离散数学期末考试试题及答案
冑散数学试题(B卷篆亲U
一、证明题(10分)
1)(「P/\ J Q/\R) ) V (Q/\R) V (PAR)oR
iW：左端n(-P/\-QAR) V((QVP) AR)
<^>((_PA-fi)AR))V( (QVP) AR)
o(-1(PVQ)AR)V((QVP)AR)
o(-WQ)V(QVP))AR
oJGVQ)\/(P\/Q))AR
oTAR(l^)6
2)3x (A(X)T B(X))O V X A(X)^3X B(X)
:3X(A(X)T B(X))U3X(-A(X) VB(x))
<^x-A(x) V2xB(x)
<^=>-iVxA(x) \/3}￡(x)
oVxA (x)—>3xB (x)
二、求命题公式(PV(QAR))^(PAQAR)的主析取范式和主合取范式(10分)。
证明：(PV(QAR))^(PAQAR)
O (^PA(-nQV^R)) V(PAQAR)
o JP/\「Q)v (-PA^R)) V (PAQAR)
o(「P/\「QAR)v (-nPA-QA^R) V (-nP AQ A-R)) V (-.PA-nQ A^R)) V (PAQAR)
<=>moVmi VmzVmT
^M O VM^VM B VM G
三、推理证明题(10分)
1) CVD, (CVD)T「E, 「E T(A/\「B), (AA-nB)-^(RVS)=>RVS
证明：(1) (CVD)T「E P
(2)「E T(A/UB) P
(3) (CVD)^(AA-nB) T(l)(2), I
(4) (AA^B)^(RVS) p
(5) (CVD)T(RVS) T⑶⑷，I
(6) CVD p
(7) RVS T(5), I
2) Vx(P(x)TQ(y) AR(x)), 3xP (x) =>Q (y) A 3x (P (x) A R (x))
证明(l)3xP(x) P
(2)P(a)
(3)Vx(P(x)TQ(y)AR(x))
(4)P(a)^Q(y) AR(a)
(5)Q(y) AR(a)
(6)Q(y)
(7)R(a)
(8)P(a) AR(a)
(9)3x(P(x)AR(x))
(10)Q(y) A3x(P(x) AR(x)) T ⑴,ES
P
T(3), US
T⑵⑷，I
T(5), I
T(5), I
T(2) (7), I
T(8), EG
T(6) (9), I
四、某班有25需学生，其中14人会打篮球，12人会打排球，6人会打篮球和排球，5 人会打篮球和网球，还有2人会打这三种球。而6个会打网球的人都会打另外一种球，求不会打这三种球的人数(10分九
解：A, B, C分别表示会打排球、网球和篮球的学生集合。则山二12, B二6, C：二14, AAC =6, BAC =5, AQBC1C 二2。
先求|AAB|o
???6二(AUC) AB =1 (AOB) U (BAC) h (AAB) !+ (BAC) - AABC1C 二(AQB) ：+5-2, ??? (ACB)二3。
于是AUBUC =12+6+14-6-5-3+2=20.不会打这三种球的人数25-20=5o
五、已知A、B. C是三个集合，证明A-(BUC) = (A-B)n(A-C) (10分)。
证明：Vxe A- (BUC) o xe AAxg (BUC)
0 xe AA (xgBAxgC)
0 (xe AAxgB) A (xe AAxgC)
0 xe (A-B) Axe (A-C)
0 xe (A-B) n (A-C)
A A- (BUC) = (A-B) A (A-C)
六、已知R. S是N上的关系，其定义如下:R={ 解：R'-{ R*S={ S*R={ 七、设R={ 解：r(R) = { s(R) = { b>t R3= R={ R：={ R-{ t(R)二：〈a, b〉，〈b, c>,〈c, a〉，〈a, c>, 〈a, 〈b, bz>〈c, b》，〈c, c>} 八、证明整数集I上的模m同余关系R二{ 证明：1) VxG L 因为(x-x) /m=0t 所以x=x(mod m),即xRx。 2)Vx, yWl,若xRy,贝lj x=y(mod m),即(x-y) /m=kGI,所以(y - x) /m=-k WI,所以y=x (mod m) ?