运筹学概论 第4章 目标规划
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运筹学(第四版)：第4章 目标规划
目标函数：
min
z
P1d1
P2
(d
2
d2 )
P3d3
2x1 x2 11
x1
x2
d1
d1
0
满足约束条件：
x1
2x2
d2
d
2
10
8x1
10x2
d3
d3
56
x1, x2, di, di 0, i 1,2,3
10
第1节 目标规划的数学模型
目标规划的一般数学模型为
L
K
目标函数： min z
0
(4,3)
4
第1节 目标规划的数学模型
实际上，工厂在作决策时，需要考虑包括市场因素在内 等一系列条件。例如:
(1) 根据市场信息，产品Ⅰ的销售量有下降的趋势，因而希望产 品Ⅰ的产量不应大于产品Ⅱ。
(2) 应尽可能充分利用设备台时，但不希望加班。 (3) 应尽可能达到并超过计划利润指标：56元。
5
第1节 目标规划的数学模型
这样的产品决策问题便构成了一个多目标决策问题，目 标规划方法正是解这类决策问题的方法之一。下面引入 与目标规划模型有关的概念。
1.设x1，x2为决策变量，引入正、负偏差变量d+，d−。 正偏差变量d＋表示决策值超过目标值的部分； 负偏差变量d−表示决策值未达到目标值的部分。
13
第2节 解目标规划的图解法
例3 某电视机厂装配黑白和彩色两种电视机，每装配一台电 视机需占用装配线1小时，装配线每周计划开动40小时。预 计市场每周彩色电视机的销量是24台，每台可获利80元；黑 白电视机的销量是30台，每台可获利40元。该厂确定的目标 为：
第一优先级：充分利用装配线每周计划开动40小时； 第二优先级：允许装配线加班；但加班时间每周尽量不超过10小
运筹学课件目标规划
一 目标规划的数学模型
3 目标函数： 1 恰好达到目标：
minZ= f d +d+ 2 超过目标：
minZ= f d 3 不超过目标：
minZ= f d+
第四章
一 目标规划的数学模型 第四章
4 目标规划的目标：求一组决策变量的满意值;使 决策结果与给定目标总偏差最小
① 目标函数中只有偏差变量 ② 目标函数总是求偏差变量最小 ③ Z=0：各级目标均已达到
④
d4+
X2 =30
F
B
30 A d1+
d2- X1+X2 =50
X1
X1+X2 =40
1 满足目标① ②的满意域为ABCD
2 先考虑③的满意域为ABEF 再考虑④;无公共满意域
(3)、取E
X1+X2=50 X1=24
E(24,26) 获利2960
4 Zmin =d4 =30 X2 + d4+=3026=4>0
6x1+4x2 =240
2x1+3x2 =120 C
10
d2-
E
B
O 10 d3-
A d1+
x1
第四章
二 目标规划的图解法 第四章
分析：满足P1;部分满足P2的点有A;B;C;D 如果不考虑A;B产品均需生产 由解方程可得：A40;0; B60;0
C24;24; D0;60 比较与目标的偏差 A点：ZA = P1d1 + P2d2++ P2d3+ = 0+0+ P2d3+
另一种差别是相对的;这些目标具有相同的优先因 子;它们的重要程度可用权系数的不同来表示
运筹学概论 第4章 目标规划
P1：利润指标定为至少每月1.6104元；
P2：充分利用生产能力；
P3：加班时间不超过24小时；
P4：产量恰好能够满足预计销量；
为确定生产计划，试建立该问题的目标规划模型
三、目标规划的图解法
只有两个决策变量的目标规划问题可以用图解方法来求解。 在用图解法解目标规划时，首先必须满足所有绝对约束。在 此基础上，再按照优先级从高到低的顺序，逐个地考虑各个 目标约束。一般地，若优先因子Pj对应的解空间为Rj，则优先
min P1d1, P2d2, P3(5d3 3d4),P4d1
x1 x1
2x2 2x2
d1
d1
d2
d2
6 9
x1 2x2
d3 d3
4
x2
x2
d4 d4 2
x1, x2,di,di 0 i 1,2,3,4
4.5 C
d2+
3D
d3－
G
d4－ d1－
d 1+F
E A
B
0
6
9
从图6-2可见，在考虑P1和P2的目标后，解
有三种基本表达式：
① 要求恰好达到目标值。这时，决策值超过或不足目标值 都是不希望的，因此有：
mfi (d n d )
② 要求不超过目标值，但允许不足目标值。这时，不希望 决策值超过目标值，因此有：
mif( n d)
③ 要求不低于目标值，但允许超过目标值。这时，不希 望决策值低于目标值，因此有：
k
0
k 1,2,, K
模型中gk为第k个目标约束的预期目标值，
W
和
lk
为W
lk
优先P因l 子对
应各目标的权系数。
在建立目标规划数学模型时，需要确定预期目标值、优先级和权系
P2：充分利用生产能力；
P3：加班时间不超过24小时；
P4：产量恰好能够满足预计销量；
为确定生产计划，试建立该问题的目标规划模型
三、目标规划的图解法
只有两个决策变量的目标规划问题可以用图解方法来求解。 在用图解法解目标规划时，首先必须满足所有绝对约束。在 此基础上，再按照优先级从高到低的顺序，逐个地考虑各个 目标约束。一般地，若优先因子Pj对应的解空间为Rj，则优先
