3-1-1行程问题基础-题库教师版

1?行程的基本概念，会解一些简单的行程题

2. 掌握单个变量的平均速度问题及其三种基本解题方法：

特殊值法”、设而不求法”、设单位1法”

3. 利用对比分析法解终（中）点问题 貝働怔 知识精讲

一、 s 、v 、t 探源

我们经常在解决行程问题的过程中用到 s 、V 、t 三个字母，并用它们来分别代表路程、速度和时间。

那么，为什么分别用这三个字母对应这三个行程问题的基本量呢？今天我们就一起了解一下。表示时间的

t ，这个字母t 代表英文单词time ，翻译过来就是时间的意思。表示速度的字母

V ,对应的单词同学们可能 不太熟悉，这个单词是 velocity ，而不是我们常用来表示速度的 speed 。velocity 表示物理学上的速度。与 路程相对应的英文单词， 一般来说应该是distanee ，但这个单词并不是以字母 s 开头的。关于为什么会用 s 来代表路程，有一个比较让人接受的说法，就是在行程问题的公式中，代表速度的

v 和代表时间的t 在字

母表中比较接近，所以就选取了跟这两个字母位置都比较接近的 s 来表示速度。 二、 关于s 、v 、t 三者的基本关系 速度用寸间=路程

可简记为： s = vt 路程锻度=时间

可简记为： t = s v 路程咄寸间=速度 可简记

为： v = st *

三、平均速度

平均速度的基本关系式为：

平均速度总路程总时间;

总时间 总路程 平均速度;

总路程 平均速度 总时间。

板块一、简单行程公式解题

【例1】韩雪的家距离学校480米，原计划7点40从家出发8点可到校，现在还是按原时间离开家，不过每分钟比原来多走16 米，那么韩雪几点就可到校？

【解析】原来韩雪到校所用的时间为20 分钟，速度为：480 20 24 （米/分），现在每分钟比原来多走16 米，即现在的速度为24 16 40（米/分），那么现在上学所用的时间为：480 40 12（分钟），7点40 分从家出发，12 分钟后，即7 点52 分可到学校．

【巩固】甲、乙两地相距100千米。下午3点，一辆马车从甲地出发前往乙地，每小时走10 千米；晚上9点，一辆汽车从甲地出发驶向乙地，为了使汽车不比马车晚到达乙地，汽车每小时最少要行驶多少千米？.

【解析】马车从甲地到乙地需要100 40=10小时，在汽车出发时，马车已经走了9-3=6（小时）。依题意，

汽车必须在10-6=4小时内到达乙地，其每小时最少要行驶100 4=25（千米）.

【巩固】两辆汽车都从北京出发到某地，货车每小时行60千米，15小时可到达。客车每小时行50千米，如果客车想与货车同时到达某地，它要比货车提前开出几小时？

【解析】北京到某地的距离为：60 15 900（千米），客车到达某地需要的时间为：900 50 18（小时），18

15 3（小时），所以客车要比货车提前开出 3 小时。

【巩固】甲、乙两辆汽车分别从A、B 两地出发相向而行，甲车先行三小时后乙车从 B 地出发，乙车出发 5 小时后两车还相距15 千米.甲车每小时行48 千米，乙车每小时行50 千米.求A、 B 两地间相距

多少千米？

【解析】在整个过程中，甲车行驶了3+ 5= 8 （小时），行驶的路程为：48疋=384（千米）；乙车行驶了5小时，行驶的路程为：50 5<=250（千米），此时两车还相距15千米，所以A、B两地间相距：

384＋250＋15 =649（千米）.

巩固】一天，梨和桃约好在天安门见面，梨每小时走200 千米，桃每小时走150千米，他们同时出发2 小时后还相距500千米，则梨和桃之间的距离是多少千米？

解析】我们可以先求出2小时梨和桃走的路程：（200 150） 2 700（千米），又因为还差500千米，所以梨和桃之间的距离：700 500 1200（千米）.

