数学建模参考论文-泄洪设施修建计划
泄洪设施修建计划
摘要
该问题主要讨论了泄洪设施修建计划问题。对问题一，首先根据四条天然河道近几年的可泄洪量数据用曲线拟合的方法，模拟出四条天然河道在2010年到2014年的排洪总量，然后将挖排洪沟决策变量假设为0-1变量，建立0-1规划模型；对问题二，依据最小费用原则，考虑进入各村的排洪沟承载能力与各村自身的泄洪量之和应小于从该村出去的各排洪沟承载之和为约束条件建立规划模型；对问题三，主要应用其Markov链的性质及转移概率矩阵的相关知识建立模型，给出了等概率和非等概率两种模型，同时给出了唯一性和稳定性的理论分析。对问题四，建立模型的主要思路是所修的线路不一定是村庄与村庄的连线。
问题一结论为：挖沟的方案为，第一年开挖第1、2、4、6号四条排洪沟，第二年开挖第3号排水沟，第三年开挖第7号排洪沟。计算所得最少费用为170万元。问题二结论为：开挖河道的方案为：⑥-⑤, ②-⑦, ①-③, ⑨-⑦，③-⑦,⑦-⑧,
④-⑤，⑤-⑧，⑩-⑧，计算所得最少费用为571.227万元。
问题三结论为：留宿的概率分布是稳定的，等概率的稳定概率分布为：
π=（，，，，，，，，，）
0.05560.05560.11110.05560.16670.05560.2222 0.16670.05560.0556
非等概率的稳定概率分布的一种分布为：
()π，，，，，，，，，
=0.29640.01320.34360.00170.05590.02040.14110.04130.07960.0066
问题四结论为：开挖河道的方案为：①- ③，②-M，③-M，M-⑦，⑥-⑤，⑨-⑦，⑦-⑧，④-⑤，⑤-⑧，⑩-⑧. （M为节点）计算所得费用为559.50 万元。
关键字0-1规划Markov链转移矩阵曲线拟合
问题重述
泄洪设施修建计划
位于我国南方的某个偏远贫困乡，地处山区，一旦遇到暴雨，经常发生洪涝灾害。以往下雨时，完全是依靠天然河流进行泄洪。2010年入夏以来，由于史无前例的连日大雨侵袭，加上这些天然河流泄洪不畅，造成大面积水灾，不仅夏粮颗粒无收，而且严重危害到当地群众的生命财产安全。
为此，乡政府打算立即着手解决防汛水利设施建设问题。从两方面考虑，一是在各村开挖一些排洪沟,以满足近两三年的短期防汛需要；二是从长远考虑，可以通过修建新泄洪河道的办法把洪水引出到主干河流。经测算，修建新泄洪河道的费用为L Q P 51.066.0 （万元），其中Q 表示泄洪河道的可泄洪量（万立方米/小时），L 表示泄洪河道的长度（公里）。
请你们通过数学建模方法，解决以下问题：
问题1：该乡的某个村区域内原有四条天然河流，由于泥沙沉积，其泄洪能力逐年减弱。在表1中给出它们在近年来的可泄洪量（万立方米/小时）粗略统计数字。水利专家经过勘察，在该村区域内规划了8条可供开挖排洪沟的路线。由于它们的地质构造、长度不同，因而开挖的费用和预计的可泄洪量也不同，详见表2，而且预计每条排洪沟的可泄洪量还会以平均每年10%左右的速率减少。同时开始修建一段20公里长的新泄洪河道。修建工程从开工到完成需要三年时间，且每年投资修建的费用为万元的整数倍。要求完成之后，通过新泄洪河道能够达到可泄洪量100万立方米/小时的泄洪能力。
乡政府从2010年开始，连续三年，每年最多可提供60万元用于该村开挖排洪沟和修建新泄洪河道，为了保证该村从2010至2014年这五年间每年分别能至少达到可泄洪量150、160、170、180、190万立方米/小时的泄洪能力，请作出一个从2010年起三年的开挖排洪沟和修建新泄洪河道计划，以使整个方案的总开支尽量节省（不考虑利息的因素在内）。
表1 现有四条天然河道在近几年的可泄洪量（万立方米/小时）
表2 开挖各条排洪沟费用（万元）和预计当年可泄洪量（万立方米/小时）
问题2：该乡共有10个村,分别标记为①—⑩，下图给出了它们大致的相对地理位置，海拔高度总体上呈自西向东逐渐降低的态势。
①
②③④
⑤
⑥⑦⑧
⑨
⑩
其中村⑧距离主干河流最近，且海拔高度最低。乡政府打算拟定一个修建在各村之间互通的新泄洪河道网络计划，将洪水先通过新泄洪河道引入村⑧后，再经村⑧引出到主干河流。要求完成之后，每个村通过新泄洪河道能够达到可泄洪量100万立方米/小时的泄洪能力。
表3 各村之间修建新泄洪河道的距离（单位：公里）
请你们根据表3中的数据，为该乡提供一个各村之间修建新泄洪河道网络的合理方案，使得总费用尽量节省。（说明：从村A→村B的新泄洪河道，一般要求能够承载村A及上游新泄洪河道的泄洪量。）
问题3：新泄洪河道网络铺设完成后，打算安排一位维护人员，每天可以从一个村到与之直接有新泄洪河道连接的相邻村进行设施维护工作，并在到达的村留宿，次日再随机地选择一个与该村直接有新泄洪河道连接的相邻村进行维护工作。试分析长此以往，他在各村留宿的概率分布是否稳定？
问题4：你们是否能够为该乡提出一个更加合理的解决泄洪的办法？
说明：1、以上问题必须建立一般的数学模型，不能仅按照题目中提供的数据计算一个结果。
2、建模过程中，可自行提出合理的模型假设。
1 问题一
1.1 基本假设
(1) 排洪道未修完，假设其泄洪能力为0，且排洪道泄洪能力设计为100万立方米/小时。
(2）修完的排洪道排洪能力不考虑随年份变化（衰减），即第4、5年排洪道泄洪能力都为100万立方米/小时。 1.2符号说明
ij x 表示第i
年开挖第j 条排洪沟，其中 1 i j 0 i j ij x ?=?
?第年开挖第条排水沟第年不开挖第条排水沟
j c 表示开挖第j 条沟的费用 j q 表示第j 条沟的泄洪能力
i Q 表示第i 年排洪要求 1i Q 表示第i 年四条天然河道的排洪量总量 ()L i 表示第i
年修的泄洪道的长度为()L i 公里
1.3 模型的分析及建立
对问题一的模型的建立主要分为以下几个步骤：
（1） 根据已知数据对四条天然河道在2009年后五年内的排水量进行曲线拟合
来预测2010-2014年四条天然河道泄洪能力，对这四条天然河道分别用一次多项式拟合、指数拟合、…….对天然河道泄洪能力的预测结果见表4。
表4 天然河道泄洪能力的预测结果表
（2） 计算得出三年内修完泄洪河道的总费用 M=139万元
（3） 建立目标函数38
0.511
1
m in (0.66())ij j i j P x c Q L i ===+∑∑
8
0.51
1
3
1310.66()60; (1.1)()20; (1.2)
1; (j=1,2,3,4,5,6,7,8) j ij j i ij i Q L i c x L i x ===??+≤??
=≤∑∑∑（其中[]表示取整）(4)约束条件81111188
21
12211 (1.3)
; (1.4) 0.9
; j j j j j j j j j Q x q Q Q x q x q Q ===+≥++≥∑∑∑8882
31
1233111888
32
41
1234111
(1.5) 0.90.9 (1.6) 0.90.90.9100; (1j j j j j j j j j j j j j j j j j j Q x q x q x q Q Q x q x q x q Q ======+++≥++++≥∑∑∑∑∑∑888
432
511235111.7) 0.90.90.9100; (1.8)
j j j j j j j j j Q x q x q x q Q ===???
???
?
??
?
?
?
???????
???
?++++≥??
