解析几何专题02直线与圆

学习目标

（1）正确理解圆的标准方程与一般方程；能规范地运用“待定系数法”求圆的方程；（2）明确直线与圆的位置关系，并能够熟练地利用几何法判断直线与圆的位置关系；（3）能够根据具体条件选择适当的方法正确求解圆的弦长、切线以及有关最值问题。

知识回顾及应用

1．圆的方程 (1)圆的标准方程 (2)圆的一般方程

2．直线与圆的位置关系

(1)直线与圆的位置关系的判断

(2) 直线与圆相交产生的弦长问题的一般处理思路 (3) 直线与圆相切产生的切线问题的一般处理思路 (4) 直线与圆相离产生的最值问题的一般处理思路 3．应用所学知识解决问题：

【题目】在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线:C x 2＋y 2＝4，直线:l 12x －5y ＋30＝0，则曲线C 与直线l 的位置关系是相离。

【变式1】在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线:C x 2＋y 2＝4和直线:l 12x －5y ＋c ＝0有且只有一个公共点，则实数c 的值是________．26± 【变式2】在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线:C x 2＋y 2＝4上有且只有四个点到直线:l 12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值范围是________．(－13,13) 【变式3】在平面直角坐标系xOy

中，已知曲线:C y =直线:l 12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值范围是________．[11,13)

问题探究（请先阅读课本，再完成下面例题）

【类型一】求圆的方程以及圆的弦长问题

例1．根据下列条件，求圆的方程：

(1)经过P (－2,4)、Q (3，－1)两点，并且在x 轴上截得的弦长等于6； (2)圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)．

三个独立条件确定一个圆。在求圆的方程时，常采用“待定系数法”

：根据条件选择适当的圆的方程形式（与圆心有关的问题常常设“圆的标准方程”；三点圆问题常常设“圆的一般方程”

），再根据条件列方程（组）并解之。

解 (1)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，

将P 、Q 点的坐标分别代入得 ??

2D －4E －F ＝20，3D －E ＋F ＝－10.

①②

又令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0. ③ 设x 1，x 2是方程③的两根，

由|x 1－x 2|＝6有D 2－4F ＝36， ④ 由①、②、④解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－8，或D ＝－6，E ＝－8，F ＝0. 故所求圆的方程为

x 2＋y 2－2x －4y －8＝0，或x 2＋y 2－6x －8y ＝0. (2)方法一如图，设圆心(x 0，－4x 0)，依题

意得4x 0－23－x 0＝1，

∴x 0＝1，即圆心坐标为(1，－4)，半径r ＝22，故圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.

方法二设所求方程为(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝r 2，根据已知条件得

???

y 0＝－4x 0，

(3－x 0

＋(－2－y 0

＝r 2

，|x 0

＋y 0

－1|

2＝r ，

解得???

x 0＝1，y 0

＝－4，

r ＝2 2.

因此所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.

练习：(1)在平面直角坐标系xOy 中，曲线261y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C 上．则圆C 的方程是．

(2)若圆上一点A (2,3)关于直线x ＋2y ＝0的对称点仍在圆上，且圆与直线x －y ＋1＝0相交的弦长为22，则圆的方程是__________________．

答案：(1) 22

6210x y x y +--+= (2) (x －6)2

＋(y ＋3)2

＝52或(x －14)2

＋(y ＋7)2

＝244

【类型二】圆的切线问题

过圆上一点作圆的切线有且只有一条，常利用“圆心与切点连线垂直于切线”求切

线斜率；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，常利用“圆心到切线距离等于半径”求

例2．已知点M(3,1)，直线ax－y＋4＝0及圆(x－1)2＋(y－2)2＝4．

(1)求过M点的圆的切线方程；(2)若直线ax－y＋4＝0与圆相切，求a的值．

解(1)圆心C(1,2)，半径为r＝2，

①当直线的斜率不存在时，方程为x＝3.

由圆心C(1,2)到直线x＝3的距离d＝3－1＝2＝r知，此时，直线与圆相切．

②当直线的斜率存在时，

设方程为y－1＝k(x－3)，

即kx－y＋1－3k＝0.

由题意知|k －2＋1－3k |k 2＋1

＝2，解得k ＝3

∴方程为y －1＝3

4(x －3)，即3x －4y －5＝0.

故过M 点的圆的切线方程为x ＝3或3x －4y －5＝0.

(2)由题意有|a －2＋4|

a 2

＋1＝2，解得a ＝0或a ＝4

练习：已知圆C ：222440x y x y +---=.

（Ⅰ）设圆C 与x 轴交于A 、B 两个点，求线段AB 的长; (Ⅱ) 过点(4,3)作圆C 的切线，求切线的方程.

（Ⅰ）圆C 的标准方程为22(1)(2)9x y -+-=，设D 为AB 的中点，则

2CD

=,3AC =,

则在直角三角形ACD

中，AD =则2AB AD == .

