第11讲空间中垂直关系的判定与性质

空间中垂直关系的判定与性质一．基础知识整合1.直线与平面存垂直（1）定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α.直线l叫作平面α的垂线，平面α叫作直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫作垂足．（2）画法：通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图（3）判定定理文字语言符号语言图形语言如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫l⊥al⊥baαbαa∩b＝P?l⊥α2.二面角（1）二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫作二面角，这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面．（2）二面角的记法：如图，记作：二面角α－AB－β，也可记作2∠α—AB—β.（3）二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角，其中平面角是直角的二面角叫作直二面角．3.平面与平面垂直（1）定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．（2）判定定理文字语言符号语言图形语言如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直⎭⎪⎬⎪⎫aαa⊥β?α⊥β4.直线与平面垂直的性质定理文字语言图形语言符号语言如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行⎭⎪⎬⎪⎫a⊥αb⊥α?a∥b5.平面与平面垂直的性质定理文字语言图形语言符号语言如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βα∩β＝laαa⊥l?a⊥β二．典例精析题型一：线面垂直的判定例1：如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，且S为所在平面外一点，满足SA＝SB＝为AC的中点．求证：SD⊥平面ABC.证明：∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，且D为AC的中点，∴BD＝AD ＝DC.又∵SA＝SB＝SC，SD为公共边，∴△SBD≌△SAD≌△SCD，∴∠SDB＝∠SDA＝∠SCD＝90°，∴SD⊥AD，SD⊥BD，∵AD∩BD＝D，∴SD⊥平面ABC.变式训练1：如图，已知AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B 的点，PA⊥⊙O所在的平面，AF⊥PC于F，求证：BC⊥平面PAC.证明：因为AB为⊙O的直径，所以BC⊥AC.因为PA⊥平面ABC，BC平面ABC，所以PA⊥BC.因为PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC.题型二：面面垂直的判定例2：已知四面体ABCD的棱长都相等，E，F，G，H分别为AB，AC，AD，BC的中点．求证：平面EHG⊥平面FHG.证明：如图，取CD的中点M，连接HM，MG，FM，则四边形MHEG为平行四边形．连接EM交HG于O，连接FO.在△FHG中，O为HG的中点，且FH＝FG，所以FO⊥HG.同理可证FO⊥EM.又HG∩EM＝O，所以FO⊥平面EHMG.又FO平面FHG，所以平面EHG⊥平面FHG.变式训练2：如图，在空间四边形ABDC中，AB＝BC，CD＝DA，E、F、G分别为CD、DA和对角线AC的中点．:求证：平面BEF⊥平面BDG.证明：∵AB＝BC，CD＝AD，G是AC的中点，∴BG⊥AC，DG⊥AC，又EF∥AC，∴EF⊥BG，EF⊥DG.∴EF⊥平面BGD.∵EF平面BEF，∴平面BDG⊥平面BEF.题型三：垂直关系的综合应用例3：如图，在三棱锥P—ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠BCA＝90°.点D，E分别在棱PB，PC上，且DE∥BC.(1)求证：BC⊥平面PAC；(2)是否存在点E使得二面角A—DE—P为直二面角并说明理由．证明：(1)∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.又∠BCA＝90°，∴AC⊥BC.又PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.(2)存在点E使得二面角A—DE—P为直二面角．