J单元 计数原理

数 学

J 单元 计数原理

J1 基本计数原理 10．、[2014·福建卷] 用a 代表红球，b 代表蓝球，c 代表黑球．由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1＋a )(1＋b )的展开式1＋a ＋b ＋ab 表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a ”表示取出一个红球、而“ab ”则表示把红球和蓝球都取出来．依此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是( )

A ．(1＋a ＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)(1＋b 5)(1＋c )5

B ．(1＋a 5)(1＋b ＋b 2＋b 3＋b 4＋b 5)(1＋c )5

C ．(1＋a )5(1＋b ＋b 2＋b 3＋b 4＋b 5)(1＋c 5)

D ．(1＋a 5)(1＋b )5(1＋c ＋c 2＋c 3＋c 4＋c 5)

10．A [解析] 从5个无区别的红球中取出若干个球，可以1个球都不取、或取1个、2个、3个、4个、5个球，共6种情况，则其所有取法为1＋a ＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5；从5个无区别的蓝球中取出若干个球，由所有的蓝球都取出或都不取出，得其所有取法为1＋b 5；从5个有区别的黑球中取出若干个球，可以1个球都不取、或取1个、2个、3个、4个、5个

球，共6种情况，则其所有取法为1＋C 15c ＋C 25c 2＋C 35c 3＋C 45c 4＋C 55c 5＝(1＋c )5

，根据分步乘法计数原理得，适合要求的所有取法是(1＋a ＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)(1＋b 5)(1＋c )5.

J2 排列、组合 13．[2014·北京卷] 把5件不同产品摆成一排．若产品A 与产品B 相邻，且产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有________种．

13．36 [解析] A 33A 22A 1

3＝6×2×3＝36. 8．、[2014·广东卷] 设集合A ＝{(x 1，x 2，x 3，x 4，x 5)|x i ∈{－1，0，1}，i ＝1，2，3，4，5}，那么集合A 中满足条件“1≤|x 1|＋|x 2|＋|x 3|＋|x 4|＋|x 5|≤3”的元素个数为( )

A ．60

B ．90

C ．120

D ．130

8．D [解析] 本题考查排列组合等知识，考查的是用排列组合思想去解决问题，主要根据范围利用分类讨论思想求解．由“1≤|x 1|＋|x 2|＋|x 3|＋|x 4|＋|x 5|≤3”考虑x 1，x 2，x 3，x 4，x 5的可能取值，设集合M ＝{0}，N ＝{－1，1}．

当x 1，x 2，x 3，x 4，x 5中有2个取值为0时，另外3个从N 中取，共有C 25×23

种方法；

当x 1，x 2，x 3，x 4，x 5中有3个取值为0时，另外2个从N 中取，共有C 35×22种方法；

当x 1，x 2，x 3，x 4，x 5中有4个取值为0时，另外1个从N 中取，共有C 45×2种方法．

故总共有C 25×23＋C 35×22＋C 4

5×2＝130种方法， 即满足题意的元素个数为130. 11．、[2014·广东卷] 从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为________．

11.1

6 [解析] 本题主要考查古典概型概率的计算，注意中位数的求法．从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，有C 710种方法，若七个数的中位数是6，则只需从

0，1，2，3，4，5中选三个，从7，8，9中选三个不同的数即可，有C 36C 3

3种方法．故这七

个数的中位数是6的概率P ＝C 36C 33C 710＝1

6

.

6．[2014·辽宁卷] 6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( ) A ．144 B ．120 C ．72 D ．24

6．D [解析] 这是一个元素不相邻问题，采用插空法，A 33C 3

4＝24. 5．[2014·全国卷] 有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有( )

A ．60种

B ．70种

C ．75种

D ．150种

5．C [解析] 由题意，从6名男医生中选2名，5名女医生中选1名组成一个医疗小

组，不同的选法共有C 26C 1

5＝75(种)．

6．[2014·四川卷] 六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( )

A ．192种

B ．216种

C ．240种

D ．288种

6．B [解析] 当甲在最左端时，有A 55＝120(种)排法；当甲不在最左端时，乙必须在最

左端，且甲也不在最右端，有A 11A 14A 4

4＝4×24＝96(种)排法，共计120＋96＝216(种)排法．故选B.

