2012安徽高考数学(理)试卷及答案

2012年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）

数学（理科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。 考生注意事项：

答题前，务必在试题卷、答题卡规定填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。

答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．书写，要求字体工整、笔迹清晰。作图题可先用铅笔在答题卡．．．

规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。必须在题号所指示的答题区域作答，超出书写的答案无效．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸．．．上答题无效．．．．．

。 考试结束后，务必将试题卷和答题卡一并上交。

参考公式：

如果事件A 与B 互斥；则()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A 与B 相互独立；则()()()P AB P A P B = 如果A 与B 是事件，且()0P B >；则()

()()

P AB P A B P B =

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）复数z 满足：()(2)5z i i --=；则z =（ ）

()A 22i -- ()B 22i -+ ()C i 2-2 ()D i 2+2

【解析】选D

55(2)()(2)5222(2)(2)

i z i i z i z i i i i i +--=?-=

?=+=+--+ （2）下列函数中，不满足：(2)2()f x f x =的是（ ）

()A ()f x x = ()B ()f x x x =- ()C ()f x x =+1 ()D ()f x x =-

【解析】选C

()f x kx =与()f x k x =均满足：(2)2()f x f x =得：,,A B D 满足条件

（3）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）

()A 3 ()B 4 ()C 5 ()D 8 【解析】选B

x

1 2 4 8

y

1

2

3

4

4.公比为32等比数列{}n a 的各项都是正数，且31116a a =，则（ ） ()A 4 ()B 5 ()C 6 ()D 7 【解析】选B

2

9311771672161616432log 5a a a a a a q a =?=?=?=?=?=

5.甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则

()A 甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 ()B 甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中

位数

()C 甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 ()D 甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差

【解析】选C 11

(45678)6,(5369)655

x x =

++++==?++=乙甲 甲的成绩的方差为2

2

1(2212)25?+?=，乙的成绩的方差为22

1(1331) 2.45

?+?=

（6）设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b m ⊥ 则“αβ⊥”是“a b ⊥”的（ ）

()A 充分不必要条件 ()B 必要不充分条件 ()C 充要条件

()D 即不充分不必要条件

【解析】选A

①,b m b b a αβα⊥⊥?⊥?⊥ ②如果//a m ；则a b ⊥与b m ⊥条件相同 （7）2

5

2

1(2)(

1)x x

+-的展开式的常数项是（ ） ()A 3- ()B 2- ()C 2 ()D 3 【解析】选D

第一个因式取2

x ，第二个因式取

2

1x

得：14

51(1)5C ?-= 第一个因式取2，第二个因式取5

(1)-得：5

2(1)2?-=- 展开式的常数项是5(2)3+-=

（8）在平面直角坐标系中，(0,0),(6,8)O P ，将向量OP uuu r 按逆时针旋转34

π

后，得向量OQ uuu r

则点Q 的坐标是（ ）

()A (2,2)- ()B (2,2)- ()C (6,2)--

()D (6,2)-

【解析】选A

【方法一】设34

(10cos ,10sin )cos ,sin 55

OP θθθθ=?==u u u r

则33(10cos(),10sin())(72,2)44OQ ππ

θθ=++=--u u u r 【方法二】将向量(6,8)OP =u u u r 按逆时针旋转32

π

后得(8,6)OM =-u u u u r

则)(72,2)2

OQ OP OM =+=-u u u r u u u

r u u u u r

（9）过抛物线2

4y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，点O 是原点，若3AF =； 则AOB ?的面积为（ ） ()

A 2

2

()B 2 ()C 322 ()D 22

【解析】选C

设(0)AFx θθπ∠=<<及BF m =；则点A 到准线:1l x =-的距离为3 得：1323cos cos 3θθ=+?=

又23

2cos()1cos 2

m m m πθθ=+-?==+ AOB ?的面积为1132232

sin 1(3)22232

S OF AB θ=???=??+?

= （10）6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进

行交换

的两位同学互赠一份纪念品，已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品

的同学人数为（ ）

()A 1或3 ()B 1或4 ()C 2或3 ()D 2或4 【解析】选D

261315132C -=-=

①设仅有甲与乙，丙没交换纪念品，则收到4份纪念品的同学人数为2人 ②设仅有甲与乙，丙与丁没交换纪念品，则收到4份纪念品的同学人数为4人

第II 卷（非选择题 共100分）

考生注意事项：

请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．．．．．．．．．．．．．．．．．. 二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置.

（11）若,x y 满足约束条件：0

2323x x y x y ≥??

+≥??+≤?

