(新教材)人教A版高中数学必修第二册学案 概率导学案含答案

10．1随机事件与概率

10．1.1有限样本空间与随机事件

10．1.2事件的关系和运算

考点

学习目标核心素养随机试验理解随机试验的概念及特点数学抽象

样本空间

理解样本点和样本空间，会求所给试验的

样本点和样本空间

数学抽象随机事件

理解随机事件、必然事件、不可能事件的

概念，

并会判断某一事件的性质

数学抽象

事件的关系和运算理解事件5种关系并会判断

数学抽象、

逻辑推理

问题导学

预习教材P226－P232的内容，思考以下问题：

1．随机试验的概念是什么？它有哪些特点？

2．样本点和样本空间的概念是什么？

3．事件的分类有哪些？

4．事件的关系有哪些？

1．随机试验

(1)定义：把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验．

(2)特点：①试验可以在相同条件下重复进行；

②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；

③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果．

2．样本点和样本空间

(1)定义：我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为

试验E的样本空间．

(2)表示：一般地，我们用Ω表示样本空间，用ω表示样本点．如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间．3．事件的分类

(1)随机事件：①我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件．

②随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示．

③在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生．

(2)必然事件：Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件．

(3)不可能事件：空集?不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称?为不可能事件．

■名师点拨

必然事件和不可能事件不具有随机性，它是随机事件的两个极端情况．

4．事件的关系或运算的含义及符号表示

事件的关系或运算含义符号表示

包含A发生导致B发生A?B

并事件(和事件)A与B至少一个发生A∪B或A＋B

交事件(积事件)A与B同时发生A∩B或AB

互斥(互不相容)A与B不能同时发生A∩B＝?

互为对立A与B有且仅有一个发生A∩B＝?，A∪B＝Ω

(1)如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B?A且A?B，则称事件A与事件B 相等，记作A＝B.

(2)类似地，可以定义多个事件的和事件以及积事件．例如，对于三个事件A，B，C，A ∪B∪C(或A＋B＋C)发生当且仅当A，B，C中至少一个发生，A∩B∩C(或ABC)发生当且仅当A，B，C同时发生．

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)必然事件一定发生．()

(2)不可能事件一定不发生．()

(3)互斥事件一定对立．()

(4)对立事件一定互斥．()

答案：(1)√(2)√(3)×(4)√

下列事件：

①长度为3，4，5的三条线段可以构成一个直角三角形；

②经过有信号灯的路口，遇上红灯；

③下周六是晴天．

其中是随机事件的是()

A．①②B．②③

C．①③D．②

解析：选B.①为必然事件；②③为随机事件．

“李晓同学一次掷出3枚骰子，3枚全是6点”的事件是()

A．不可能事件B．必然事件

C．可能性较大的随机事件D．可能性较小的随机事件

解析：选D.掷出的3枚骰子全是6点，可能发生，但发生的可能性较小．一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品．从这批产品中任意抽取5件，现给出以下四个事件：

事件A：“恰有一件次品”；

事件B：“至少有两件次品”；

事件C：“至少有一件次品”；

事件D：“至多有一件次品”．

并给出以下结论：

①A∪B＝C；②D∪B是必然事件；③A∪B＝B；④A∪D＝C.

其中正确的序号是()

A．①②B．③④

C．①③D．②③

解析：选A.A∪B表示的事件为至少有一件次品，即事件C，所以①正确，③不正确；

D∪B表示的事件为至少有两件次品或至多有一件次品，包括了所有情况，所以②正确；

A∪D表示的事件为至多有一件次品，即事件D，所以④不正确．

事件类型的判断

指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件．

(1)中国体操运动员将在下届奥运会上获得全能冠军．

(2)出租车司机小李驾车通过几个十字路口都将遇到绿灯．

(3)若x∈R，则x2＋1≥1.

(4)抛一枚骰子两次，朝上面的数字之和小于2.

