2021年中考数学专题训练：矩形、菱形(含答案)
2021中考数学专题训练：矩形、菱形
一、选择题
1. 已知菱形的边长为3，较短的一条对角线的长为2，则该菱形较长的一条对角线的长为()
A.
2B.
2C.4D.2
2. 如图，在平行四边形ABCD中，M，N是BD上的两点，BM=DN，连接AM，MC，CN，NA，添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是()
A.OM=AC
B.MB=MO
C.BD⊥AC
D.∠AMB=∠CND
3. （2020·通辽）如图，AD是△ABC的中线，四边形ADCE是平行四边形，增加下列条件，能判断?ADCE是菱形的是（）
E
D C
B
A
A．∠BAC＝90°B．∠DAE＝90°C．AB＝AC D．AB＝AE
4. （2020·南通）下列条件中，能判定□ABCD是菱形的是
A．AC＝BD B．AB⊥BC C．AD＝BD D．AC⊥BD 5. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB＝2，∠ABC ＝60°，则BD的长为()
A. 2
B. 3
C. 3
D. 2 3
6. （2020·黔东南州）若菱形ABCD的一条对角线长为8，边CD的长是方程x2﹣10x+24＝0的一个根，则该菱形ABCD的周长为（）
A．16 B．24 C．16或24 D．48
7. （2020·遵义）如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，过点D作DE⊥BA，
交BA 的延长线于点E ，则线段DE 的长为（
）
A ． 125
B ． 185
C ． 4
D ． 245
8. （2020·达州）如图，∠BOD =45°，BO=DO ，点
A 在O
B 上，四边形ABCD 是矩形，连接A
C 、B
D 交于点
E ，连接OE 交AD 于点
F .下列4个判断：①OE 平分∠BOD ；②OF=BD ；③DF=AF ；④若点
G 是线段OF 的中点，则△AEG 为等腰直角三角形.正确判断的个数是（ ） A.4 B.3 C.2 D.1
二、填空题
9.
已知一个菱形的边长为2，较长对角线长为2，则这个菱形的面积
是 .
10. 如图，在四边形
ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，OA=OC ，OB=OD ，
添加一个条件使四边形ABCD 是菱形，那么所添加的条件可以是 .(写出一个即可)
11. AB ＝5，AC ＝8，则菱形的面积是________．
12. 在菱形ABCD 中，∠A ＝30°，在同一平面内，以对角线BD 为底边作顶角为120°的等腰三角形BDE ，则∠EBC 的度数为________．
D
C
A B F E
O
13. 如图，在△ABC中，AC=BC=2，AB=1，将它沿AB翻折得到△ABD，则四边形ADBC的形状是形，点P，E，F分别为线段AB，AD，DB上的任意
一点，则PE+PF的最小值是.
14. 如图，已知在矩形ABCD中，点E在边BC上，BE＝2CE，将矩形沿着过点E的直线翻折后，点C、D分别落在边BC下方的点C′、D′处，且点C′、D′、B 在同一条直线上，折痕与边AD交于点F，D′F与BE交于点G．设AB＝t，那么△EFG的周长为．
三、解答题
15. 如图，在菱形ABCD中，点E.F分别为AD．CD边上的点，DE=DF，求证：∠1=∠2．
16. 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，∠ABC∶∠BAD＝1∶2，BE∥AC，CE∥BD.
(1)求tan∠DBC的值；
(2)求证：四边形OBEC是矩形．
17. 如图，在菱形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AP，点E，F是AP上的两点，连接DE，BF，使得∠AED=∠ABC，∠ABF=∠BPF.求证:
(1)△ABF≌△DAE;
(2)DE=BF+EF.
18. 如图，在矩形ABCD中，点E是AD上的一个动点，连接BE，将△ABE沿BE折叠得到△FBE，且点F落在矩形ABCD的内部，连接AF，BF，EF，过点
F作GF⊥AF交AD于点G，设AD
AE＝n.
(1)求证：AE＝GE；
(2)当点F落在AC上时，用含n的代数式表示AD
AB的值；
(3)若AD＝4AB，且以点F，C，G为顶点的三角形是直角三角形，求n的值．
2021中考数学专题训练：矩形、菱形-答案
一、选择题
1. 【答案】C
2. 【答案】A[解析]添加OM=AC.证明:∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD.
∵对角线BD上的两点M，N满足BM=DN，
∴OB-BM=OD-DN，即OM=ON，
∴四边形AMCN是平行四边形.
∵OM=AC，∴MN=AC，
∴四边形AMCN是矩形，故选A.
