青浦区2018年初三数学一模试卷及答案
命运如同手中的掌纹，无论多曲折，终掌握在自己手中。
青浦区2017-2018学年第一学期九年级期终学业质量调研测试
数学试卷 2018.1
（完成时间：100分钟 满分：150分 ）
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】 1. 计算32
()x -的结果是（▲）
（A ）5x ； （B ）5x -； （C ）6x ； （D ）6x -． 2. 如果一次函数y kx b =+的图像经过一、二、三象限，那么k 、b 应满足的条件是（▲） （A ）0k >，且0b >；（B ）0k <，且0b <；（C ）0k >，且0b <；（D ）0k <，且0b >． 3.
2的有理化因式是（▲）
（A
（B
（C
2； （D
2． 4．如图1，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 边上的高．如果BD =4，CD=6，那么:BC AC
是（▲）
（A ）3:2； （B ）2:3； （C
）； （D
）2
5. 如图2，在□ABCD 中，点E 在边AD 上，射线CE 、BA 交于点F ，下列等式成立的是（▲）
（A ）AE CE ED EF =； （B ）AE CD
ED AF =
； （C ）
AE FA ED AB =
； （D ）AE
FE
ED
FC
=
． 6. 在梯形ABCD 中，AD //BC ，下列条件中，不能判断梯形ABCD 是等腰梯形的是（▲）
（A ）ABC DCB ∠=∠； （B ）DBC ACB ∠=∠； （C ）DAC DBC ∠=∠； （D ）ACD DAC ∠=∠．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．因式分解：23a a += ▲ ． 8. 函数1
1
y x =
+的定义域是 ▲ ． 9. 如果关于x 的一元二次方程2+20x x a -=没有实数根，那么a 的取值范围是 ▲ ． 10. 抛物线24y x =+的对称轴是 ▲ ．
11. 将抛物线2y x =-平移，使它的顶点移到点P （-2，3），平移后新抛物线的表达式为 ▲ ． 12. 如果两个相似三角形周长的比是2:3，那么它们面积的比是 ▲ ．
13. 如图3，传送带和地面所成斜坡AB
的坡度为，把物体从地面A 处送到坡顶B 处时，物体
所经过的路程是12米，此时物体离地面的高度是 ▲ 米．
A
B
C
D
E
F 图2
A
C
D
图1
学校 班级 准考证号 姓名
…………………密○……………………………………封○……………………………………○线……………………………
14. 如图4，在△ABC 中，点D 是边AB 的中点．如果CA a =，CD b =，那么CB = ▲ （结
果用含a 、b 的式子表示）．
15. 已知点D 、E 分别在△ABC 的边BA 、CA 的延长线上，且DE //BC ，如果BC =3DE ，AC =6，那么
AE= ▲ ．
16. 在△ABC 中，∠C ＝90°，AC=4，点G 为△ABC 的重心．如果GC=2，那么sin GCB ∠的值是 ▲ ． 17. 将一个三角形经过放大后得到另一个三角形，如果所得三角形在原三角形的外部，这两个三角
形各对应边平行且距离都相等，那么我们把这样的两个三角形叫做“等距三角形”，它们对应边之间的距离叫做“等距”．如果两个等边三角形是“等距三角形”，它们的“等距”是1，那么它们周长的差是 ▲ ．
18. 如图5，在△ABC 中，AB =7，AC=6，45A ∠=，点D 、E 分别在边AB 、BC 上，将△BDE 沿着DE
所在直线翻折，点B 落在点P 处，PD 、PE 分别交边AC 于点M 、N ，如果AD=2，PD ⊥AB ，垂足为点D ，那么MN 的长是 ▲ ．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）
计算：
(
)0
21-+-．
20.（本题满分10分）
解方程：2142
1242
x x x x +-=+--．
21.（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）
如图6，在平面直角坐标系xOy 中，直线)0(≠+=k b kx y 与双曲线x
y 6
=相交于点A （m ，6）和点B （-3，n ），直线AB 与y 轴交于点C ．
（1）求直线AB 的表达式； （2）求:AC CB 的值．
图3
图4
图6
A
C
图5
22．（本题满分10分）
如图7，小明的家在某住宅楼AB 的最顶层（AB ⊥BC ），他家的后面有一建筑物CD （CD // AB ），他很想知道这座建筑物的高度，于是在自家阳台的A 处测得建筑物CD 的底部C 的俯角是43，顶部D 的仰角是25，他又测得两建筑物之间的距离BC 是28米，请你帮助小明求出建筑物CD 的高度（精确到1米）．
（参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47； sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93．）
23．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题8分）