【解】由题意知(1)(2)中事件可能发生，也可能不发生，所以是随机事件；(3)中事件一定会发生，是必然事件；由于骰子朝上面的数字最小是1，两次朝上面的数字之和最小是2，不可能小于2，所以(4)中事件不可能发生，是不可能事件．

判断事件类型的思路

要判定事件是何种事件，首先要看清条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的，第二步再看它是一定发生，还是不一定发生，还是一定不发生，一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件．

1．下面的事件：①在标准大气压下，水加热到80℃时会沸腾；②a，b∈R，则ab＝ba；

③一枚硬币连掷两次，两次都出现正面向上．其中是不可能事件的为()

A．②B．①

C．①②D．③

解析：选B.②是必然事件，③是随机事件．

2．给出下列四个命题：①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件；②当“x为某一实数时可使x2＜0”是不可能事件；③“2025年的国庆节是晴天”是必然事件；④“从100个灯泡(有10个是次品)中取出5个，5个都是次品”是随机事件．其中正确命题的个数是()

A．4 B．3

C．2 D．1

解析：选B.“2025年的国庆节是晴天”是随机事件，故命题③错误，命题①②④正确．故选B.

样本点与样本空间

同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为x，转盘②得到的数为y，结果为(x，y)．

(1)写出这个试验的样本空间；

(2)求这个试验的样本点的总数；

(3)“x＋y＝5”这一事件包含哪几个样本点？“x<3且y>1”呢？

(4)“xy＝4”这一事件包含哪几个样本点？“x＝y”呢？

【解】(1)Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，

1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}．

(2)样本点的总数为16.

(3)“x＋y＝5”包含以下4个样本点：(1，4)，(2，3)，(3，2)，(1，4)；“x<3且y>1”包含以下6个样本点：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，2)，(2，3)，(2，4)．

(4)“xy＝4”包含以下3个样本点：(1，4)，(2，2)，(4，1)；“x＝y”包含以下4个样本点：(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)．

确定样本空间的方法

(1)必须明确事件发生的条件；

(2)根据题意，按一定的次序列出问题的答案．特别要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏．

甲、乙两人做出拳游戏(锤、剪、布)．

(1)写出样本空间；

(2)用集合表示事件“甲赢”；

(3)用集合表示事件“平局”．

解：(1)Ω＝{(锤，剪)，(锤，布)，(锤，锤)，(剪，锤)，(剪，剪)，(剪，布)，(布，锤)，(布，剪)，(布，布)}．

(2)记“甲赢”为事件A，则A＝{(锤，剪)，(剪，布)，(布，锤)}．

(3)记“平局”为事件B，则B＝{(锤，锤)，(剪，剪)，(布，布)}．

事件的运算

盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．

求：(1)事件D与A、B是什么样的运算关系？

(2)事件C与A的交事件是什么事件？

【解】(1)对于事件D，可能的结果为1个红球，2个白球或2个红球，1个白球，故D ＝A∪B.

(2)对于事件C，可能的结果为1个红球，2个白球或2个红球，1个白球或3个均为红球，故C∩A＝A.

[变条件、变问法]在本例中，设事件E＝{3个红球}，事件F＝{3个球中至少有一个白球}，

那么事件C与A、B、E是什么运算关系？C与F的交事件是什么？

解：由事件C包括的可能结果有1个红球2个白球，2个红球1个白球，3个红球三种情况，故A?C，B?C，E?C，所以C＝A∪B∪C，而事件F包括的可能结果有1个白球2个红球，2个白球1个红球，3个白球，所以C∩F＝{1个红球2个白球，2个红球1个白球}＝D.

(1)利用事件间运算的定义．列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算．

(2)利用Venn图．借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算．

掷一枚骰子，下列事件：

A＝{出现奇数点}，B＝{出现偶数点}，C＝{点数小于3}，D＝{点数不大于2}，E＝{点数是3的倍数}．

求：(1)A∩B，BC；

(2)A∪B，B＋C；

(3)D，AC.

解：(1)A∩B＝?，BC＝{出现2点}．

(2)A∪B＝{出现1，2，3，4，5或6点}，

B＋C＝{出现1，2，4或6点}．

(3)D＝{点数小于或等于2}＝{出现1或2点}；

AC＝{出现1点}．

互斥事件与对立事件的判定

某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判别它们是不是对立事件．

(1)恰有1名男生与恰有2名男生；

(2)至少有1名男生与全是男生；

(3)至少有1名男生与全是女生；

(4)至少有1名男生与至少有1名女生．

【解】判别两个事件是否互斥，就要考察它们是否能同时发生；判别两个互斥事件是否对立，就要考察它们是否必有一个发生．

(1)因为“恰有1名男生”与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以它们是互斥事件；当恰有2名女生时它们都不发生，所以它们不是对立事件．

