数学分析期末总复习总结(有答案)

数学分析选讲

第一讲 极限 连续

一、 数列极限的若干方法

1、?-N 方法（定义+柯西准则）

例1 证明

例2证明

= 0 ( a >1 )

例3 证明

+++322

3sin 22sin 21sin ……n n

2sin +收敛 例4 证明

不存在

2、利用迫敛性

例5 证明

02642·

12531=???-????n

n ）（

例6 求

n

n 1

1211??

?

?

?

+++

（ 1 ） 3、利用定积分定义

例7 求 ???

?

?+++++n n n n 12111 （ ）

例8 求

n n n n n

)12()1(-+ （e

4

）

迫敛性+定积分

求

1

sin 22sin

1sin

++++

++n n

n n n n n ππ

π

)2(π 练习：

n

n n n n

n n

n

12

2121221+

+++++ （

）

4、利用stolz 定理

{n a }严格↑且

n a = +∞?

n n a b = a a a b b n n n n

=----1

1

(a 是有限数、 ∞、-∞)

注：stolz 公式可重复使用

例9 证明 11

3211+=+++++p n

n p p p p p （ ） 例10 设2

ln n

C

S n

k k

n

n ∑==

,求

n S

*例11 设()101，

∈x ，)1(1n n n x x x -=+（n=1,2…） 证明：

n x =1 *例12设0sin 1>=x x ,)21(sin 1 ，，

==+n x x n n ，证明

13

=n x n

5、单调有界定理 判断单调性

1） ， 1+n x -n x ? n x ↑ 2） ，

1+n x n

x ? n x ↑

1+n x -n x ? n x

1+n x n

x ? n x

3）若1+n x =f(n x )，f '( x ) 0，当 21x x ≤时，n x ↑

当 21x x ≥时，n x

例13 设10=x ，n n x x 21=+，n=0,1,2…，证明{n x }收敛并求其极限值 （a=2）

6、利用收敛级数余项性质

例14 求

))2(1)1(11(

2

22n n n +++ （0） 7、利用收敛级数通项性质

例15 求 n

n n n )2(5！

（0）

例16 求

)

13(852)

10(1211-???+??n n （0）

8、利用“压缩映像”原理

若存在常数r ，使 恒有 ， 则数列 收敛。 例19证明{n x }：2、2

1

2+

、2

1212++，……收敛，并求其极限 ()

21+

例20设01>x ，

n

n n x c x c x ++=)

1( (c>1且为常数，n=1、2…) 证明：{n x }收敛并求 ( )

9、利用基本结果，归结原理、洛必达法则

基本结果：

1=n

n ； )1(1>=a a n ； e n n =+)1

1(；

11

1sin

=n

n ； 1111

=-n e n

； )1|(|0<=q q n

n n n n a n n n <<<<<<<<<<！αln )ln(ln (1>a ，0>α,+→n ∞)

例21

n

n n 1

)1(- ( 1 )

例22 2

)1tan (n n

n 31

e

例23

)(sin 22n n +π 1

例24

))1

1((n

n

e n +-

2

e 例25 设0>a ，0>b ，求 n

n n b a ???

?

??+2 ab

练习：求 n

n n n c b a ???

?

??++3（0>c b a 、、） c ab

二、 函数的极限

例1

22

11x x x --++ 4

1-

例2

x

x x x x sin 1

142

2+++-+ 1

例3

))11

ln(

sin )3

1ln((sin +-+x

x x 2 例4 3sin x a a x x - 6

ln a

例5

1

11136-++-+x x

x 1

例6 求 2

1

)arcsin (

x x

x 61

e 例7

4

2

2cos x e x x -

- -

12

1 例8

1

1sin 21342

2

-++--x x

x

e

x 81

例9 x

x x

x e e e e ---+ 1

例10

)

1ln(1

sin

sin 2x x x x ++ 1

例11

1

1

21

1---x e x x 不存在 例12 求

)|

|sin 12(

41x x

e

e x

x +

++ 1 例13 求

)2sin(！

en n π π2 例14 已知 +≠=--、（0)1(1990

A A n n n k

k ∞)

例15 将

___________,1

4

23===-+--l a l x x ax x ，则 （4,-6） 例16 设

____________2)15(2===+--b a bx ax x ，，则（25,20）

例17 设

，a x f =)(证明

a

x

x xf =)]

([

三、函数的连续性与一致连续性

例1 讨论=)(x f

)0()

ln(>+x n

x e n n 的连续性 例2 设)(x f 在点0=x 处连续且满足∈=x x f x f ，)()2((-∞，+∞)

