三角恒等变换练习题
1三角恒等变换练习题
一、选择题
1．已知(,0)2x π∈-，4
cos 5x =，则=x 2tan （ ）
A ．247
B ．247-
C ．724
D ．724
-
2．函数3sin 4cos 5y x x =++的最小正周期是（ ） A.5π
B.2π
C.π
D.2π
3．在△ABC 中，cos cos sin sin A B A B >，则△ABC 为（ ）
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．无法判定
4．设00sin14cos14a =+，00sin16cos16b =+，c =，则,,a b c 大小关系（
）
A ．a b c <<
B ．b a c <<
C ．c b a <<
D ．a c b <<
5．函数)cos[2()]y x x ππ=-+是（ ）
A.周期为4π
的奇函数 B.周期为4π
的偶函数
C.周期为2π
的奇函数 D.周期为2π
的偶函数
6．已知cos 23θ=，则44sin cos θθ+的值为（ ）
A ．1813
B ．1811
C ．97
D ．1-
7．设212tan13cos6sin 6,,221tan 13a b c =-==+o o
o o 则有（ ）
A.a b c >>
B.a b c <<
C.a c b <<
D.b c a <<
8．函数221tan 21tan 2x
y x -=+的最小正周期是( )
A ．4π
B ．2π
C ．π
D ．2π
9．sin163sin 223sin 253sin313+=o o o o （ ）
A ．1
2- B ．1
2 C ．2- D ．2
10．已知3
sin(),45x π
-=则sin 2x 的值为（ ）
A.
1925 B.1625 C.1425 D.725
11．若(0,)απ∈，且1cos sin 3
αα+=-，则cos2α=( )
A ．917
B ．9±
C ．9-
D ．3
17 12．函数x x y 24cos sin +=的最小正周期为（ ）
A ．4π
B ．2
π C ．π D ．2π 二、填空题
1．求值：
0000tan 20tan 4020tan 40+=_____________。
2．若1tan 2008,1tan αα+=-则1tan 2cos 2αα
+= 。
3___________。
4．已知sin cos 223
θ
θ+=那么sin θ的值为 ,cos2θ的值为 。 5．ABC ?的三个内角为A 、B 、C ，当A 为 时，
cos 2cos 2
B C A ++取得最大值，且这个最大值为 。 6．已知在ABC ?中，3sin 4cos 6,4sin 3cos 1,A B B A +=+=则角C 的大小为 ．
7．计算：o o o o o o 80
cos 15cos 25sin 10sin 15sin 65sin －＋的值为_______． 8．函数22sin
cos()336
x x y π=++的图象中相邻两对称轴的距离是 ． 9．函数)(2cos 2
1cos )(R x x x x f ∈-=的最大值等于 ． 10．已知)sin()(?ω+=x A x f 在同一个周期内，当3π=x 时，)(x f 取得最大值为2，当 0=x 时，)(x f 取得最小值为2-，则函数)(x f 的一个表达式为______________．
三、解答题
1．已知sin sin sin 0,cos cos cos 0,αβγαβγ++=++=求cos()βγ-的值.
2．若,2
2sin sin =
+βα求βαcos cos +的取值范围。
3．求值：0
010001cos 20sin10(tan 5tan 5)2sin 20-+--
4．已知函数.,2
cos 32sin R x x x y ∈+= （1）求y 取最大值时相应的x 的集合；
（2）该函数的图象经过怎样的平移和伸变换可以得到)(sin R x x y ∈=的图象.
5. 求值：（1）000078sin 66sin 42sin 6sin ；
（2）00020250cos 20sin 50cos 20sin ++。
6．已知4A B π+=
，求证：(1tan )(1tan )2A B ++=
7．求值：94cos log 92cos log 9cos
log 222πππ++。
8．已知函数2()(cos sin cos )f x a x x x b =++
（1）当0a >时，求()f x 的单调递增区间；
（2）当0a <且[0,]2
x π
∈时，()f x 的值域是[3,4],求,a b 的值.
1答案
一、选择题
1.D (,0)2x π∈-，24332tan 24cos ,sin ,tan ,tan 25541tan 7
x x x x x x ==-=-==-- 2.D 25sin()5,21y x T π?π=++== 3.C cos cos sin sin cos()0,cos 0,cos 0,A B A B A B C C C -=+>-><为钝角
4.D 059a =，061b =，060c =
5.C 2cos 242y x x x ==-，为奇函数，242T ππ==
6.B 442222221sin cos (sin cos )2sin cos 1sin 22θθθθθθθ+=+-=-
21111(1cos 2)218
θ=--= 7.C 00000sin 30cos 6cos30sin 6sin 24,sin 26,sin 25,a b c =-===o o
8.B 221tan 22cos 4,1tan 242
x y x T x ππ-====+ 9.B 0
sin17(sin 43)(sin 73)(sin 47)cos17cos 43sin17sin 43cos 60-+--=-=o o o o o o o o 10.D 27sin 2cos(2)cos 2()12sin ()24425
x x x x π
ππ=-=-=--= 11.A 214(cos sin ),sin cos sin 0,cos 099αααααα+==-><，而
cos sin αα-==
221cos 2cos sin (cos sin )(cos sin )(3ααααααα=-=+-=-?
