《图论基础算法》

图论基础算法

第1部分：图的遍历

一、图的遍历

1、深度优先遍历的递归定义

从图中某顶点v出发：

1）访问顶点v；

2）依次从v的未被访问的邻接点出发，继续对图进行深度优先遍历；

3）重复上述过程，直到图中所有顶点均已被访问为止。

例：在下图中，从V0开始进行一次深度遍历的过程如图所示：

2、广度优先遍历算法的描述

从图中某未访问过的顶点v i出发：

1）访问顶点v i；

2）访问v i的所有未被访问的邻接点w1 ,w2 , …w k；

3）依次从这些邻接点出发，访问它们的所有未被访问的邻接点; 依此类推，直到图中所有访问过的顶点的邻接点都被访问；

例如：求图G 的以V0起点的广度优先序列。

由于没有规定访问邻接点的顺序，深度优先遍历和广度优先遍历的遍历序列不是唯一的。

二、图的遍历算法实现

1、深度优先遍历

根据深度优先遍历的定义，通常使用递归过程实现图的深度优先遍历。

（1）邻接矩阵：

（2）邻接表

（3）非连通图的遍历（邻接表）

2、广度优先遍历算法

（1）邻接矩阵

（2）邻接表

图的数据结构如下：

【广度优先遍历代码】

3、复杂度分析

算法的时间复杂度与图的存储方式直接相关，采取邻接矩阵方式存储时，两种算法的时间复杂度均为O(n*n)；若采用邻接表存储，则算法的时间复杂度为O（n+e）。

深度优先遍历需要用到系统栈，若顶点特别多时，可以使用人工栈，以防栈溢出；广度（也称宽度）优先遍历，是一种按层遍历的方法，需要使用队列，额外空间为O（n）。

第2部分：图的最小生成树之PRIM算法

一、普里姆算法的基本思想

从连通网络G = { V, E }中的某一顶点u0出发，选择与它关联的具有最小权值的边(u0, v)，将其顶点加入到生成树的顶点集合U中。

以后每一步从一个顶点在U中，而另一个顶点不在U中的各条边中选择权值最小的边(u, v),把它的顶点加入到集合U中。如此继续下去，直到网络中的所有顶点都加入到生成树顶点集合U中为止。

二、Prim算法的基本步骤

（1）初始化：U={u0}，TREE={};

（2）如果U=V（G），则输出最小生成树T，并结束算法；

（3）在所有两栖边中找一条权最小的边（u，v）（若候选两栖边中的最小边不止一条，可任选其中的一条），将边（u，v）加入到边集TREE中，并将顶点v并入集合U中。

（4）由于新顶点的加入，U的状态发生变化，需要对U与V-U之间的两栖边进行调整。

（5）转步骤（2）

Prim算法实例

对图（a）从A点进行Prim算法的过程如下：

三、Prim算法实现

1、连通图用邻接矩阵表示：

W ij当（v i,v j） E（G）且权为W ij

g[i,j]= 0 当i=j

∞否则

2、生成树的边类型：

3、算法实现的过程代码

假设从第1个顶点开始生成最小生成树。

4、Prim算法分析

1、普里姆算法的时间复杂度为O(n2)，适用于稠密图。

2、优化：在选择权值最小的可行边时可以使用堆（后面在树的内容中讲解）。算法的时间复杂度为O(nlogn)

3、堆优化的Prim算法适用于稀疏图，而不优化的Prim算法适用于稠密图。