由(1)知BC⊥平面PAC，又∵DE∥BC，∴DE⊥平面PAC.又∵AE平面PAC，PE平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE.∴∠AEP为二面角A—DE—P的平面角．又∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC.∴∠PAC＝90°.∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC.这时，∠AEP＝90°.故存在点E使得二面角A—DE—P是直二面角．变式训练3：如图所示，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AB＝2，BC＝2，PB＝6，求二面角P—BC—A的大小．解：∵PA⊥平面ABC，BC平面ABC，∴PA⊥BC.又AC⊥BC，PA∩AC ＝A，∴BC⊥平面PAC.又PC平面PAC，∴BC⊥PC.又BC⊥AC，∴∠PCA为二面角P—BC—A的平面角．在Rt△PBC中，∵PB＝6，BC＝2，∴PC＝2.在Rt△ABC中，∵AB＝2，BC＝2，∴AC＝ 2.∴在Rt△PAC中，cos∠PCA＝22，∴∠PCA＝45°，即二面角P—BC—A的大小为45°.题型四：线面垂直性质定理的应用例4：如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E、F分别在A1D、AC上，且EF⊥A1D，EF⊥AC.求证：EF∥BD1.证明：如图所示，连接AB1、B1C、BD.∵DD1⊥平面ABCD，AC平面ABCD.∴DD1⊥AC.又∵AC⊥BD，且BD∩DD1＝D，∴AC⊥平面BDD1.∵BD1平面BDD1，∴BD1⊥AC.同理可证BD1⊥B1C.∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥A1D，A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.又EF⊥AC，且AC∩B1C＝C，∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.变式训练3：如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E、F分别在A1D、AC上，且EF⊥A1D，EF⊥AC.若G是AB的中点，则E在A1D上什么位置时，能使EG⊥平面AB1C解：若EG⊥平面AB1C，因为BD1⊥平面AB1C，所以EG∥BD1.因为G为AB的中点，所以E为AD1的中点，即E为A1D的中点时，EG ⊥平面AB1C.题型五：面面垂直性质定理的应用例5：已知平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，求证：PA⊥平面ABC.证明：如图所示，在BC上任取一点D，作DF⊥AC于F，DG⊥AB于G，∵平面PAC⊥平面ABC，且平面PAC∩平面ABC＝AC，∴DF⊥平面PAC，又∵PA平面PAC，∴DF⊥PA，同理DG⊥PA，又∵DF∩DG＝D且DF平面ABC，DG平面ABC，∴PA⊥平面ABC.变式训练5：如图所示，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝22，M为BC的中点．求证：AM⊥PM.证明：如图连接AP.矩形ABCD中，AD⊥DC，BC⊥DC，又∵平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD＝DC，∴AD⊥平面PDC，BC⊥平面PDC，又∵PD平面PDC，PC平面PDC，∴AD⊥PD，BC⊥PC，在Rt△PAD和Rt△PMC中，易知AP2＝AD2＋PD2＝(22)2＋22＝12，PM2＝PC2＋MC2＝22＋(2)2＝6，又∵Rt△ABM中，AM2＝AB2＋BM2＝22＋(22)2＝6，∴AP2＝PM2＋AM2，∴AM⊥PM.题型六：垂直关系的综合应用例6：如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB＝AE，FA＝FE，∠AEF＝45°.(1)求证：EF⊥平面BCE；(2)设线段CD、AE的中点分别为P，M，求证：PM∥平面BCE.证明：(1)因为平面ABEF⊥平面ABCD，BC平面ABCD，BC⊥AB，平面ABEF∩平面ABCD＝AB，所以BC⊥平面ABEF.所以BC⊥EF.因为△ABE为等腰直角三角形，AB＝AE，所以∠AEB ＝45°.又因为∠AEF＝45°，所以∠FEB＝90°，即EF⊥BE.因为BC 平面BCE，BE平面BCE，BC∩BE＝B，所以EF⊥平面BCE.(2)取BE的中点N，连接CN，MN，则MN綊12AB綊PC，所以PMNC为平行四边形．