∑∑∑其中
(1.1)式表示第i 年修泄洪道的费用（取整）与第ｉ年用来挖排洪沟的费用之和应小于每年最多可提供的60万元；
(1.2)式表示三年内修的泄洪道总长要达到20公里； (1.3)式表示三年内第j 条排洪沟最多只能被挖一次；
(1.4)式表示第一年挖排洪沟的排洪量8
111
j j j x q =∑与天然河道排洪量的总和不小于
第一年所要求的最小排洪量1Q ；
(1.5)式表示第二年新挖的排洪沟的排洪量8
21
j j j x q =∑，第一年已挖的排洪沟在第二
年具有的排洪量8
11
0.9j j j x q =∑，天然河道在第二年具有的排洪量21Q ，这三个排洪量
的总和应不小于第二年所要求的最小排洪量2Q ，同理有(1.6)式；
(1.7)-(1.8)式表示泄洪河道与天然河道及三年内已挖的排洪沟一起进行排洪，它们排洪量的总和应不小于每年所要求的排洪量；
该模型是在满足以上约束条件的情况下，计算其最小费用P 。
1.4 模型求解
该模型主要是用MATLAB 软件及lingo 软件进行数值求解。程序见附录，在
程序运行结果如下：
111x =，121x =，141x =，161x =，231x =，371x =
其中ij x 表示表示第i 年开挖第j 条排洪沟，即在第一年开挖1、2、4、6号四条排洪沟，第二年开挖3号排水沟，第三年开挖7号排洪沟。在确定了所要挖的排洪沟之后，所需的总费用
123467139575455139170P c c c c c c =++++++=++++++= 万元
即在保证排洪量满足要求的前提下，根据建立的费用最小模型最后得到的结论是最少费用为170万元。
2 问题二
2.1基本假设
(1) 所修泄洪河道洪水流向为自西向东；
(2) 允许泄洪河道相互交叉，若有交叉，在实际应用上，泄洪量可由闸门控制。
2.2 符号说明
ij Q 为i j →第个村庄第个村庄
泄洪河道的流量，
0 , ij Q →?=?→?
表示不修i j 河道非零 , 表示修i j 河道
ij
S 为i j →的距离
2.3 模型分析
问题所涉及10个村庄的总体趋势是西高东低，水流的自然流向为自西向东。
因此，所建的新泄洪河道网络流向是单向的，依据这一自然规律，我们对问题进行等价处理。题意中所给10个村庄的编号从西向东不是按自然数的顺序排列，为了计算和编程的方便，首先，我们对10个村庄的顺序由西向东按从小到大的顺序进行排列，排序前后的图，如图2-1（○为修改后序号，( )为修改前序号），然后对重新编号的图计算相应的距离，结果如表5。
③?
②?⑤?⑦?
⑨?
①?⑥?⑩?
④?
⑧?
图2-1 修改前后各序号的对应关系
表5 序号调整后各村之间修建新泄洪河道的距离（单位：公里）
由下图可以看出序号为①的村庄只能流出而没有流入，分析序号为②的村庄只有①流入，它的流出就有8种选择，如图2-2。
如图2-2 村庄2可以流出的路线图
同理，村③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨，依次有7,6,5,4,3,2,1种选择。
2.3 模型的建立及求解
模型的建立
在使得费用最小目标下，依据流入每个村的泄洪量加上自身的泄洪量小于或等于这个村流出的泄洪量，又根据每个村通过新泄洪河道能够达到可泄洪量100万立方米/小时的泄洪能力的要求等原则来建立数学模型。
目标函数：9
10
0.51
11
m in 0.66ij ij i j i P Q S ==+=
∑∑
1
10
11
121313141516171819110100,2,...,9; (2.1)
|100; (2.2) 0,110; i ki ij k j i ij Q Q i Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q i j -==++≤=+++++++++≥≥≤<≤∑∑约束条件 (2.3) ????
?????
（2.1）式表示流进各村的洪水量1
1
i ki k Q -=∑与各村自身已有的100万立方米的水量和
小于流出各村的洪水量
10
1ij
j i Q
=+
∑；
（2.2）式表示从村庄①流出的洪水量大于100万立方米；
（2.3）式表示水从西向东流出；
模型求解
用lingo8.0编程计算出如下的结果：
Q( 1, 9) 100.0000 Q( 2, 6) 100.0000 Q( 3, 5) 100.0000 Q( 4, 6) 100.0000 Q( 5, 6)200.0000 Q( 6, 10) 500.0000
Q( 7, 9) 100.0000 Q( 8, 10) 100.0000 Q( 9, 10) 300.0000
即
19100
Q=
，，
26
100
Q=
，
，
35
100
Q=
，
，
46
100
Q=
，
，
56
200
Q=
，
，
610
500
Q=
，
，
79100
Q=
，，
810
100
Q=
，
，
910
300
Q=
，
，其它的
ij
Q均为零。从结果中可以看出，开挖
的河道是，①-⑨，②-⑥，③-⑤，④-⑥，⑤-⑥，⑥-⑩，⑦-⑨，⑧-⑩，⑨-⑩，可
得河道开挖的线路图(即如图2-3)，还原成原有的序号则有：
65100
Q=
，，
27
100
Q=
，
，
13100
Q=
，，
97
100
Q=
，
，
37
200
Q=
，
，
78
500
Q=
，
，
45
100
Q=
，
，
108
100
Q=
，
，
58
300
Q=
，
，
开挖的河道是⑥-⑤, ②-⑦, ①-③, ⑨-⑦，③-⑦,⑦-⑧,④-⑤，⑤-⑧，⑩-⑧，可得河道开挖的线路图(即如图2-3)
图2-3 河道开挖的路图
由序号的对应关系，可得村庄原序号开挖路线图，如图2-4：
图2-4村庄原序号开挖路线图
因此我们在保证各村排洪量的前提下，确定了要修的泄洪道的路线，得到了修泄洪道的最小费用，以下我给出lingo软件计算出的结果截图。
从截图中可以看到最优目标值为571.227万元，即据以上的模型，在保证各村
排洪量的基础上，修好这条泄洪道最少要花571.227万元。
3 问题三
3.1 预备知识
定义3.1.1 随机过程{,0,1,2,...}n X n =称为Markov 链 定义3.1.2 称条件概率
()
{|},,,0,1n ij
m n m p P X j X i i j S m n +===∈≥≥
为Markov 链的n 步转移概率，相应的称()()
()n n ij P p =为n 步转移矩阵，其中S 为
{1,2,3,...}的子集,()
n ij
p 是指系统从状态i 经过 n 步后转移到状态j 的概率，它对中
间1n -步转移经过的状态无要求.
定义3.1.3 称状态i 可达状态j （.i j S ∈）,若存在0n ≥使得()0n ij p >，
记为i j →.若同时有状态j i →，则称i 与j 互通.同时将任何两个相通状态归为一类. 定义3.1.4 若Markov 链只存在一个类，就称它是不可约的.否则称为可约的.
定义3.1.5 若集合()
{:1,0}n ii n n p ≥>非空，则称它的最大公约数()d d i =为状态i
的周期.若1d >，称i 是周期的；若1d =，称i 是非周期的.并特别规定上述集合为空集时，称i 的周期为无穷大.
定义3.1.6 对于任何状态,i j ，以()n ij f 记从i 出发经过n 步后首次到达j 的概率，则有
(0)
0ij
f =，
()
0{,,1,2,,1}, 1.n ij
n k f P X j X j k n X i n ==≠=-=≥
令()
1
n ij ij
n f f ∞
==
∑
，若1ij f =，称状态j 为常返状态。若1ij f <，称j 为非常返状态或
瞬过状态。
定义3.1.7 对于常返态i ，定义()
1
n i ii
n nf
μ∞
==
∑表示由i 出发再返回i 所需要的平均
步数，若i μ<+∞，则称i 为正常返态；若i μ=+∞，则称i 为零常返态。特别地，
若i 正常返且是非周期的，则称之为遍历状态。若i 是遍历状态，且(1)1ii f =，则称
i 为吸收状态。此时显然1i μ=。
定义3.1.8 对于Markov 链，概率分布{,}j j S π∈称为不变的，若
j i
ij i S
p ππ
∈=
∑.
定义3.1.9 称Markov 链是遍历的，如果所有状态相通且均是周期为1的正常返状态.对于遍历的Markov 链，极限
()
lim 0 ()n j ij n p j S π→∞
=>∈
称为Markov 链的极限分布.
定理3.1.1 对于不可约非周期的Markov 链：若它是遍历的，则
()
lim 0 ()n j ij n p j S π→∞
=>∈
是不变分布且是惟一的不变分布.
3.2 模型分析
对于问题三我们将其看成是一个Markov 链，则可用转移概率矩阵建立模型进行求
解，通过对问题二的求解可以知道，最终10个村庄修建泄洪河道的网络图如图3-1 所示:
图 3-1（维修人员所走的线路图）
观察维修人员走的线路图，显然村庄之间是相通的，根据定义3.1.4有，这个Markov 链是不可约的，图3-1中没有环路则显然有集合
()
{:1,0}n ii
n n p ≥>=?
根据定义3.1.5有,此Markov 链的周期为无穷大，即它是非周期的。又显然由i 出发再返回i 所需要的平均步数i μ<+∞，即此Markov 链为正返常态，再根据定义3.1.9知这个Markov 链是遍历的。
综合上述Markov 链所具有的性质，应用定理3.1.1可推出此Markov 链的极限分布是唯一的不变分布.
