初中数学圆的易错题汇编
初中数学圆的易错题汇编
一、选择题
1.如图,点E 为ABC ?的内心,过点E 作MN BC P 交AB 于点M ,交AC 于点N ,若7AB =,5AC =,6BC =,则MN 的长为( )
A .3.5
B .4
C .5
D .5.5
【答案】B 【解析】 【分析】
连接EB 、EC ,如图,利用三角形内心的性质得到∠1=∠2,利用平行线的性质得∠2=∠3,所以∠1=∠3,则BM=ME ,同理可得NC=NE ,接着证明△AMN ∽△ABC ,所以
767MN BM -=,则BM=7-76MN①,同理可得CN=5-5
6MN②,把两式相加得到MN 的方程,然后解方程即可. 【详解】
连接EB 、EC ,如图,
∵点E 为△ABC 的内心,
∴EB 平分∠ABC ,EC 平分∠ACB , ∴∠1=∠2,
∵MN ∥BC , ∴∠2=∠3, ∴∠1=∠3, ∴BM=ME , 同理可得NC=NE , ∵MN ∥BC , ∴△AMN ∽△ABC , ∴
MN AM BC AB = ,即767MN BM -=,则BM=7-7
6
MN①, 同理可得CN=5-
5
6
MN②,
①+②得MN=12-2MN,
∴MN=4.
故选:B.
【点睛】
此题考查三角形的内切圆与内心,相似三角形的判定与性质,解题关键在于掌握与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆,三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心,这个三角形叫做圆的外切三角形.三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点.
2.如图,正方形ABCD内接于⊙O,AB=22,则?AB的长是()
A.πB.3
2
πC.2πD.
1
2
π
【答案】A
【解析】
【分析】连接OA、OB,求出∠AOB=90°,根据勾股定理求出AO,根据弧长公式求出即可.
【详解】连接OA、OB,
∵正方形ABCD内接于⊙O,
∴AB=BC=DC=AD,
∴????
AB BC CD DA
===,
∴∠AOB=1
4
×360°=90°,
在Rt△AOB中,由勾股定理得:2AO2=(2)2,解得:AO=2,
∴?AB的长为902 180
π′
=π,
故选A.
【点睛】本题考查了弧长公式和正方形的性质,求出∠AOB的度数和OA的长是解此题的关键.
3.已知锐角∠AOB如图,(1)在射线OA上取一点C,以点O为圆心,OC长为半径作?PQ,交射线OB于点D,连接CD;
(2)分别以点C,D为圆心,CD长为半径作弧,交?PQ于点M,N;
(3)连接OM,MN.
根据以上作图过程及所作图形,下列结论中错误的是()
A.∠COM=∠COD B.若OM=MN,则∠AOB=20°
C.MN∥CD D.MN=3CD
【答案】D
【解析】
【分析】
由作图知CM=CD=DN,再利用圆周角定理、圆心角定理逐一判断可得.
【详解】
解:由作图知CM=CD=DN,
∴∠COM=∠COD,故A选项正确;
∵OM=ON=MN,
∴△OMN是等边三角形,
∴∠MON=60°,
∵CM=CD=DN,
∴∠MOA=∠AOB=∠BON=1
3
∠MON=20°,故B选项正确;
∵∠MOA=∠AOB=∠BON=20°,
∴∠OCD=∠OCM=80°, ∴∠MCD=160°,
又∠CMN=
1
2
∠AON=20°, ∴∠MCD+∠CMN=180°,
∴MN ∥CD ,故C 选项正确; ∵MC+CD+DN >MN ,且CM=CD=DN , ∴3CD >MN ,故D 选项错误; 故选:D . 【点睛】
本题主要考查作图-复杂作图,解题的关键是掌握圆心角定理和圆周角定理等知识点.
4.如图,边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转45°后得到正方形AB 1C 1D 1,边B 1C 1与CD 交于点O ,则图中阴影部分的面积是( )
A .
224
π
--
B .
224
π
-+
C .
14
2
π
+
D .
