控制工程基础第三章参考答案

第三章 习题及答案

3-1.假设温度计可用

1

1

+Ts 传递函数描述其特性，现在用温度计测量盛在容器内的水温。发现需要min 1时间才能指示出实际水温的98%的数值，试问该温度计指示出实际水温从10%变化到90%所需的时间是多少? 解： 41min, =0.25min T T =

1111()=1-e

0.1, =ln 0.9t h t t T -=-T

21T

22()=0.9=1-e ln 0.1t h t t T -=-，

210.9

ln

2.20.55min 0.1

r t t t T T =-===

2.已知某系统的微分方程为)(3)(2)(3)(t f t f t y t y +'=+'+''，初始条件

2)0( , 1)0(='=--y y ，试求：

⑴系统的零输入响应y x (t )； ⑵激励f (t )(t )时，系统的零状态响应y f (t )和全响应y (t )；

⑶激励f (t ) e

3t

(t )时，系统的零状态响应y f (t )和全响应y (t )。

解：(1) 算子方程为：)()3()()2)(1(t f p t y p p +=++

)

()e 2

5e 223()()()( )

()e 2

1e 223()()()( )()e e 2()(2

112233)( )2(; 0 ,e 3e 4)( 3

4

221e e )( 2x 2222x 21

2121221x t t y t y t y t t t h t y t t h p p p p p p H t t y A A A A A A A A t y t t t t t t f f t t t t εεεε------------+=+=+-==-=?+-+=

+++=

-=????-==????--=+=?+=∴*

)

()e

4e 5()()()( )()e e ()(e )()( )3(2x 23t t y t y t y t t t h t y t

t

t t t f f εεε------=+=-==*

3.已知某系统的微分方程为)(3)(')(2)(' 3)(" t f t f t y t y t y +=++，当激励)(t f =)(e 4t t ε-时，

系统的全响应)()e 6

1e 27e 314()(42t t y t t t ε-----=。试求零输入响应y x (t )及零状态响应y f (t )、自由响应及强迫响应、暂态响应及稳态响应。

解：

.

, )();

()e 2

7e 314(: );(e 61:)

( )()e 3e 4()()()()( )()e 3

221e 61( )

()]e 1(e 2

1)e 1(e 32[)(]e 2e 2[e )(),()e e 2()( ,2

112233

)(242x 24223 0 )(2)(422

}{不含稳态响应全为暂态自由响应强迫响应零状态响应零状态响应t y t t t t y t y t y t e t t d t y t t h p p p p p p H t t t t t t t t t t t t t

t t t t f f εεεεεετετττ----------------------=-=∴+--=---=-=-=+-+=+++=

?

4. 设系统特征方程为：0310126234=++++s s s s 。试用劳斯-赫尔维茨稳定判据判别该系统的稳定性。

解：用劳斯-赫尔维茨稳定判据判别，a 4=1，a 3=6，a 2=12，a 1=10，a 0=3均大于零，且有

3

1210

010600

3

121001064=

?

061>=?

0621011262>=?-?=?

051210110366101263>=??-??-??=? 015365123334>=?=?=?

所以，此系统是稳定的。

5.

试确定下图所示系统的稳定性.

解：210

110(1)

(1)(). ()210(21)

1(1)s s s s a G s s s s s s s +++=?=?+++ 232()= (21)10(1)21101D s s s s s s s +++=+++

3 21

0. 1 10 21 12101

>0

21

1

Routh s s s s -

系统稳定。

210

10(2)

(). ()10(101)102101(2)s s b s s s s s s φ+==++++

+

2()= 10210D s s s ++

满足必要条件，故系统稳定。

6.已知单位反馈系统的开环传递函数为)

12.001.0()(2++=s s s K

s G ξ，试求系统稳

定时，参数K 和ξ的取值关系。 解：2()(0.010.21)0D s s s s k ξ=+++=

32()201001000D s s s s k ξ=+++=

321

0: 1 100 200 1002000100 0

20 1000

Routh s s k

k s s k ξξξ>->>

由Routh 表第一列系数大于0得0

020k k ξξ

>??

>??

，即)0,0(20>>

根的实部均小于-1，求K 值应取的范围。

解：系统特征方程为

0)1.01)(2.0.1(=++K s s s

要使系统特征根实部小于1-，可以把原虚轴向左平移一个单位，令

1+=s w ，即

1-=w s ，代入原特征方程并整理得

072.046.024.002.023=-+++K w w w

运用劳斯判据，最后得

24.672.0<

8. 设系统的闭环传递函数为222()2n

c n n

G s s s ωξωω=++，试求最大超调量σ％=9.6%、峰值时间tp=0.2秒时的闭环传递函数的参数ξ和ωn 的值。

解：∵%100%2

1?=--ξξπ

σe =9.6%

∴ξ=0.6 ∵t p =πωξ

n 12

-＝0.2

∴ωn =

πξ

t p 131402106

2

2

-=

-=...19.6rad/s

9.设单位负反馈系统的开环传递函数为 )

6(25

)(+=

s s s G k

求（1）系统的阻尼比ζ和无阻尼自然频率ωn ；

（2）系统的峰值时间t p 、超调量σ％、调整时间t S (△=0.02)；

解：系统闭环传递函数25625

25)6(25)

6(251)6(25

)(2++=++=++

+=s s s s s s s s s G B

及标准形式对比，可知 62=n w ξ ，252=n w 故 5=n w ， 6.0=ξ

又 46.015122=-?=-=ξn d w w

785.04

==

=

π

π

d

p w t

33.14

%

5.9%100%100%2

2

6.016.01==

=?=?=----n

s w t e

e

ξσπ

ξ

ξπ

10. 一阶系统结构图如下图所示。要求系统闭环增益2=ΦK ，调节时间

4.0≤s t s ，试确定参数21,K K 的值。

解 由结构图写出闭环系统传递函数

111)(212211211

+=+=+

=ΦK K s

K K K s K s

K K s K s

令闭环增益21

2

==

ΦK K ， 得：5.02=K 令调节时间4.03

32

1≤=

=K K T t s ，得：151≥K 。

11.设某高阶系统可用下列一阶微分方程：T c t c t r t r t ??