3.3模型的及求解
3.3.1建立等可能概率模型
模型假设 假设维护人员是等概率对相通的村庄进行维修，如图3-1，有4条泄洪河道经过村庄⑦，分别是③-⑦ ，②-⑦，⑧-⑦，⑨-⑦ ，现在进行等概率假设，即当维护人员在村庄⑦时，去③、②、⑧、⑨村庄的概率均为1/4，同理，当维护人员在村庄③时，去①、⑦村庄的概率均为1/2，又如村庄①，仅有一条泄洪河道经过，因此当维护人员在这个村庄停留时，去下一个村庄的概率就为1，而①-②之间没有路线，则维护人员从村庄①直接到村庄②的概率为0.依次类推可以得到去各村的概率。
模型建立 以{,0,1,2,...}n X n =记维修员第n 天留宿的村庄号。这是个Markov 链，根据上面的模型假设，可以得到以下转移矩阵P 满足下列方程组
11010
1 (,...,)
1i i P ππππππ===???
=?
?
∑（3.1） 其中
),,(101πππ???=为维修员到各村的稳定概率向量
00100000000000001000110000000022000010000011100000003330000100000111100000044441110000000333000000100000
1
0P ???????????????????????????
?=???????????????????????????
?
解方程组（3.1），若有解，则表示长此以往，维护人员在各村留宿的概率分布是稳定的。
模型求解
利用MATLAB 软件求解模型（程序见附件），得
0.05560.05560.11110.05560.16670.05560.2222 0.16670.05560.0556
π=（，，，，，，，，，）
由此可见方程组（3.1）是有解的，说明长此以往，维护人员在各村留宿的概率分布是稳定的。
3.3.2 建立非等可能概率模型
模型假设 假设维护人员是非等概率的对相通的村庄进行维修，如图3-1示，可以看出村庄①，②，⑥，⑨，④均仅有一条泄洪河道经过，因此当维护人员在这几个村庄停留时，去下一个村庄的概率均为1.而对于村庄③有两条泄洪道经过，分别是③-①，③-②，现在进行非等概率假设，即当维护人员在村庄③时，其去①、②村庄的概率是未知的，分别记为11,1a a -，（因为最终概率和为1），同理，
当维护人员在村庄⑤时，将其去④、⑥、⑧村庄的概率分别记为2323,,1a a a a --.依此类推就可以得到去各村的概率。
模型建立 以{,0,1,2,...}n X n =记维修员第n 天留宿的村庄号。这是个Markov 链，转移矩阵为P
112323
456456
78780010000000
0000001000
00000100000001000000000010000001000000000010000000010000001000
1
0a a a a a a P a a a a a a a a a a ?
???????-????
??--=????
??---??
--??
???????
?且满足
11010
1 (,...,)
1i i P ππππππ===???
=?
?
∑（3.2） 解以上方程组，若有解，则表示长此以往，维护人员在各村留宿的概率分布是稳定的。 模型求解
基于我们对模型的分析及所建立的模型，用MATLAB 软件编程（程序见附件），用循环（本程序设定循环200次），随机的产生一组满足条件的转移概率矩阵P ，在此基础上解方程组（3.2）得出π的值。下面给出程序执行的部分结果
)
,,,(81a a i ???=（17.0000 0.9434 0.4740 0.0178 0.8200 0.0574 0.0901
0.6967 0.1471），其中i 表示循环的次数
即在第17次循环时，找到一组符合条件的转移概率矩阵，解方程组（3.2）得到π的值：
()=0.29640.01320.34360.00170.05590.02040.14110.04130.07960.0066π，，，，，，，，，
)
,,,(81a a i ??? =(24.0000 0.8626 0.0309 0.3659 0.0938 0.3346 0.0073
0.8155 0.0250)
同样，在第24次循环时，找到一组符合条件的转移概率矩阵，解方程组（3.2）得到π的值：
0.29640.01320.34360.00170.05590.02040.14110.04130.07960.0066π=（，，，，，，，，，）
在前面模型分析时，由定理3.1.1知，只要方程组（3.2）的解存在，则此Markov 链的极限概率分布是唯一的不变分布，在问题中解释为，长此以往，维护人员在各村留宿的概率分布是稳定的。因此即使是非等可能概率前提下，维修人员长此以往，其在各村留宿的极限概率分布仍然是稳定的。
4 问题四
4.1基本假设
（1）将各村庄都看成顶点
（2）为了使计算结果与模型二便于比较，本问题的数据都用题中给出的数据。
4.1 符号说明
l 上
，
l 下
分别表示弧线的上半部分和下本部分
M 表示所选的节点 M i L 表示节点M 与村庄i 的距离
M i P 表示从节点
M 到村庄i 修建泄洪道的费用
4.2 模型分析
对于问题四，我们还是引用本文第二节中的数据，提出的新的泄洪方法们新不要求建立的泄洪道要链接各个村庄，而是在村庄间的部分路段修建一条弧形泄洪道，如图4-1示
图4-1（实线表示要修的部分）
图4-1中的弧线l 是以⑦为圆心，⑦-⑨间的距离6为半径所得的曲线，为了使要修的路线最短，即要使①，②，⑥到l 的距离最小，根据两边之和大于第三边定理有，①，②，⑥到l 的最小距离等于①，②，⑥到⑦距离减去半径6，则有①，②，⑥到l 的最小距离分别为5,4，3.
下面我们分析①，②，⑥的水是往l 的上半部分流出还是往其下半部分流出。
A
③⑦⑨
∠=∠ B ③
⑦②∠=∠ C ⑥⑦⑨∠=∠
图4-2
如图4-2示 用余弦定理知cos 0.702A ∠≈-，则A ∠在35
4
6
ππ与之间，但更偏
向34π则取34
A π∠=
，同理可以得到cos 0.512B ∠≈，取B π
∠=
，
3
cos 0.491C ∠≈，3
C π
∠=
取，因此可以看出村庄②更偏向l 的上半部分，因此①，②的水往l 的上半
部分流出，⑥的水往l 的下半部分流出。
对各段路长进行计算，我们有下列结果：
①-l=6，②-l=5，⑥-l=3，2
l lπ
==
下
上
，③-⑦=7，⑨-⑦=6，⑦-⑧=8
④-⑤=3, ⑤-⑧=6, ⑩-⑧=11
本模型中同样假设各个村均储有100万立方米的水，则对各段路的排洪量进行计算，我们有下列结果：
①-l
上=100，②-l
上
=100，⑥-l
下
=100，l
上
=200，l
下
=100，③-⑦=300
⑨-⑦=200，⑦-⑧=600，④-⑤=100，⑤-⑧=200，⑩-⑧=100
根据修道的费用公式，经计算，本模型所需的费用见下表
表6 各段河道的费用及总费用
由表6知，按上述的方法修建泄洪道的费用远远超过在问题二中所花的费用，因此此模型是不可取的，但是建立模型的思路是可取的，现实生活中也是如此，都是在不断的实践中，不断的改进和提升，下面将对此模型的不足之处进行分析，并给出在此基础上的改进模型。
4.3 模型的评价及改进模型
首先，我们把图4-1和模型二中的图2-4进行比较发现⑥-l
下
-⑨-⑦的距离比
⑥-⑤-⑧的距离大，所以l
下
的弧段没有必要设计，仍然用模型二中的⑥-⑤-⑧线路，
在l
上的部分中，①-l
上
-⑦的线路长度大于①-③-⑦的距离，这部分也保持模型二
中的线路。②-l
上
-⑦的距离显然是大的，如何减少②-⑦间的距离是新模型的关键。
依据在三角形中任意两边之和大于第三边的原理，本文在③-⑦线路之间找到一个点使得②-⑦距离较小，并且使②，①，③，⑦之间的开挖费用最小。根据这一原则建立模型：
设在③-⑦之间寻找的最优点为M ，L M7=x ，L M3=7-x ，)7,0(∈x 在?②⑦M 中，5779.0cos ≈∠B ，则建立目标函数
237
m in M M M P P P P =++
满足下列等式
20.51
0.66 (2)
M i M i M L P Q L ??=?=??