所以PM∥CN.因为CN在平面BCE内，PM不在平面BCE内，所以PM∥平面BCE.变式训练6：如图，四棱锥S－ABCD中，SD⊥平面ABCD，AB∥DC，AD ⊥DC，AB＝AD＝1，SD＝2，BC⊥BD，E为棱SB上的一点，平面EDC ⊥平面SBC.(1)证明：DE⊥平面SBC；(2)证明：SE＝2EB.证明：(1)连接BD，∵SD⊥平面ABCD，故BC⊥SD，又∵BC⊥BD，BD∩SD＝D，∴BC⊥平面BDS，∴BC⊥DE. 作BK⊥EC，K为垂足，因平面EDC⊥平面SBC，故BK⊥平面EDC，BK⊥DE. 又∵BK平面SBC，BC平面SBC，BK∩BC＝B，∴DE⊥平面SBC. (2)由(1)知DE⊥SB，DB＝2AD＝ 2.∴SB＝SD2＋DB2＝6，DE＝SD·DBSB＝233，EB＝DB2－DE2＝63，SE＝SB －EB ＝263，∴SE ＝2EB .三.方法规律总结1．线面垂直的判定定理是证明线面垂直的主要方法，证明的关键是在平面内找到两条相交直线与已知直线垂直．2．在证明面面垂直时，一般方法是从一个平面内寻找另一个平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决(所作辅助线要有利于题目的证明)，即由线面垂直证面面垂直．3．空间中线线、线面、面面之间的垂直关系可以相互转化，其转化关系如下：4．会用线面垂直的性质定理证明平行问题，用面面垂直的性质定理证明垂直问题． 四：课后练习作业 一、选择题1．设l 、m 为不同的直线，α为平面，且l ⊥α，下列为假命题的是( B )A．若m⊥α，则m∥l B．若m⊥l，则m∥αC．若m∥α，则m⊥l D．若m∥l，则m⊥α【解析】A中，若l⊥α，m⊥α，则m∥l，所以A正确；B中，若l ⊥α，m⊥l，则m∥α或mα，所以B错误；C中，若l⊥α，m∥α，则m⊥l，所以C正确；若l⊥α，m∥l，则m⊥α，所以D正确．2．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是( A )A．平面A1DCB1 B．平面DD1C1C C．平面A1B1C1D1 D．平面A1DB【解析】连接A1D、B1C，由ABCD—A1B1C1D1为正方体可知，AD1⊥A1B1，AD1⊥A1D.故AD1⊥平面A1DCB1.3．如图，在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不成立的是( C )A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABC D．平面PAE⊥平面ABC【解析】由题意知BC∥DF，且BC⊥PE，BC⊥AE.∵PE∩AE＝E，∴BC⊥平面PAE，∴BC∥平面PDF成立，DF⊥平面PAE成立，平面PAE⊥平面ABC也成立．4．设α、β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是( C )A．若l⊥α，α⊥β，则lβB．若l∥α，α∥β，则lβC．若l⊥α，α∥β，则l⊥β D．若l∥α，α⊥β，则l ⊥β【解析】A错，可能l∥β；B错，可能l∥β；C正确；D错，不一定l⊥β.5．设平面α⊥平面β，且α∩β＝l，直线aα，直线bβ，且a不与l垂直，b不与l垂直，那么a与b( B )A．可能垂直，不可能平行 B．可能平行，不可能垂直C．可能垂直，也可能平行 D．不可能垂直，也不可能平行【解析】当a，b都平行于l时，a与b平行，假设a与b垂直，如图所示，由于b与l不垂直，在b上任取一点A，过点A作b′⊥l，∵平面α⊥平面β，∴b′⊥平面α，从而b′⊥a，又由假设a⊥b易知a⊥平面β，从而a⊥l，这与已知a不与l垂直矛盾，∴假设不正确，a与b不可能垂直．6．空间四边形ABCD，若AB、AC、AD与平面BCD所成角相等，则A 点在平面BCD的射影是△BCD的( A )A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心【解析】设A点在平面BCD内的射影为O.可知，△OAB≌△OAC≌△OAD.∴OB＝OC＝OD，∴点O为外心．7．下列说法中正确命题的个数为( B )①如果直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；②如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；③如果一条直线与平面内的一条直线垂直，则该直线与此平面必相交；④如果一条直线和平面的一条垂线垂直，该直线必在这个平面内；⑤如果一条直线和一个平面垂直，该直线垂直于平面内的任一直线．A．0 B．1 C．2 D．3【解析】如图(1)所示，l与α相交(不垂直)，此时也有无数条直线与l垂直．