第十八章勾股定理教案(表格式)
总体要求:1.“统一”设计“分段”教学;2.围绕“三维”落实“三问”;3.充实“心案”活化“形案”。
分课时环节
与时间
教师活动学生活动
△设计意图
◇资源准备
□评价○反思
第一课时创设情境
激趣引新
5′
实验操作
探求新知
20′
得出结论
拓展应用
15′
反思小结
观点提炼
5′
布置作业
问题1:请同学们观察课本封面和本章章
前彩图,说一说封面和彩图中的图形表示
什么意思?它们之间有联系吗?
问题2:图1是1955年希腊发行的一枚纪
念一位数学家的邮票.你知道邮票上的图
案所表示的意义吗?
问题1:观察下图回答问题
正方形A中含
个小方格;
正方形B中含
个小方格;
正方形C中含
个小方格.
问题2:
正方形面积之间的
关系?
在一般直角三角形
中三边关系如何?
验证勾股定理:
介绍“勾、股、弦”,商高定理,毕达哥
拉斯定理.
小试身手:
1.在Rt△ABC中,∠C=90°.
(1)若a=8,b=6则c=
(2)若c=20,b=12,则a=
(3)若c=13,a=5,则b=
2.在Rt△ABC中,∠A、∠B、∠C所对的
边是a、b、c,且a=3、b=4,则c等于多
少?
1.勾股定理的内容
2.勾股定理的用途
3.涉及到的思想方法.
习题18.1第1、2题
学生认真观察、猜
想
学生观察、计算
得出结论
师生共同探索
学生独立完成
教师给予适当的提
示后由学生完成
△提出问题,设置
悬念,激发探究欲
望,同时为解读图
形秘密、探索勾股
定理提供背景材
料,对学生进行爱
国主义教育.
△由特殊到一般
的提出问题、解决
问题,体会数形结
合的思想.
△激发学生的探
究热情,感受勾股
定理证明的博大
精
深.
△为学生提供从
事数学活动的机
会,使学生对定理
理解更加深刻.
分课时环节
与时间
教师活动
学生活
动
△设计意图
◇资源准备
□评价○反思
第三课时创设情境
以美引新
10′
循问探疑
解决问题
25′
反思小结
观点提炼
10′
请同学们欣赏美丽的海螺图案,在数学中也有
这样一幅美丽的“海螺”图案!
同学们知道是怎么画
出来的吗?它是依据
什么数学知识画出来
的?
问题:在数轴上表示 2
练习:在数轴上表示-17 的点.
例1已知:在Rt△ABC中,∠C=90°,CD⊥BA
于D,∠A=60°,
CD= 3 ,
求线段AB的长.
例2已知:△ABC中,AC=4,B=45,A=60根据
题设补充一个所求未知元素,并求值.
1.知识总结:用勾股定理作无理数表示的点
“双垂图”的特点
2.思想方法归纳:构造法、转化思想、数形结
合
学生观察、探
究、讨论
小组交流、探究
△设置美丽的海
螺图案,以大自然
的天然造化感染
学生,在此基础上
将数学之美嵌入,
能实现感性的自
然美向理性的数
学美的迁移.
△对“双垂图”的
性质进行大盘点,
增强纵横联系.
△让学生进一步
认识勾股定理的
广泛应用.
D
C
B A
B
A
C
D
勾股定理学案(第一课时)
姚庙初中 程祖祥、王军、童红宇
学习目标:
1.体验勾股定理的探索过程,了解利用拼图验证勾股定理的方法,掌握勾股定理并会用它解决身边与实际生活相关的数学问题。
2.在学生经历观察、归纳、猜想、探索勾股定理过程中,发展合情推理能力,体会数形结合思想,并在探索过程中,发展学生的归纳、概括能力。
3.通过探索直角三角形的三边之间关系,培养学生积极参与、合作交流的意识,体验获得成功的喜悦,通过介绍勾股定理在中国古代的研究情况,提高学生民族自豪感,激发学生热爱祖国、奋发学习的热情。 重点、难点:
重点:探索和验证勾股定理过程; 难点:通过面积计算探索勾股定理。 一.温故知新
1.直角三角形的性质:(1)直角三角形两锐角 ;(2)直角三角形斜边上的中线等于 ;(3)直角三角形中30°的角所对的直角边等于 。
2.分别求出下式中的x 的值:①x 2=5 ②(x -2)2=5 ③4(2x -1)2=9 二.学习新知
1.完成P 65的探究,猜想得出的结论: 。
2.分别用下面的图形证明上述结论(方法:面积法)
b
a
b
c a
a c
b
a
c
a a
b c b
c a b
c c b
a D
C
B
A
4.在上面第4个图中画出剪裁线,拼成能证明勾股定理的图形,你能拼出几种? 5.完成P 68--2,并对答案,由小组长给予评价。 三.运用新知,体验成功
1、看图填空(图中的三角形都是直角三角形,四边形都为正方形)
求正方形B 的边长
625
400
求正方形A 的面积
14425
A
B
正方形C 的面积为
4cm
3cm
C
B A
2、 Rt △ABC 中,C ∠=90°,AB =C ,A C=b ,BC =a ⑴已知AC =6,BC =8,求AB .