14．[2014·浙江卷] 在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种．(用数字作答)

14．60 [解析] 分两种情况：一种是有一人获得两张奖券，一人获得一张奖券，有C 23A 2

4

＝36种；另一种是三人各获得一张奖券，有A 34

＝24种．故共有60种获奖情况． 9．[2014·重庆卷] 某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )

A ．72

B ．120

C ．144

D ．168

9．B [解析] 分两步进行：(1)先将3个歌舞进行全排，其排法有A 33种；(2)将小品与相声插入将歌舞分开，若两歌舞之间只有一个其他节目，其插法有2A 33种．若两歌舞之间有两

个其他节目时插法有C 12A 22A 22种．所以由计数原理可得节目的排法共有A 33(2A 33＋C 12A 22A 22)＝

120(种)．

J3 二项式定理

13．[2014·安徽卷] 设a ≠0，n 是大于1的自然数，???

?1＋x a n

的展开式为a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n .若点A i (i ，a i )(i ＝0，1，2)的位置如图1-3所示，则a ＝________.

图1-3

13．3 [解析] 由图可知

a 0

＝1，a 1

＝3，a 2

＝4，由组合原理知???C 1n

·1

a ＝a 1

＝3，

C 2n

·1

a 2

＝a 2

＝4，

故

???

n

a

＝3，n （n －1）a 2

＝8，

解得 ?

????n ＝9，a ＝3.

10．、[2014·福建卷] 用a 代表红球，b 代表蓝球，c 代表黑球．由加法原理及乘法原理，

从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1＋a )(1＋b )的展开式1＋a ＋b ＋ab 表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a ”表示取出一个红球、而“ab ”则表示把红球和蓝球都取出来．依此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是( )

A ．(1＋a ＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)(1＋b 5)(1＋c )5

B ．(1＋a 5)(1＋b ＋b 2＋b 3＋b 4＋b 5)(1＋c )5

C ．(1＋a )5(1＋b ＋b 2＋b 3＋b 4＋b 5)(1＋c 5)

D ．(1＋a 5)(1＋b )5(1＋c ＋c 2＋c 3＋c 4＋c 5)

10．A [解析] 从5个无区别的红球中取出若干个球，可以1个球都不取、或取1个、2个、3个、4个、5个球，共6种情况，则其所有取法为1＋a ＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5；从5个无区别的蓝球中取出若干个球，由所有的蓝球都取出或都不取出，得其所有取法为1＋b 5；从5个有区别的黑球中取出若干个球，可以1个球都不取、或取1个、2个、3个、4个、5个

球，共6种情况，则其所有取法为1＋C 15c ＋C 25c 2＋C 35c 3＋C 45c 4＋C 55c 5＝(1＋c )5

，根据分步乘法计数原理得，适合要求的所有取法是(1＋a ＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)(1＋b 5)(1＋c )5.

2．[2014·湖北卷] 若二项式????2x ＋a x 7的展开式中1x 3的系数是84，则实数a ＝( )

A ．2 B.5

4 C ．1 D.24

2．C [解析] 展开式中含1x 3的项是T 6＝C 57(2x )2????a x 5＝C 5722a 5x －3，故含1x

3的项的系数是C 57

22a 5＝84，解得a ＝1.故选C.

4．[2014·湖南卷] ????12x －2y 5

的展开式中x 2y 3的系数是( )

A ．－20

B ．－5

C ．5

D ．20

4．A [解析] 由题意可得通项公式T r ＋1＝C r 5????12x 5－r (－2y )r ＝C r 5????125－r (－2)r x 5－r y r ，令r

＝3，则C r 5????125－r (－2)r ＝C 35×????122×(－2)3＝－20.

13．[2014·全国卷] ???

?x y －y x 8的展开式中x 2y 2的系数为________．(用数字作答) 13．70 [解析] 易知二项展开式的通项

T r ＋1＝C r 8

????x y 8－r ?

???－y x r

＝(－1)r C r 8

x 8－3r 2y 3r 2－

4.要求x 2y 2的系数，需满足8－3r 2＝2且3r 2－4＝2，解得r ＝4，所以T 5＝(－1)4C 48x 2y 2＝70x 2y 2

，所以x 2y 2的系数为70.

13．[2014·新课标全国卷Ⅰ] (x －y )(x ＋y )8的展开式中x 2y 7的系数为________．(用数字

填写答案)

13．－20 [解析] (x ＋y )8的展开式中xy 7的系数为C 78＝8，x 2y 6的系数为C 6

8＝28，故(x －y )(x ＋y )8的展开式中x 2y 8的系数为8－28＝－20.

13． [2014·新课标全国卷Ⅱ] (x ＋a )10的展开式中，x 7的系数为15，则a ＝________．(用数字填写答案)

13.12

[解析] 展开式中x 7的系数为C 310a 3＝15， 即a 3＝18，解得a ＝1

2

.