即yRx o 3)Vx, y, z￡ I> 若xRy, yRz,贝lj (x-y ) /m^uGI? (y-z) /m=vGI, p是(x-z) /m= (x-y+y-z) /m=u+v Gl,因此xRz。 九、若f:A-B和g：B-C是双射，则(gf) TV (10分)。 证明：因为f、g是双射，所以gf： A-C是双射，所以gf有逆函数(gf) _1： C-*Ao 同理可推f'T： C-A是双射。 因为〈x, y〉Wf 存在z ( 南俶赦禽试軀3歎备嚓2) 一、证明题(10分) 1)((PVQ) A^(-PA (-nQV-nR))) V JP/\「Q) V JP/UR)oT 证明:左端0((PVQ) A (PV (QAR)))V-n((PVQ)A(PVR))(摩根律) o ((PVQ) A (PVQ) A (PVR)) V「((PVQ) A (PVR))(分配律) o ((PVQ) A (PVR)) V-n((PVQ) A (PVR))(等幕律) 0T (代入) 2)VxX/y(P&)T0(y))0 0 GxP Cr) TVyQ (y)) 证明:VxVy (P(x)T0(y))(「P(x) V03)) (-.PG) VVyC(y)) <=>Vx-.PG) VVy0(y) O-3xP(x) VVyC(y) 0 (BxP(X)TVyQ (y)) 二、求命题公式(「P T Q)T(PV「Q)的主析取范式和主合取范式(10分) 解：(「P T Q)T(PV「Q)O「(「P T Q)V(P\/「Q) ^(PVQ) V(PV-nQ) <^>(_PA-nQ) V(PV-nQ) oJPX/P—Q) A (-QVPV-.Q) 0(PV「Q) OH] <^>mOVm2 Vm3 三、推理证明题(10分) 1)(P T(Q T S)) A JRVP) AQnRTS 证明：(1)R ⑵「RVP ⑶p ⑷ P T(Q T S) (5)Q->S (6)Q (7)S (8)R T S 2)Iv (A (x) T VyB (y)), Vx(B (x) ^ByC (y))卜V.M G) -^3yC (y) 0 证明：(l)3AUG)^VyB(y)) P (2)A(“)TVyB(y) T(l), ES (3)V.Y(BG)^3yC(y)) P (4)力(B(X)T C(C)) T(3), ES ⑸B(b)TC(c)T(4), US (6)A(G)T B(〃)T(2), US (7)A(“)TC(e) T(5) (6), I (8)V.vAG)->C(c) T(7), UG (9)V.vA G) ->3yC (y) T ⑻，EG 四、只要今天天气不好，就一左有考生不能提前进入考场，当且仅当所有考生提前进入考场，考试才能准时进行。所以，如果考试准时进行，那么天气就好(15分)。 解设P：今天天气好，Q：考试准时进行，A(e)： e提前进入考场，个体域：考生的集合，则命题可符号化为：^.P^Bx-A G), 卜 ⑴「P (9)—,P—(Y) ⑶ V.M(X)T P T(2), E ⑷ V.M (x) O0 P ⑸(V.rA (x) T0 A (Q T V.M (x)) 7X4), E ⑹ Q T V.V U X) 7X5), I ⑺Q T P T(6)(3), I 五、已知A. B、C是三个集合，证明An(BUC) = (AAB)U(AnC) (10分) 证明：Vxe AO (BUC) o xe AAxe (BUC) 0 xe AA (xeBVxeC) o ( xw A AxeB) V (xe AAxeC) <=> xe (AAB) Vxe Anc<=> xe (AAB) U (ACC) AAA (B UC) = (AAB) U (AAC) 六、A={ x：, x：, x3 }, B={ yi, y2} > R={ 图(10分)。 七、设R={<2,1>, <2, 5>, <2,4>, <3,4>, <4,4>, <5, 2>},求r(R). s(R)和t (R),并作岀它们及R的关系图(15分)。 