数学分析简明教程答案
第十章 数项级数
§1 级数问题的提出
1．证明：若微分方程0=+'+''xy y y x 有多项式解
n n x a x a x a a y ++++= 2210，
则必有),,2,1(0n i a i ==．
证明 由多项式解n
n x a x a x a a y ++++= 2210得
1232132-++++='n n x na x a x a a y ， 22432)1(1262--++++=''n n x a n n x a x a a y .
从而 1
34232)1(1262--++++=''n n x a n n x a x a x a y x ， 且 1
11232210+---++++++=n n n n n n x a x a x a x a x a x a xy .
将上述结果代入微分方程0=+'+''xy y y x ，得
342231201)16()9()4(x a a x a a x a a a ++++++
0)(11122=++++++---n n n n n n n x a x a x a n a .
比较系数得递推公式如下：
?
?????
???
??===+=+=+=--.
0,0,
0,09,04,0122
31201n n n n a a a n a a a a a a
由此解得0210=====n a a a a ，因而),,2,1,0(0n i a i ==．
2．试确定系数 ,,,,10n a a a ，使
n n n
x a
∑∞
=0
满足勒让德方程
0)1(2)1(2=++'-''-y l l y x y x .
解 设n
n n
x a
y ∑∞
==
，则1
1
-∞
=∑='n n n x
na y ，22
)1(-∞
=∑-=
''n n n
x a
n n y ，故
∑∑∑∞
=∞
=-∞
=----=--=''-2
22
2
2
22
)1()1()1()1()1(n n n n n n n n n x a n n x
a n n x
a n n x y x ，
∑∑∞
=∞
=--=-='-11
1
222n n n n n n x na x
na x y x ，
∑∑∞
=∞
=+=+=+0
)1()1()1(n n n n n
n x a l l x a l l y l l .
将上述结果代入勒让德方程0)1(2)1(2
=++'-''-y l l y x y x ，得
y l l y x y x )1(2)1(02++'-''-=
∑∑∑∑∞
=∞=∞=∞
=-++----=0
1
2
22
)1(2)1()1(n n n n n
n n n
n n n n x a l l x na x a n n x
a n n
∑∑∑∑∞
=∞
=∞
=∞
=+++---++=0
1
2
2)1(2)1()1)(2(n n n n n
n n n
n n n
n x a l l x na x a n n x a n n .
比较系数，得递推公式如下：
?
??
???
??
???=+++++-=+++--=++-=++-=++++-.
,0)1)(2()1)((,
0)1()))(1((,012)3)(2(,
06)2)(1(,02)1(21
1423120
n n n n a n n a n l n l na n a n l n l a a l l a a l l a a l l 由此解得
?????
??
????????
???????
??
?++++-+-+--=???++--=?+--=?+--=-++++-+--=??++-=?+--=+-=+
,
)!12()2()4)(2)(1()32)(12()1(,
2345)4)(2)(1)(3(45)4)(3(,
23)2)(1(,)!2()12()3)(1()42)(22()1(,
234)3)(1()2(34)3)(2(,2
)1(1121351
3020
2402
a k k l l l l k l k l a a l l l l a l l a a l l a a k k l l l l k l k l a a l l l l a l l a a l l a k k k k
从而可以得到
??
????-+++-+--+=∑∞=1200)!2()12()1()42)(22()1(k k k x k k l l l k l k l a a y
??
?
???+++-+-+--++∑∞=+11211)!12()2()2)(1()32)(12()1(k k k x k k l l l k l k l a x a .
其中10,a a 取任何常数．
§2 数项级数的收敛性及其基本性质
1．求下列级数的和： （1）
∑∞
=+-1
)15)(45(1
n n n ； （2）
∑∞
=-12
1
41
n n
；
（3）∑∞
=---1
1
1
2)1(n n n ； （4）
∑∞
=-1
21
2n n
n ； （5）
1,sin 1
<∑∞
=r nx r
n n
；
（6）
1,cos 1
<∑∞
=r nx r
n n
．
解（1）由于
??
?
??+--=+-15145151)15)(45(1n n n n ，故
)
15)(45(11161611+-++?+?=
n n S n ??? ??+--++-+-=1514511116161151n n )(5
1151151∞→→??? ??+-=n n ， 所以级数的和5
1=
S . （2）由于
??
?
??+--=
-121121211
41
2n n n ，故
)(2
1
121121121121513131121∞→→??? ??+-=??? ??+--++-+-=
n n n n S n .
所以级数的和2
1
=
S . （3）32
2111212)1(1
111
1=??
? ??--=
???
?
?-=--∞
=∞
=--∑∑n n n n n ．
（4）12221222121111-=??? ??-=-∑∑∑∑∞
=∞=∞=∞
=n n
n n
n n n n n
n n ，因此欲求原级数的和，只需计算级数∑∞
=122n n n 即可．对级数∑∞
=122n n n ，设其部分和n n n S 2226242232++++= ，则 14322
222226242221++-++++=n n n n
n S ， 故
14322
22222222212121+-+++++=-=n n n n n n S S S 1432222121212
1
21+-??? ??+++++=n n n
1
12
222
11211212
1+---??