12.B 2222222213(sin )cos (sin )sin 1(sin )24y x x x x x =+=-+=-+ 21313cos 2(1cos 4)4484
x x =
+=++
二、填空题
00
000
00tan 20tan 40tan 60tan(2040)1tan 20tan 40+=+==-
000020tan 40tan 20tan 40=+ 2.2008 11sin 21sin 2tan 2cos 2cos 2cos 2cos 2ααααααα
++=+= 222(cos sin )cos sin 1tan 2008cos sin cos sin 1tan αααααααααα
+++====--- 3.π
()cos 222cos(2)3f x x x x π==+，22T ππ== 4.17,39 22417(sin cos )1sin ,sin ,cos 212sin 22339
θθθθθθ+=+===-= 5．0360,2 2cos 2cos cos 2sin 12sin 2sin 2222
B C A A A A A ++=+=-+ 22132sin 2sin 12(sin )22222
A A A =-+-=--+ 当1sin 22A =，即060A =时，得max 3(cos 2cos )22
B C A ++= 6.6
π 22(3sin 4cos )(4sin 3cos )37,2524sin()37A B B A A B +++=++= 11sin(),sin 22A B C +==，事实上A 为钝角，6
C π∴=
7.2+
0000000
0000000
sin(8015)sin15sin10sin 80cos15cos152sin(1510)cos15cos80sin15cos10sin15-+===+- 8.
32π 22222sin cos cos sin sin cos cos sin sin 336363636
x x x x x y ππππ=+-=+ 22cos(),3236
3
x T πππ=-==，相邻两对称轴的距离是周期的一半 9.34 2max 113()cos cos ,cos ,()224f x x x x f x =-++==当时
10．()2sin(3)2f x x π=-
222,,,3,sin 1,2332
T A T ππππω??ω======-=-可取
三、解答题
1.解：sin sin sin ,cos cos cos ,βγαβγα+=-+=- 22(sin sin )(cos cos )1,βγβγ+++=
122cos()1,cos()2
βγβγ+-=-=-。 2.解：令cos cos t αβ+=，则2221(sin sin )(cos cos ),2
t αβαβ+++=+ 221322cos(),2cos()22
t t αβαβ+-=+-=-
2231722,,222t t t -≤-≤-≤≤≤≤3.解：原式2000
00000
2cos 10cos5sin 5sin10()4sin10cos10sin 5cos5=-- 000
000cos10cos102sin 202cos102sin102sin10
-=-= 00000000
00
cos102sin(3010)cos102sin 30cos102cos30sin102sin102sin10---+==
0cos30==
4.解：sin 2sin()2223
x x x y π=+=+ （1）当2232x k πππ+=+，即4,3
x k k Z ππ=+∈时，y 取得最大值 |4,3x x k k Z ππ??=+∈????
为所求 （2）2sin()2sin 2sin 232
x x y y y x ππ=+?????→=???????→=右移个单位横坐标缩小到原来的2倍3 sin y x ???????→=纵坐标缩小到原来的2倍
5.解：（1）原式00000
0000
0sin 6cos 6cos12cos 24cos 48sin 6cos12cos 24cos 48cos 6==
000000000000000011sin12cos12cos 24cos 48sin 24cos 24cos 4824cos6cos6111sin 48cos 48sin 96cos6181616cos6cos6cos616====== （2）原式00001cos 401cos1001(sin 70sin 30)222
-+=++- 0001111(cos100cos 40)sin 70224
=+-+- 000313sin 70sin 30sin 70424
=-+= 6.证明：tan tan ,tan()1,41tan tan A B A B A B A B
π++=∴+==-Q 得tan tan 1tan tan ,A B A B +=-
1tan tan tan tan 2A B A B +++= (1tan )(1tan )2A B ∴++=
7.解：原式224log (cos cos cos ),999
π
ππ= 而24sin cos cos cos 2419999cos cos cos 999
8sin 9πππππ
πππ== 即原式2
1log 38==- 8.
解：1cos 21()sin 2sin(2)22242x a f x a a x b x b π+=?
+?+=+++ （1）3222,,24288
k x k k x k π
π
π
ππππππ-≤+≤+-≤≤+ 3[,],88
k k k Z ππππ-+∈为所求 （2
）50,2,sin(2)124444
x x x ππ
π
ππ≤≤≤+≤≤+≤，
min max 1()3,()4,2
f x a b f x b =
+===
第三章：三角恒等变换中角变换的技巧.
1 三角恒等变换中角变换的技巧 一、利用条件中的角表示目标中的角 例1 设a B为锐角，且满足cos a=, tan (a— 3= —，求cos B的值. 二、利用目标中的角表示条件中的角 例2 设a为第四象限的角，若=，贝U tan 2 a=___________________ . 三、注意发现互余角、互补角，利用诱导公式转化角 例3 已知sin=, 0 五、分子、分母同乘以2n sin a求COS acos 2 a cos 4 a ?os 8a??C0S 2n—1 a 的值 例 5 求值：sin 10 sin 30 sin 50 sin 70 ° 4聚焦三角函数最值的求解策略 一、化为y = Asin( 3x+(j)+ B的形式求解 例1求函数f(x =的最值. 例2 求函数y = sin2x + 2sin xcos x + 3cos2x的最小值，并写出y取最小值时x的集合. 二、利用正、余弦函数的有界性求解 例3求函数y =的值域. 例4求函数y =的值域. 三、转化为一元二次函数在某确定区间上求最值 例5 设关于x的函数y= cos 2x —2acos x—2a的最小值为f(a,写出f(a的表达式. 例 6 试求函数y = sin x + cos x + 2sin xcos x + 2 的最值. 