巩固】两列火车从相距480千米的两城相向而行，甲列车每小时行40千米，乙列车每小时行42千米，5小时后，甲、乙两车还相距多少千米？

解析】两车的相距路程减去5 小时两车共行的路程，就得到了两车还相距的路程：

480 （40 42）n 5 480 410 70 （千米）．

巩固】小白从家骑车去学校，每小时15千米，用时2 小时，回来以每小时10千米的速度行驶，需要多少时间？

解析】从家到学校的路程：15 2 30 （千米），回来的时间30 10 3（小时）．

例2】邮递员早晨7 时出发送一份邮件到对面山里，从邮局开始要走12 千米上坡路，8 千米下坡路。他上坡时每小时走 4 千米，下坡时每小时走 5 千米，到达目的地停留 1 小时以后，又从原路返回，邮递员什么时候可以回到邮局?

解析】法一：先求出去的时间，再求出返回的时间，最后转化为时刻。① 邮递员到达对面山里需时间：12韶+8弋=4.6（小时）;②邮递员返回到邮局共用时间：8呜+12为+1+4.6 =2+2.4+1+4.6 = 10（小时）③邮递员回到邮局时的时刻是：7+10-12=5（时）.邮递员是下午5时回到邮局的。

法二：从整体上考虑，邮递员走了（12+8）千米的上坡路，走了（12+8）千米的下坡路，所以共

用时间为：（12+8）詔+ （12+8）弋+1=10（小时），邮递员是下午7+10-12=5（时）回到邮局的。

例3】一个人站在铁道旁,听见行近来的火车汽笛声后,再过57 秒钟火车经过他面前.已知火车汽笛时离他1360米;（轨道是笔直的）声速是每秒钟340米,求火车的速度?（得数保留整数）

解析】火车拉汽笛时离这个人1360 米.因为声速每秒种340 米,所以这个人听见汽笛声时,经过了（1360 -340=）4秒?可见火车行1360米用了（57+4=）61秒，将距离除以时间可求出火车的速度.

1360 -57+1360 -40）=1360 - 61 ^米2）

例4】龟兔赛跑，同时出发，全程6990米，龟每分钟爬30米，兔每分钟跑330米，兔跑了10分钟就停下来睡了215 分钟，醒来后立即以原速往前跑，问龟和兔谁先到达终点？先到的比后到的快多少米？

解析】先算出兔子跑了330 10 3300 （米），乌龟跑了30 （215 10）6750 （米），此时乌龟只余下6990 6750 240 （米），乌龟还需要240 30 8 （分钟）到达终点，兔子在这段时间内跑了

8 330 2640 （米），所以兔子一共跑3300 2640 5940 （米）．所以乌龟先到，快了

6990 5940 1050 （米）．例5 】甲、乙两地相距6720 米，某人从甲地步行去乙地，前一半时间平均每分钟行80 米，后一半时间平均每分钟行60 米.问他走后一半路程用了多少分钟？

解析】方法一：由于前一半时间与后一半时间的平均速度是已知的，因此可以计算出这人步行的时间．而如果了解清楚各段的路程、时间与速度，题目结果也就自然地被计算出来了．应指出，如果前一半时间平均速度为每分钟80 米，后一半时间平均速度为每分钟60 米，则这个人从甲走到乙的平

均速度就为每分钟走（80+60） 2=70 米.这是因为一分钟80米，一分钟60米，两分钟一共140米, 平均每分钟70 米．而每分钟走80 米的时间与每分钟走60 米的时间相同，所以平均速度始终是每分钟70米.这样，就可以计算出这个人走完全程所需要的时间是6720 70=96分钟.由于前一

半时间的速度大于后一半时间的速度，所以前一半的时间所走路程大于6720 2=3360米.则前一

个3360米用了3360 80=42分钟；后一半路程所需时间为96-42=54分钟.

