- ( y 12
+ y 22
+ y 32
) = -1,
等号成立 当且仅当 X 取 = -1 特征子空间中的单位向量时成立 .
六.(8分)设 A 是一个 n 阶正定矩阵 , 其 ( i , j ) 元记
为 a i j .
证明 :
a
11
a 22 . . . a nn | A | .
证法 1. 对 n 应用数学归纳法 .
当 n = 1 时 , A = a 11 = | A | , 命题成立 . 以下设命题对 n -1 成立, 考察 A 是 n 阶矩阵的情况 . A
n 1
记 A = n
T 1
, 其中 A n-1是 n - 1 阶正定矩阵 , 是 n
- 1
α
nn
维列向量 . 对 A 做成对的行 ,列分块运算 , 得
I n 1 0 A n 1 I n 1 0 T
A n 1
T A -n 1
-1
1 T αnn
T A
-n 1-1
1 0 αnn
T
A
-n 1-1
于是 | A | = | A n-1 | ( a nn - T
A n-1-1
) .
由归纳假设
, | A
n-1
| a 11 a 22 . . . a n-1n-1 . 又由 A n-1
正定知
A
n-1
的特征值都 > 0, 于是实对称矩阵 A n-1-1
的特征值也都大
于 0, 故A n-1-1也正定 . 特别地, 有T A n-1-10 .
综上所述 , | A | = | A n-1 | ( a nn - T A n-1-1)
故命题对所有n 成立.
证法 2. 利用 Cholesky 分解: 每个正定矩阵 A 都可写成
A = L T L , 其中L 是对角元都> 0 的实上三角矩
阵 . 设 L 的 ( i , j ) 元为 b i j , 则有
a j j = b1 j2+ b2 j2+ ? +
b j j2b j j2.
2 2 2 T
故 a 11 a 22 . . . a nn b11 b22 . . . b nn = | L L | =| A |.
a11 a22 . . . a n-1n-1 a nn .