四、利用函数的单调性求解 例7求函数y =的最值. 例8 在Rt A ABC内有一内接正方形，它的一条边在斜边BC上，设AB = a, / ABC = 0,△ ABC的面积为P,正方形面积为Q.求的最小值. 易错问题纠错 一、求角时选择三角函数类型不当而致错例1 已知sin话，sin护，a和B都是锐角，求a+ B的值. 简单三角恒等变换复习 一、公式体系 1、和差公式及其变形： （1）βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ? )s i n (s i n c o s c o s s i n βαβαβα±=± （2）βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ? )c o s (s i n s i n c o s c o s βαβαβα±= （3）β αβ αβαtan tan 1tan tan )tan( ±= ± ? 去分母得 )t a n t a n 1)(tan(tan tan βαβαβα-+=+ )tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα+-=- 2、倍角公式的推导及其变形： （1）αααααααααcos sin 2sin cos cos sin )sin(2sin =+=+= ?ααα2sin 2 1 cos sin = ?2)cos (sin 2sin 1ααα±=± （2）ααααααααα22 sin cos sin sin cos cos )cos(2cos -=-=+= )sin )(cos sin (cos sin cos 2cos 22ααααααα-+=-=? 1 cos 2)cos 1(cos sin cos 2cos 22222-=--=-=?αααα αα?把1移项得αα2cos 22cos 1=+ 或 αα 2cos 2 2cos 1=+ 【因为α是 2α 的两倍，所以公式也可以写成 12cos 2cos 2-=αα 或 2cos 2cos 12αα=+ 或 2 c o s 2c o s 12αα=+ 因为α4是α2的两倍，所以公式也可以写成 12cos 24cos 2-=αα 或 αα2c o s 24c o s 12=+ 或 αα2c o s 24c o s 12 =+】 α α αααα22222sin 21sin )sin 1(sin cos 2cos -=--=-=? ?把1移项得αα2 sin 22cos 1=- 或 αα 2sin 2 2cos 1=- 【因为α是2 α 的两倍，所以公式也可以写成 2sin 21cos 2αα-= 或 2s i n 2c o s 12αα=- 或 2 s i n 2c o s 12αα=- 因为α4是α2的两倍，所以公式也可以写成 αα2sin 214cos 2-= 或 αα2s i n 24c o s 12 =- 或 αα2s i n 2 4c o s 12=-】 §3.2 简单的三角恒等变换 课时目标 1.了解半角公式及推导过程.2.能利用两角和与差的公式进行简单的三角恒等变换.3.了解三角变换在解数学问题时所起的作用，进一步体会三角变换的规律． 1．半角公式 (1)S α2：sin α2 ＝____________________； (2)C α2：cos α2 ＝____________________________； (3)T α2：tan α2 ＝______________(无理形式)＝________________＝______________(有理形式)． 2．辅助角公式 使a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)成立时，cos φ＝__________________，sin φ＝______，其中φ称为辅助角，它的终边所在象限由__________决定． 一、选择题 1．已知180°<α<360°，则cos α2 的值等于( ) A ．－1－cos α2 B.1－cos α2 C ．－1＋cos α2 D.1＋cos α2 2．函数y ＝sin ????x ＋π3＋sin ??? ?x －π3的最大值是( ) A ．2B ．1C.12D. 3 3．函数f (x )＝sin x －cos x ，x ∈??? ?0，π2的最小值为( ) A ．－2B ．－3C ．－2D ．－1 4．使函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)为奇函数的θ的一个值是( ) A.π6 B.π3 C.π2 D.2π3 5．函数f (x )＝sin x －3cos x (x ∈[－π，0])的单调递增区间是( ) A.? ???－π，－5π6 B.????－5π6，－π6 C.????－π3，0D.????－π6，0 6．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则1＋tan α21－tan α2 等于( ) A ．－1B.1C ．2D ．－2 三角恒等变换问题 三角恒等变换是三角函数部分常考的知识点，是求三角函数极值与最值的一个过渡步骤，有时求函数周期求函数对称轴等需要将一个三角函数式化成一个角的一个三角函数形式，其中化简的过程就用到三角恒等变换，有关三角恒等变换常考的题型及解析总结如下，供大家参考。 例1 （式的变换---两式相加减，平方相加减） 已知11cos sin ,sin cos 2 3 αβαβ+=-=求sin()αβ-的值. 解：两式平方得，221 cos 2cos sin sin 4ααββ++= 两式相加得，1322(cos sin sin cos )36 αβαβ+-= 化简得，59sin()72 βα-=- 即59sin()72 αβ-= 方法评析：式的变换包括： 1、tan(α±β)公式的变用 2、齐次式 3、 “1”的运用（1±sin α, 1±cos α凑完全平方） 4、两式相加减，平方相加减 5、一串特殊的连锁反应（角成等差，连乘） 例2 （角的变换---已知角与未知角的转化） 已知7sin()24 25π αα-= =，求sin α及tan()3 π α+． 解：由题设条件，应用两角差的正弦公式得 )cos (sin 22)4sin(1027ααπα-=-=，即5 7 cos sin =-αα ① 由题设条件，应用二倍角余弦公式得 故5 1sin cos -=+αα ② 由①和②式得5 3sin =α，5 4cos -=α， 于是3 tan 4 α=- 故3 tan()34πα-+=== 方法评析： 1.本题以三角函数的求值问题考查三角变换能力和运算能力，可从已知角和所求角的内在联系（均含α）进行转换得到． 2.在求三角函数值时，必须灵活应用公式，注意隐含条件的使用，以防出现多解或漏解的情形． 例3（合一变换---辅助角公式） 高中数学三角恒等式变形解题常用方法 一.知识分析 1. 