解：r(R) = {<2, 1>, <2, 5>, <2, 4>, <3, 4>, <4, 4>, <5, 2>, <1, 1>, <2, 2>, <3, 3>, <4,4>, <5, 5>} s (R) = {<2,1>, <2, 5>, <2, 4>, <3, 4>, <4, 4>, <5, 2>, <1, 2>, <4, 2>, <4, 3>} R==R5={<2, 2>, <2, 4>, <3, 4>, <4, 4>, <5,1>, <5, 5>, <5, 4>} R5={<2,1>, <2, 5>,〈2, 4>, <3, 4>, <4, 4>, <5, 2>, <5, 4>} R;={<2, 2>, <2, 4>,〈3, 4>, <4, 4>, <5, 1>, <5, 5>, <5, 4>} t (R) = {<2, 1>, <2, 5>, <2, 4>, <3, 4>, <4, 4>, <5, 2>, <2, 2>, <5, 1>, <5, 4>, <5, 5>} 八、设/?：是A上的等价关系，凡是B上的等价关系，AH0且BH0。关系/?满足：?A-4, 5, y2?G/?<=> 证明对任意的y>^AXB,由凡是A上的等价关系可得<“ QW凡，由凡是B 上的等价关系可得 对任意的〈兀，y>、 若5 y>R 对任意的y>、x t>EAXBt 若 y>/? 综上可得，R是AXB上的等价关系。 九、设A T B, g：B T C, h： C—>A> 证明:如果hogof=l“ .河2g=/〃，g护h=Ic，则人g、力均为双射，并求出广、g-'和胪'(10分)。 解因n恒等函数，由hogoff可得/是单射，力是满射：因％恒等函数，由冋。& =%可得g是单射，?/?是满射：因％恒等函数，由&。何1=人可得力是单射，g是满射。从而八&、力均为双射。 由hog寸=I A,得厂=lzg；由fohog=Ii“得g、=例；由gofoh=Ic,得h 壮=耐。 离傲赦禽试軀3衆备案耳 一、(10分)判断下列公式的类型(永真式、永假式、可满足式)？(写过程) 1)P->(PVQVR) 2)-,((Q T P) V「P) A (PVR) 3) ((「PVQ)T R)T((P/\Q) VR) 解：1)重言式；2)矛盾式：3)可满足式 二、(10分)求命题公式(PV(QAR))^(PVQVR)的主析取范式，并求成真赋值。 解：(PV(QAR))-?(PVQVR)<=>-n(PV(QAR))VPVQVR 0「P/\ (」QV「R) VPVQVR O(「P/\「Q) v (「PA「R) V (PVQ) VR o(「(P\/Q) V (PVQ)) V JP/\「R) VR olV((「PA「R)VR)ol <^nhVm： Vm^Vms Vmi VmaVnuVniT 该式为重言式，全部赋值都是成真赋值。 三、(10 分)证明((P/\QAA)->C)/\(AT(P\/Q\/C))o(AA(Pn))TC 证明：((PAQAA)->C) A (A^(PVQVC))?>(^(PAQAA) VC) A (-AV (PVQVC)) o((「PV 「QgA) VC) A ((-I AVPVQ) VC) o((「PV「QgA) A (-AVPVQ)) VC o「((「PV「QV j) A (^AVPVQ))->C o(「(「PV「QV』V^(^AVPVQ))->C <^>((PAQAA) V (A/\「PA「Q))T C <^>(AA((PAQ) V(-nPA-Q))) TC o(A/\ ((PV「Q) A(-nPVQ))) TC o (A/\ ( (Q T P) A (P T Q))) T C O(A/\(P O Q))T C 四、(10分)个体域为{1, 2},求X/xmy (x+y=4)的真值。 解：Vx3y (x+y=4) <=>Vx ((x+1 二4) V (x+2=4)) o ((1+1=4) V (1+2=4)) A ((2+1二4) V (2+2=4)) o (0V0) A (0V1) oOAloO 五、(10分)对于任意集合A, B,试证明：P(A)nP(B)=P(AAB) 解：VxeP(A) C1P(B), xeP(A)且xwP(B),有x^A 且xqB,从而xcAAB, xeP(An B),由于上述过程可逆，故P(A)np(B)=P(AAB) 六、(10 分)已知A二{1, 2, 3, 4, 5}和R={<1, 2>, <2, 1>, <2, 3>, <3, 4>, <5, 4?, 求r(R)、s(R)和t(R)o