⑵已知c =15,a =9,求b .
⑶已知c=17,b=8, 求a 。
⑷已知a :b=1:2,c=5, 求a 。
⑸已知b=15,∠A=30°,求a , 【合作探究】
在Rt △ABC 中,有两边长为5,12,求第三边长及斜边上的高。 四.畅谈收获
通过本节课的学习,你有哪些收获? 五、课堂检测
1.勾股定理的具体内容是: 2.如图,直角△ABC 的主要性质是:∠C=90°,(用几何语言表示)
⑴两锐角之间的关系: ; ⑵若D 为斜边中点,则斜边中线 ; ⑶若∠B=30°,则∠B 的对边和斜边: ; ⑷三边之间的关系: 。 3、判断
①直角三角形中,两边的平方和等于第三边的平方( ) ②Rt △ABC 中,3=a ,4=b ,则5=c ( )
4.如图,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形边长是cm 7,则正方形A 、B 、C 、D 的面
积和是 2
cm
5、在Rt △ABC ,∠B=90°,a=3,b=4,则c= 。
⑶在Rt △ABC ,∠C=90°,c=10,a :b=3:4,则a= b= 。
⑸已知直角三角形的两边长分别为3cm 和5cm ,,则第三边长为 。
⑹已知等边三角形的边长为2cm ,则它的高为 ,面积为
C
B A
c
b a
A
C
B
D
C B
A
c b
a
D
C
B A
7cm
勾股定理的应用(第一课时)
学习目标:
1、 能运用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题
2.通过探索直角三角形的三边之间关系,培养学生积极参与、合作交流的意识。 知识探究
知识点回顾:
1、勾股定理:
___________________________________________ 数学式子: ∠C=900?222
a b c += 2、神秘的数组(勾股定理的逆定理):
______________________________________________________________.
数学式子: 222
a b c +=?∠C=900 3、满足a 2
+b 2
=c 2
三个数a 、b 、c 叫做_________。 成果检测:
1. 三角形的三边长为a,b,c 且(a+b)2
=c 2
+2ab,则这个三角形是( )
A. 等边三角形;
B. 钝角三角形;
C. 直角三角形;
D. 锐角三角形.
2. 已知Rt ABC ?两边为3,4,则第三边长________.
3. 一轮船在大海中航行,它先向正北方向航行8 km ,接着,它又掉头向正东方向航行15千米.⑴ 此时轮船离开出发点多少km? ⑵ 若轮船每航行1km ,需耗油0.4升,那么在此过程中轮船共耗油多少升?
4.如图,已知△ABC 中,AB=5cm,BC=12cm,AC=13cm,那么AC 边上的中线BD 的长为_____cm.
第4题
5. 如上右图,在平静的湖面上,有一支红莲,高出水面1米,阵风吹来,红莲被吹到一边,花朵齐及水面,已知红莲移动的水平距离为2米,问这里水深是多少米?
B A
c a
A
B
C D
第1题图
检测反馈:
1、台风是一种自然灾害,它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴,有极强的破坏力,如图,据气象观测,距沿海某城市A的正南方向160千米B处有一台风中心,其中心最大风力为10级,每远离台风中心20千米,风力就会减弱一级,该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东BC
方向往C移动,城市A到BC的距离AD和BD长之比为1
:3,且台风中心风力不变,若城市所受风力达到或超过五级,则称为受台风影响.
(1)该城市是否会受到这次台风的影响?请说明理由.
(2)若受到台风影响,那么台风影响该城市持续时间有多少?
2、如果梯子的底端离建筑物9米,那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是______米.