三角函数恒等变形公式 （1）两角和与差公式 （2）二倍角公式 （3）三倍角公式 （4）半角公式 （5）万能公式 ，， （6）积化和差 ， ， ， （7）和差化积 ， ， ，2.网络结构 3. 基础知识疑点辨析 （1）正弦、余弦的和差角公式能否统一成一个三角公式？ 实际上，正弦、余弦的和角公式包括它们的差角公式，因为在和角公式中，是一个任意角，可正可负。另外，公式虽然形式不同，结构不同，但本质相同： 。 （2）怎样正确理解正切的和差角公式？ 正确理解正切的和差角公式需要把握以下三点： ①推导正切和角公式的关键步骤是把公式，右边的“分子”、“分母”都除以，从而“化弦为切”，导出了。 ②公式都适用于为任意角，但运用公式时，必须限定，都不等于。 ③用代替，可把转化为，其限制条件同②。 （3）正弦、余弦、正切的和差角公式有哪些应用？ ①不用计算器或查表，只通过笔算求得某些特殊角（例如15°，75°，105°角等）的三角函数值。 ②能由两个单角的三角函数值，求得它们和差角的三角函数值；能由两个单角的三角函数值与这两个角的范围，求得两角和的大小（注意这两个条件缺一不可）。 ③能运用这些和（差）角公式以及其它有关公式证明三角恒等式或条件等式，化简三角函 数式，要注意公式可以正用，逆用和变用。运用这些公式可求得简单三角函数式的最大值或最 小值。 （4）利用单角的三角函数表示半角的三角函数时应注意什么？ 先用二倍角公式导出，再把两式的左边、右边分别相除，得到，由此得到的三个公式：，， 分别叫做正弦、余弦、正切的半角公式。公式中根号前的符号，由所在的象限来确定，如果没有给出限制符号的条件，根号前面应保持正、负两个符号。另外，容易 证明。 4. 三角函数变换的方法总结 三角学中，有关求值、化简、证明以及解三角方程与解几何问题等，都经常涉及到运用三 角变换的解题方法与技巧，而三角变换主要为三角恒等变换。三角恒等变换在整个初等数学中 第20讲：简单的三角恒等变换 【学习目标】 1．能用二倍角公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式； 2．掌握公式应用的常规思路和基本技巧； 3．了解积化和差、和差化积公式的推导过程，能初步运用公式进行互化； 4．通过运用公式进行简单的恒等变换，进一步提高运用联系的观点、化归的思想方法处理问题的自觉性，体会换元思想的作用，发展推理能力和运算能力； 5．通过公式的推导，了解它们的内在联系和知识发展过程，体会特殊与一般的关系，培养利用联系的观点处理问题的能力． 【要点梳理】 要点一：升（降）幂缩（扩）角公式 升幂公式：21cos 22cos αα+=， 21cos 22sin αα-= 降幂公式：21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2 α α-= 要点诠释： 利用二倍角公式的等价变形：2 1cos 2sin 2α α-=，2 1cos 2cos 2 α α+=进行“升、降幂”变 换，即由左边的“一次式”化成右边的“二次式”为“升幂”变换，逆用上述公式即为“降幂”变换． 要点二：辅助角公式 1．形如sin cos a x b x +的三角函数式的变形： sin cos a x b x + x x ??? 令cos ??= = sin cos a x b x + )sin cos cos sin x x ??+ )x ?+ （其中?角所在象限由,a b 的符号确定，?角的值由tan b a ?= 确定， 或由sin ?= 和cos ?= 2．辅助角公式在解题中的应用 通 过 应 用 公 式 sin cos a x b x + = )x ?+（或 sin cos a x b x + =)α?-），将形如sin cos a x b x +（,a b 不同时为零）收缩为一 精品 三角恒等变换基本解题方法 1 、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式： sin sin cos cos sin cos cos cos msin sin tan tan tan 1mtan tan 2 tan tan 2 2 1 tan 令 sin2 2sin cos 令 cos2 cos 2 sin 2 2cos 2 1 1 2sin 2 cos 2 ＝ 1+cos2 2 sin 2 ＝ 1 cos2 2 如（ 1 ）下列各式中，值为 1 的是 2 A 、 o o B 、 2 2 C 、 tan 22.5o 1 cos30o sin15 cos15 cos 12 sin 12 tan 2 22.5o D 、 1 2 （ 2 ）命题 P ： tan( A B ) 0 ，命题 Q ： tan A tan B 0，则 P 是Q 的 A 、充要条件 B 、充分不必要条件 C 、必要不充分条件 D 、既不充分也不必要条件 （ 3）已知 sin( )cos cos( )sin 3 ，那么 cos 2 的值为 ____ 5 1 3 o 的值是 ______ （ 4 ） o sin 80 sin 10 (5) 已知 tan110 0 a ，求 tan 50 a 3 1 a 2 的值（用 a 表示）甲求得的结果是 ，乙求得的结果是 ，对甲、 1 3a 2a 乙求得的结果的正确性你的判断是 ______ 2. 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与 角之间的关系， 注意角的一些常用变式， 角的变换是三角函数变换的核心！ 第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦” ；第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有 : （1 ）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其 和差角的变换 . 2 2 如( ) ( )，2( ) ( )，2( ) ( ) ， ， 2 2 2 等）， 三角恒等式证明9种基本技巧 三角恒等式的证明是三角函数中一类重要问题，这类问题主要以无条件和有条件恒等式出现。根据恒等式的特点，可采用各种不同的方法技巧，技巧常从以下各个方面表示出来。 1．化角 观察条件及目标式中角度间联系，立足于消除角间存在的差异，或改变角的表达形式以便更好地沟通条件与结论使之统一，或有利于公式的运用，化角是证明三角恒等式时一种常用技巧。 例1求证：tan 23x - tan 21x =x x x 2cos cos sin 2+ 思路分析：本题的关键是角度关系：x=23x -2 1 x ，可作以下证明： 2．化函数 三角函数中有几组重要公式，它们不仅揭示了角间的关系，同时揭示了函数间的相互关系，三角变换中，以观察函数名称的差异为主观点，以化异为为同（如化切为弦等）的思路，恰当选用公式，这也是证明三角恒等式的一种基本技巧。 例2 设A B A tan )tan(-+A C 22sin sin =1，求证：tanA 、tanC 、tanB 顺次成等比数列。 思路分析：欲证tan 2 C = tanA ·tanB ，将条件中的弦化切是关键。 