142
π
- 【答案】B 【解析】 【分析】
先根据正方形的边长,求得CB 1=OB 1=AC-AB 1=2-1,进而得到211
(21)2
OB C S =-V ,再根据S △AB1C1=1
2
,以及扇形的面积公式即可得出图中阴影部分的面积. 【详解】 连结DC 1,
∵∠CAC 1=∠DCA =∠COB 1=∠DOC 1=45°, ∴∠AC 1B 1=45°, ∵∠ADC =90°,
∴A ,D ,C 1在一条直线上, ∵四边形ABCD 是正方形, ∴AC =2,∠OCB 1=45°, ∴CB 1=OB 1 ∵AB 1=1,
∴CB 1=OB 1=AC ﹣AB 1=2﹣1, ∴211111
(21)22OB C S OB CB ?=??=-, ∵1111111111222
AB C S AB B C =
?=??=V , ∴图中阴影部分的面积=2245(2)11(21)22360224
ππ
??---=-+.
故选B . 【点睛】
本题考查了旋转的性质,正方形性质、勾股定理以及扇形面积的计算等知识点的综合应用,主要考查学生运用性质进行计算的能力.解题时注意:旋转前、后的图形全等.
5.已知⊙O 的直径CD=10cm ,AB 是⊙O 的弦,AB=8cm ,且AB ⊥CD ,垂足为M ,则AC 的长为( ) A .25cm B .45 cm
C .25cm 或45cm
D .23cm 或
43cm 【答案】C 【解析】 连接AC ,AO ,
∵O 的直径CD=10cm ,AB ⊥CD ,AB=8cm ,
∴AM=
12AB=1
2
×8=4cm,OD=OC=5cm, 当C 点位置如图1所示时,
∵OA=5cm ,AM=4cm ,CD ⊥AB ,
∴222254OA AM -=-=3cm , ∴CM=OC+OM=5+3=8cm , ∴22224845AM CM +=+=;
当C点位置如图2所示时,同理可得OM=3cm,
∵OC=5cm,
∴MC=5?3=2cm,
在Rt△AMC中,AC=2222
4225
AM CM
+=+=cm.
故选C.
6.下列命题错误的是()
A.平分弦的直径垂直于弦
B.三角形一定有外接圆和内切圆
C.等弧对等弦
D.经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
【答案】C
【解析】
【分析】
根据垂径定理、三角形外接圆、圆的有关概念判断即可.
【详解】
A、平分弦的直径一定垂直于弦,是真命题;
B、三角形一定有外接圆和内切圆,是真命题;
C、在同圆或等圆中,等弧对等弦,是假命题;
D、经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心,是真命题;
故选C.
【点睛】
本题考查了命题与定理的知识,解题的关键是根据垂径定理、三角形外接圆、圆的有关概念等知识解答,难度不大.
7.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=23,BC=2,以AB的中点为圆心,OA的长为半径作半圆交AC于点D,则图中阴影部分的面积为( )
A.53
42
π
-B.
53
42
π
+C.23πD.43
2
π
【答案】A 【解析】【分析】
连接OD,过点O作OH⊥AC,垂足为 H,则有AD=2AH,∠AHO=90°,在Rt△ABC中,利用∠A的正切值求出∠A=30°,继而可求得OH、AH长,根据圆周角定理可求得∠BOC =60°,然后根据S阴影=S△ABC-S△AOD-S扇形BOD进行计算即可.
【详解】
连接OD,过点O作OH⊥AC,垂足为 H,
则有AD=2AH,∠AHO=90°,
在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=23,BC=2,tan∠
A=
3
3
23
BC
AB
==,
∴∠A=30°,
∴OH=1
2
OA=
3
2
,AH=AO?cos∠A=
33
3
2
?=,∠BOC=2∠A=60°,
∴AD=2AH=3,
∴S阴影=S△ABC-S△AOD-S扇形BOD=
()2
603
113
2323
222360
π?
??-??-=
53
2
π
-,
故选A.
【点睛】
本题考查了垂径定理,圆周角定理,扇形面积,解直角三角形等知识,正确添加辅助线,熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
8.如图,在Rt ABC
△中,90
ACB
∠=?,30
A
∠=?,2
BC=.将ABC
V绕点C按顺时针方向旋转n度后得到EDC
△,此时点D在AB边上,斜边DE交AC边于点F,则n 的大小和图中阴影部分的面积分别为()
A.302,B.602,
C.