经计算：
51
.0266.0M
Q =6.9，51
.0366.0M
Q =9.84 ，51
.0366.0M
Q =12.10
把（1），（2）代入目标函数得，P=6.9*(112+x 2-12.716*x) 0.5+2.26*x+68.9 利用Matlab 软件编程得到使P 最小的x =3.2463（程序见附件） 则修河道的费用，如表7所示：
表7 各段河道的费用及总费用
以本模型是为该乡提供的更加合理的方案。
5 模型优缺点的分析
（1）在问题一的分析中，首先利用四条天然河道已知的数据来拟合出2010-2014年的泄洪量，接着计算了修泄洪河道三年所花费的总费用及对8条可供开挖排洪沟的路线进行分析，于是在所有可能出现的约束条件下建立费用的目标函数，使
数学建模优秀论文设计模版
承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括、电子、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的 资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参 考文献中明确列出。 我们重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则 的行为，我们将受到严肃处理。 我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展 示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期：年月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
题目（黑体不加粗三号居中） 摘要（黑体不加粗四号居中） （摘要正文小4号，写法如下） （第1段）首先简要叙述所给问题的意义和要求，并分别分析每个小问题的特点（以下以三个问题为例）。根据这些特点对问题 1 用······的方法解决；对问题 2 用······的方法解决；对问题3 用······的方法解决。 （第2段）对于问题1，用······数学中的······首先建立了······ 模型I。在对······模型改进的基础上建立了······模型II。对模型进行了合理的理论证明和推导，所给出的理论证明结果大约为······，然后借助于······数学算法和······软件，对附件中所提供的数据进行了筛选，去除异常数据,对残缺数据进行适当补充,并从中随机抽取了3 组数据（每组8 个采样）对理论结果进行了数据模拟，结果显示，理论结果与数据模拟结果吻合。（方法、软件、结果都必须清晰描述，可以独立成段，不建议使用表格） （第3段）对于问题2用······ （第4段）对于问题3用······ 如果题目单问题，则至少要给出2种模型，分别给出模型的名称、思想、软 件、结果、亮点详细说明。并且一定要在摘要对两个或两个以上模型进行比较， 优势较大的放后面，这两个（模型）一定要有具体结果。 （第5段）如果在……条件下，模型可以进行适当修改，这种条件的改变可能来自你的一种猜想或建议。要注意合理性。此推广模型可以不深入研究，也可以没有具体结果。 关键词：本文使用到的模型名称、方法名称、特别是亮点一定要在关键字里出现，5~7个较合适。 注：字数700-1000 之间；摘要中必须将具体方法、结果写出来；摘要写满几乎 一页，不要超过一页。摘要是重中之重，必须严格执行！。 页码：1（底居中）
数学建模之减肥问题的数学模型
数学建模之减肥问题的 数学模型 Document serial number【KKGB-LBS98YT-BS8CB-BSUT-BST108】
东北大学秦皇岛分校 数学模型课程设计报告 减肥问题的数学建模 学院数学与统计学院 专业信息与计算科学 学号5133117 姓名楚文玉 指导教师张尚国刘超 成绩 教师评语： 指导教师签字： 2016年01月09日
摘要 肥胖已成为公众日益关注的卫生健康问题. 肥胖是与目前严重危害人类健康疾病，如糖尿病、高血压、冠心病、血脂异常、胆囊疾病、痛风、骨关节病、阻塞性睡眠呼吸暂停、某些癌症等的发病有明显相关的危险因素之一. 但是实际情况却是人们不会理性的对待自己的身体状况，经常使用一些不健康的方式减肥，到最后适得其反，给自己的身体造成很大的伤害. 本文特别的从数学模型的角度来考虑和认识问题，通过该模型的建立，科学的解释了肥胖的机理，引导群众合理科学的减肥. 本文建立了减肥的数学模型，从数学的角度对有关身体肥胖的规律做进一步的探讨和分析. 在研究此问题时，体重的实时变化数据是我们研究的核心数据，这就会使我们联系到变量的变化率或导数，这样所得到变量之间的关系式就是微分方模型. 微分方程模型反映的是变量之间的间接关系，因此，在研究体重，能量与运动之间的关系时，得到直接关系就得求解微分方程. 本文利用了微分方程模型求解减肥的实际问题，根据基本规律写出了平衡关系式 [()()][()()]t t t D A B R t t ωωω+?-=-+? 再利用一定的转换条件进行转化为简单明了的式子，求解出模型关系式 然后根据建立的模型表达式来解决一些实际的减肥问题，给出数学模型所能解答的一些实际建议. 关键字： 微分方程模型 能量守恒 能量转换系数 1 问题重述 课题的背景 随着社会的进步和发展，人们的生活水平在不断提高，饮食营养摄入量的改善和变化、生活方式的改变，使得肥胖成了社会关注的一个问题. 为此，联合国世界卫生组织曾颁布人体体重指数（简记BMI ）：体重（单位：kg ）除以身高（单位：m ）的平方，规定BMI 在至25为正常，大于25为超重，超过30则为肥胖.据悉我国有关机构针对东方人的特点，拟将上述规定中的25改为24，30改为29.无论从健康的角度，是从审美的角度，人们越来越重视减肥，大量的减肥机构和商品出现，不少自感肥胖的
数学建模比赛论文格式要求
比赛论文格式要求： 1、论文用白色A4纸打印，上下左右各留出2.5厘米的页边距。 2、论文第一页为泉州师范学院大学生数学建模竞赛承诺书，具体内容和格式见附件1，参赛队必须在竞赛承诺书上签名。 3、论文题目和摘要写在论文第二页上，从第三页开始是论文正文。 4、论文从第二页开始编写页码，页码必须位于每页页脚中部，用阿拉伯数字从“1”开始连续编号。 5、论文不能有页眉，论文中不能有任何可能显示答题人身份的标志。 6、论文题目用3号黑体字、一级标题用4号黑体字，并居中。论文中其他汉字一律采用小4号黑色宋体字，行距用单倍行距。图形应绘制在文中相应的位置，比例适当。 7、提醒大家注意：摘要在整篇论文评阅中占有重要权重，请认真书写摘要（最好在300字以内，注意篇幅不能超过一页）。评阅时将首先根据摘要和论文整体结构及概貌对论文优劣进行初步筛选。 8、引用别人的成果或其他公开的资料 (包括网上查到的资料) 必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中均明确列出。正文引用处用方括号标示参考文献的编号，如[1][3]等；引用书籍还必须指出页码。参考文献按正文中的引用次序列出：（1）参考书籍的表述方式为： [编号] 作者，书名，出版地，出版社，出版年。 （2）参考期刊杂志论文的表述方式为： [编号] 作者，论文名，杂志名，卷期号，起止页码，出版年。 （3）参考网上查到的资料的表达方式： [编号] 作者，资源标题，网址，访问时间（年月日）。 比赛流程： 参赛队伍利用2013.5.11到2013.5.13三天的时间利用所学的知识解决实际问题，由老师根据参赛队伍提交的论文，根据评奖标准评选出一等奖、二等奖、三等奖，评出的优秀队伍将送去参加全国性的比赛。注意：比赛规则与赛场纪律： 1、每个参赛队队员不得超过三名，参赛队队员应是具有泉州师范学院正式学籍的本、专科生，参赛队允许参赛队员跨年级跨专业跨学院组成，三人之间分工明确、协作完成。比赛期间参赛队不得任意换人，若有参赛队队员因特殊原因退出，则缺人比赛。 2、教师可以从事赛前辅导及有关组织工作，但在比赛期间不得以任何形式对参赛队员进行指导或参与讨论。 3、比赛以相对集中的形式进行，比赛期间，参赛队队员可以利
全国大学生数学建模竞赛论文模板
2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填 写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的 话）： 所属学校（请填写完整的全 名）： 参赛队员 (打印并签名) ： 1. 2.