3．化幂 应用升、降幂公式作幂的转化，以便更好地选用公式对面临的问题实行变换，这也是三角恒等式证明的一种技巧。 例3求证 cos4α-4cos2α+3=8sin 4 α 思路分析：应用降幂公式，从右证到左： 将已知或目标中的常数化为特殊角的函数值以适应求征需要，这方面的例子效多。如 1=sin 2 α+cos 2 α=sec 2 α-tan 2 α=csc 2 α-cot 2 α=tan αcot α=sin αcsc α=cos αsec α，1=tan450 =sin900 =cos00 等等。如何对常数实行变换，这需要对具体问题作具体分析。 例4 求证 αααα2 2sin cos cos sin 21--=α α tan 1tan 1+- 思路分析：将左式分子中“1”用“sin 2 α+cos 2 α”代替，问题便迎刃而解。 5．化参数 用代入、加减、乘除及三角公式消去参数的方法同样在证明恒等式时用到。 例5 已知acos 2 α+bsin 2 α=mcos 2 β，asin 2 α+bcos 2 α=nsin 2 β，mtan 2 α=ntan 2 β(β≠n π) 求证：(a+b)(m+n)=2mn 6．化比 一些附有积或商形式的条件三角恒等式证明问题，常可考虑应用比例的有关定理。用等比定理，合、分比定理对条件加以变换，或顺推出结论，或简化条件，常常可以为解题带来方便。 例6 已知(1+ cos α)(1- cos β)=1- 2 ( ≠0，1)。求证：tan 2 2α= -+11tan 22 β 思路分析：综观条件与结论，可考虑从条件中将 分离出来，以结论中 -+11为向导，应用合比定理即可达到论证之目的。 三角恒等变换测试题 ＿____贺孝轩 三角函数 1.画一个单位圆,则x y x y ===αααtan ,cos ,sin 2.一些诱导公式 ααπααπααπtan )tan(,cos )cos(,sin )sin(-=--=-=- ααπ ααπααπ cot )2 tan(,sin )2cos(,cos )2sin( =-=-=-? (只要两角之和为/2就行） ３.三角函数间的关系 1cos sin 22=+α ? αα22sec 1tan =+, α α αcos sin tan = ?αααcos tan sin ?= ４.和差化积 βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± , βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± β αβ αβαtan tan 1tan tan )tan(?±= ± 5．二倍角 αααcos sin 22sin = ， ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= α α α2tan 1tan 22tan -= 6.二倍角扩展 αα cos 12 cos 22 += ， αα cos 12 sin 22 -= , 2)2 cos 2(sin sin 1α α α±=± )tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα +=± 7.)sin(cos sin 22θαβα++= +b a b a ,其中2 2 cos b a a += θ，2 2 sin b a b += θ a b = θtan 8.半角公式 θ θ θ θθ θ θθ sin cos 12 cos 2sin 22 sin 22 cos 2sin 2 tan 2 -= == 江苏省成化高级中学09届一轮复习三角专题（二） 三角恒等变换 一、考点、要点、疑点： 考点：1、掌握两角和与差的正弦、余弦、正切； 2、理解二倍角的正弦、余弦、正切； 3、了解几个三角恒等式； 要点： 1、 两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其变形 2、 二倍角的正弦、余弦、正切公式及其变形 3、 )sin(cos sin 22?ωωω++= ?+=x B A y x B x A y 4、 几个三角恒等式的推导、证明思路与方法 疑点： 1、在三角的恒等变形中，注意公式的灵活运用，要特别注意角的各种变换． （如,)(αβαβ-+=,)(αβαβ+-= ?? ? ??--??? ??-=+βαβαβα222 等） 2、三角化简的通性通法：从函数名、角、运算三方面进行差异分析，常用的技巧有： 切割化弦、用三角公式转化出现特殊角、 异角化同角、异名化同名、高次化低次 3、辅助角公式：()θ++=+x b a x b x a sin cos sin 22(其中θ角所在的象限由a, b 的符 号确定，θ角的值由a b =θtan 确定)在求最值、化简时起着重要作用。 二、激活思维： 1、下列等式中恒成立的有 ① βαβαβαsin cos cos sin )sin(?-?=- ② βαβαβαsin sin cos cos )cos(?-?=- ③ )]sin()[sin(21 cos sin βαβαβα-++=? ④ )]cos()[cos(2 1 sin sin βαβαβα--+=? 2、化简： ① 0 53sin 122sin 37sin 58cos +＝ ② )sin()sin()cos()cos(βαβαβαβα+-++?-＝ 3、已知),2 ( ,5 3cos ππ θθ∈-=，则)3 cos( θπ -＝ ，)23 cos( θπ -＝ 4、若αtan 、βtan 是方程0652 =-+x x 的两根，则)tan( βα+＝ 简单的三角恒等变换 【学习目标】 1．能用二倍角公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式； 2．掌握公式应用的常规思路和基本技巧； 3．了解积化和差、和差化积公 式的推导过程，能初步运用公式进行互化； 4．通过运用公式进行简单的恒等变换，进一步提高运用联系的观点、化归的思想方法处理问题的自觉性，体会 换元思想的作用，发展推理能力和运算能力； 5．通过公式的推导，了解它们的内在联系和知识发展过程，体会特殊与一般的关系，培养利用联系的观点处理 问题的能力． 要点梳理】 要点一：升（降）幂缩（扩）角公式 升幂公式： 22 1 cos2 2cos ， 1 cos2 2sin 降幂公式： 2 1 cos 2 2 1 cos2 cos ， sin 22 要点诠释： 利用二倍角公式的等价变形： 1 cos 2sin 2 ， 1 cos 2cos 2 进行“升、降幂”变换，即由左边的 22 “一次式”化成右边的“二次式”为“升幂”变换，逆用上述公式即为 “降幂”变换． 要点二：辅助角公式 1．形如 asinx b cosx 的三角函数式的变形： asin x bcosx asin x b cosx = a 2 b 2 sin x cos a 2 b 2 sin(x ) （其 中 角所在 象限由 a,b 的 符号确 定， 角的值 由 tan b 确定， 或由 sin b 和 a 确定， 或由 a 2 b 2 a cos 共同确定．） a 2 b 2 2．