(2)因为恰有2名男生时“至少有1名男生”与“全是男生”同时发生，所以它们不是互斥事件．

(3)因为“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥；由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件．

(4)由于选出的是1名男生1名女生时“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件．

(1)包含关系、相等关系的判定

①事件的包含关系与集合的包含关系相似；

②两事件相等的实质为相同事件，即同时发生或同时不发生．

(2)判断事件是否互斥的两个步骤

第一步，确定每个事件包含的结果；

第二步，确定是否有一个结果发生会意味着两个事件都发生，若是，则两个事件不互斥，否则就是互斥的．

(3)判断事件是否对立的两个步骤

第一步，判断是互斥事件；

第二步，确定两个事件必然有一个发生，否则只有互斥，但不对立．

判断下列给出的每对事件，是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．

从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1～10各10张)中，任取1张．

(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；

(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；

(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．

解：(1)是互斥事件，不是对立事件．

理由是从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件．

(2)既是互斥事件，又是对立事件．

理由是从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生，且其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．

(3)不是互斥事件，也不是对立事件．

理由是从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然也不可能是对立事件．

1．下列事件：

①如果a>b，那么a－b>0；

②任取一实数a(a>0且a≠1)，函数y＝log a x是增函数；

③某人射击一次，命中靶心；

④从盛有一红、二白共三个球的袋子中，摸出一球观察结果是黄球．

其中是随机事件的为()

A．①②B．③④

C．①④D．②③

解析：选D.①是必然事件；②中a>1时，y＝log a x单调递增，0

2．(2019·四川省攀枝花市教学质量监测)从含有10件正品、2件次品的12件产品中，任意抽取3件，则必然事件是()

A．3件都是正品B．3件都是次品

C．至少有1件次品D．至少有1件正品

解析：选D.从10件正品，2件次品，从中任意抽取3件，

A：3件都是正品是随机事件，

B：3件都是次品不可能事件，

C：至少有1件次品是随机事件，

D：因为只有2件次品，所以从中任意抽取3件必然会抽到正品，即至少有1件是正品是必然事件．故选D.

3．(2019·广西钦州市期末考试)抽查10件产品，设“至少抽到2件次品”为事件A，则A 的对立事件是()

A．至多抽到2件次品B．至多抽到2件正品

C．至少抽到2件正品D．至多抽到1件次品

解析：选D.因为“至少抽到2件次品”就是说抽查10件产品中次品的数目至少有2个，所以A的对立事件是抽查10件产品中次品的数目最多有1个．故选D.

4．写出下列试验的样本空间：

(1)甲、乙两队进行一场足球赛，观察甲队比赛结果(包括平局)________；

(2)从含有6件次品的50件产品中任取4件，观察其中次品数________．

解析：(1)对于甲队来说，有胜、平、负三种结果；

(2)从含有6件次品的50件产品中任取4件，其次品的个数可能为0，1，2，3，4，不可能再有其他结果．

答案：(1)Ω＝{胜，平，负}(2)Ω＝{0，1，2，3，4}

10．1.3古典概型

考点学习目标核心素养基本事件了解基本事件的特点数学抽象古典概型的定义理解古典概型的定义数学抽象

古典概型的概率公式会应用古典概型的概率公式解决实际问

题

数学运算、数学建模

问题导学

预习教材P233－P238的内容，思考以下问题：

1．古典概型的定义是什么？

2．古典概型有哪些特征？

3．古典概型的计算公式是什么？

1．古典概型

具有以下特征的试验叫做古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．

(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；

(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等．

■名师点拨

古典概型的判断

一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：有限性和等可能性．并不是所有的试验都是古典概型．

下列三类试验都不是古典概型：

①样本点个数有限，但非等可能．

②样本点个数无限，但等可能．

③样本点个数无限，也不等可能．

2．古典概型的概率公式

一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率

P(A)＝k

n＝n（A）

n（Ω）

.

其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．

同时投掷两枚大小完全相同的骰子，用(x ，y )表示结果，记A 为“所得点数之和小于5”，则事件A 包含的基本事件数是( )

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

解析：选D.事件A 包含的基本事件有6个：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)．故选D.