3
60,D.603
,
【答案】C
【解析】
试题分析:∵△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2,∴∠B=60°,AC=BC×cot∠A=2×3=23,AB=2BC=4,
∵△EDC是△ABC旋转而成,
∴BC=CD=BD=1
2
AB=2,
∵∠B=60°,
∴△BCD是等边三角形,
∴∠BCD=60°,
∴∠DCF=30°,∠DFC=90°,即DE⊥AC,∴DE∥BC,
∵BD=1
2
AB=2,
∴DF是△ABC的中位线,
∴DF=1
2
BC=
1
2
×2=1,CF=
1
2
AC=
1
2
×23=3,
∴S阴影=1
2
DF×CF=
1
2
×3=
3
.
故选C.
考点:1.旋转的性质2.含30度角的直角三角形.
9.如图,⊙O中,弦BC与半径OA相交于点D,连接AB,OC,若∠A=60°,∠ADC=85°,则∠C的度数是()
A.25°B.27.5°C.30°D.35°
【答案】D
【解析】
分析:直接利用三角形外角的性质以及邻补角的关系得出∠B以及∠ODC度数,再利用圆周角定理以及三角形内角和定理得出答案.
详解:∵∠A=60°,∠ADC=85°,
∴∠B=85°-60°=25°,∠CDO=95°, ∴∠AOC=2∠B=50°, ∴∠C=180°-95°-50°=35° 故选D .
点睛:此题主要考查了圆周角定理以及三角形内角和定理等知识,正确得出∠AOC 度数是解题关键.
10.如图,ABC ?是一块绿化带,将阴影部分修建为花圃.已知15AB =,9AC =,
12BC =,阴影部分是ABC ?的内切圆,一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上,则小鸟落在花圃上的概率为( ).
A .16
B .6
π C .
8π D .
5
π 【答案】B 【解析】 【分析】
由AB=5,BC=4,AC=3,得到AB 2=BC 2+AC 2,根据勾股定理的逆定理得到△ABC 为直角三角形,于是得到△ABC 的内切圆半径=4+3-5
2
=1,求得直角三角形的面积和圆的面积,即可得到结论. 【详解】
解:∵AB=5,BC=4,AC=3, ∴AB 2=BC 2+AC 2, ∴△ABC 为直角三角形, ∴△ABC 的内切圆半径=4+3-5
2
=1, ∴S △ABC =12AC?BC=1
2
×4×3=6, S 圆=π,
∴小鸟落在花圃上的概率=6
π , 故选B . 【点睛】
本题考查几何概率,直角三角形内切圆的半径等于两直角边的和与斜边差的一半及勾股定理的逆定理,解题关键是熟练掌握公式.
11.一个圆锥的侧面展开图是半径为1的半圆,则该圆锥的底面半径是()
A.1
3
B.
1
2
C.
3
4
D.1
【答案】B
【解析】
【分析】
根据侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长,即可求得底面周长,进而即可求得底面的半径长.
【详解】
圆锥的底面周长是:π;
设圆锥的底面半径是r,则2πr=π.
解得:r=1
2
.
故选B.
【点睛】
本题考查了圆锥的计算,正确理解理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键,理解圆锥的母线长是扇形的半径,圆锥的底面圆周长是扇形的弧长.
12.如图,圆锥的底面半径为1,母线长为3,则侧面积为()
A.2πB.3πC.6πD.8π
【答案】B
【解析】
【分析】
圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2,把相应数值代入即可求解.
【详解】
解:圆锥的侧面积为:1
2
×2π×1×3=3π,
故选:B.【点睛】
此题考查圆锥的计算,解题关键在于掌握运算公式.
13.如图,在菱形ABCD 中,60ABC ∠=?,1AB =,点P 是这个菱形内部或边上的一点,若以点P ,B ,C 为顶点的三角形是等腰三角形,则P ,D (P ,D 两点不重合)两点间的最短距离为( )
A .