辅助角公式在解题中的应用 通过应用公式 asinx bcosx = a 2 b 2 sin （x ）（或 asinx bcosx = a 2 b 2 cos （ ） ），将形如 asinx bcosx （ a, b 不同时为零）收缩为一个三角函数 a 2 b 2 sin （x ）（或 a 2 b 2 cos （ ））．这种 恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和变形为一个三角函数， 这样做有利于函数式的化 简、求值等． a a 2 b 2 sinx cosx 令 cos a a 2 b 2 ,sin cosxsin b a 2 b 2 b 简单三角恒等变换 一、公式体系 1、和差公式及其变形： （1）βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ? )sin(sin cos cos sin βαβαβα±=± （2）βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ? )cos(sin sin cos cos βαβαβα±= （3）β αβ αβαtan tan 1tan tan )tan( ±= ± ? 去分母得 )tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα-+=+ )tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα+-=- 2、倍角公式的推导及其变形： （1）αααααααααcos sin 2sin cos cos sin )sin(2sin =+=+= ?ααα2sin 2 1 cos sin = ?2)cos (sin 2sin 1ααα±=± （2）ααααααααα2 2 sin cos sin sin cos cos )cos(2cos -=-=+= )sin )(cos sin (cos sin cos 2cos 22ααααααα-+=-=? 1 cos 2)cos 1(cos sin cos 2cos 22222-=--=-=?αααα αα?把1移项得αα2cos 22cos 1=+ 或 αα 2cos 2 2cos 1=+ 【因为α是 2α 的两倍，所以公式也可以写成 12cos 2cos 2-=αα 或 2cos 2cos 12αα=+ 或 2 cos 2cos 12α α=+ 因为α4是α2的两倍，所以公式也可以写成 12cos 24cos 2-=αα 或 αα2cos 24cos 12=+ 或 αα 2cos 2 4cos 12=+】 α ααααα22222sin 21sin )sin 1(sin cos 2cos -=--=-=? ?把1移项得αα2 sin 22cos 1=- 或 αα 2sin 2 2cos 1=- 【因为α是 2 α 的两倍，所以公式也可以写成 2sin 21cos 2αα-= 或 2sin 2cos 12αα=- 或 2 sin 2cos 12α α=- 因为α4是α2的两倍，所以公式也可以写成 αα2sin 214cos 2-= 或 αα2sin 24cos 12=- 或 αα 2sin 2 4cos 12=-】 三角恒等变换技巧 三角恒等变换不但在三角函数式的化简、求值和证明三角恒等式中经常用到，而且．由于通过三角换元可将某些代数问题化归为三角问题；立体几何中的诸多位置关系以其交角来刻画，最后又以三角问题反映出来；由于参数方程的建立，又可将解析几何中的曲线问题归结为三角问题．因此，三角恒等变换在整个高中数学中涉及面广．是常见的解题“工具”．而且由于三角公式众多．方法灵活多变，若能熟练地掌握三角恒等变换，不但能增强对三角公式的记忆，加深对诸多公式内在联系的理解，而且对发展学生的逻辑思维能力，提高数学知识的综合运用能力都大有裨益 · 一、 切割化弦 “切割化弦”就是把三角函数中的正切、余切、正割、余割都化为正弦和余弦，以有利于问题的解决或发现解题途径．其实质是”‘归一”思想． 【例1】 证明：ααααααααcot tan cos sin 2cot cos tan sin 22 +=++ 证明：左边ααα αααααcos sin 2sin cos cos cos sin sin 22 +?+?= ααααααααααααc o s s i n 1 c o s s i n )c o s (s i n c o s s i n c o s c o s s i n 2s i n 2224224=+=++= 右边α αααααααααcos sin 1 cos sin cos sin sin cos cos sin 22=+=+= ∴左边～右边．原等式得证． 点评“切割化弦”是将正切、余切、正割、余割函数均用正弦、余弦函数表示，这是一种常用的、有效的解题方法．当涉及多种名称的函数时，常用此法减少函数的种类． 【例2】 已知θ同时满足b a b a b a 2sec cos 2cos sec 22 =-=-θθθθ和， 且b a ,均不为零，试求“b a ,”b 的关系． 解：?????=-=-② ① b a b a b a 2sec cos 2cos sec 2 2 θθθθ 显然0cos ≠θ，由①×θ2 cos +②×θcos 得： 0cos 2cos 22=+θθb a ，即0cos =+b a θ 又0≠a ，∴a b -=θcos 代入①得a a b b a 2223=+ 0)(222=-?b a ∴22b a = 点评 本例是化弦在解有关问题时的具体运用，其中正割与余弦、余割与正弦之间的倒数关系是化弦的通径． 【例3】 化简)10tan 31(50sin 00+ 解：原式=000000 010cos ) 10sin 2310cos 21(250sin )10cos 10sin 31(50sin +?=+ 110 cos 80sin 10cos 10cos 40sin 210cos )1030sin(250sin 0 000000 00===+?= 点评 这里除用到化切为弦外，其他化异角函数为同角函数等也是常用技巧． 二、 角的拆变 在三角恒等变换中经常需要转化角的关系，在解题过程中必须认真观察和分析结论中是哪个角，条件中有没有这些角，哪些角发生了变化等等．因此角的拆变技巧，倍角与半角的相对性等都十分重要，应用也相当广泛且非常灵活．常见的拆变方法有：α可变为 三角恒等变换 【考纲要求】 1、会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. 2、能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式. 3、能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系. 4、能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）. 