3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)：指导教师组 日期：年月日 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：
全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）： 论文标题 摘要 摘要是论文内容不加注释和评论的简短陈述，其作用是使读者不阅读论文全文即能获得必要的信息。 一般说来，摘要应包含以下五个方面的内容： ①研究的主要问题； ②建立的什么模型； ③用的什么求解方法； ④主要结果（简单、主要的）； ⑤自我评价和推广。
摘要中不要有关键字和数学表达式。 数学建模竞赛章程规定，对竞赛论文的评价应以： ①假设的合理性 ②建模的创造性 ③结果的正确性 ④文字表述的清晰性 为主要标准。 所以论文中应努力反映出这些特点。 注意：整个版式要完全按照《全国大学生数学建模竞赛论文格式规范》的要求书写，否则无法送全国评奖。 一、问题的重述 数学建模竞赛要求解决给定的问题，所以一般应以“问题的重述”开始。 此部分的目的是要吸引读者读下去，所以文字不可冗长，内容选择不要过于分散、琐碎，措辞要精练。 这部分的内容是将原问题进行整理，将已知和问题明确化即可。 注意： 在写这部分的内容时，绝对不可照抄原题！
数学建模论文格式官方要求
二、论文格式规范 (一)“论文首页”编写 竞赛论文首页为“编号页”，只包含队号、队员姓名、学校名信息，第二页起为摘要页和正文页。参赛队有关信息不得出现于首页以外的任何一页，包括摘要页，否则视为违规。 (二)“论文摘要页”编写 竞赛使用“统一摘要面”。为了保证评审质量，提请参赛研究生注意摘要一定要将论文创新点、主要想法、做法、结果、分析结论表达清楚，如果一页纸不够，摘要可以写成两页。
(三)“论文文本”要求————“全国研究生数学建模竞赛论文 格式规范” ●每个参赛队可以从A、B、C、D、E题中任选一题完成论文。（赛题类型以 比赛下载为准） ●论文用白色A4版面；上下左右各留出至少2.5厘米的页边距;从左侧装订。 ●论文题目和摘要写在论文封面上，封面页的下一页开始论文正文。 ●论文从编号页开始编写页码，页码必须位于每页页脚中部，用阿拉伯数字从 “1 ”开始连续编号。 ●论文不能有页眉，论文中不能有任何可能显示答题人身份的标志。 ●论文题目用三号黑体字、一级标题用四号黑体字，并居中。论文中其他汉字 一律采用小四号宋体字，行距用单倍行距。程序执行文件，和源程序一起附在电子版论文中以备检查。 ●请大家注意：摘要应该是一份简明扼要的详细摘要（包括关键词），请认真 书写（注意篇幅一般不超过两页，且无需译成英文）。全国评阅时对摘要和论文都会审阅。 ●引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上甚至在“博客”上查到的资料) 必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 正文引用处用方括号标示参考文献的编号，如[1][3]等；引用书籍还必须指出页码。参考文献按正文中的引用次序列出，其中书籍的表述方式为：[编号] 作者，书名，出版地：出版社，出版年。 参考文献中期刊杂志论文的表述方式为： [编号] 作者，论文名，杂志名，卷期号：起止页码，出版年。 参考文献中网上资源的表述方式为： [编号] 作者，资源标题，网址，访问时间（年月日）。 全国研究生数学建模竞赛评审委员会 2011年9月20日修订
全国大学生数学建模竞赛论文格式规范.doc
全国大学生数学建模竞赛论文格式规范 （全国大学生数学建模竞赛组委会，2019年修订稿） 为了保证竞赛的公平、公正性，便于竞赛活动的标准化管理，根据评阅工作的实际需要，竞赛要求参赛队分别提交纸质版和电子版论文，特制定本规范。 一、纸质版论文格式规范 第一条，论文用白色A4纸打印(单面、双面均可)；上下左右各留出至少2.5厘米的页边距；从左侧装订。 第二条，论文第一页为承诺书，第二页为编号专用页，具体内容见本规范第3、4页。 第三条，论文第三页为摘要专用页（含标题和关键词，但不需要翻译成英文），从此页开始编写页码；页码必须位于每页页脚中部，用阿拉伯数字从“1”开始连续编号。摘要专用页必须单独一页，且篇幅不能超过一页。 第四条，从第四页开始是论文正文（不要目录，尽量控制在20页以内）；正文之后是论文附录（页数不限）。 第五条，论文附录至少应包括参赛论文的所有源程序代码，如实际使用的软件名称、命令和编写的全部可运行的源程序（含EXCEL、SPSS等软件的交互命令）；通常还应包括自主查阅使用的数据等资料。赛题中提供的数据不要放在附录。如果缺少必要的源程序或程序不能运行（或者运行结果与正文不符），可能会被取消评奖资格。论文附录必须打印装订在论文纸质版中。如果确实没有源程序，也应在论文附录中明确说明“本论文没有源程序”。 第六条，论文正文和附录不能有任何可能显示答题人身份和所在学校及赛区的信息。 第七条，引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上资料)必须按照科技论文写作的规范格式列出参考文献，并在正文引用处予以标注。 第八条，本规范中未作规定的，如排版格式（字号、字体、行距、颜色等）不做统一要求，可由赛区自行决定。在不违反本规范的前提下，各赛区可以对论文增加其他要求。 二、电子版论文格式规范 第九条，参赛队应按照《全国大学生数学建模竞赛报名和参赛须知》的要求提交以
全国大学生数学建模竞赛论文写作要求
全国大学生数学建模竞赛论文写作要求 题目：明确题目意思 一、摘要：500个字左右，包括模型的主要特点、建模方法和主要结果 二、关键字：3－5个 三．问题重述。略 四．模型假设 根据全国组委会确定的评阅原则，基本假设的合理性很重要。 （1）根据题目中条件作出假设 （2）根据题目中要求作出假设 关键性假设不能缺；假设要切合题意 五．模型的建立 （1）基本模型： 1) 首先要有数学模型：数学公式、方案等 2) 基本模型，要求完整，正确，简明 （2）简化模型 1）要明确说明：简化思想，依据 2）简化后模型，尽可能完整给出 （3）模型要实用，有效，以解决问题有效为原则。 数学建模面临的、要解决的是实际问题， 不追求数学上：高（级）、深（刻）、难（度大）。 u 能用初等方法解决的、就不用高级方法， u 能用简单方法解决的，就不用复杂方法， u 能用被更多人看懂、理解的方法， 就不用只能少数人看懂、理解的方法。 （4）鼓励创新，但要切实，不要离题搞标新立异 数模创新可出现在 ▲建模中，模型本身，简化的好方法、好策略等， ▲模型求解中 ▲结果表示、分析、检验，模型检验 ▲推广部分 （5）在问题分析推导过程中，需要注意的问题： u 分析：中肯、确切 u 术语：专业、内行；； u 原理、依据：正确、明确, u 表述：简明，关键步骤要列出 u 忌：外行话，专业术语不明确，表述混乱，冗长。 六．模型求解 （1）需要建立数学命题时： 命题叙述要符合数学命题的表述规范， 尽可能论证严密。 （2）需要说明计算方法或算法的原理、思想、依据、步骤。
若采用现有软件，说明采用此软件的理由，软件名称 （3）计算过程，中间结果可要可不要的，不要列出。 （4）设法算出合理的数值结果。 5．结果分析、检验；模型检验及模型修正；结果表示 （1）最终数值结果的正确性或合理性是第一位的； （2）对数值结果或模拟结果进行必要的检验。 结果不正确、不合理、或误差大时，分析原因， 对算法、计算方法、或模型进行修正、改进； （3）题目中要求回答的问题，数值结果，结论，须一一列出；（4）列数据问题：考虑是否需要列出多组数据，或额外数据对数据进行比较、分析，为各种方案的提出提供依据； （5）结果表示：要集中，一目了然，直观，便于比较分析 ▲数值结果表示：精心设计表格；可能的话，用图形图表形式▲求解方案，用图示更好 （6）必要时对问题解答，作定性或规律性的讨论。 最后结论要明确。 七．模型评价 优点突出，缺点不回避。 改变原题要求，重新建模可在此做。 推广或改进方向时，不要玩弄新数学术语。 7．参考文献 八．附录 详细的结果，详细的数据表格，可在此列出。 但不要错，错的宁可不列。 主要结果数据，应在正文中列出，不怕重复。 检查答卷的主要三点，把三关： n 模型的正确性、合理性、创新性 n 结果的正确性、合理性 n 文字表述清晰，分析精辟，摘要精彩
关于减肥计划的数学模型
2011第一学期数学建模选修课期末作业 名称：减肥计划 学号：1008054311 系别：计算机系 姓名：宛笛 上课时间：周四晚上 是否下学期上课：是