方法二：设走一半路程时间是x分钟，则80x+60x=6720，解方程得：x=48分钟，因为80冶8=3840

（米），大于一半路程3360 米，所以走前一半路程速度都是80 米，时间是3360 80=42（分钟），后一半路程时间是48+（48-42）=54（分钟）.

评注：首先，从这道题我们可以看出“一半时间”与“一半路程”的区别.在时间相等的情况下，总的平均速度可以是各段平均速度的平均数. 但在各段路程相等的情况下，这样做就是不正确的. 其次，后一半路程是混合了每分钟80米和每分钟60米两种状态，直接求所需时间并不容易.而前一半路程所需时间的计算是简单的.因此，在几种方法都可行的情况下，选择一种好的简单的方法.这种选择能力也是需要锻炼和培养的.

巩固】甲、乙两地相距 6 千米，某人从甲地步行去乙地，前一半时间平均每分钟行80米，后一半时间平均每分钟行70米.问他走后一半路程用了多少分钟？

解析】方法一：全程的平均速度是每分钟（80 70）2 75（米），走完全程的时间是6000 75 80（分钟），走前一半路程速度一定是80 米，时间是3000 80 37.5（分钟），后一半路程时间是80 37.5 42.5

（分钟）.

方法二：设走一半路程时间是x分钟，则80x 70x 6 1000，解得x 40 （分钟），因为80 40

3200（米），大于一半路程3000米，所以走前一半路程速度都是80米，时间是

3000 80 37.5 （分钟），后一半路程时间是40 （40 37.5）42.5（分钟）.

【例6] 四年级一班在划船比赛前讨论了两个比赛方案?第一个方案是在比赛中分别以2米/秒和3米/秒的速度各划行赛程的一半；第二个方案是在比赛中分别以2米/秒和3米/秒的速度各划行比赛时

间的一半?你认为这两个方案哪个好？

析】第二种方案

模块二、平均速度问题

【例7】如图，从A到B是12千米下坡路，从B到C是8千米平路，从C到D是4千米上坡路?小张步行，下坡的速度都是6千米/小时，平路速度都是4千米/小时，上坡速度都是2千米/小时?问小张从A到D的平均

速度是多少？

【解析】从A到B的时间为：12 ￡=2 （小时），从B到C的时间为：8呜=2 （小时），从C到D的时间为: 4吃=2 （小时），从A到D的总时间为：2+2+2=6 （小时），总路程为：12+8+4=24 （千米），那么从

A到D的平均速度为：24 24 （千米/时）.

【巩固】如图，从A到B是6千米下坡路，从B到C是4千米平路，从C到D是4千米上坡路?小张步行，下坡的速度都是6千米/小时，平路速度都是4千米/小时，上坡速度都是2千米/小时.问从A 到D的平均速度

是多少？

【解析】从A到B的时间为：6七=1 （小时），从B到C的时间为：4呜=1 （小时），从C到D的时间为：4吃=2 （小时），从A到D的总时间为：1+1+2=4 （小时），总路程为：6+4+4=14 （千米），那么

从A到D的平均速度为：14 4=3.5 （千米/时）

【巩固】摩托车驾驶员以每小时30千米的速度行驶了90千米到达某地，返回时每小时行驶45千米，求摩托车驾驶员往返全程的平均速度

【解析】要求往返全程的平均速度是多少，必须知道摩托车往”与返”的总路程和往”与返”的总时间摩

下山平均速度： 30 2 （10 5） 60 15 4（千米/小时）.

托车 往”行了 90千米，返”也行了 90千米，所以摩托车的总路程是： 90 &=180 （千米），摩托 车 往”的速度是每小时30千米，所用时间是：90唱0=3 （小时），摩托车 返”的速度是每小时45 千

米，所用时间是：90凶5=2 （小时），往返共用时间是：3+2=5 （小时），由此可求出往返的平均 速度，列式为：90忽-（90寻0+90 45） =180 5=36 （千米/小时）

【巩固】 甲乙两地相距200千米，小强去时的速度是 10千米/小时，回来的速度是 40千米/小时，求小强 往返的平

均速度.