3. 【答案】A
【解析】若∠BAC＝90°，又因为AD是△ABC的中线，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得AD=CD，根据“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”可证?ADCE是菱形．
4. 【答案】D
【解析】根据菱形的定义和判断定理判断．定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；判断定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．只有D能够判断出四边形ABCD是菱形．故选D．
5. 【答案】D【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∵∠ABC＝60°，∴
AB＝BC＝AC＝2，∵四边形ABCD是菱形，∴∠AOB＝90°，AO＝1
2AC＝1，∴
BO＝AB2－AO2＝3，∴BD＝2OB＝2 3.
6. 【答案】B
【解析】解方程x2﹣10x+24＝0得（x﹣4）（x﹣6）＝0，∴x＝4，或x＝6，分两种情况：①当AB＝AD＝4时，4+4＝8，不能构成三角形；②当AB＝AD＝6时，6+6＞8，即可得出菱形ABCD的周长为4AB＝24．
7. 【答案】D
E
A D
O
B C
ABCD
中，AB＝5，AO＝
1
2AC＝3，AC⊥BD，∴BO＝AB AO
22
＝4，BD＝8．∴5DE ＝
1
2AC·BD＝24，解得DE＝
24
5．故选D.
8. 【答案】A
【解析】由矩形的性质可知：BE=DE=BD，∠OAD=∠BAD=90°，在△ODE和△OBE中，BO=DO，BE=DE，OE=OE，所以△ODE≌△OBE，∠OED=∠OEB=90°，∠OBD=∠ODB=67.5°，∠BOE=∠DOE=22.5°，故①正确；在R t△AOD中，∠BOD=45°，∴OA=AD，在R t△ABD中，∠BAD=90°，∠OBD=67.5°，所以∠BDA=22.5°，在△BDA和△FOA中，∠BDA=∠FOA，OA=AD，∠OAD=∠BAD=90°，所以△BDA≌△FOA，所以OF=BD，故②正确；如答图，过点F作FQ⊥OD于点Q，由角平分线的性质得AF=FQ，由题可知∠ADO=45°，所以△FDQ是等腰直角三角形即DF=AF，故③正确；如答图，AG=OG=OF，所以OG=DE，由题意可得△OAG≌△DAE，所以∠OAG=∠DAE，AG=AE，又由∠OAG＋∠GAF=90°可得∠GAE=90°，所以△GAE是等腰直角三角形，故④正确．
二、填空题
9. 【答案】2[解析]∵菱形两对角线互相垂直且平分，较长对角线的一半为，∴菱形较短对角线的一半为=1.根据菱形面积等于两对角线长乘积的一半得:×2×2=2 .
10. 【答案】AB=AD或AB=BC或AC⊥BD等
11. 【答案】24【解析】如解图，连接BD交AC于点O，∵四边形ABCD是菱形，AB＝5，AC＝8，且菱形的对角线互相垂直平分，∴OA＝4，在Rt△AOB
中，由勾股定理得OB＝3，∴BD＝6，∴S
菱形ABCD
＝
1
2AC·BD＝
1
2×8×6＝24.
解图
12. 【答案】105°或45°【解析】如解图，∵四边形ABCD是菱形，∠A＝30°，∴∠ABC＝150°，∠ABD＝∠DBC＝75°，且顶角为120°的等腰三角形的底角是G
Q
D C
A B
F
E
O
30°.分为以下两种情况：(1)当点E在△ABD内时，∠E1BC＝∠E1BD＋∠DBC ＝30°＋75°＝105°；(2)当点E在△DBC内时，∠E2BC＝∠DBC－∠E2BD＝75°－30°＝45°.综上所述，∠EBC的度数为105°或45°.
解图
13. 【答案】菱[解析]∵AC=BC，∴△ABC是等腰三角形.
将△ABC沿AB翻折得到△ABD，∴AC=BC=AD=BD，∴四边形ADBC是菱形.∵△ABC沿AB翻折得到△ABD，∴△ABC与△ABD关于AB成轴对称.
如图所示，作点E关于AB的对称点E'，连接PE'，根据轴对称的性质知AB垂直平分EE'，∴PE=PE'，
∴PE+PF=PE'+PF，
当E'，P，F三点共线，且E'F⊥AC时，PE+PF有最小值，该最小值即为平行线AC与BD间的距离.
作CM⊥AB于M，BG⊥AD于G，由题知AC=BC=2，AB=1，∠CAB=∠BAD，∴cos∠CAB=cos∠BAD，即=，∴AG=，
在Rt△ABG中，BG===，
由对称性可知BG长即为平行线AC，BD间的距离，
∴PE+PF的最小值=.