减肥计划 摘要:近年来,随着人们生活水平的提高,肥胖现象也日趋普遍,越来越多的人开始关注和解决肥胖问题,与此同时,各类减肥食品充斥市场,却达不到好的效果,或者不能维持,有的还会对消费者的身体带来一定损害. 本文中,我们建立了节食与运动的模型,通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体的前提下,达到减轻体重并维持下去的目标. 关键字:肥胖节食运动不伤害减轻体重 1问题重述 当今社会,人们对于健康越来越重视,而肥胖也成为困扰很多人的健康问题,肥胖者通过各种方式减肥,但很多人收效甚微,本文通过制定合理的节食和运动计划科学的直到肥胖者减肥. 2 问题分析 (1) 体重变化由体内能量守恒破坏引起; (2)人体通过饮食（吸收热量）引起体重增加; (3)代谢和运动（消耗热量）引起体重减少 3符号说明 1）K: 表示第几周； 2）ω(k):表示第k周的体重； 3）C(k):表示第k周吸收的热量； 4）α:表示热量转换系数[α =1/8000(kg/kcal)]; 5）β:表示代谢消耗系数（因人而异）; 6) β’:表示通过运动代谢消耗系数在原有的基础上增加,即可表为β’=β+β1, β1有运动形式和时间决定. 4模型假设 1）体重增加正比于吸收的热量——每8000千卡增加体重1千克； 2)代谢引起的体重减少正比于体重——每周每公斤体重消耗200千卡 ~ 320千卡(因人而异),相当于70千克的人每天消耗2000千卡 ~ 3200千卡； 3）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式有关； 4）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过1.5千克，每周吸收热量不要小于10000千卡。 5 减肥计划 事例：某甲体重100千克，目前每周吸收20000千卡热量，体重维持不变。现欲减肥至75千克。 1）在不运动的情况下安排一个两阶段计划。 第一阶段：每周减肥1千克，每周吸收热量逐渐减少，直至达到下限（10000千卡）； 第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标 2）若要加快进程，第二阶段增加运动，试安排计划。 3）给出达到目标后维持体重的方案。
全国大学生数学建模竞赛论文格式规范
全国大学生数学建模竞赛论文格式规范 ●本科组参赛队从A、B题中任选一题，专科组参赛队从C、D题中任选一题。（全国 评奖时，每个组别一、二等奖的总名额按每道题参赛队数的比例分配；但全国一等奖名额的一半将平均分配给本组别的每道题，另一半按每道题参赛队比例分配。） ●论文用白色A4纸单面打印；上下左右各留出至少2.5厘米的页边距；从左侧装订。 ●论文第一页为承诺书，具体内容和格式见本规范第二页。 ●论文第二页为编号专用页，用于赛区和全国评阅前后对论文进行编号，具体内容和 格式见本规范第三页。 ●论文题目、摘要和关键词写在论文第三页上，从第四页开始是论文正文，不要目录。 ●论文从第三页开始编写页码，页码必须位于每页页脚中部，用阿拉伯数字从“1”开 始连续编号。 ●论文不能有页眉，论文中不能有任何可能显示答题人身份的标志。 ●论文题目用三号黑体字、一级标题用四号黑体字，并居中；二级、三级标题用小四 号黑体字，左端对齐（不居中）。论文中其他汉字一律采用小四号宋体字，行距用单倍行距。打印文字内容时，应尽量避免彩色打印（必要的彩色图形、图表除外）。 ●提请大家注意：摘要应该是一份简明扼要的详细摘要（包括关键词），在整篇论文 评阅中占有重要权重，请认真书写（注意篇幅不能超过一页，且无需译成英文）。 全国评阅时将首先根据摘要和论文整体结构及概貌对论文优劣进行初步筛选。 ●论文应该思路清晰，表达简洁（正文尽量控制在20页以内，附录页数不限）。 ●在论文纸质版附录中，应给出参赛者实际使用的软件名称、命令和编写的全部计算 机源程序（若有的话）。同时，所有源程序文件必须放入论文电子版中备查。论文及程序电子版压缩在一个文件中，一般不要超过20MB，且应与纸质版同时提交。 ●引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料) 必须按照规定的参考文 献的表述方式在正文引用处和参考文献中均明确列出。正文引用处用方括号标示参考文献的编号，如[1][3]等；引用书籍还必须指出页码。参考文献按正文中的引用次序列出，其中书籍的表述方式为： ●[编号] 作者，书名，出版地：出版社，出版年。 ●参考文献中期刊杂志论文的表述方式为： ●[编号] 作者，论文名，杂志名，卷期号：起止页码，出版年。 ●参考文献中网上资源的表述方式为： ●[编号] 作者，资源标题，网址，访问时间（年月日）。 ●在不违反本规范的前提下，各赛区可以对论文增加其他要求（如在本规范要求的第 一页前增加其他页和其他信息，或在论文的最后增加空白页等）；从承诺书开始到论文正文结束前，各赛区不得有本规范外的其他要求（否则一律无效）。 ●本规范的解释权属于全国大学生数学建模竞赛组委会。
数学建模竞赛论文模板
数码相机定位模型（题目） 摘要 此处为摘要正文 一定要写好。主要写三个方面： 1. 解决什么问题（一句话） 2. 采取什么方法（引起阅卷老师的注意，不能太粗，也不能太细） 3. 得到什么结果（简明扼要、生动、公式要简单、必要时可采用小图表） 关键词：差分近似，误差补偿算法，Simpson积分公式3-5关键词即可
目录 1.问题重述..........................................................................................................................错误！未定义书签。 2.模型假设..........................................................................................................................错误！未定义书签。 3.符号说明..........................................................................................................................错误！未定义书签。…………………………… 说明：目录页可以没有，如果内容比较多，可以有目录页
一问题重述 二问题分析 三模型假定 四问题分析 五模型建立与求解
六模型检验 七模型评价 八模型推广结合社会实际问题
九参考文献 [1] 吕显瑞等,数学建模竞赛辅导教材,长春：吉林大学出版社,2002。 [2] 刘来福,曾文艺,数学模型与数学建模北京：北京师范大学出版社，1997。 [3] 陈如栋,于延荣,数学模型与数学建模，北京：国防工业出版社,2006。 [4] 姜启源,谢金星,叶俊,数学模型（第三版），北京：高等教育出版社,2003。 [5] 梁炼，数学建模。华东理工大学大学出版社 2005.3。 [6] 周义仓，赫孝良，西安交通大学出版社，1998.8。 [7] 邓俊辉译,计算几何-算法与应用（第二版）北京：清华大学出版社，2005.9。 [8] 刘卫国，MATLAB程序设计教程，北京：中国水电水利出版社,2005。 [9] 熊慧,论人口预测对上海市未来十年人口总数的预测,人口研究,28(1):88-90,2003。 [10] 2003年国民经济和社会发展统计公报，https://www.360docs.net/doc/b23046819.html,。2008年9月20日。
数学建模减肥计划
减肥计划——节食与运动 摘要：肥胖已成为公众日益关注的卫生健康问题。肥胖是与目前严重危害人类健康疾病，如糖尿病、高血压、冠心病、血脂异常、胆囊疾病、痛风、骨关节病、阻塞性睡眠呼吸暂停、某些癌症等的发病有明显相关的危险因素之一。但是实际情况确是违禁广告屡禁不止。之所以造成这种情况的原因很多，但是有一个重要原因就是科学素质低，不知道应该从生理机理，特别是从数学模型的角度来考虑和认识问题。数学模型的优点是科学的解释了肥胖的机理，引导群众合理科学的减肥。 关键词：减肥饮食合理运动 一、问题重述 联合国世界卫生组织颁布的体重指数（简记BMI）定义为体重（单位：kg）除以身高（单位：m）的平方，规定BMI在18.5至25为正常，大于25为超重，超过30则为肥胖。据悉，我国有关机构对东方人的特点，拟将上述规定中的25改为24，30改为29。 在国人初步过上小康生活以后，不少自感肥胖的人纷纷奔向减肥食品的柜台。可是大量事实说明，多数减肥食品达不到减肥的目标，或者即使能减肥一时，也难以维持下去。许多医生和专家的意见是，只有通过控制饮食和适当的运动，才能在不伤害身体的条件下，达到减轻体重并维持下去的目的。 肥胖是与目前严重危害人类健康疾病，如糖尿病、高血压、冠心病、血脂异常、胆囊疾病、痛风、骨关节病、阻塞性睡眠呼吸暂停、某些癌症等的发病有明显相关的危险因素之一。肥胖也是身体健康的晴雨表，反映着体内多方面的变化。很多人在心理上害怕自己变得肥胖，追求苗条，因而减肥不仅是人们经常听到的话题，更有人花很多的时间和金钱去付诸实践的活动，从而也就造成了各种减肥药、器械和治疗方法的巨大的市场。各种假药或对身体有害的药品和治疗方法、夸大疗效的虚假广告等等就应运而生了，对老百姓造成了不应有的伤害。 情况的严重使得国家广电总局、新闻出版总署等不得不发出通知，命令所有电视台自2006年8月1日起停止播出丰胸、减肥等产品的电视购物节目。但是实际情况确是违禁广告屡禁不止。之所以造成这种情况的原因很多，但是有一个重要原因就是科学素质低，不知道应该从生理机理，特别是从数学模型的角度来考虑和认识问题。 二、模型分析