故①②错误；如图(2)所示，l与α平行，此时平面内也存在无数条直线与l垂直，故③④错误；如图(3)所示，直线l与平面α的垂线m垂直，但l不在平面α内；由线面垂直的定义可知，⑤正确．8．如图，在正方形ABCD中，E、F分别为边BC，CD的中点，H是EF 的中点，现沿AE、AF，EF把这个正方形折成一个几何体，使B、C、D三点重合于点G，则下列结论中成立的是( A )A．AG⊥平面EFG B．AH⊥平面EFGC．GF⊥平面AEF D．GH⊥平面AEF【解析】∵AG⊥GF，AG⊥GE，GF∩GE＝G，∴AG⊥平面EFG.9．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠BCD＝45°，∠BAD ＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成四面体ABCD，则在四面体ABCD中，下列命题正确的是( B )A．平面ADC⊥平面BDCB．平面ABD⊥平面ABCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC【解析】在图①中，∵∠BAD＝90°，AD＝AB，∴∠ADB＝∠ABD＝45°.∵AD∥BC，∴∠DBC＝45°.又∵∠BCD＝45°.∴∠BDC＝90°，即BD ⊥CD.在图②中，此关系仍成立．∵平面ABD⊥平面BCD，∴CD⊥平面ABD.∵BA平面ADB，∴CD⊥AB.∵BA⊥AD，∴BA⊥平面ACD.∵BA平面ABC，∴平面ABC⊥平面ACD.10．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1上运动，并且总保持AP⊥BD1，则动点P在( A )A．线段B1C上B．线段BC1上C．BB1中点与CC1中点的连线上D．B1C1中点与BC中点的连线上【解析】连接AC，B1C，AB1，由线面垂直的判定可知BD1⊥平面AB1C.若AP平面AB1C，则AP⊥BD1.这样只要P在B1C上移动即可．二、填空题11．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，平面ACD1与平面BB1D1D的位置关系是________．垂直【解析】∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD.又∵D1D⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴D1D⊥AC.∵D1D∩DB＝D，∴AC⊥平面BB1D1D.∵AC平面ACD1，∴平面ACD1⊥平面BB1D1D.12．如图所示，已知PA⊥平面α，PB⊥平面β，垂足分别为A、B，α∩β＝l，∠APB＝50°，则二面角α－l－β的大小为________．130°【解析】如图，设平面PAB∩l＝O，连接AO，BO，AB，∵PA⊥α，lα，∴PA⊥l.同理PB⊥l，而PB∩PA＝P，∴l⊥平面PAB，∴l⊥AO，l⊥BO，∴∠AOB即为二面角α－l－β的平面角．结合图形知∠AOB＋∠APB＝180°，∴∠AOB＝130°.13．如图，已知平面α⊥平面β，在α与β的交线l上，取线段AB＝4，AC、BD分别在平面α和平面β内，它们都垂直于交线AB，并且AC＝3 cm ，BD ＝12 cm ，则CD ＝ cm【解析】连接BC .因为平面α⊥平面β，且α∩β＝l ，又因为BD平面β，且BD ⊥l ，所以BD ⊥平面α.又∵BC 平面α，∴BC ⊥BD .所以△CBD也是直角三角形．在Rt △BAC 中，BC ＝32＋42＝5.在Rt △CBD 中，CD ＝52＋122＝13.所以CD 长为13 cm.14．α，β是两个不同的平面，m ，n 是平面α与β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m ⊥n ；②α⊥β；③n ⊥β；④m ⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________.若①③④，则②(或若②③④，则①)【解析】利用面面垂直的判定，可知①③④?②为真；利用面面垂直的性质，可知②③④?①为真．15．如图平面ABC ⊥平面BDC ，∠BAC ＝∠BDC ＝90°，且AB ＝AC ＝a ，则AD ＝_______a【解析】如图所示，取BC 的中点E ，连接ED ，AE ，∵AB ＝AC ，∴AE⊥BC ，∵平面ABC ⊥平面BDC .∴AE ⊥平面BDC ，∴AE ⊥ED .在Rt △ABC和Rt △BCD 中，AE ＝ED ＝12BC ＝22a ，∴在Rt △AED 中，AD ＝AE 2＋ED 2＝a .三、解答题16．如图所示，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，M是圆周上任意一点，AN⊥PM，垂足为N.