【答案】23t．思路如下：如图，等边三角形EFG的高＝AB＝t，计算得边长
为23
3
t．
三、解答题
15. 【答案】
∵四边形ABCD是菱形，∴AD=CD，
在△ADF和△CDE中，
AD CD
D D DF DE
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
，
∴△ADF≌△CDE(SAS)，
∴∠1=∠2．
16. 【答案】
(1)【思路分析】根据四边形ABCD是菱形，∠ABC∶∠BAD＝1∶2，可求出∠DBC 的度数，其正切值可求出．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，∠DBC＝1
2∠ABC，
∴∠ABC＋∠BAD＝180°，又∵∠ABC∶∠BAD＝1∶2，∴∠ABC＝60°，(2分)
∴∠DBC＝1
2∠ABC＝30°，
∴tan∠DBC＝tan30°＝
3
3.(3分)
(2)【思路分析】由BE∥AC，CE∥BD可知四边形BOCE是平行四边形，再结合菱形对角线垂直的性质即可证明四边形BOCE是矩形．
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，即∠BOC＝90°，(4分)
∵BE∥AC，CE∥BD，
∴BE∥OC，CE∥OB，
∴四边形OBEC是平行四边形，且∠BOC＝90°，
∴四边形OBEC是矩形．(5分)
方法指导(1)要求一个角的正切值，可通过相关计算先求得角的度数，再求其正
切值，这种情况往往所求角度为特殊值；或者将该角置于直角三角形中，通过求直角三角形边长来，求其正切值．(2)矩形的判定：①平行四边形＋有一个角是直角；②平行四边形＋对角线相等；③四边形的三个角是直角．
17. 【答案】
证明:(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，AD∥BC，∴∠BP A=∠DAE.
在△ABP和△DAE中，又∵∠ABC=∠AED，∴∠BAF=∠ADE.
∵∠ABF=∠BPF，∠BP A=∠DAE，
∴∠ABF=∠DAE，
又∵AB=DA，∴△ABF≌△DAE(ASA).
(2)∵△ABF≌△DAE，∴AE=BF，DE=AF.
∵AF=AE+EF=BF+EF，
∴DE=BF+EF.
18. 【答案】
(1)证明：由折叠性质得AE＝FE，
∴∠EAF＝∠EF A，
∵GF⊥AF，
∴∠EAF＋∠FGA＝∠EF A＋∠EFG＝90°，
∴∠FGA＝∠EFG，
∴EG＝EF，
∴AE＝GE；
(2)解：如解图①，当点F落在AC上时，设AE＝a，则AD＝na，
解图①
由对称性得BE⊥AF，
∴∠ABE＋∠BAC＝90°，
∵∠DAC＋∠BAC＝90°，
∴∠ABE＝∠DAC，
又∵∠BAE＝∠D＝90°，
∴△ABE∽△DAC，
∴AB
DA＝AE DC，
∵AB＝DC，
∴AB2＝AD·AE＝na·a＝na2，
∵AB ＞0， ∴AB ＝na ， ∴AD AB ＝na na
＝n ；
(3)解：若AD ＝4AB ，则AB ＝n
4a ，
如解图②，当点F 落在线段BC 上时，EF ＝AE ＝AB ＝a .
解图②
此时n
4a ＝a ，∴n ＝4，
∴当点F 落在矩形内部时，n ＞4.
∵点F 落在矩形的内部，点G 在AD 上， ∴∠FCG ＜∠BCD ， ∴∠FCG ＜90°.
①若∠CFG ＝90°，则点F 落在AC 上，
由(2)得AD AB ＝n ，即4AB
AB ＝n ， ∴n ＝16；
②如解图③，若∠CGF ＝90°，则∠CGD ＋∠AGF ＝90°，
解图③
∵∠F AG ＋∠AGF ＝90°， ∴∠CGD ＝∠F AG ＝∠ABE . ∵∠BAE ＝∠D ＝90°， ∴△ABE ∽△DGC ， ∴AB DG ＝AE DC
， ∵DG ＝AD －AE －EG ＝na －2a ＝(n －2)a ， ∴AB ·DC ＝DG ·AE ， 即(n 4a )2
＝(n －2)a ·a ，
解得n 1＝8＋42，n 2＝8－42＜4(不合题意，舍去)．
综上所述，当n ＝16或n ＝8＋42时，以点F ，C ，G 为顶点的三角形是直角三
角形．