若书架上放有数学、物理、化学书分别是5本、3本、2本，则随机抽出一本是物理书的概率为( )

A.15

B.310

C.35

D.12

解析：选B.基本事件总数为10，“抽出一本是物理书”包含3个基本事件，所以其概率为3

10

，故选B. (2019·河北省石家庄市期末考试)将一枚骰子连续抛掷两次，则向上点数之差的绝对值不大于3的概率是( )

A.23

B.56

C.2936

D.34

解析：选B.由题意，连续抛掷两次骰子共有6×6＝36种情况；绝对值大于3的有(1，5)，(1，6)，(2，6)，(5，1)，(6，1)，(6，2)共6种，所以绝对值不大于3有：36－6＝30种，故所求概率P ＝3036＝5

6

.故选B.

下列概率模型：

①在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点； ②某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环； ③某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲； ④一只使用中的灯泡的寿命长短；

⑤中秋节前夕，某市工商部门调查辖区内某品牌的月饼质量，给该品牌月饼评“优”或“差”．

其中属于古典概型的是________．

解析：①不属于，原因是所有横坐标和纵坐标都是整数的点有无限多个，不满足有限性；②不属于，原因是命中0环，1环，…，10环的概率不一定相同，不满足等可能性；③属于，显然满足有限性和等可能性；④不属于，原因是灯泡的寿命是任何一个非负实数，有无限多种可能，不满足有限性；⑤不属于，原因是该品牌月饼被评为“优”或“差”的概率不一定相同，不满足等可能性．

答案：③

样本点的列举

一只口袋内装有5个大小相同的球，白球3个，黑球2个，从中一次摸出2个球．

(1)共有多少个样本点？

(2)“2个都是白球”包含几个样本点？

【解】(1)法一：采用列举法．

分别记白球为1，2，3号，黑球为4，5号，则样本点如下：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)共10个(其中(1，2)表示摸到1号，2号球)．

法二：采用列表法．

设5个球的编号分别为a，b，c，d，e，其中a，b，c为白球，d，e为黑球．列表如下：

a b c d e

a (a，b)(a，c)(a，d)(a，e)

b (b，a)(b，c)(b，d)(b，e)

c (c，a)(c，b)(c，d)(c，e)

d (d，a)(d，b)(d，c)(d，e)

e (e，a)(e，b)(e，c)(e，d)

有10个样本点．

(2)法一中“2个都是白球”包括(1，2)，(1，3)，(2，3)，共3个样本点，法二中“2个都是白球”包括(a，b)，(b，c)，(a，c)，共3个样本点．

样本点的三种列举方法

(1)直接列举法：把试验的全部结果一一列举出来．此方法适合于较为简单的试验问题．

(2)列表法：将样本点用表格的方式表示出来，通过表格可以弄清样本点的总数，以及要求的事件所包含的样本点数．列表法适用于较简单的试验的题目，样本点较多的试验不适合用列表法．

(3)树状图法：树状图法是使用树状的图形把样本点列举出来的一种方法，树状图法便于分析样本点间的结构关系，对于较复杂的问题，可以作为一种分析问题的主要手段，树状图法适用于较复杂的试验的题目．

袋中有2个标号分别为1，2的白球和2个标号分别为3，4的黑球．这4

个球除颜色、标号外完全相同，4个人按顺序依次从中摸出1个球，求样本点的个数．

解：4个人按顺序依次从袋中摸出1个球的所有可能结果用树状图表示如图所示：

共24个样本点．

古典概型的概率计算

(1)有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩

笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为( )

A.4

5 B.35 C.25

D.15

(2)(2018·高考江苏卷)某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为________．

【解析】 (1)从5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，有10种不同取法：(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，(黄，蓝)，(黄，绿)，(黄，紫)，(蓝，绿)，(蓝，紫)，(绿，紫)．而取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，共4种，故所求概率P ＝410＝25

.

(2)记2名男生分别为A ，B ，3名女生分别为a ，b ，c ，则从中任选2名学生有AB ，Aa ，Ab ，Ac ，Ba ，Bb ，Bc ，ab ，ac ，bc ，共10种情况，其中恰好选中2名女生有ab ，ac ，bc ，共3种情况，故所求概率为3

10

.