求证：AN⊥平面PBM.证明:设圆O所在的平面为α，∵PA⊥α，且BMα，∴PA⊥BM.又∵AB为⊙O的直径，点M为圆周上一点，∴AM⊥BM，∵直线PA∩AM ＝A，∴BM⊥平面PAM.又AN平面PAM，∴BM⊥AN.这样，AN与PM，BM两条相交直线垂直．故AN⊥平面PBM.17．如图所示，过S引三条长度相等但不共面的线段SA，SB，SC且∠ASB＝∠ASC＝60°，∠BSC＝90°.求证：平面ABC⊥平面BSC.【证明】（法一）取BC的中点D，连接AD，SD.∵∠ASB＝∠ASC，且SA＝SB＝AC，∴AS＝AB＝AC.∴AD⊥BC.又△ABS是正三角形，△BSC 为等腰直角三角形，∴BD＝SD.∴AD2＋SD2＝AD2＋BD2＝AB2＝AS2.由勾股定理的逆定理，知AD⊥SD.又∵SD∩BC＝D，∴AD⊥平面BSC.又AD平面ABC，∴平面ABC⊥平面BSC.（法二）同法一证得AD⊥BC，SD⊥BC，则∠ADS即为二面角A—BC—S的平面角．∵∠BSC＝90°，令SA＝1，则SD＝22，AD＝22，∴SD2＋AD2＝SA2.∴∠ADS＝90°.∴平面ABC⊥平面BSC.18．如图，在三棱锥S －ABC 中，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DE 垂直平分SC ，分别交AC 、SC 于D 、E ，且SA ＝AB ＝a ，BC ＝2a .(1)求证：SC ⊥平面BDE ；(2)求平面BDE 与平面BDC 所成二面角的大小．(1)证明：∵SA ⊥平面ABC ，又AB 、AC 、BD 平面ABC ，∴SA ⊥AB ，SA ⊥AC ，SA ⊥BD ，∴SB ＝SA 2＋AB 2＝2a .∵BC ＝2a ，∴SB ＝BC .∵E 为SC 的中点，∴BE ⊥SC .又DE ⊥SC ，BE ∩DE ＝E ，∴SC⊥平面BDE .(2)由(1)及BD 平面BDE ，得BD ⊥SC .又知BD ⊥SA ，∴BD ⊥平面SAC .∴BD ⊥AC 且BD ⊥DE .∴∠CDE 为平面BDE 与平面BDC 所成二面角的平面角．∵AB ⊥BC ，AC ＝AB 2＋BC 2＝3a .∴Rt △SAC 中，tan ∠SCA ＝SAAC ＝33，∴∠SCA ＝30°.∴∠CDE ＝60°，即平面BDE 与平面BDC 所成二面角为60°.19.如图，已知三棱锥A BPC -中，AP PC ⊥，AC BC ⊥，M 为AB 中点，D 为PB 中点，且PMB ∆为正三角形.（1）求证：DM APC ∥平面；（2）求证：ABC APC ⊥平面平面.证明:（1）∵M 为AB 中点，D 为PB 中点，∴MD（2）∵△PMB 为正三角形，又D 为PB 中点. ∴MD ⊥PB.又由（1）知MD 又AP ⊥PC, 且PB ∩PC=P ，∴AP ⊥平面PBC, ∴AP ⊥BC, 又∵AC ⊥BC, 且AP ∩AC=A ∴BC ⊥平面APC, 又BC在平面ABC 内，∴平面ABC ⊥平面APC.20．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是AB 上一点，N 是A 1C 的中 点，MN ⊥平面A 1DC .求证：(1)MN ∥AD 1；(2)M 是AB 的中点．证明：(1)∵ADD 1A 1为正方形，∴AD 1⊥A 1D .又∵CD ⊥平面ADD 1A 1，AD 1平面ADD 1A 1，∴CD ⊥AD 1.∵A 1D ∩CD ＝D ，∴AD 1⊥平面A 1DC .又∵MN ⊥平面A 1DC ，∴MN ∥AD 1.(2)连接ON ，在△A 1DC 中，A 1O ＝OD ，A 1N ＝NC .∴ON 綊12CD 綊12AB ，∴ON ∥AM .又∵MN ∥OA ，∴四边形AMNO 为平行四边形，∴ON ＝AM .∵ON＝12AB ，∴AM ＝12AB ，∴M 是AB 的中点． 21．如图所示，P 是四边形ABCD 所在平面外一点，ABCD 是∠DAB ＝60°且边长为a 的菱形，侧面PAD 为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD .(1)若G 为AD 边的中点，求证：BG ⊥平面PAD ；(2)求证：AD ⊥PB .证明：(1)连接PG，BD.由题知△PAD为正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PG平面PAD，∴PG⊥平面ABCD，∴PG⊥BG.又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD.又AD平面PAD，PG平面PAD，且AD∩PG＝G，∴BG⊥平面PAD.(2)由(1)可知BG⊥AD，PG ⊥AD.又BG平面PBG，PG平面PBG，且BG∩PG＝G，AD⊥平面PBG，∴AD⊥PB.。