；则x y -的取值范围为_____

【解析】x y -的取值范围为_____[3,0]- 约束条件对应ABC ?边际及内的区域：

3

(0,3),(0,),(1,1)2

A B C

则[3,0]t x y =-∈-

（12）某几何体的三视图如图所示，该几何体的 表面积是_____

【解析】表面积是_____92

该几何体是底面是直角梯形，高为4的直四棱柱

几何体的表面积是22

12(25)4(2544(52))4922

S =??+?+++++-?= （13）在极坐标系中，圆4sin ρθ=的圆心到直线()6

R π

θρ=∈的距离是_____

【解析】距离是_____ 3

圆2

2

4sin (2)4x y ρθ=?+-=的圆心(0,2)C

直线:()306

l R x y π

θρ=

∈?-=；点C 到直线l 的距离是

0233-=

（14）若平面向量,a b r r

满足：23a b -≤r r ；则a b r r g

的最小值是_____ 【解析】a b r r g

的最小值是_____9

8

- 22222349494449448

a b a b a b

a b a b a b a b a b a b -≤?+≤++≥≥-?+≥-?≥-

r r r r r r g r r r r r r r r r r r r g g g g （15）设ABC ?的内角,,A B C 所对的边为,,a b c ；则下列命题正确的是_____ ①若2

ab c >；则3

C π

<

②若2a b c +>；则3

C π

<

③若3

3

3a b c +=；则2

C π

<

④若()2a b c ab +<；则2

C π

>

⑤若2

2

2

22

()2a b c a b +<；则3

C π

>

【解析】正确的是_____①②③

①2222

21cos 2223

a b c ab ab ab c C C ab ab π

+-->?=

>=?< ②2222224()()12cos 2823

a b c a b a b a b c C C ab ab π

+-+-++>?=

>≥?< ③当2

C π

≥

时，22232233c a b c a c b c a b ≥+?≥+>+与333

a b c +=矛盾

④取2,1a b c ===满足()2a b c ab +<得：2

C π

<

⑤取2,1a b c ===满足2

2

2

22

()2a b c a b +<得：3

C π

<

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的制定区域内. （16）(本小题满分12分)

设函数22()cos(2)sin 24

f x x x π

=

++ （I ）求函数()f x 的最小正周期；

（II ）设函数()g x 对任意x R ∈，有()()2

g x g x π

+

=，且当[0,]2x π

∈时，

1

()()2

g x f x =

-； 求函数()g x 在[,0]π-上的解析式。 【解析】

22111()cos(2)sin cos 2sin 2(1cos 2)24222f x x x x x x π=

++=-+-11

sin 222

x =- （I ）函数()f x 的最小正周期22

T π

π== （2）当[0,]2x π∈时，11

()()sin 222

g x f x x =-=

当

[,0]

2

x π

∈-

时，

()[0,]22

x ππ

+∈

11

()()sin 2()sin 22222

g x g x x x ππ=+=+=-

当

[,)

2

x π

π∈--时，

()[0,)2

x π

π+∈

11

()()sin 2()sin 222

g x g x x x ππ=+=+=

得：函数()g x 在[,0]π-上的解析式为1

sin 2(0)22()1sin 2()22

x x g x x x πππ?--≤≤??=??-≤

某单位招聘面试，每次从试题库随机调用一道试题，若调用的是A 类型试题，则使用后

该试题回库，并增补一道A 类试题和一道B 类型试题入库，此次调题工作结束；若调用的是B 类型试题，则使用后该试题回库，此次调题工作结束。试题库中现共有n m +道

试题，其中有n 道A 类型试题和m 道B 类型试题，以X 表示两次调题工作完成后，

试题库中A 类试题的数量。

（Ⅰ）求2X n =+的概率；

（Ⅱ）设m n =，求X 的分布列和均值（数学期望）。 【解析】（I ）2X n =+表示两次调题均为A 类型试题，概率为

1

2n n m n m n +?

+++ （Ⅱ）m n =时，每次调用的是A 类型试题的概率为1

2

p =

随机变量X 可取,1,2n n n ++

21()(1)P X n p ==-=

，1(1)2(1)P X n p p =+=-=，2

1(2)4

P X n p =+==

(1)(2)1424

EX n n n n =?++?++?=+

答：（Ⅰ）2X n =+的概率为1

2

n n m n m n +?