【答案】 (1)C (2)3

10

求古典概型概率的步骤

(1)判断是否为古典概型． (2)算出样本点的总数n .

(3)算出事件A 中包含的样本点个数m .

(4)算出事件A 的概率，即P (A )＝m

n

.

在运用公式计算时，关键在于求出m ，n .在求n 时，应注意这n 种结果必须是等可能的，在这一点上比较容易出错．

1．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为( )

A.310

B.15

C.110

D.120

解析：选C.从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，共有如下10个不同的结果：(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，其中勾股数只有(3，4，5)，所以概率为1

10

.故选C.

2．从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为( )

A.15

B.25

C.35

D.45

解析：选C.如图可知从5个点中选取2个点的全部情况有(O ，A )，(O ，B )，(O ，C )，(O ，D )，(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(B ，C )，(B ，D )，(C ，D )，共10种．

选取的2个点的距离不小于该正方形边长的情况有(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(B ，C )，(B ，D )，(C ，D )，共6种．故所求概率为610＝3

5

.

数学建模——古典概型的实际应用

已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160.现采用分

层随机抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．

(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？

(2)设抽出的7名同学分别用A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．

(i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；

(ii)设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．

【解】(1)由已知，甲，乙，丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层随机抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．

(2)(i)从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为

(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(A，G)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(B，G)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(C，G)，(D，E)，(D，F)，(D，G)，(E，F)，(E，G)，(F，G)，共21种．

(ii)由(1)设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果

为(A，B)，(A，C)，(B，C)，(D，E)，(F，G)，共5种．所以事件M发生的概率P(M)＝5

21.

如何建立概率模型(古典概型)

(1)在建立概率模型(古典概型)时，把什么看作一个样本点(即一个试验结果)是人为规定的．我们只要求每次试验有且只有一个样本点出现．对于同一个随机试验，可以根据需要(建立概率模型的主观原因)建立满足我们要求的概率模型．

(2)注意验证是否满足古典概型的两个特性，即①样本点的有限性；②每个样本点发生的可能性相等．

(3)求解时将其转化为互斥事件或对立事件的概率问题．

(2019·高考天津卷)2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72，108，120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．

(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？

(2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A，B，C，D，E，F.享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访．

员工

项目

A B C D E F

子女教育○○×○×○

继续教育××○×○○

大病医疗×××○××

住房贷款利息 ○ ○ × × ○ ○ 住房租金 × × ○ × × × 赡养老人

○

○

×

×

×

○

②设M 为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M 发生的概率．

解：(1)由已知，老、中、青员工人数之比为6∶9∶10，由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人．

(2)①从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，共15种．

②由表格知，符合题意的所有可能结果为(A ，B )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，E )，(C ，F )，(D ，F )，(E ，F )，共11种．

所以事件M 发生的概率P (M )＝

1115

.

1．下列是古典概型的是( )

①从6名同学中，选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小． ②同时掷两颗骰子，点数和为7的概率． ③近三天中有一天降雨的概率．

④10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率． A ．①②③④ B ．①②④ C ．②③④

D ．①③④

解析：选B.①②④为古典概型，因为都适合古典概型的两个特征：有限性和等可能性，而③不适合等可能性，故不为古典概型．

2．甲、乙两人有三个不同的学习小组A ，B ，C 可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组(两人参加各个小组的可能性相同)，则两人参加同一个学习小组的概率为 ( )

A.13

B.14

C.1

5

D.1

6

解析：选A.甲乙两人参加学习小组，若以(A ，B )表示甲参加学习小组A ，乙参加学习小组B ，则一共有如下情形：(A ，A )，(A ，B )，(A ，C )，(B ，A )，(B ，B )，(B ，C )，(C ，A )，(C ，B )，(C ，C )，共有9种情形，其中两人参加同一个学习小组共有3种情形，根据古典概型概率公式，得P ＝1

3

.

3．从甲、乙、丙、丁、戊五个人中选取三人参加演讲比赛，则甲、乙都当选的概率为( ) A.25 B.15 C.3

10

D.3

5

解析：选C.从五个人中选取三人有10种不同结果：(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，而甲、乙都当选的结果有3种，故所求的概率为3

10

.