华南师范大学数学建模竞赛论文格式规范
华南师范大学数学建模竞赛论文格式规范 ●参赛队从A、B题中任选一题，在组委会公布的比赛时间内完成一篇论 文。 ●论文（答卷）用白色A4纸单面打印，上下左右各留出至少2.5厘米的 页边距。 ●论文第一页为承诺书，具体内容和格式见本规范第三页。 ●论文第二页为编号专用页，用于评阅前后对论文进行编号，具体内容和 格式见本规范第四页。 ●论文题目和摘要写在论文第三页上，从第四页开始是论文正文。 ●论文（从论文题目和摘要那一页开始，直到附录结束）每一页的顶部都 需要有参赛队的参赛报名号以及页码。我们建议在每页上使用页眉，例如： 参赛报名号 # 321 第 1 页 共 20 页 ●论文题目用三号黑体字、一级标题用四号黑体字，并居中。论文中其他 汉字一律采用小四号宋体字，行距用单倍行距，打印时应尽量避免彩色打印。 ●摘要应该是一份简明扼要的详细摘要（包括关键词），在整篇论文评阅 中占有重要权重，请认真书写（注意篇幅不能超过一页，不应该包含图表，且无需译成英文）。评阅时将首先根据摘要和论文整体结构及概貌对论文优劣进行初步筛选。 ●引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料) 必须按照规 定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中均明确列出。正文引用处用方括号标示参考文献的编号，如[1][3]等；引用书籍还必须指出页码。参考文献按正文中的引用次序列出，其中书籍的表述方式为：[编号] 作者，书名，出版地：出版社，出版年。 参考文献中期刊杂志论文的表述方式为： [编号] 作者，论文名，杂志名，卷期号：起止页码，出版年。 参考文献中网上资源的表述方式为： [编号] 作者，资源标题，网址，访问时间（年月日）。 ●必须以附录的形式提供论文中所用到的程序的全部源代码。计算结果和 相关的图表如果篇幅过长，也可以放入附录。 ●参赛队按组委会的规定提交的论文电子版，必须与打印版一致。承诺书 和编号专用页为第一个Word文件，以“承诺书”加参赛报名号为文件名，例如： 承诺书
数学建模_微分方程之减肥问题
摘要：在研究实际问题时，常常会联系到某些变量的变化率或导数，这样所得到变量之间的关系式就是微分方模型。微分方程模型反映的是变量之间的间接关系，因此，在研究能量与运动之间的关系时，得到直接关系，就得求微分方程。 本文利用了微分方程模型求解实际问题，根据基本规律写出了平衡关系式，再利用一定的转换条件进行转化为简单明了的式子，求解出结果，对于第一问，利用微分方程反解出时间t（天），从而得到每个人达到自己理想目标的天数，同理，对于第二和第三问，利用以上方法，加上运动所消耗的能量，也可得出确切的时间，和所要保持体重所消耗的能量。 【关键字】：微分方程转化能量转换系数 1.问题重述 现有五个人，身高、体重和BMI指数分别入下表一所示，体重长期不变，试为他们按照以下方式制定减肥计划，使其体重减至自己的理想目标，并维持下去： 题目要求如下： （1）在基本不运动的情况下安排计划，，每天吸收的热量保持下限，减肥达到目标； （2）若是加快进程，增加运动，重新安排计划，经过调差资料得到以下各项运动每小时每kg体重的消耗的热量入下表二所示： （3）给出达到目标后维持体重的方案。 2. 问题的背景与分析 随着社会的进步和发展，人们的生活水平在不断提高，饮食营养摄入量的改
善和变化、生活方式的改变，使得肥胖成了社会关注的一个问题，为此，联合国世界卫生组织曾颁布人体体重指数（简记BMI ）：体重（单位：kg ）除以身高（单位：m ）的平方，规定BMI 在18.5至25为正常,大于25为超重,超过30则为肥胖,据悉我国有关机构针对东方人的特点,拟将上述规定中的25改为24.,30改为29。无论从健康的角度,是从审美的角度,人们越来越重视减肥,大量的减肥机构和商品出现.不少自感肥胖的人加入了减肥的行列,盲目的减肥,使得人们感到不理想,如何对待减肥问题,不妨通过组建模型,从数学的角度,对有关的规律作一些探讨和分析。 根据背景知识，我们知道任何人通过饮食摄取的能量不能低于用于维持人体正常生理功能所需要的能量，因此作为人体体重极限值的减肥效果指标一定存在一个下限1ω，当1*ωω<时表明能量的摄入过低并致使维持他本人正常的生理功能的所需，这是减肥所得到的结果不能认为是有效的，它将危机人的身体健康，是危险的，称1ω为减肥的临界指标，另外，人们认为减肥所采取的各种体力运动对能量的消耗也有一个所能承受的范围，记为0 东北大学数学建模竞赛论文格式规范和规则 参赛队从A、B题中任选一题。 １.论文用白色A4纸单面打印；上下左右各留出至少2.5厘米的页边距；从左侧装订。２.论文的第一页为封面页（本文档最后一页），根据中心安排的参赛编号填写参赛编号和选择题目，保留你选择的题目前的√号即可。 ３.论文题目和摘要写在论文第二页上，从第三页开始是论文正文。 ４.论文从第三页开始编写页码，页码必须位于每页页脚中部，用阿拉伯数字从“1”开始连续编号。 ５.论文不能有页眉，论文中不能有任何可能显示答题人身份的标志。 ６.论文题目用三号黑体字、一级标题用四号黑体字，并居中。论文中其他汉字一律采用小四号宋体字，行距用单倍行距，打印时应尽量避免彩色打印。 ７.提请大家注意：摘要应该是一份简明扼要的详细摘要（包括关键词），在整篇论文评阅中占有重要权重，请认真书写（注意篇幅不能超过一页，且无需译成英文）。评阅时将首先根据摘要和论文整体结构及概貌对论文优劣进行初步筛选。 ８.引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料) 必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中均明确列出。正文引用处用方括号标示参考文献的编号，如[1][3]等；引用书籍还必须指出页码。解答过程中使用的数据不得引用文献类型（１）（２）（３）（４）中出现的数据，引用数据必须表明出处。 各类文献的表述格式如下（其它类型文献不得引用）： （1）专著格式： 序号. 编著者1，编著者2，编著者3等. 书名[M]. 出版地：出版社，年代：页码. （2）期刊论文格式： 序号. 编著者1，编著者2，编著者3等. 论文名称[J]. 期刊名称，年度，卷（期）：起止页码. （3）会议论文格式： 序号. 编著者1，编著者2，编著者3等. 论文名称[C]//会议名称，会议举办地，年度，起止页码. （4）学位论文格式： 序号. 编著者1，编著者2，编著者3等. 学位论文名称[D]. 发表地：学位授予单位，年度：页码. （5）电子文献格式： 序号. 作者. 电子文献题名(电子文献及载体类型标识). 电子文献的出处或可获得地址,发表或更新日期/引用日期。只考虑两种电子文献： ［DB/OL］—联机网上数据库(database online) ［EB/OL］—网上电子公告(electronic bulletin board online) 样例： [1]Peitgen H O, Jurgens H, Saupe D. Chaos and fractals[M]. Berlin: Springer-Verlag, 1992:202-213. [2]Zhao Shi, Wang Yi-ding, Wang Yun-hong. Extracting hand vein patterns from low-quality images: a new biometric technique using low-cost devices[C]// Fourth International Conference on Image and Graphics. Sichuan, 2007:667-671. . . 减肥计划——节食与运动 摘要：肥胖已成为公众日益关注的卫生健康问题。肥胖是与目前严重危害人类健康疾病，如糖尿病、高血压、冠心病、血脂异常、胆囊疾病、痛风、骨关节病、阻塞性睡眠呼吸暂停、某些癌症等的发病有明显相关的危险因素之一。但是实际情况确是违禁广告屡禁不止。之所以造成这种情况的原因很多，但是有一个重要原因就是科学素质低，不知道应该从生理机理，特别是从数学模型的角度来考虑和认识问题。数学模型的优点是科学的解释了肥胖的机理，引导群众合理科学的减肥。 关键词：减肥饮食合理运动 一、问题重述 联合国世界卫生组织颁布的体重指数（简记BMI）定义为体重（单位：kg）除以身高（单位：m）的平方，规定BMI在18.5至25为正常，大于25为超重，超过30则为肥胖。据悉，我国有关机构对人的特点，拟将上述规定中的25改为24，30改为29。 在国人初步过上小康生活以后，不少自感肥胖的人纷纷奔向减肥食品的柜台。可是大量事实说明，多数减肥食品达不到减肥的目标，或者即使能减肥一时，也难以维持下去。许多医生和专家的意见是，只有通过控制饮食和适当的运动，才能在不伤害身体的条件下，达到减轻体重并维持下去的目的。 肥胖是与目前严重危害人类健康疾病，如糖尿病、高血压、冠心病、血脂异常、胆囊疾病、痛风、骨关节病、阻塞性睡眠呼吸暂停、某些癌症等的发病有明显相关的危险因素之一。