3、如下图,今年的冰雪灾害中,一棵大树在离地面3米处折断,树的顶端落在离树杆底部4米处,那么这
棵树折断之前的高度是____________米.
4、如上右图,甲、乙两人在沙漠进行探险,某日早晨8∶00甲先出发,他以6千米/时速度向东南方向行走,1小时后乙出发,他以5千米/时速度向西南方向行走,上午10∶00时,甲、乙两人相距多远?
勾股定理的应用(第二课时)
学习目标:
能用勾股定理及逆定理解决一些问题,能规范的书写和表达过程。 知识探究: 一.讨论
1. 图中的,,x y z 分别等于多少?
2.
的线段。
3. 如图,一连串直角三角形演化而成的图形,其中18732211=====A A A A A A OA ,如果把图
中的直角三角形继续作下去,那么2521,,OA OA OA 这些线段中有哪几条线段的长度为正整数,分别
是多少?
二.探索 问题一:在如图1所示的直角三角形中,可求得x =_____,并可知两个锐角都是_______,面积是_______,周长是__________,斜边上的高是______,中线是_______.
问题二:在如图2所示的直角三角形中,可求得y =_____,并可知两个锐角分别是_______,面积是
______,周长是__________,斜边上的高是______,中线是_______.
图1 图2 图3 拓展:对于如图3所示的等边三角形,(1)若边长AB 等于4cm ,则高AD=_____,面积等于_______,(2)若中线BE 等于4cm,则边长AB=_______,面积等于__________. 【成果检测】
1.一个三角形的三个角之比为1:1:2,则它的三边之比为 2.若一个三角形的边长分别是12、16和20,则这个三角形最长边上的高为 3.在△ABC 中,AB=15,AC=20,BC 边上的高AD=12,试求△ABC 的面积.(两解)
4.已知:如图,在△ABC 中,D 为边BC 上的一点,AB=13,AD=12,AC=15,BD=5。求△ABC 的周长和面积。
D
C
B
A
1
2
3A
A 8
1
1
z
y x 11
C B
5.某农民开垦出一块三边长分别为7m ,8m ,9m 三角形地块准备种植花生,聪明的同学你能帮他算一算这块地的面积吗?
【检测反馈】
1、小明和小强的跑步速度分别是6m/s 和8m/s ,他们同时从同一地点分别向东、南练习跑步,那么从出发开始需__________s 可以相距160m 。
2、已知一个直角三角形的两边长分别为5和12,则其周长为
。
3、旗杆上的绳子垂到地面还多出1m ,如果把绳子的下端拉开距旗杆底部5m 后,绷紧的绳子的末端刚好接触地面,则旗杆的高度为___________m.
4、如下左图,已知:在Rt △ABC 中,∠ACB=90o,AC=12,BC=5,AM=AC ,BN=BC ,则MN=________。
5.如上右图,校园内有两棵树,相距12米,一棵树高16米,另一棵树高11米,一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端,小鸟至少要飞______米
N
M
C B A
勾股定理应用学案(三)
一、学习目标
1.会用勾股定理解决较综合的问题。 2.树立数形结合的思想。 二、重点、难点
1.重点:勾股定理的综合应用。 2.难点:勾股定理的综合应用。 三、课堂引入
复习勾股定理的内容。本节课探究勾股定理的综合应用。 四、例习题分析
例1(补充)1.已知:在Rt △ABC 中,∠C=90°,CD ⊥BC 于D ,∠A=60°,CD=3, 求线段AB 的长。
例2(补充)已知:如图,△ABC 中,AC=4,∠B=45°,∠A=60°,根据题设可知什么?