14．，[2014·山东卷] 若????ax 2＋b

x 6

的展开式中x 3项的系数为20，则a 2＋b 2的最小值为________．

14．2 [解析]

T r ＋1＝C r 6(ax 2)

6－r ·???

?b x r

＝C r 6a 6－r ·b r x 12－3r ，令12－3r ＝3，得r ＝3，所以C 36a 6－

3b 3＝20，即a 3b 3＝1，所以ab ＝1，所以a 2＋b 2≥2ab ＝2，当且仅当a ＝b ，且ab ＝1时，

等号成立．故a 2＋b 2的最小值是2.

2．[2014·四川卷] 在x (1＋x )6的展开式中，含x 3项的系数为( ) A ．30 B ．20 C ．15 D ．10

2．C [解析] x (1＋x )6的展开式中x 3项的系数与(1＋x )6的展开式中x 2项的系数相同，故其系数为C 26＝15.

5．[2014·浙江卷] 在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中，记x m y n 项的系数为f (m ，n )，则f (3，0)＋f (2，1)＋f (1，2)＋f (0，3)＝( )

A ．45

B ．60

C ．120

D ．210

5．C [解析] 含x m y n 项的系数为f (m ，n )＝C m 6C n 4，故原式＝C 36C 04＋C 26C 14＋C 16C 24＋C 06C 3

4＝120，故选C.

J4 单元综合

8．[2014·安徽卷] 从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有( )

A ．24对

B ．30对

C ．48对

D ．60对

8．C [解析] 方法一(直接法)：在上底面中选B 1D 1，四个侧面中的面对角线都与它成60°，共8对，同样A 1C 1对应的对角线也有8对，同理下底面也有16对，共有32对．左右侧面与前后侧面中共有16对面对角线所成的角为60°，故所有符合条件的共有48对．

方法二(间接法)：正方体的12条面对角线中，任意两条垂直、平行或所成的角为60°，所以所成角为60°的面对角线共有C 212－6－12＝48.

12．[2014·北京朝阳区一模] 有3张标号分别为1，2，3的红色卡片，3张标号分别为1，2，3的蓝色卡片，现将全部的6张卡片放在2行3列的格内(如图X36-1所示)．若颜色相同的卡片在同一行，则不同的放法种数为________．(用数字作答)

图X36-1

12．72 [解析] 由题意可知，不同的放法共有A 33A 33A 22＝6×6×2＝72(种)．

3．[2014·合肥质检] 若????x －3x n

的展开式的各项系数绝对值之和为1024，则展开式中x

项的系数为( )

A ．15

B ．－15

C ．10

D ．－10

3．B [解析] 由4n ＝1024，得n ＝5，∴T r ＋1＝C r 5(x )5－r

－3x r ＝(－3)r C r 5x 5－3r 2.令5－3r 2

＝1，解得r ＝1，∴T 2＝C 15(－3)1

x ＝－15x ，故其系数为－15.

6．[2014·江西师大附中、临川一中联考] 若直线x ＋ay －1＝0与4x －2y ＋3＝0垂直，

则二项式????ax 2

－1x 5

的展开式中x 的系数为( )

A ．－40

B ．－10

C ．10

D ．40

6．A [解析] 由题意可知，4×1＋(－2)a ＝0，∴a ＝2，∴二项式为2x 2－1

x

5，T r ＋1＝C r 5

(2x 2)5－r －1x

r .令10－2r －r ＝1，得r ＝3，∴T 4＝C 3522

(－1)3x ＝－40x ，故展开式中x 的系数为

－40.

8．[2014·四川渠县二中月考] 甲组有5名男同学、3名女同学，乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( )

A ．150种

B ．180种

C ．300种

D ．345种

8．D [解析] 当从甲组中选出1名女生时，共有C 15·C 13·C 2

6＝225(种)不同的选法；当

从乙组中选出1名女生时，共有C 25·C 16·C 1

2＝120(种)不同的选法．故共有345种选法．

10．[2014·河南十校联考] 若(2x －1)2013＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2013x 2013(x ∈R )，则12＋a 2

22

a 1

＋a 323a 1＋…＋a 2013

22013a 1

＝( ) A ．－12013 B.1

2013

C ．－14026 D.1

4026

10．D [解析] 令x ＝12，则a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2013

2

2013＝0，令x ＝0，则a 0＝－1.又a 1x ＝C 20122013

(2x)1(－1)2012＝4026x ，所以a 1＝4026，所以12＋a 222a 1＋a 323a 1＋…＋a 201322013a 1＝12＋－20124026＝1

4026

.