+++ （Ⅱ）求X 的均值为1n +

（18）（本小题满分12分）

平面图形111ABB A C C 如图4所示，其中11BB C C 是矩形，12,4BC BB ==，

AB AC ==

1111A B AC ==BC 和11B C 折叠，使ABC ?与

111A B C ?所在平面都

与平面11BB C C 垂直，再分别连接111,,AA BA CA ,得到如图2所示的空间图形，对此空间图形解答 下列问题。

。

（Ⅰ）证明：1AA BC ⊥； （Ⅱ）求1AA 的长； （Ⅲ）求二面角1A BC A --的余弦值。

【解析】（I ）取11,BC B C 的中点为点1,O O ，连接1111,,,AO OO AO AO 则AB AC AO BC =?⊥，面ABC ⊥面11BB C C AO ?⊥面11BB C C 同理：11A O ⊥面11BB C C 得：1111//,,,AO AO A O A O ?共面 又11,OO BC OO AO O ⊥=?I BC ⊥面111AOO A AA BC ?⊥ （Ⅱ）延长11A O 到D ，使1O D OA = 得：11////O D OA AD OO ?

1OO BC ⊥，面111A B C ⊥面11BB C C 1OO ?⊥面111A B C ?AD ⊥面111A B C 222214(21)5AA AD DA =+=++=

（Ⅲ）1

1,AO BC AO BC AOA ⊥⊥?∠是二面角1A BC A --的平面角 在11Rt OO A ?中，2

2

2211114225A O OO AO =+=

+=

在1Rt OAA ?中，22

21

111

5cos 25AO AO AA AOA AO AO +-∠==-

? 得：二面角1A BC A --的余弦值为5

5

-

。

（19）（本小题满分13分） 设1

()(0)x

x

f x ae b a ae =+

+> （I ）求()f x 在[0,)+∞上的最小值；

（II ）设曲线()y f x =在点(2,(2))f 的切线方程为3

2

y x =

；求,a b 的值。 【解析】（I ）设(1)x

t e t =≥；则2222

111a t y at b y a at at at -'=++?=-= ①当1a ≥时，0y '>?1

y at b at

=+

+在1t ≥上是增函数 得：当1(0)t x ==时，()f x 的最小值为1

a b a

++

②当01a <<时，1

2y at b b at

=++≥+

当且仅当11(,ln )x

at t e x a a

====-时，()f x 的最小值为2b +

（II ）11()()x x

x x f x ae b f x ae ae ae

'=++?=-

由题意得：2222212(2)333131(2)222f ae b a ae e f ae b ae ??

=++==??????????

?'=???-==?????

（20）（本小题满分13分）

如图，12(,0),(,0)F c F c -分别是椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>

的左，右焦点，过点1F 作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于点P ，

过点2F 作直线2PF 的垂线交直线2

a x c

=于点Q ；

（I ）若点Q 的坐标为(4,4)；求椭圆C 的方程； （II ）证明：直线PQ 与椭圆C 只有一个交点。

【解析】（I ）点11(,)(0)P c y y ->代入22

221x y a b +=

得：2

1b y a

=

2

120

40

14b a PF QF c c c

--⊥??=---- ①

又2

4a c

= ② 222(,,0)c a b a b c =->③ 由①②③得：2,1,3a c b === 既椭圆C 的方程为22

143

x y += （II ）设22(,)a Q y c ；则2

21222

012b y a PF QF y a a c c c c

--⊥?

?=-?=--- 得：222PQ

b a

c a k a a c c -==+ 2

222

222222222

21b x x y b a y b x y a b a b b x a

-'+=?=-?=-

过点P 与椭圆C 相切的直线斜率x c

PQ c

k y k a

=-'==

= 得：直线PQ 与椭圆C 只有一个交点。

（21）（本小题满分13分）

数列{}n x 满足：2*

110,()n n n x x x x c n N +==-++∈

（I ）证明：数列{}n x 是单调递减数列的充分必要条件是0c < （II ）求c 的取值范围，使数列{}n x 是单调递增数列。 【解析】（I ）必要条件

当0c <时，2

1n n n n x x x c x +=-++

充分条件

数列{}n x 是单调递减数列22

121110x x x x c c x ?>=-++?<=

得：数列{}n x 是单调递减数列的充分必要条件是0c < （II ）由（I ）得：0C ≥

①当0c =时，10n a a ==，不合题意

②当0c >时，2

2132,201x c x x c c x c c =>=-+>=?<<

22

11010n n n n n x x c x x c x x c +-=->?<

22

211111()()()(1)n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x ++++++-=--+-=--+-

当14c ≤

时，1211

102

n n n n n x x x x x +++<≤?+-?->?>

2

1lim lim()lim n n n n n n n x x x c x +→∞

→∞

→∞

=-++?=

当14c >

时，存在N ，使1211

12

N N N N N x x x x x +++>?+>?-与1N N x x +-异号 与数列{}n x 是单调递减数列矛盾 得：当1

04

c <≤时，数列{}n x 是单调递增数列