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、两角和、差的正、余弦公式 ()sin()sin cos cos sin ()S αβαβαβαβ±±=± ()cos()cos cos sin sin ()C αβαβαβαβ±±= ()tan tan tan()()1tan tan T αβαβ αβαβ ±±±= - 要点诠释： 1．公式的适用条件(定义域) ：前两个公式()S αβ±,()C αβ±对任意实数α，β都成立，这表明该公式是R 上的恒等式；公式()T αβ±③中,∈，且R αβk (k Z)2 ±≠ +∈、、π αβαβπ 2．正向用公式()S αβ±,()C αβ±，能把和差角()±αβ的弦函数表示成单角α，β的弦函数；反向用，能把右边结构复杂的展开式化简为和差角()±αβ 的弦函数。公式()T αβ±正向用是用单角的正切值表示和差角 ()±αβ的正切值化简。 考点二、二倍角公式 1. 在两角和的三角函数公式()()(),,S C T αβαβαβαβ+++=中，当时，就可得到二倍角的三角函数公式 222,,S C T ααα： sin 22sin cos ααα= 2()S α； ααα22sin cos 2cos -=2()C α； 22tan tan 21tan α αα= -2()T α 。 要点诠释： 1．在公式22,S C αα中，角α没有限制，但公式2T α中，只有当)(2 24 Z k k k ∈+≠+ ≠ππ αππ α和时才成立； 2. 余弦的二倍角公式有三种：ααα2 2 sin cos 2cos -=＝1cos 22 -α＝α2 sin 21-；解题对应根据不同函数名的需要，函数不同的形式，公式的双向应用分别起缩角升幂和扩角降幂的作用。 3. 二倍角公式不仅限于2α和α的二倍的形式，其它如4α是2α的二倍， 24α α是的二倍，332 α α是的二倍等等，要熟悉这多种形式的两个角相对二倍关系，才能熟练地应用二倍角公式，这是灵活运用这些公 式的关键。 考点三、二倍角公式的推论 降幂公式：ααα2sin 2 1 cos sin = ； 22cos 1sin 2 αα-=； 22cos 1cos 2 αα+=. 万能公式：α α α2 tan 1tan 22sin +=； α α α2 2tan 1tan 12cos +-=. 半角公式：2cos 12 sin α α -± =； 2cos 12 cos α α +± =； α α α cos 1cos 12 tan +-± =. 其中根号的符号由2 α 所在的象限决定. 要点诠释： (1)半角公式中正负号的选取由 2 α 所在的象限确定； (2)半角都是相对于某个角来说的，如 2 3α 可以看作是3α的半角，2α可以看作是4α的半角等等。 (3)正切半角公式成立的条件是α≠2k π+π(k ∈Z) 简单的三角恒等变换(一) 张掖中学 宋娟 一、教学目标 知识与技能：理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形，体会三角恒等变形在数学中的应用； 过程与方法：通过二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦、正切公式，体会化归、方程、逆向使用公式的数学思想，提高学生推理能力； 情感、态度与价值观：通过例题的讲解，让学生体会化归、变形使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生推理能力. 二、教学重、难点 教学重点：利用公式进行简单的恒等变换； 教学难点：利用倍角公式推出半角公式，并利用变形的方法解决问题. 三、教学方法：探究式教学法. 四、教学类型：新授课. 五、教学内容 复习引入(学生组织完成) 问题1：和差角的正弦、余弦、正切公式(六个)； 问题2：二倍角的正弦、余弦、正切公式(三个)； 问题3：二倍角的变形公式(四个). 新课讲解 思考1(学生组织完成)：如何用cos α表示222sin cos tan 222 ααα、、？ 分析：观察α与2 α 的关系是2倍的关系，所以我们要利用刚刚学过的二倍角的 变形公式. 解：α是2α的二倍角.在倍角公式2cos 212sin αα=-中，以α代替2α，以2 α 代 替α，即得2cos 12sin 2 α α=-， 所以21cos sin 22 αα -=； ① 在倍角公式2cos 22cos 1αα=-中，以α代替2α，以2 α 代替α，即得 2cos 2cos 12 α α=-， 所以21cos cos 22 αα +=. ② 将①②两个等式的左右两边分别相除，即得 21cos tan 21cos ααα-=+. 思考2：若已知cos α，如何计算sin cos tan 222 ααα、、？ 三角恒等变换基本解题方法 1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式： ()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβαβαβαβααα=±=±???→= ()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 2 1cos2sin 2 2tan tan 21tan 令 ＝ ＝ αβαβαβαβααα αα αβααβααβααααα =±=???→=-↓=-=-±±=?-↓=-m m 如（1）下列各式中，值为12 的是 A 、1515sin cos o o B 、221212cos sin ππ - C 、22251225tan .tan .-o o D （2）命题P ：0tan(A B )+=，命题Q ：0tan A tan B +=，则P 是Q 的 A 、充要条件 B 、充分不必要条件 C 、必要不充分条件 D 、既不充分也不必要条件 （3）已知35 sin()cos cos()sin αβααβα---=，那么2cos β的值为____ （4 ）11080sin sin -o o 的值是______ (5)已知0tan110a =，求0tan 50的值（用a ，乙求得的结果是212a a -，对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是______ 2. 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与 角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有: （1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--， 22αβαβ++=?，()() 222αββααβ+=---等）， 三角恒等变换基础知识及题型分类汇总 /4的两倍，3α是 “二倍角”的 题型一：公式的简单运用 例1: 题型二：公式的逆向运用 例2: 题型三：升降幂功能与平方功能的应用 例3. 