如图8，已知点D 、E 分别在△ABC 的边AC 、BC 上，线段BD 与AE 交于点F ，且CD CA CE CB ?=?． （1）求证：∠CAE ＝∠CBD ； （2）若
BE AB
EC AC
=，求证：AB AD AF AE ?=?． 24．（本题满分12分，第（1）小题3分，第（2）小题4分，第（3）小题5分） 如图9，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2
y ax
bx c a =++>与x 轴相交于点
A （-1，0）和点
B ，与y 轴交于点
C ，对称轴为直线
1x =．
（1）求点C 的坐标（用含a 的代数式表示）；
（2）联结AC 、BC ，若△ABC 的面积为6，求此抛物线的表达式；
（3）在第（2）小题的条件下，点Q 为x 轴正半轴上一点，点G 与点C ，点F 与点A 关于点Q 成中心对称，当△CGF 为直角三角形时，求点Q 的坐标．
25．（本题满分14分，第（1）小题5分，第（2）小题5分，第（3）小题4分）
如图10，在边长为2的正方形ABCD 中，点P 是边AD 上的动点（点P 不与点A 、点 D 重合），点Q 是边CD 上一点，联结PB 、PQ ，且∠PBC ＝∠BPQ ． （1）当QD ＝QC 时，求∠ABP 的正切值； （2）设AP =x ，CQ =y ，求y 关于x 的函数解析式；
A
B C
D
E F
图8
图7
图9
（3）联结BQ ，在△PBQ 中是否存在度数不变的角，若存在，指出这个角，并求出它的度数；若不存在，请说明理由．
图10
Q
P D C
B
A
备用图
A B
C
D
青浦区2017-2018学年第一学期九年级期末学业质量调研测试
数学参考答案 2018.1
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．C ； 2．A ； 3．C ； 4．B ； 5．C ； 6．D ． 二．填空题：（本大题共12题，满分48分）
7．()31+a a ； 8．1≠-x ； 9．1<-a ； 10．直线0x =或y 轴； 11．()2
23=-++y x ；
12．4:9；13．6； 14．2-b a ； 15．2； 16．23
； 17
． 18．
18
7
． 三、（本大题7题，第19~22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分，满分78分） 19． 解：原式
=1+2．…………………………………………………………（8分）
=2．………………………………………………………………………（2分） 20．解：方程两边同乘()()22+-x x 得 ()2
24224-+-+-=x x x x ．…………………………（4分）
整理，得2
320-+=x x ．………………………………………………………………（2分） 解这个方程得11=x ，22=x ．…………………………………………………………（2分） 经检验，22=x 是增根，舍去．…………………………………………………………（1分） 所以，原方程的根是1=x ．……………………………………………………………（1分） 21. 解：
（1）∵点A （m ，6）和点B （-3，n ）在双曲线x
y 6
=
，∴m =1，n =-2． ∴点A （1，6），点B （-3，-2）．………………………………………………………（2分）
将点A 、B 代入直线=+y kx b ，得=63 2.；+??-+=-?k b k b 解得 =24.；??=?
k b …………………（2分）
∴直线AB 的表达式为：24=+y x ．…………………………………………………（1分）
（2）分别过点A 、B 作AM ⊥y 轴，BN ⊥y 轴，垂足分别为点M 、N ．……………………（1分） 则∠AMO ＝∠BNO ＝90°，AM =1，BN =3，……………………………………………（1分） ∴AM //BN ， ………………………………………………………………………………（1分） ∴
1
=3
AC AM CB BN =．…………………………………………………………………………（2分） 22．解：过点A 作AE ⊥CD ，垂足为点E ．……………………………………………………（1分）
由题意得，AE = BC =28，∠EAD ＝25°，∠EAC ＝43°．………………………………（1分） 在Rt △ADE 中，∵tan ∠=DE EAD AE
，∴tan 25280.472813.2=??=?≈DE ．………（3分）
在Rt △ACE 中，∵tan CE
EAC AE
∠=
，∴tan 43280.932826=??=?≈CE ． ………（3分） ∴13.22639=+=+≈DC DE CE （米）．………………………………………………（2分）
答：建筑物CD 的高度约为39米． 23．（1）证明：∵CD CA CE CB ?=?，∴
CE CA
CD CB
=， ………………………………………（1分） ∵∠ECA ＝∠DCB ，……………………………………………………………………（1分） ∴△CAE ∽△CBD ，……………………………………………………………………（1分） ∴∠CAE ＝∠CBD ．……………………………………………………………………（1分） （2）证明：过点C 作CG //AB ，交AE 的延长线于点G ．