4．在1，2，3，4四个数中，可重复地选取两个数，其中一个数是另一个数的2倍的概率是________．

解析：可重复地选取两个数共有16种可能，其中一个数是另一个数的2倍的有1，2；2，1；2，4；4，2共4种，故所求的概率为416＝1

4

.

答案：14

5．一只口袋装有形状大小都相同的6只小球，其中2只白球，2只红球，2只黄球，从中随机摸出2只球，试求：

(1)2只球都是红球的概率； (2)2只球同色的概率；

(3)“恰有一只是白球”是“2只球都是白球”的概率的几倍？

解：记两只白球分别为a 1，a 2；两只红球分别为b 1，b 2；两只黄球分别为c 1，c 2. 从中随机取2只球的所有结果为(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，c 1)，(a 1，c 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，c 1)，(a 2，c 2)，(b 1，b 2)，(b 1，c 1)，(b 1，c 2)，(b 2，c 1)，(b 2，c 2)，(c 1，c 2)共15种结果．

(1)2只球都是红球为(b 1，b 2)共1种， 故2只球都是红球的概率P ＝1

15

.

(2)2只球同色的有：(a 1，a 2)，(b 1，b 2)，(c 1，c 2)，共3种， 故2只球同色的概率P ＝315＝1

5

.

(3)恰有一只是白球的有：(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，c 1)，(a 1，c 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，c 1)，(a 2，c 2)，共8种，其概率P ＝8

15

；

2只球都是白球的有：(a 1，a 2)，1种，故概率P ＝1

15，

所以“恰有一只是白球”是“2只球都是白球”的概率的8倍．

10．1.4 概率的基本性质

考点学习目标核心素养概率的性质理解并识记概率的性质数学抽象

概率性质的应用会用互斥事件、对立事件的概率求解实际问

题

数学抽象、数学逻辑

问题导学

预习教材P239－P242的内容，思考以下问题：

1．概率的性质有哪些？

2．如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)与P(A)，P(B)有什么关系？

3．如果事件A与事件B为对立事件，则P(A)与P(B)有什么关系？

概率的性质

性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0；

性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(?)＝0；

性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A) ＋P(B)；

性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)；

性质5：如果A?B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A，因为??A?Ω，所以0≤P(A)≤1.

性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有

P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)任意事件A发生的概率P(A)总满足0

(2)若事件A为随机事件，则0

(3)事件A与B的和事件的概率一定大于事件A的概率．()

(4)事件A与B互斥，则有P(A)＝1－P(B)．()

答案：(1)×(2)√(3)×(4)×

已知A与B互斥，且P(A)＝0.2，P(B)＝0.1，则

P(A∪B)＝________．

解析：因为A与B互斥．所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.2＋0.1＝0.3.

答案：0.3

(2019·广西钦州市期末考试)某产品分为优质品、合格品、次品三个等级，生产中出现合格品的概率为0.25，出现次品的概率为0.03，在该产品中任抽一件，则抽到优质品的概率

为________．

解析：由题意，在该产品中任抽一件，“抽到优质品”与“抽到合格品或次品”是对立事件，所以在该产品中任抽一件，则抽到优质品的概率为P ＝1－0.25－0.03＝0.72.

答案：0.72

互斥事件与对立事件概率公式的应用

一名射击运动员在一次射击中射中10环，9环，8环，7环，7环以下的概率分别

为0.24，0.28，0.19，0.16，0.13.计算这名射击运动员在一次射击中：

(1)射中10环或9环的概率； (2)至少射中7环的概率．

【解】 设“射中10环”“射中9环”“射中8环”“射中7环”“射中7环以下”的事件分别为A ，B ，C ，D ，E ，可知它们彼此之间互斥，且P (A )＝0.24，P (B )＝0.28，P (C )＝0.19，P (D )＝0.16，P (E )＝0.13.

(1)P (射中10环或9环)＝P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝0.24＋0.28＝0.52，所以射中10环或9环的概率为0.52.

(2)事件“至少射中7环”与事件E “射中7环以下”是对立事件，则P (至少射中7环)＝1－P (E )＝1－0.13＝0.87.

所以至少射中7环的概率为0.87.