证明：)(x f 为(-∞，+∞)上的常量函数。

例3 设f 在(0,+ ∞)上满足，)()2(x f x f =且

A x f =)(，证明A x f =)(，

∈x (0,+ ∞) 例4 设)(x f 在10、=x 处连续且对任何R x ∈，有)()(2

x f x f =，证明)(x f 为常函数 例5 证明方程1cos 22011

217

=-+

x

x

必有实根

例6 设f 在[]α2+a a ，连续，证明存在∈x []α2+a a ，

使得)]()2([2

1

)()(a f a f x f x f -+=

-+αα成立 例7 设f 在[0,1]上连续，)1()0(f f =，证明对 ,存在ζ使得)()1(ζζf n

f =+ 例8 证明x x f sin

)(=在(0,+ ∞)上一致连续

例9 设)(x f 在[a,+∞）上一致连续，)(x g 在[a,+∞）上连续，且有

0)]()([=-x g x f

证明)(x g 在[a,+∞）上一致连续

第二讲 一元函数微分学

一、导数与微分及其求导

例1 设2)3('=f ，则

____2)

3()3(=--h

f h f -1

例2 设)('0x f 存在，则

=_______ )(')(0x f b a +

例3 设f 可导，|)sin |1)(()(x x f x F +=，若使)(x F 在0=x 处可导，则必有____ a)

a) 0)0(=f ;

b) 0)0('=f ;

c) 0)0(')0(=+f f

例4 设)(x f 可导，且对任何实数a 、b 满足)()()(a f e b f e b a f b

a

+=+，e f =)0(' 求)('x f 与)(x f 之间的关系

例5 设)(x f 在0≠x 有定义，且对任意非零实数x 、y ，)()()(y f x f xy f +=且)1('f 存在

证明：)('x f 存在（对一切0≠x ）并求)(x f

例6 证明：黎曼函数)(X R =

q 1，q

p

x =（p 、q ，q/p 为互质真分数） 在[0,1]上 任一点处不可微

0， ）的无理数和（、

1,010=x 例7 证明)(x f = 2

1x e -

0≠x 的各阶导数0)0()

(=n f （n=1、2……）

0 0=x

例8 设)(x f =x arctan ，求)0()

(n f

例9 设)(x f =2

)(arcsin x ，求)0()

(n f

二、微分中值定理及其应用

例1 若n a a a a 、

、、210为实数，且满足02

1110=+++++-n n a a n a

n a 证明方程：011

10=++++--n n n n a x a x a x a 在（0,1）内至少有一实根

例2 若)(x f 在]10[，

上连续，在（0,1）上可导，且1)0(=f ，0)1(=f 证明：在（0,1）内至少有一点ζ，使得ξ

ξξ)

()('f f -

=

例3 设)(x f 在][b a ，上连续，在)(b a ，可导，且0)()(==b f a f

证明：存在一点)(b a ，∈ζ，使得)()('ξξkf f =（k 为不等于0的常数）

例4 若)(x f 在][b a ，上连续，在)(b a ，可导，且0)()(>b f a f ， 0)2

(

)(<+b

a f a f

证明对任意实数k,存在),(b a ∈ζ，使得)()('ξξkf f =

例5 试确定方程122

=-x x

的实根个数

例6 设11<<-x ，证明：2

12arctan 21arctan x x x -=

例7 设)(x f 在(-∞，+∞)上满足)()('x f x f =，1)0(=f ，则x

e x

f =)(，x (-∞，+∞) 例8 设)(x f 在（0，+∞)上可微，0)0(=f ，并且存在A>0，使得对 x [0，+∞)，有

|)(||)('|x F A x f ≤ 证明：),0[,0)(+∞∈≡x x f

例9 设a 、b>0,试证存在),(b a ∈ζ，使得)()1(b a e be ae a

b

--=-ξ

ξ 例10设f 在][b a 、上连续，在)(b a ，上可导，且1)()(==b f a f

试证：存在)(b a ，、∈ηξ，使1)](')([=--ηηξ

ηf f e

例11 设f 在],[b a 上连续，在)(b a ，上可导，且0)('≠x f

试证：存在)(b a ，、∈ηξ，使

η

ηξe a

b e e f f a b --=)(')(' （柯西+拉格朗日中值定理） 例12设f 在][b a ，上有连续一阶导数，在)(b a ，二阶可导，且0)()(==b f a f ，

