基本不等式及其应用复习讲义
第2节基本不等式及其应用
最新考纲1?了解基本不等式的证明过程；2?会用基本不等式解决简单的最大(小)
值问题.
I基础摻断丨回归敦材，夯实基础
知识梳理
1. 基本不等式：w
(1) 基本不等式成立的条件：a>0, b>0.
(2) 等号成立的条件：当且仅当时取等号?
(3) 其中称为正数a, b的算术平均数，称为正数a, b的几何平均数.
2. 两个重要的不等式
⑴a2+ b2> 2(a, b€ R)，当且仅当a= b时取等号.
⑵w (a, b€ R)，当且仅当a= b时取等号.
3. 利用基本不等式求最值
已知x>0, y>0,贝U
(1) 如果积是定值p,那么当且仅当x^y时，x+ y有最小值是2(简记：积定和最小).
(2) 如果和x+y是定值s,那么当且仅当x^y时，有最大值是(简记：和定积最大)?［常用结论与微点提醒］
1 + > 2(a, b同号)，当且仅当a= b时取等号.
2ww .
3www (a>0, b>0).
4. 连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致.
诊断自测
1?思考辨析(在括号内打“V”或“X”)
(1)两个不等式a2+ b2>2与》成立的条件是相同的.()
⑵函数尸x+的最小值是2.( )
⑶函数f(x) = x+ x)的最小值为4.( )
(4) x> 0且y>0是+》2的充要条件.( )
解析(1)不等式a2+ b2>2成立的条件是a, b€ R；
不等式》成立的条件是a> 0, b> 0.
⑵函数y= x+值域是(—％,—2] U [2 ,+x)，没有最小值.
⑶函数f(x) = x+ x)的最小值为一5.
⑷x>0且y>0是+》2的充分不必要条件.
答案(1)X ⑵X ⑶X ⑷X
2. 设x>0, y>0,且x+y= 18,则的最大值为()
A.80
B.77
C.81
D.82
解析81,当且仅当x=y= 9时取等号.
答案C
3若函数f(x) = x+ (x>2)在x= a处取最小值，则a等于()
A.1+
B.1+
C.3
D.4
解析当x>2 时，x—2>0, f(x) = (x —2)++ 2>2 + 2 = 4,当且仅当x —2= (x>2), 即x= 3时取等号，即当f(x)取得最小值时，即a = 3.
答案C
4. (2017山东卷)若直线+= 1(a>0, b>0)过点(1, 2),贝U 2a + b的最小值为.
解析由题设可得+= 1 ,va>0, b>0,
?'?2a+ b= (2a + b) = 2 +—I—+ 2》4+ 2= 8.
故2a+ b 的最小值为8.
答案8
5. (教材习题改编)一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m,则这个矩形的长为，宽为时菜园面积最大.
解析设矩形的长为x m，宽为y m则x+ 2y= 30,所以S= = x (2y)< =，当且
仅当x=2y,即x= 15, 丫=时取等号.
答案15
I考点突破际；：:-彩卩卩T咅师彳牛斛分类讲练.议例求法
考点一配凑法求最值
【例1】(1)若X V,则f(x) = 4x—2+的最大值为;
(2)函数y二的最大值为.
解析(1)因为X V,所以5 —4x>0,
则f(x) = 4x—2+ = — + 3<
—2+ 3= — 2 + 3= 1.
当且仅当5 —4x=，即卩x= 1时，等号成立.
故f(x) = 4x—2+的最大值为1.
⑵令t => 0,贝U x=t2+ 1,
所以y==.
当t= 0, 即卩x= 1 时，y= 0；
当t>0,即x> 1 时，y=,
因为t +> 2 = 4(当且仅当t= 2时取等号),
所以y= < ,
即y的最大值为(当t = 2,即x= 5时y取得最大值).
答案(1)1 (2)
规律方法 1.应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“ 一正”“定”“三相等” ?所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件.
2.在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常
数的形式，然后再利用基本不等式.
【训练1】(1)(2018西安月考)若对任意x> 1,不等式x+—1>a恒成立，则实数a 的取值范围是.
⑵函数尸(x>1)的最小值为.
解析(1)因为函数f(x) = x+—1在［1 ,+x)上单调递增，所以函数g(x) = x+ 1 + —2在［0, +^)上单调递增，所以函数g(x)在［1, +^)的最小值为g(1)=，因此对任意x> 1不等式x+ —1 >a恒成立，所以a< g(x)最小值=，故实数a的取值范围是.
⑵―
=(x—1)++ 2> 2+ 2.
当且仅当x— 1 =，即卩x=+ 1时，等号成立.