例3(补充)已知:如图,∠B=∠D=90°,∠A=60°,AB=4,CD=2。求:四边形ABCD 的面积。 分析:如何构造直角三角形是解本题的关键,可以连结AC ,或延长AB 、DC 交于F ,或延长AD 、BC 交于E ,根据本题给定的角应选后两种,进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。教学中要逐层展示给学生,让学生深入体会。
小结:不规则图形的面积,可转化为特殊图形求解,本题通过将图形转化为直角三角形的方法,把四边形面积转化为三角形面积之差。 六、课堂练习
1.△ABC 中,AB=AC=25cm ,高AD=20cm,则BC= ,S △ABC = 。 2.△ABC 中,若∠A=2∠B=3∠C ,AC=32cm ,则∠A= 度,∠B= 度,∠C= 度,BC= ,S △ABC = 。
3.△ABC 中,∠C=90°,AB=4,BC=32,CD ⊥AB 于D ,则AC= ,CD= ,
C
B
D
BD= ,AD= ,S △ABC = 。
4.已知:如图,△ABC 中,AB=26,BC=25,AC=17, 求S △ABC 。
七、课后练习
1.在Rt △ABC 中,∠C=90°,CD ⊥BC 于D ,∠A=60°,CD=3,AB= 。 2.在Rt △ABC 中,∠C=90°,S △ABC =30,c=13,且a <b ,则a= ,b= 。 AC=22,
3.已知:如图,在△ABC 中,∠B=30°,∠C=45°,
求(1)AB 的长;(2)S △ABC 。
C
C
教学设计
总体要求:1.“统一”设计“分段”教学;2.围绕“三维”落实“三问”;3.充实“心案”活化“形案”。
勾股定理的逆定理学案(第一课时)
姚庙初中程祖祥、王军、童红宇
一、学习目标
1.体会勾股定理的逆定理得出过程,掌握勾股定理的逆定理。
2.探究勾股定理的逆定理的证明方法。
3.理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。
二、重点、难点
1.重点:掌握勾股定理的逆定理及证明。
2.难点:勾股定理的逆定理的证明。
三、引入
你还记得吗?:⑴怎样判定一个三角形是等腰三角形?
⑵怎样判定一个三角形是直角三角形?和等腰三角形的判定进行对比,从勾股定理的
逆命题进行猜想。
练一练1、说出下列命题的逆命题,这些命题的逆命题成立吗?
⑴同旁内角互补,两条直线平行。
⑵如果两个实数的平方相等,那么两个实数平方相等。
⑶线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。
⑷直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半。
归纳:由以上发现原命题正确,其逆命题不一定正确,那我们发现的勾股定理的逆命题一定正确吗?还需要我们做什么?
问题1、求以线段a、b、为直角边的直角三角形的斜边c的长(单位:cm)。
(1)a=3,b=4;
(2)a=2.5,b=6;
(3)a=4,b=7.5
问题2:分别以上述a、b、c为边的三角形的形状会是什么样子的?猜想并验证。
命题2 如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 那么这个三角形是直角三角形。
问:这个命题和上节课的命题1有什么关系吗?你能证明这个命题吗?
探究:(课本74页)
证明:如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。
结论:通过证明勾股定理的逆命题是正确的,它也是一个定理,我们把这个定理叫做勾股定理的逆定理。
例:已知:在△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,a=n2-1,b=2n,c=n2+1(n>1)求证:∠C=90°。
分析:⑴运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的一般步骤:①先判断那条边最大。②分别用代数方法计算出a2+b2和c2的值。③判断a2+b2和c2是否相等,若相等,则是直角三角形;若不相等,则不是直角三角形。
⑵要证∠C=90°,只要证△ABC是直角三角形,并且c边最大。根据勾股定理的逆定理只要证明a2+b2=c2即可。
证明:
课堂练习:
1.在△ABC中,AB=13cm,AC=24cm,中线BD=5cm。
求证:△ABC是等腰三角形。
勾股定理的逆定理学案(第二课时)
一、学习目标
1.探究勾股定理的逆定理的证明方法。
2.理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。
3..应用勾股定理的逆定理解决实际的问题。
二、重点、难点
1.重点:掌握勾股定理的逆定理及证明。
2.难点:勾股定理的逆定理的证明。
一.课前练习。
⑴在一个三角形中,如果一边上的中线等于这条边的一半,那么这条边所对的角是直角。
⑵命题:“在一个三角形中,有一个角是30°,那么它所对的边是另一边的一半。”的逆命题是
真命题。
⑶勾股定理的逆定理是:如果两条直角边的平方和等于斜边的平方,那么这个三角形是直角三角
形。
⑷△ABC的三边之比是1:1:,则△ABC是直角三角形。
2.叙述下列命题的逆命题,并判断逆命题是否正确。
⑴如果a3>0,那么a2>0;
⑵如果三角形有一个角小于90°,那么这个三角形是锐角三角形;
⑶如果两个三角形全等,那么它们的对应角相等;
⑷关于某条直线对称的两条线段一定相等。
二.知识巩固。
⑴任何一个命题都有,但任何一个定理未必都有。
⑵“两直线平行,内错角相等。”的逆定理是。
⑶在△ABC中,若a2=b2-c2,则△ABC是三角形,是直角;
若a2<b2-c2,则∠B是。