+=+()()()()τ近似描述，其中，1)(0<-<τT 。试证系统的动态性能指标为：

T T T t d ?????

???? ??-+=τln 693.0；t T r =22.；T T T t s ??????-+=)ln(3τ 解 设单位阶跃输入s

s R 1

)(= 当初始条件为0时有：

1

1

)()(++=Ts s s R s C τ 1

11

11)(+--=

?

++=

∴

Ts T s s Ts s s C ττ C t h t T T

e t T

()()/==---1τ

1) 当 t t d = 时

h t T T

e t t

d ()./==-

--051τ

12=--T T e t T d τ/ ; T t T T d -??? ??-=-τln 2ln ???

??

???? ??-+=∴

T T T t d τln 2ln

2) 求t r （即)(t c 从1.0到9.0所需时间)

当T

t e

T

T t h /219.0)(---

==τ; t T T T 201=--[ln()ln .]τ 当T

t e

T

T t h /111.0)(---==τ; t T T T 109=--[ln()ln .]τ 则t t t T T r =-==2109

01

22ln ... 3) 求 t s

T

t s s e

T T t h /195.0)(---==τ ]ln 3[]20ln [ln ]05.0ln [ln T

T T T T T T T T t s τ

ττ-+=+-=--=∴

12. 已知系统的特征方程，试判别系统的稳定性，并确定在右半s 平面根的个数及纯虚根。

（1）01011422)(2345=+++++=s s s s s s D （2）0483224123)(2345=+++++=s s s s s s D （3）022)(45=--+=s s s s D

（4）0502548242)(2345=--+++=s s s s s s D

解（1）1011422)(2345+++++=s s s s s s D =0

Routh ： S 5 1 2 11 S 4 2 4 10 S 3 ε6

S 2 εε124-10

S 6

S 0 10

第一列元素变号两次，有2个正根。

（2）483224123)(2345+++++=s s s s s s D =0

Routh ： S 5 1 12 32 S 4 3 24 48 S 3 3122434?-=32348

3

16?-= 0 S 2

424316

4

12?-?= 48

S 121644812

0?-?= 0 辅助方程124802s +=,

S 24 辅助方程求导：024=s S 0 48

系统没有正根。对辅助方程求解，得到系统一对虚根s j 122,=±。 （3）022)(45=--+=s s s s D

Routh ： S 5 1 0-1 S 4 20-2辅助方程0224=-s

S 3 8 0 辅助方程求导083=s S 2 ε-2

S 16

S 0 -2

第一列元素变号一次，有1个正根；由辅助方程0224=-s 可解出：

))()(1)(1(2224j s j s s s s -+-+=-

))()(1)(1)(2(22)(45j s j s s s s s s s s D -+-++=--+=

（4）0502548242)(2345=--+++=s s s s s s D Routh ： S 5 1 24-25 S 4 248-50 辅助方程05048224=-+s s

S 3 896 辅助方程求导09683=+s s S 2 24-50

S 338/3

S 0 -50

第一列元素变号一次，有1个正根；由辅助方程05048224=-+s s 可解出：

)5)(5)(1)(1(25048224j s j s s s s s -+-+=-+

)5)(5)(1)(1)(2(502548242)(2345j s j s s s s s s s s s s D -+-++=--+++=

13.已知单位反馈控制系统开环传递函数如下，试分别求出当输入信号为

)(1t 、t 和2t 时系统的稳态误差。

⑴)15.0)(11.0(10

)(++=s s s G

⑵)

22)(4()

3(7)(2++++=

s s s s s s G

解： ⑴1010

()0(0.11)(0.51)K G s v s s =?=?

=++?

()(0.11)(0.51)100D s s s =+++=经判断系统稳定

()1()1

111

ss r t t A e K ==+

2

()()ss ss

r t t

r t t e e ===

∞

⑵273217(3)()428(4)(22)1

K s G s s s s s v ??

=

=+?=??

+++?

=? 2()(4)(22)7(3)0D s s s s s s =+++++=

经判断：系统不稳定。

14.已知单位负反馈系统的开环传递函数如下：

)

2(100

)(+=

s s s G K

求：(1) 试确定系统的型次v 和开环增益K ；

（2）试求输入为t t r 31)(+=时，系统的稳态误差。 解：（1）将传递函数化成标准形式

)

15.0(50

)2(100)(+=+=

s s s s s G K

可见，v ＝1，这是一个I 型系统 开环增益K ＝50；

（2）讨论输入信号，t t r 31)(+=，即A ＝1，B ＝3 误差06.006.0050

3

111=+=+∞+=++=

V p ss K B K A e

15. 已知单位负反馈系统的开环传递函数如下：

)

2.0)(1.0(2

)(2

++=

s s s s G K