12
B .1
C 3
D 31
【答案】D 【解析】 【分析】
分三种情形讨论①若以边BC 为底.②若以边PC 为底.③若以边PB 为底.分别求出PD 的最小值,即可判断. 【详解】
解:在菱形ABCD 中, ∵∠ABC=60°,AB=1,
∴△ABC ,△ACD 都是等边三角形,
①若以边BC 为底,则BC 垂直平分线上(在菱形的边及其内部)的点满足题意,此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短“,即当点P 与点A 重合时,PD 值最小,最小值为1;
②若以边PC 为底,∠PBC 为顶角时,以点B 为圆心,BC 长为半径作圆,与BD 相交于一点,则弧AC (除点C 外)上的所有点都满足△PBC 是等腰三角形,当点P 在BD 上时,PD 31
③若以边PB 为底,∠PCB 为顶角,以点C 为圆心,BC 为半径作圆,则弧BD 上的点A 与点D 均满足△PBC 为等腰三角形,当点P 与点D 重合时,PD 最小,显然不满足题意,故此种情况不存在;
上所述,PD 的最小值为31 故选D . 【点睛】
本题考查菱形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考常考题型.
14.如图,AB 是⊙O 的直径,AC 是⊙O 的切线,OC 交⊙O 于点D ,若∠ABD =24°,则∠C 的度数是( )
A.48°B.42°C.34°D.24°
【答案】B
【解析】
【分析】
根据切线的性质求出∠OAC,结合∠C=42°求出∠AOC,根据等腰三角形性质求出∠B=∠BDO,根据三角形外角性质求出即可.
【详解】
解:∵∠ABD=24°,
∴∠AOC=48°,
∵AC是⊙O的切线,
∴∠OAC=90°,
∴∠AOC+∠C=90°,
∴∠C=90°﹣48°=42°,
故选:B.
【点睛】
考查了切线的性质,圆周角定理,三角形内角和定理,解此题的关键是求出∠AOC的度数,题目比较好,难度适中.
15.下列命题中正确的个数是()
①过三点可以确定一个圆
②直角三角形的两条直角边长分别是5和12,那么它的外接圆半径为6.5
③如果两个半径为2厘米和3厘米的圆相切,那么圆心距为5厘米
④三角形的重心到三角形三边的距离相等.
A.1个B.2个C.3个D.4个
【答案】A
【解析】
【分析】
①根据圆的作法即可判断;
②先利用勾股定理求出斜边的长度,然后根据外接圆半径等于斜边的一半即可判断;
③根据圆与圆的位置关系即可得出答案;
④根据重心的概念即可得出答案. 【详解】
①过不在同一条直线上的三点可以确定一个圆,故错误; ②∵直角三角形的两条直角边长分别是5和12, ∴斜边为2251213+= , ∴它的外接圆半径为
.1
13652
?=,故正确; ③如果两个半径为2厘米和3厘米的圆相切,那么圆心距为5厘米或1厘米,故错误; ④三角形的内心到三角形三边的距离相等,故错误; 所以正确的只有1个, 故选:A . 【点睛】
本题主要考查直角三角形外接圆半径,圆与圆的位置关系,三角形内心,重心的概念,掌握直角三角形外接圆半径的求法,圆与圆的位置关系,三角形内心,重心的概念是解题的关键.
16.如图,四边形ABCD 内接于圆O ,DA DC =,50CBE ∠=?,AOD ∠的大小为( )
A .130°
B .100°
C .20°
D .10°
【答案】A 【解析】 【分析】
先求出∠ABC 的大小,根据内接四边形角度关系,得到∠ADC 的大小,从而得出∠C 的大小,最后利用圆周角与圆心角的关系得∠AOD 的大小. 【详解】 ∵∠CBE=50° ∴∠ABC=130°
∵四边形ABCD 是内接四边形 ∴∠ADC=50° ∵AD=DC
∴在△ADC 中,∠C=∠DAC=65° ∴∠AOD=2∠C=130° 故选:A 【点睛】
本题考查圆的性质,主要是内接四边形对角互补和同弧对应圆心角是圆周角2倍,解题中,我们要充分利用圆的性质进行角度转换,以便得到我们需要的角度.