(Ⅱ)易知点(4,3)在圆的外部，故所求切线有两条，画图可知，过(4,3)作圆C 的切线一条为4x = . 设过(4,3)的圆C 的另一条切线方程为

3(4)y k x -=-，根据点到直线距离公式，

3=，解得4

k =-，整理得切线方程为43250x y +-=．

【类型三】圆的最值问题

例3已知实数x 、y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0．

(1)求y －x 的最大值和最小值；(2)求x 2＋y 2的最大值和最小值．解圆的标准方程为(x －2)2＋y 2＝3.

(1)【方法一】y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，

圆的最值问题主要有两种处理方式：（1）三角代换：

如，根据圆的方程222()()(0)x a y b r r -+-=>可设cos ()sin x a r y b r θθθ=+??=+?为参数；

（2）几何转化：转化为“与圆心有关”的问题。

|2－0＋b|

2＝3，解得b＝－2± 6.

此时

所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.

【方法二】设2x y θ

θ?=+??=??

，则(2))24y x πθθθ-=-=--

所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.

(2)x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．

又圆心到原点的距离为(2－0)2＋(0－0)2＝2，

所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－4 3.

练习：已知M 为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q (－2,3)．

(1)求|MQ |的最大值和最小值；(2)若M (m ，n )，求n －3

m ＋2的最大值和最小值．

答案：(1)|MQ |max ＝62，|MQ |min ＝22

(2)n －3m ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－3．

检测

1．直线1=+y x 与圆0222=-+ay y x )0(>a 没有公共点，则a 的取值范围是( A ) (A))12,0(- (B))12,12(+- (C))12,12(+-- (D))12,0(+ 2．若点00(,)P x y 在圆222:O x y r +=外，则直线200r y y x x =+与圆O 的位置关系是( B )

（A ）相离（B ）相交（C ）相切（D ）不确定

3．过坐标原点且与圆02

2422=+

+-+y x y x 相切的直线方程为( C ) (A) x y 3-=或x y 31-= (B)x y 3=或x y 31

4．（

2014东城期末）已知直线3y kx =+与圆22

(2)(3)4x y -+

-=相交于M ，

N 两点，若 MN ≥k 的取值范围为( A )

（A ）

[ （B ）1

[,]33

- （C ）(,-∞ （D ）

)+∞ 5．过点()1,1直线l 与圆224x y +=交于,A B 两点，若AB =，则直线l 的方程为 .

x y +-=

6．方程x 2+y 2+4x –2y –4=0，则x 2+y 2的最大值是 . 1465+ 7．设R n m ∈,，若直线02)1()1(=-+++y n x m 与圆1)1()1(22=-+-y x 相切，求m+n 的取值范围。

【解析】圆心为)1,1(，半径为 1.直线与圆相切，所以圆心到直线的距离满足

1)1()1(|2)1()1|2

2=+++-+++n m n m （，

即2)2(1n m mn n m +≤=++，

设z n m =+，即014

2≥--z z ，解得,222-≤z 或,222+≥z

【能力提升】

8．已知圆C ：044222=-+-+y x y x ，是否存在斜率为1的直线l ，使以l 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆过原点，若存在求出直线l 的方程，若不存在说明理由．解：圆C 化成标准方程为:2223)2()1(=++-y x

假设存在以AB 为直径的圆M ，圆心M 的坐标为（a ，b ）

由于CM ⊥l ，∴k CM k l =－1 ∴k CM =11

2-=-+a b ，即a +b+1=0，得b= －a －1 ①

直线l 的方程为y －b=x －a ，即x －y+b －a =0 ∴ CM=

+-a b ∵以AB 为直径的圆M 过原点，

∴OM MB MA == 2

)3(92

+--=-=a b CM

CB MB ，222

b a OM

∴222

)3(9b a a b +=+--

② 把①代入②得 0322

=--a a ，∴12

-==

a a 或当2

,23-==

b a 时此时直线l 的方程为：x －y －4=0；当0,1=-=b a 时此时直线l 的方程为：x －y+1=0

故这样的直线l 是存在的，方程为x －y －4=0 或x －y+1=0．

9.设平面直角坐标系xoy 中，设二次函数2()2()f x x x b x R =++∈的图像与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C 。求：

（1）当3-=b 时，求圆C 的方程；（2）求实数b 的取值范围；（3）求圆C 的方程；（4）圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）？如果你认为它经过定点，

请求出定点坐标；如果你认为它不经过定点，请说明理由。

答案：（1）x2+ y2+2x+2y-3=0

（2）令x=0，得抛物线于y轴的交点是（0，b）

令f(x)=0，得x2+2x+b=0，由题意b≠0且△>0，解得b<1且b≠0（3）设所求圆的一般方程为x2+ y2+D x+E y+F=0

令y=0，得x2+D x+F=0，这与x2+2x+b=0是同一个方程，故D=2，F=b

令x=0，得y2+ E y+b=0，此方程有一个根为b，代入得E=-b-1

所以圆C的方程为x2+ y2+2x -(b+1）y+b=0

（4）圆C必过定点（0，1），（-2，1）

纠错矫正

总结反思

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