肥胖也是身体健康的晴雨表，反映着体多方面的变化。很多人在心理上害怕自己变得肥胖，追求苗条，因而减肥不仅是人们经常听到的话题，更有人花很多的时间和金钱去付诸实践的活动，从而也就造成了各种减肥药、器械和治疗方法的巨大的市场。各种假药或对身体有害的药品和治疗方法、夸大疗效的虚假广告等等就应运而生了，对老百姓造成了不应有的伤害。 情况的严重使得国家广电总局、新闻出版总署等不得不发出通知，命令所有电视台自2006年8月1日起停止播出丰胸、减肥等产品的电视购物节目。但是实际情况确是违禁广告屡禁不止。之所以造成这种情况的原因很多，但是有一个重要原因就是科学素质低，不知道应该从生理机理，特别是从数学模型的角度来考虑和认识问题。 二、模型分析 数学建模竞赛中的论文写作 在数学建模竞赛中,每个参赛队要提交一篇论文,内容是利用数学方法解决一个实际问题。完成这篇论文有三个“工序”：第一,建立数学模型,即把实际问题转化为数学问题:第二,利用计算机及其他工具解决所得的实际问题:第三,将所得的结果写成论文,这篇论文不仅要使专家能看懂,而且要使数学知识相对少的管理者以及公众也能了解建模的基本思想和解决问题的方案。 论文写作是竞赛的关键环节。许多参赛队所得的结果,从数学上看并不差,然而没有清楚地说明建模思想,问题分析不深入,也未能阐明结果的实际意义,成绩自然不理想。 论文的评阅标准是四句话:假设的合理性,建模的创造性,结果的正确性和文字清晰性。每个参赛队员都要牢记这四句话。 论文的语言应该准确、简洁,使评阅人能很快地找到论文最精彩的部分,迅速地领会到你的建模思想,了解解决问题的方案。论文的主体一般不应超过一万字(大约10页),次要的内容,详尽的推导可以作为附录。一般来说,只有最好的论文,评阅人才会花较长的时间去读,所以如果你的论文过于冗长,是很难得到好成绩的。语言要鲜明生动。科学论文最重要的当然是准确性,不允许夸张或虚假。但在准确的基础上要尽量鲜明生动,这将会给评阅入一个良好的印象。有些参赛论文写得象某些数学教科书:定理...证明...定理...证明(这样的教科书不一定很受欢迎),使人看了打瞌睡,而且没有说清楚建模思想,读起来很费力,自然难以得到好成绩。 根据竞赛的要求,整篇文章应包含以下部分:摘要(约300~500字),问题的重述,假设,模型建立与模型分析,模型的稳定性,模型评价等部分。摘要在整篇文章中起着“画龙点睛”的作用。应以最简洁的语言,将全文中最精彩的部分展示在评阅人的面前。要有“广告”的意识,摘要就是你的论文的“广告”。如果你的论文摘要能够吸引评阅人的注意力,你就成功了一半。 摘要的内容可用三个词概括:问题、方法、结果。首先用一两句话概括所解决的问题,其次简要说明建模的主要思路和方法，最后列举得到的主要结果。一定要鲜明地指出文章的特色。语言要简洁,避免难以理解的名词。必要时,可用1~2个简洁的公式来说明主要思想或结果。如果结果比较复杂,也可用图表说明。摘要一定要精心推敲,删去所有废话,做到“字字珠矶”。 问题重述最好不要照抄原题。可适当介绍建模思想(类似小说中的“引子”)特别是对于提法过泛的问题(美国赛题有很多这种类型),可适当将问题具体化。 假设是论文中的重要一环。记住评阅标准的第一条:假设的合理性。假设的主要目的是将常识判断、其他科学的语言等等转化为精确的数学语言。这是数学建模的基础。因此一定要使用规范化的数学语言、准确的数学概念。 例如MCM95B题:快速评卷的方案设计,要求设计评阅数学建模竞赛卷的方案。一般的参赛队都会提出这样的假设:每位评阅人都是公平的。这句话当然没 数学建模期末大作业 减肥计划的模型 第十小组 摘要：随着社会的发展和人们生活水平的逐步提高，越来越多的意识到健身的重要性，运动减肥是健身运动的一个重要组成部分。本文是通过建立减肥模型寻求合理的减肥方法，并从饮食和运动两方面来具体分析。根据不同运动消耗的能量不同， BMI定义为体重（单位：kg）除以身高（单位：m）的平方，是联合国世界卫生组织颁布的体重指数，规定BMI在18.5至25为正常，大于25为超重，超过30则为肥胖。我国有关部门针对东方人特点，拟将上述规定中的25、30分别改为24、29。本文为改善肥胖者体重，建立数学模型，通过分段法（降重、保重、加速等阶段），制定出减肥计划供肥胖者参考。最终确定最佳减肥方案。 关键词：运动饮食饮食热量转换代谢消耗合理减肥 MATLAB 问题分析： 某甲身高1.7m，体重100kg，BMI值高达34.6。目前每周吸收20000kcal热量，现为其制定减肥计划，令其体重减至75kg并且维持下去。 计划如下： 1.降重阶段：在不运动条件下，每周体重减少1kg，每周吸收 热量逐渐减少，直至达到安全的下限(10000kcal)。 2.保重阶段：在不运动条件下，每周吸收热量保持下限，减肥 达到目标（75kg）。 模型假设： 1.体重增加正比于吸收的热量，平均每8000kcal增加体重1kg。 2.正常代谢引起的体重减少正比于体重，每周每kg体重消耗热 量一般在200kcal至320kcal之间，且因人而异。 3.运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式有关。 4.为了安全与健康，每周体重减少不宜超过1.5kg，每周吸收热 量不要小于10000kcal。 模型建立： 记第k周末体重为W(k)，吸收热量为C(k); 热量转换系数为：a=1/8000 (kg/kcal); 代谢消耗系数为：b； 体重每周减少B=1kg; 在不考虑运动的情况下体重变化的基本方程为： W(k+1)=W(k)-b*W(k)+a*C(k+1) (k=0,1,2…) (1式) 则当某甲减肥前体重不变时，由（1式）得： W=W-b*W+a*C (A式) 1.降重：要求体重每周减少B，吸收热量减至下限C0,即： W(k)-W(k+1)=B (2式) W(k)=W(0)-B*k (3式) 由(1式)得： W(k)-W(k+1)=b*W(k)-a*C(k+1) (B式) 将(2、3式)代入上式得： 第五届MathorCup全球大学生数学建模挑战赛暨CAA 2015世界大学生数学建模竞赛论文格式及提交规范 ●参赛队从A、B、C、D题中任选一题。（A题和B题为传统的数学建模竞赛题，C 题和D题为信息交叉学科的题目；评奖时，一、二、三等奖的总名额按每道题参赛队数的比例分配。） ●参赛队通过竞赛报名系统提交电子版论文（参见《第五届MathorCup全球大学生数 学建模挑战赛暨CAA 2015世界大学生数学建模竞赛报名和参赛须知》，以下简称“报名和参赛须知”）。参赛队统一提交压缩包，压缩包的名称为“***#.zip”或者“***#.rar”，其中“***”为参赛队号，“#”为题号。比如“0001B.zip”或者“0001B.rar”。 ●压缩包内必须包含承诺书（见《第五届MathorCup全球大学生数学建模挑战赛暨CAA 2015世界大学生数学建模竞赛承诺书》）、论文的PDF文件。承诺书的名称为“***承诺书.pdf”，论文名称为“***.pdf”其中“***”为参赛队号。比如0001参赛队提交的压缩包名称为“0001B.zip”或者“0001B.rar”，压缩包内含有两个PDF文件，一个为“0001承诺书.pdf”，另一个为“0001.pdf”。 ●论文题目、摘要和关键词写在论文第一页上（无需译成英文），并从此页开始编写 页码；页码必须位于每页页脚中部，用阿拉伯数字从“1”开始连续编号。注意：摘要应该是一份简明扼要的详细摘要，请认真书写（但篇幅不能超过一页）。 ●论文第二页为目录页，所有参赛队论文必须包含目录（但篇幅不能超过一页）。 ●从第三页开始是论文正文。论文不能有页眉或任何可能显示答题人身份和所在学校 等的信息。 ●论文应该思路清晰，表达简洁（正文尽量控制在30页以内，附录页数不限）。 ●引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料) 必须按照规定的参考文 献的表述方式在正文引用处和参考文献中均明确列出。正文引用处用方括号标示参考文献的编号，如[1][3]等；引用书籍还必须指出页码。参考文献按正文中的引用次序列出，其中书籍的表述方式为： [编号] 作者，书名，出版地：出版社，出版年。 参考文献中期刊杂志论文的表述方式为： [编号] 作者，论文名，杂志名，卷期号：起止页码，出版年。 参考文献中网上资源的表述方式为： [编号] 作者，资源标题，网址，访问时间（年月日）。 ●在论文纸质版附录中，应提供参赛者实际使用的软件名称、命令和编写的全部计算 机源程序（若有的话）。同时，参赛队的所有源程序文件必须保存至正式获奖名单公布。 ●本规范中未作规定的，如排版格式（字号、字体、行距、颜色等）不做统一要求， 但要保持页面美观。 ●不符合本格式规范的论文将被视为违反竞赛规则，无条件取消评奖资格。 ●本规范的解释权属于MathorCup全球大学生数学建模挑战赛组委会。 MathorCup全球大学生数学建模挑战赛组委会 2015年3月3日修订数学建模竞赛论文格式规范和规则
数学建模减肥计划
数学建模竞赛中的论文写作
减肥计划模型建立
第五届MathorCup全球大学生数学建模挑战赛暨CAA 2015世界大学生数学建模竞赛论文格式规范