17.如图,有一圆锥形粮堆,其侧面展开图是半径为6m 的半圆,粮堆母线AC 的中点P 处有一老鼠正在偷吃粮食,此时,小猫正在B 处,它要沿圆锥侧面到达P 处捕捉老鼠,则小猫所经过的最短路程长为( )
A .3m
B .33m
C .35m
D .4m
【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】
如图,由题意得:AP =3,AB =6,90.
BAP ∠=o ∴在圆锥侧面展开图中223635.BP m =+= 故小猫经过的最短距离是35.m 故选C.
18.如图,四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形,若∠BOD=86°,则∠BCD 的度数是( )
A .86°
B .94°
C .107°
D .137°
【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】
解:∵∠BOD=86°, ∴∠BAD=86°÷2=43°,
∵∠BAD+∠BCD=180°,
∴∠BCD=180°-43°=137°,
即∠BCD的度数是137°.
故选D.
【点睛】
本题考查圆内接四边形的对角互补.②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角(就是和它相邻的内角的对角).
19.如图,在圆O中,直径AB平分弦CD于点E,且CD=43,连接AC,OD,若∠A与∠DOB互余,则EB的长是()
A.3B.4 C3D.2
【答案】D
【解析】
【分析】
连接CO,由直径AB平分弦CD及垂径定理知∠COB=∠DOB,则∠A与∠COB互余,由圆周角定理知∠A=30°,∠COE=60°,则∠OCE=30°,设OE=x,则CO=2x,利用勾股定理即可求出x,再求出BE即可.
【详解】
连接CO,∵AB平分CD,
∴∠COB=∠DOB,AB⊥CD,3
∵∠A与∠DOB互余,
∴∠A+∠COB=90°,
又∠COB=2∠A,
∴∠A=30°,∠COE=60°,
∴∠OCE=30°,
设OE=x,则CO=2x,
∴CO2=OE2+CE2
即(2x)2=x23)2
解得x=2,
∴BO=CO=4,
∴BE=CO-OE=2.
故选D.
【点睛】
此题主要考查圆内的综合问题,解题的关键是熟知垂径定理、圆周角定理及勾股定理.
20.“直角”在几何学中无处不在,下列作图作出的AOB ∠不一定...
是直角的是( ) A . B .
C .
D .
【答案】C 【解析】 【分析】
根据作图痕迹,分别探究各选项所做的几何图形问题可解. 【详解】
解:选项A 中,做出了点A 关于直线BC 的对称点,则AOB ∠是直角. 选项B 中,AO 为BC 边上的高,则AOB ∠是直角.
选项D 中,AOB ∠是直径AB 作对的圆周角,故AOB ∠是直角. 故应选C 【点睛】
本题考查了尺规作图的相关知识,根据基本作图得到的结论,应用于几何证明是解题关键.
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初中数学易错题 一、选择题 1、A、B是数轴上原点两旁的点,则它们表示的两个有理数是() A、互为相反数 B、绝对值相等 C、是符号不同的数 D、都是负数 2、有理数a、b在数轴上的位置如图所示,则化简|a-b|-|a+b|的结果是() A、2a B、2b b C、2a-2b D、2a+b 3、轮船顺流航行时m千米/小时,逆流航行时(m-6)千米/小时,则水流速度() A、2千米/小时 B、3千米/小时 C、6千米/小时 D、不能确定 4、方程2x+3y=20的正整数解有() A、1个 B、3个 C、4个 D、无数个 5、下列说法错误的是() A、两点确定一条直线 B、线段是直线的一部分 C、一条直线不是平角 D、把线段向两边延长即是直线 6、函数y=(m2-1)x2-(3m-1)x+2的图象与x轴的交点情况是 ( ) A、当m≠3时,有一个交点 B、1 m时,有两个交点 ≠ ± C、当1 m时,有一个交点 D、不论m为何值,均无交点 = ± 7、如果两圆的半径分别为R和r(R>r),圆心距为d,且(d-r)2=R2,则