0)(')('==b f a f ，M x f ≤|)(''| 证明：对一切],[b a x ∈有2)(|)(|a b M

x f -≤

δ

例13 设)(x f 在]1,0[上二阶可导，0)1()0(==f f ，2)(max ]

1,0[=∈x f x

试证在[0,1]内存在一点ζ，使16)(''-≤ξf

三、泰勒展式的应用

例1 设)(x f 在]10[，

上有二阶导数，且当10≤≤x 时，1|)(|≤x f 例2 设)(x f 在]10[，

上有二阶连续导数，且满足)1()0(f f =及M x f ≤|)(''|

试证对一切]10[，

∈x ，有2

|)('|M

x f ≤ 例3 设)(x f 为),(+∞-∞上二次可微函数，|)(|sup )

(x f

M n x K +∞

<<∞-=（k=0,2）

试证：+∞<=+∞

<<∞-|)(|sup )

1(1x f

M x ，且20212M M M ≤

例4 设)(x ?在),0[+∞上连续可微，若

)(x ?存在，且)('x ?在),0[+∞上有界

试证：

0)('=x ?

例5 设,0)(2,,0)

2(≠+>+a f n h a U f h n 阶连续导数，且）上具有（在）（在h a U f ,上

的1

)1()()!

1()()()(')()(+++++++=+n n n n h n h a f h n a f h a f a f h a f Taylor θ！公式为

,10<<θ

证明：

=

2

1

+n 例6 设)(x f 在）δδ+-00,(x x 内n 阶连续可微，δ0>且0)(0)

(=x f

k ，但0)(0)

(≠x f n ，

132-=n k 、、、 ，当δ<||h 时，有

)(')

()(000θh x f h

x f h x f +=-+，10<<θ

试证：

1

1

-=n n

θ

四、导数的应用

例1 设x x x

x

x <+<+>)1ln(1,0证明：

例2 设2

1cos sin ,0x x x x x -+>+>证明：

例3 设x x x

x <<<

0π

π

证明：

例4 设1)1(2

1

11

01≤-+≤>≤≤-p

p p x x p x ，证明：， 例5 设证明,0>x ：)1(ln 1

-≤n

x n x

例6 设)0(12,12ln 2

><+-->x e ax x a x

试证：

利用凸函数性质证明不等式

例1 证明伯努利（Bernoulli ）不等式: 当且仅当x=0时等号成立

x x αα+≤+1)1(，101<<->α，x x x αα+≥+1)1(,11>->α，x

例2 设,0>x ,0>y 证明：2

ln )(ln ln y

x y x y y x x ++>+ 例3 设10<<α，,0>x ,0>y 证明： y x y x )1(1ααα

α

-+≤-

例4 应用詹森（Jensen ）不等式证明： 1） 设0>i a （i=1，2……n ）

n

a a a a a a a a a n

n

n n n

+++≤

≤+++ 212121111

2） 设0>i i b a 、（i=1，2……n ）有

q

n

i q

i

p n

i p

i n

i i i b a b a 11

1

11)()(∑∑∑===≤，1>q p 、且1q 1

p 1=+ 例5 设当1001=>∑=n

i i x x 且时成立不等式：n n x x n

i i i 2

221

)1()1(+≥+∑=

例6 证明：]1,0[)1(2

sin 2∈-≤

x x x x ，ππ、

导数的综合应用

例1 设)(x f 在0=x 的某个领域内可导，且，0)0('=f

2

1

sin )('-=x x f ，则___)0(=f a) a) 一定是极大值

b)一定是极小值

c)不是极值

例2 设)(x f 在0x 的某领域内有定义，且 0

x 2)

x ()

x ()(2

00-=--x f x f ，则处在0x x f =___ b)

a)取极小值

b)取极大值

c ）不取极值

例3 设)(x f 有二阶连续导数，0)0('=f ，

1|

|)

(''=x x f ，则____)0(=f

a ）极大值

b)极小值

c ）（0，f （0））为拐点

例4 设n 为自然数，求n n 的最大项 例5 试讨论方程)0(ln >=a x ax 的实根个数

例6 设)(x f 在][b a ，上连续，在)(b a ，上两次可微，且0)()(==b f a f ，

0)()()(')(''=-+x f x g x f x f ，其中)(x g 是一给定的函数，证明：0)(=x f

例7 设定义在给定区间（开、闭、半开半闭）I 上可微函数)(x f ，在I 上只有唯一一点0x ，使0)('0=x f 证明：若0x 为)(x f 的极大值点，则必为)(x f 的最大值点