∴BE AB
EC CG =，…………………………………………………………………………（1分） ∵BE AB EC AC =，∴AB AB
CG AC =，……………………………………………………………（1分） ∴CG =CA ， ……………………………………………………………………………（1分） ∴∠G ＝∠CAG ，………………………………………………………………………（1分） ∵∠G ＝∠BAG ，∴∠CAG ＝∠BAG ．………………………………………………（1分） ∵∠CAE ＝∠CBD ，∠AFD ＝∠BFE ，∴∠ADF ＝∠BEF ．…………………………（1分） ∴△ADF ∽△AEB ，……………………………………………………………………（1分） ∴
AD AF
AE AB
=，∴AB AD AF AE ?=?．…………………………………………………（1分） 24．解：（1）∵抛物线()2
0=++>y ax bx c a 的对称轴为直线1x =， ∴12=-
=b
x a
，得2=-b a ．…………………………………………………………（1分） 把点A （-1，0）代入2
=++y ax bx c ，得=0-+a b c ，
∴3=-c a ．………………………………………………………………………………（1分） ∴C （0，-3a ）．…………………………………………………………………………（1分） （2）∵点A 、B 关于直线1x =对称，∴点B 的坐标为（3，0）．…………………………（1分） ∴AB =4，OC =3a ．…………………………………………………………………………（1分） ∵1
2ABC
S
AB OC =
?，∴14362
??=a ， ∴a =1，∴b =-2，c =-3，…………………………………………………………………（1分） ∴2
23=--y x x ．………………………………………………………………………（1分） （3）设点Q 的坐标为（m ，0）．过点G 作GH ⊥x 轴，垂足为点H ．
∵点G 与点C ，点F 与点A 关于点Q 成中心对称， ∴QC =QG ，QA =QF = m +1，QO =QH = m ，OC =GH =3， ∴QF = m +1，QO =QH = m ，OC =GH =3，∴OF = 2m +1，HF = 1． Ⅰ.当∠CGF ＝90°时，
可得∠FGH ＝∠GQH ＝∠OQC ，
∴tan tan FGH OQC ∠=∠，∴
HF OC
GH OQ =，∴133=m
， ∴=9m
∴Q 的坐标为（9，0）．……………………………………………………………………（2分） Ⅱ.当∠CFG ＝90°时， 可得，tan tan FGH OFC ∠=∠，∴
HF OC
GH OF =，∴13321
=+m ， ∴=4m ，Q 的坐标为（4，0）．……………………………………………………………（1分） Ⅲ.当∠GCF ＝90°时，
∵∠GCF<∠FCO<90°，∴此种情况不存在．……………………………………………（1分） 综上所述，点Q 的坐标为（4，0）或（9，0）． 25．解：（1）延长PQ 交BC 延长线于点E ．设PD =x ．
∵∠PBC ＝∠BPQ ，
∴EB=EP ．…………………………………………………………………………………（1分） ∵四边形ABCD 是正方形，
∴AD //BC ，∴PD ∶CE= QD ∶QC= PQ ∶QE ，
∵QD ＝QC ，∴PD ＝CE ，PQ ＝QE ． ……………………………………………………（1分） ∴BE ＝EP= x +2，∴QP ＝
()1
22
x +．……………………………………………………（1分） 在Rt △PDQ 中，∵222PD QD PQ +=，∴2
2
2
1112x x ??
+=+ ???
，解得43x =．……（1分）
∴2
3
AP AD PD =-=
，∴211
323
tan AP AB ABP =?=∠=．………………………………（1分） （2）过点B 作BH ⊥PQ ，垂足为点H ，联结BQ ．……………………………………（1分） ∵AD //BC ，∴∠CBP ＝∠APB ，∵∠PBC ＝∠BPQ ，∴∠APB ＝∠HPB ，……………（1分） ∵∠A ＝∠PHB ＝90°，∴BH = AB =2，∵PB = PB ，∴Rt △P AB ? Rt △PHB ，
∴AP = PH =x ．……………………………………………………………………………（1分） ∵BC = BH=2，BQ = BQ ，∠C ＝∠BHQ ＝90°，
∴Rt △BHQ ? Rt △BCQ ，∴QH = QC= y ，……………………………………………（1分） 在Rt △PDQ 中，∵222PD QD PQ +=，∴()()()2
2
2
22x y x y -+-=+，
∴ 422
x y x -=
+．……………………………………………………………………………（1分）
（3）存在，∠PBQ ＝45°．……………………………………………………………（1分）
由（2）可得，2
1
PBH ABH ∠=
∠，2
1
HBQ HBC ∠=
∠，………………………………（2分）
∴()90452
2
1
1
PBQ ABH HBC ∠=
∠+∠=
??=?．…………………………………………（1分）