答案(1) (2)2+ 2
考点二常数代换或消元法求最值(易错警示)
【例2】(1)(一题多解)若正数x，y满足x+ 3y = 5,则3x+4y的最小值为；
(2)(一题多解)已知x>0, y>0, x+ 3y+ = 9,贝U x+ 3y的最小值为.
解析(1)法一由x+ 3y= 5 可得+= 1 ，
?'3x+ 4y= (3x + 4y)
= + + + > + = 5(当且仅当=，即x= 1, 丫=时，等号成立),
?'3x+ 4y的最小值是5.
法二由x+ 3y= 5，得x=，
'?x>0, y>0,；y>,
?'3x+ 4y= + 4y= + 4y=+?44
当且仅当y=时等号成立，???(3x+ 4y)= 5.
⑵由已知得x=.
法一(消元法)
因为x>0, y>0,所以0v y v3,
所以x+ 3y= + 3y
=+ 3(y+ 1) —6> 2 — 6 = 6,
当且仅当二3(y+ 1),
即y= 1, x= 3 时, (x+ 3y)= 6.
法二v x>0, y>0,
9—(x+ 3y)= = x (3y)< ?,
当且仅当x= 3y 时等号成立.
2
设x+ 3y=t>0,贝U t + 12t—108》0,
?'(t —6)(t+ 18)》0,又v t>0,.?.t》6.
故当x= 3, y= 1 时，(x+ 3y) = 6.
答案(1)5 (2)6
规律方法条件最值的求解通常有三种方法：一是消元法, 即根据条件建立两个量之间的函数关系, 然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形,利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子, 然后利用基本不等式求解最值；三是对条件使用基本不等式,建立所求目标函数的不等式求解.
易错警示(1)利用基本不等式求最值,一定要注意应用条件；(2)尽量避免多次使用基本不等式,若必须多次使用,一定要保证等号成立的条件一致.
【训练2】(1)已知x, y均为正实数，且+ =，则x+ y的最小值为()
A.24
B.32
C.20
D.28
⑵(2018石家庄质检)已知直线I: + — = 0(a>0, b>0)经过点(2, 3),贝U a+ b的最小值为.
解析(1)：x, y均为正实数，且+ =,
则x+ y= (x+ 2 + y+ 2) —4
=6(x+ 2+ y+ 2) — 4
=6—4
> 6X —4 = 20,
当且仅当x= y= 10时取等号.
?'?x + y的最小值为20.
故选 C.
(2)因为直线I 经过点(2, 3),所以2a+ 3b—= 0,所以b= >0,所以a—3>0,所以a+ b= a+ = a —3+ + 5>5 + 2 = 5 + 2,当且仅当a—3=,即卩a= 3+, b= 2+ 时等号成立.
答案(1)C (2)5+ 2
考点三基本不等式在实际问题中的应用
【例3】运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130 千米,按交通法规限制
50 (1) 求这次行车总费用y 关于x 的表达式； (2) 当x 为何值时,这次行车的总费用最低,并求出最低费用的值. 解(1)设所用时间为t= (h), y=X 2X+ 14X, x€ [50, 100]. 所以，这次行车总费用y关于x的表达式是y= + x, x€ [50, 100] (或y= 340) + x, x€ [50, 100]). (2)y=+ x> 26, 当且仅当二X, 即x= 18时等号成立. 故当x= 18千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为26元. 规律方法 1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数. 2. 根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值. 3. 在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围) 求解? 【训练3】2016年11月3日20点43分我国长征五号运载火箭在海南文昌发射中心成功发射，它被公认为我国已从航天大国向航天强国迈进的重要标志.长征五号运载火箭的设计生产采用了很多新技术新材料，甲工厂承担了某种材料的生产，并以x千克/时的速度匀速生产(为保证质量要求Kx< 10)，每小时可消耗A 材料2+ 9千克，已知每小时生产1千克该产品时，消耗A材料10千克. (1) 设生产m千克该产品，消耗A材料y千克，试把y表示为x的函数. (2) 要使生产1 000千克该产品消耗的A材料最少，工厂应选取何种生产速度？并求消耗的A材料最少为多少？ 解(1)由题意，得k+ 9= 10,即k= 1,生产m千克该产品需要的时间是， 所以y= (2+ 9)=，x€ [1，10]. ⑵由(1)知，生产1 000千克该产品消耗的A材料为y= 1 000> 1 000X 2 = 6 000, 当且仅当x=，g卩x= 3时，等号成立，且3€ [1，10]. 故工厂应选取3千克/时的生产速度，消耗的A材料最少，最少为6 000千克. I课乍业另层训练■，提升能力 基础巩固题组 (建议用时：30分钟) 一、选择题 1. 下列不等式一定成立的是() > x(x>0)