?? ????? ??-+=n n n . 从而221
lim =∞→n n S ，即4lim =∞→n n S ，因此原级数31412
221211=-=-=-∑∑∞=∞
=n n n n n n ． （5）由于级数的部分和kx r
S n
k k
n sin 1
∑==
，故
[]x k x k r x kx r
xS r n
k k n
k k n )1sin()1sin(cos sin 2cos 21111
-++==∑∑=+=+
x k r x k r
n
k k n
k k )1sin()1sin(1
111
-++=∑∑=+=+
kx r
r
kx r n k k
n k k sin sin 1
2
1
2
∑∑-=+=+=
)sin ()sin )1sin((21nx r S r x r x n r S n n n n -+-++=+，
从中解得
x
r r x
n r nx r x r S n n n cos 21)1sin(sin sin 212-++-+=++.
又由于当∞→n 时，0)1sin(,0sin 1122→≤+→≤++++n n n n r x n r r nx r ，故
x
r r x
r S n n cos 21sin lim 2
-+=
∞
→， 因此
x
r r x
r nx r n n cos 21sin sin 21
-+=
∑∞
=．
（6）级数的部分和kx r
S n
k k
n cos 1
∑==
，从而
[]x k x k r x kx r
xS r n
k k n
k k n )1cos()1cos(cos cos 2cos 21111
-++==∑∑=+=+
x k r x k r
n
k k n
k k )1cos()1cos(1
111
-++=∑∑=+=+
kx r
r
kx r n k k
n k k cos cos 1
2
1
2
∑∑-=+=+=
)cos 1()cos )1cos((21nx r S r x r x n r S n n n n -++-++=+，
从中解得
x r r r x r x r r r x n r nx r x r S n n n n n cos 21cos cos 21)1cos(cos cos lim lim 22
2212-+-=-+-+-+=++∞→∞→. 因此x r r r x r nx r n n
cos 21cos cos 2
2
1
-+-=∑∞
=． 2．讨论下列级数的敛散性： （1）
∑∞
=-1
12n n n
； （2）
∑∞
=??
? ??+
1312
1
n n
n
； （3）
∑∞=+1
1
2cos
n n π
；
（4）
∑∞
=+-1
)13)(23(1
n n n ； （5）
∑
∞
=+++1
)
1()1(1
n n n n n ．
解（1）由于通项
)(02
1
12∞→≠→-n n n ，故原级数发散． （2）由于∑∑∞=∞
=??? ??=112121n n
n n ，∑∑∞=∞=??
?
??=113131n n
n n 均收敛，故原级数收敛．
（3）由于通项)(010cos 1
2cos ∞→≠=→+n n π
，故原级数发散．
（4）由于
??
?
??+--=+-13123131)13)(23(1n n n n ，
从而部分和
)
13)(23(1741411+-++?+?=
n n S n ??
? ??+--++-+-=131231714141131n n
)(3
1131131∞→→??? ??+-=n n ， 因而原级数收敛．
（5）由于
????
??+-=+-+=
+++11111)1()1(1
n n n n n
n n n n n ，
从而∞→n 时， 11
111
113
1212111→+-
=+-
+
+-+-=
n n n S n ，
故原级数收敛．
3．证明定理10.2．
定理10.2 若级数
∑∞=1
n n u ,∑∞
=1n n
v
收敛，则级数
)(1
n n n
v u
±∑∞
=也收敛，且
∑∑∑∞
=∞=∞
=±=±1
1
1)(n n n n n n n
v u v u
.
证明 设∑∑==='=
n
k k n
n
k k
n v S u
S 1
1
,，则由已知条件知，存在有限数s s ',，使得 s v S s u S n
k k n n
n n
k k n n n '=='==∑∑=∞
→∞
→=∞
→∞
→1
1
lim lim ,lim lim ， 设级数
)(1
n n n
v u
±∑∞
=的部分和数列为n μ，则
)()(1
1
1
∞→'±→'±=±=±=∑∑∑===n s s S S v u v u n
n n
k k n
k k n
k k k n μ， 所以
)(1
n n n
v u
±∑∞
=也收敛，且∑∑∑∞
=∞=∞=±=±1
1
1
)(n n n n n n n v u v u ．
4．设级数
∑∞
=1
n n
u
各项是正的，把级数的项经过组合而得到新级数
∑∞
=1
n n
U
，即
,2,1,0,1211=+++=++++n u u u U n n n k k k n ，
其中 <<<<<<=+12100,0n n k k k k k k ，若
∑∞
=1
n n
U
收敛，证明原来的级数也收敛．
证明 设∑∑====
n
k k n n
k k
n U u
S 1
1
,σ，则
n n
k k n U U U U +++==∑= 211
σ
)()(21112121k k k k u u u u u u +++++++=++ n n n n k k k k S u u u =+++++++--)(2111 .
由于
∑∞
=1
n n
U
收敛，故}{n σ有界，即{n k S }有界，即存在0>M ，使得N n ∈?，都有M S n k ≤.
又由于
∑∞
=1n n
u
是正项级数，故M S S n k n ≤≤，而且{n S }单调上升，由单调有界原理可知，
原级数∑∞
=1
n n
u
收敛．
§3 正项级数
1．判别下列级数的收敛性： （1）
∑
∞
=+12
1n n
n ；
（2）
∑∞
=--1
1
22)12(1
n n n ； （3）
∑∞
=--11
2n n n
n ； （4）
∑∞
=12
sin
n n
π
；
（5）
)1(11
1
>+∑∞
=a a n n
； （6）
∑∞
=1
1
n n
n
n
；
（7）n
n n ∑∞
=??
?
??+1121；
（8）
[]
∑∞
=+1
)1ln(1
n n
n ；