提高题型： 题型一：合一变换（利用辅助角公式结合正余弦的和角差角公式进行变形） 例1 方法：角不同的时候，能合一变换吗？ .cos sin ,,cos sin .cos sin cos sin )(;cos sin cos sin )(.cos )(;cos )(; sin )(;sin )(.x x x x x 2203132212212221221121420131240111和求已知化简：化简下列各式： πθ θθθθθθθα α<<=+--+-++-+-?+-?+).2tan(,21)tan(,,2,53sin ][).22tan(,2tan ,54cos ][.tan ,cos ,sin ,,22,13122cos ][.4tan ,4cos ,4sin ,2 4,1352sin ][y x y x x B A B A ABC -=-??? ??∈=+==??? ??∈-=<<=求已知提高练习求中，在△课本例题求已知同型练习求已知课本例题πππαααππαααααπαπα????? ??-??? ??---?-?-???72cos 36cos )2(;125cos 12cos )1(.34cos 4sin )3(;23tan 23tan 1)2(;2cos 2sin )1(.275sin 21)3(;15tan 115tan 2)2(;5.22cos 5.22sin )1(.124422πππααπαααα求值：化简下列各式：求下列各式的值：.)70sin(5)10sin(3.3.2cos )31(2sin )31(,.212 cos 312sin .1的最大值求大值有最大值？并求这个最取何值时当锐角?++?+=-++-x x y θθθππ 、知识点总结 1、两角和与差的正弦、 ⑴cos cos ⑶sin si n 三角恒等变换专题 余弦和正切公式: cos sin si n :⑵ cos cos cos si n si n cos cos si n :⑷ sin si n cos cos si n ⑸tan tan tan 1 tan tan ⑹ta n tan tan 1 tan tan 2、二倍角的正弦、 余弦和正切公式： ⑴ sin 2 2si n cos 1 sin 2 ⑵ cos2 cos 2 ?2 sin 2cos 2 升幕公式 1 cos 2cos 2 — 2 降幕公式 2 cos cos2 1 (tan (tan 1 cos 2 ,1 sin 2 .2 sin tan tan 2 cos tan tan 2 sin cos tan tan tan tan (si n ） ； ). cos )2 1 2si n 2 2sin 2 — 2 1 cos2 ⑶tan2 1 2ta n tan 2 万能公式 半角公式 2 tan a cos - 2 a tan - 2 1 "一个三角函数，一个角，一次方”的y A sin （ x a 2 2 a tan — 2 2 a tan - 2 4、合一变形 把两个三角函数的和或差化为 形式。 sin 2 si n ，其中tan 5. (1)积化和差公式 1 cos = [sin( 2 1 cos =— [cos( 2 和差化积公式 si n cos (2) si n + )+sin( + )+cos( +sin = 2 sin ------ cos --- 2 2 )] )] cos si n si n 1 sin = [sin( + )-sin( 2 1 sin = - — [cos( + )-cos( 2 )] )] -sin = 2 cos ----- sin --- 2 2 §3.2 简单的三角恒等变换（一） 学习目标：⒈熟练掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式的正用、逆用． ⒉能灵活应用和（差）角公式、二倍角公式进行简单三角恒等变形． 教学重点：以推导积化和差、和差化积、半角公式作为基本训练，学习三角变 换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力． 教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计， 不断提高从整体上把握变换过程的能力． 教学方法：讲练结合． 教具准备：多媒体投影． 教学过程： （Ⅰ）复习引入： 师：前面一段时间，我们学习了三角函数的和（差）角公式、二倍角公式等十一个公式，请同学们默写这些公式． 生：（默写公式）． 师：学习了上述公式以后，我们就有了研究三角函数问题的新工具，从而使三角函数的内容、思路和方法更加丰富，为我们提高推理、运算能力提供了新的平台 本节课我们将利用已有的这十一个公式进行简单的三角恒等变换，了解三角恒等变换在数学中的应用． （Ⅱ）讲授例题： 例1试以cos α表示2 sin 2α，2cos 2α，2tan 2α． 分析：α是2 α的二倍角，因此在仅含α的正弦、余弦的二倍角公式(2)C α中，以2 α代替α就可以得到2sin 2α、2cos 2α，然后运用同角三角函数的基本关系可得2tan 2 α． 解：略． 师：例1的结果还可以表示为： sin 2α =cos 2α=tan 2α=， 有些书上称之为半角公式，其符号由角2 α终边的位置确定． 师：由例题1和以往的经验，你认为代数式变换与三角变换有什么不同？ 生：代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的角之间的联系． 师：由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此以式子所包含的角之间的关系为依据选择可以联系它们的适当公式，这是三角恒等变换的特点． 例2求证： ⑴1sin cos [sin()sin()]2 αβαβαβ=++-； ⑵sin sin 2sin cos 22 θ?θ?θ?+-+=． 分析：对于⑴我们可以从其中右式出发，利用和（差）的正弦公式展开、合并即可得出左式．我们也可以从两个式子结构形式的不同点考虑，发现 sin cos αβ与和（差）的正弦公式之间的联系．记sin cos x αβ=，cos sin y αβ=， 则有sin()x y αβ+=+，sin()x y αβ-=-，由此解出x ，即求出了sin cos αβ． ⑵的证明可以直接利用⑴的结果，令αβθ+=，αβ?-=，解出α、β后代如即可． 证明：略 师：在此例中，如果不利用⑴的结果，怎样证明⑵？大家可以从角与角之间的关系入手考虑． 生：将22θ?θ?θ+-=+，22 θ?θ??+-=-代入左边，然后利用和（差）的正弦公式展开、合并即可得出右式． 师：在例2的证明中，把sin cos αβ看成x ，cos sin αβ看成y 把等式看作x ， y 的方程，通过解方程组求得x ，是方程思想的体现；把αβ+看作θ，αβ-看作?，从而把包含α、β的三角函数式变换成θ、?的三角函数式，是换元思想的应用．简单三角恒等变换典型例题
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