[变问法]在本例条件下，求射中环数小于8环的概率．

解：事件“射中环数小于8环”包含事件D “射中7环”与事件E “射中7环以下”两个事件，则P (射中环数小于8环)＝P (D ∪E )＝P (D )＋P (E )＝0.16＋0.13＝0.29.

互斥事件、对立事件概率的求解方法

(1)互斥事件的概率的加法公式P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )．

(2)对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥时，原事件的概率就是这些简单事件的概率的和．

(3)当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，常常考虑其反面，通过求其反面，然后转化为所求问题．

[注意] 有限个彼此互斥事件的和的概率，等于这些事件的概率的和，即P (∑n

i ＝1A i )＝∑n

i ＝1

P (A i )．

某医院要派医生下乡义诊，派出医生的人数及其概率如下表所示：

人数 0 1 2 3 4 大于等于5 概率

0.1

0.16

0.3

0.2

0.2

0.04

(1)(2)求派出医生至少2人的概率．

解：设“不派出医生”为事件A ，“派出1名医生”为事件B ，“派出2名医生”为事件C ，“派出3名医生”为事件D ，“派出4名医生”为事件E ，“派出5名及5名以上医生”为事件F ，事件A ，B ，C ，D ，E ，F 彼此互斥，且P (A )＝0.1，P (B )＝0.16，P (C )＝0.3，P (D )＝0.2，P (E )＝0.2，P (F )＝0.04.

(1)“派出医生至多2人”的概率为P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.

(2)法一：“派出医生至少2人”的概率为P (C ∪D ∪E ∪F )＝P (C )＋P (D )＋P (E )＋P (F )＝0.3＋0.2＋0.2＋0.04＝0.74.

法二：“派出医生至少2人”的概率为1－P (A ∪B )＝1－0.1－0.16＝0.74.

互斥、对立事件与古典概型的综合应用

某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有10名队员，某些队员不止参加了一支

球队，具体情况如图所示，现从中随机抽取一名队员，求：

(1)该队员只属于一支球队的概率； (2)该队员最多属于两支球队的概率．

【解】 分别令“抽取一名队员只属于篮球队、羽毛球队、乒乓球队”为事件A ，B ，C .由图知3支球队共有球员20名．

则P (A )＝520，P (B )＝320，P (C )＝420

.

(1)令“抽取一名队员，该队员只属于一支球队”为事件D . 则D ＝A ＋B ＋C ，因为事件A ，B ，C 两两互斥， 所以P (D )＝P (A ＋B ＋C )＝P (A )＋P (B )＋P (C ) ＝

520＋320＋420＝35

. (2)令“抽取一名队员，该队员最多属于两支球队”为事件E ，则E －

为“抽取一名队员，该队员属于3支球队”，所以P (E )＝1－P (E －

)＝1－220＝910

.

求复杂事件的概率常见的两种方法

(1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件；

(2)若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”，它常用来求“至少…”或“至多…”型事件的概率．

一个盒子里有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的

数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a ，b ，c .

(1)求“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”的概率； (2)求“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率．

解：(1)由题意知，(a ，b ，c )所有的可能结果为(1，1，1)，(1，1，2)，(1，1，3)，(1，2，1)，(1，2，2)，(1，2，3)，(1，3，1)，(1，3，2)，(1，3，3)，(2，1，1)，(2，1，2)，(2，1，3)，(2，2，1)，(2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，1)，(2，3，2)，(2，3，3)，(3，1，1)，(3，1，2)，(3，1，3)，(3，2，1)，(3，2，2)，(3，2，3)，(3，3，1)，(3，3，2)，(3，3，3)，共27种．

设“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”为事件A ，则事件A 包括(1，1，2)，(1，2，3)，(2，1，3)，共3种．所以P (A )＝327＝19

.

即“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”的概率为1

9

.

(2)设“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”为事件B ，则事件B 的对立事件B －

包括(1，1，1)，(2，2，2)，(3，3，3)，共3种．

所以P (B )＝1－P (B －

)＝1－327＝89

.

即“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率为8

9

.

1．若A 与B 为互斥事件，则( ) A ．P (A )＋P (B )<1 B ．P (A )＋P (B )>1 C ．P (A )＋P (B )＝1 D ．P (A )＋P (B )≤1

解析：选D.若A 与B 为互斥事件，则P (A )＋P (B )≤1.故选D.