【解析】去时的时间200 10 20 （小时），回来的时间200 40 5 （小时），平均速度 总路程 总时间

(200 200) (20 5) 16 (千米 /小时).

【巩固】 一辆汽车从甲地出发到 300千米外的乙地去，前 120千米的平均速度为 40千米/时，要想使这 辆汽车从

甲地到乙地的平均速度为

50千米/时，剩下的路程应以什么速度行驶？

【解析】 求速度首先找相应的路程和时间，平均速度说明了总路程与总时间的关系，剩下的路程为：

300-120=180 （千米），计划总时间为：300弋0=6 （小时），前120千米已用去120 40=3 （小时）， 所以剩下路程的速度为：（300-120） 4（ 6-3） =60 （千米/时）.

【巩固】一个运动员进行爬山训练?从 A 地出发，上山路长 30千米，每小时行3千米?爬到山顶后，沿 原路下山，

下山每小时行 6千米?求这位运动员上山、下山的平均速度.

【解析】 这道题目是行程问题中关于求上、下山平均速度的问题.解题时应区分平均速度和速度的平均数

这两个不同的概念?速度的平均数 （上山速度+下山速度）2，而平均速度 上、下山的总路程

上、下山所用的时间和.所以上山时间：

30 3 10（小时），下山时间：30 6 5（小时），上、300

F 均繼脸为50

屮

120

乙

例8 】一个人从甲地去乙地，骑自行车走完全程的一半时，自行车坏了，又无法修理，只好推车步行到乙地. 骑车时每小时行12 千米，步行时每小时 4 千米，这个人走完全程的平均速度是多少？

解析】① 参数法：设全程的的一半为S 千米，前一半时间为S 12 ，后一半时间为S 4，根据公式平均速度=总路程P总时间，可得2S S 12 S 4 6 （千米）。

② 题目中没有告诉我们总的路程，给计算带来不便，仔细想一想，前一段路程与后一段路程相等，

总路程是不影响平均速度的，我们自己设一个路程好了，路程的一半既是12 的倍数又是4 的倍

数，所以可以假设路程的一半为12,4 12（千米），来回两段路，每段路程12千米，那么总路

程是：12 2 24 （千米）,总时间是：12 12 12 4 4（小时），所以平均速度是：24 4 6（千米/小时）注意：在这种特定的题目中，随便选一个方便的数字做总路程并不是不科学的，因为我们可以把总路程设为“单位1”，这样做无非是设了“单位24”，也就是把所有路程扩大了24倍变成整数，没有任何问题，不论总路程设成多少，结论都是一样的，大家可以验证一下.

巩固】汽车往返于A， B 两地，去时速度为40 千米／时，要想来回的平均速度为48 千米／时，回来时的速度应为多少？

【解析】① 参数法：设A、B两地相距S千米，列式为S说2S 48-S 46）=60千米.

② 最小公倍法：路程 2 倍既是48 的倍数又是40 的倍数，所以可以假设路程为〔48，40〕=240 千米?

根据公式变形可得240 2- + （240 48-240 2^40）=60千米.

巩固】飞机以720 千米／时的速度从甲地到乙地，到达后立即以480 千米／时的速度返回甲地.求该车的平均速度?

解析】设两地距离为：720,480 1440（千米），从甲地到乙地的时间为：1440 720 2（小时），从乙地到甲地的时间为：1440 480 3 （小时），所以该飞机的平均速度为：1440 2 2 3 576（千米）。

巩固】汽车以72 千米/时的速度从甲地到乙地，到达后立即以48千米/时的速度返回甲地。求该车的平均速度。

解析】想求汽车的平均速度=汽车行驶的全程总时间，在这道题目中如果我们知道汽车行驶的全程，