min P1d1, P2d2, P3(5d3 3d4),P4d1
x1 x1
2x2 2x2
d1
d1
d2
d2
6 9
x1 2x2
d3 d3
4
x2
x2
d4 d4 2
x1, x2,di,di 0 i 1,2,3,4
4.5 C
d2+
3D
d3－
G
d4－ d1－
d 1+F
E A
B
0
6
9
从图6-2可见，在考虑P1和P2的目标后，解
有三种基本表达式：
① 要求恰好达到目标值。这时，决策值超过或不足目标值 都是不希望的，因此有：
mfi (d n d )
② 要求不超过目标值，但允许不足目标值。这时，不希望 决策值超过目标值，因此有：
mif( n d)
③ 要求不低于目标值，但允许超过目标值。这时，不希 望决策值低于目标值，因此有：
k
0
k 1,2,, K
模型中gk为第k个目标约束的预期目标值，
W
和
lk
为W
lk
优先P因l 子对
应各目标的权系数。
在建立目标规划数学模型时，需要确定预期目标值、优先级和权系
运筹学第4章上
min z f (d , d )
（2）要求决策值不超过目标值，即正偏差尽可能的小，其构 造形式为：
min z f (d )
（3）要求决策值可以超过目标值，即负偏差尽可能的小，其 构造形式为：
min z f (d )
China University of Mining and Technology
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-9-
运 筹 学
目标规划的数学模型
如：在引例中,利润的目标值为32，可能目标值会达不到，所 以加上一个负偏差变量d3-≥0，把目标函数变成
3x1 5 x2 d3 32
但是同样，目标值也有可能会超出，所以减去一个正偏差变量 d3+≥0，把目标函数变成
另一种差别是相对的，这些目标具有相同的优先因子，它们 的重要程度可用权系数wj的不同来表示。
-13-
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运 筹 学
4. 目标函数
目标规划的数学模型
目标函数由于偏差变量、优先因子和权系数的出现，显然其 构造与线性规划时的构造要有所不同. 决策者的目标是要做到决策值与目标值的偏差能够尽可能的 小，因此目标函数应该是一个与偏差有关的函数：
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运 筹 学
3. 目标的优先级与权系数
不同目标的主次轻重有两种差别：
目标规划的数学模型
一种差别是绝对的，可用优先因子Pj来表示。
只有在高级优先因子对应的目标已满足的基础上，才能考虑较低 级优先因子对应的目标；在考虑低级优先因子对应的目标时，绝不 允许违背已满足的高级优先因子对应的目标。 优先因子间的关系为Pj >> Pj+1 ，即Pj对应的目标比Pj+1对应的目 标有绝对的优先性。
运筹学讲义_4目标规划
（1） 根据市场预测，产品 A 的销路不是太好，应尽可能少生产；
（2） 产品 B 的销路较好，应尽可能多生产。 这样建立的数学模型为：
max z1 = 4x1 + 3x2
min z2 = x1
max z3 = x2
s.t.ïíì32xx11
+ 3x2 + 2x2
£ £
24 26
ïî x1, x2 ³ 0
min z = f (d - ,d + ) ,
即达成函数是正、负偏差变量的函数。
一般来说，可能提出的要求只能是以下三种情况之一，对应每种要求，可分别构造达成函 数：
1) 要求恰好达到规定的目标值，即正、负偏差变量都要尽可能地小，这时目标函数
min z = f (d - + d + ) 。
2) 要求不超过目标值，即允许达不到目标值，就是正偏差变量要尽可能地小，这时目标函
现。
目标规划问题的求解是分级进行的，首先要求满足 P1 级目标的解；然后再保证 P1 级目标不 被破坏的前提下，再要求满足 P2 级目标的解；…依次类推。总之，是在不破坏上一级目标的前
提下，实现下一级目标的最优。因此，这样最后求出的解就不是通常意义下的最优解，我们称之
为“满意解”。
以上介绍的几个基本概念，实际上就是建立目标规划模型时必须分析的几个要素，把这些 要素分析清楚了，目标规划的模型也就建立起来了。请看下面的例子。
数 min z = f (d + ) 。
3) 要 求 超 过 目 标 值 ， 超 过 量 不 限 ， 但 负 偏 差 变 量 要 尽 可 能 地 小 ， 这 时 目 标 函 数
min z = f (d - ) 。
5.满意解
运筹学第四章目标规划
目标规划
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第四章 目标规划
目标规划（Good Programming，简记为GP）是在线性规划的基础上，为适应经济管理中多目标决策的需要而逐步发展起来的一个运筹学分支，是实行目标管理这种现代化管理技术的一个有效工具。
4.1 目标规划的数学模型
例4.1 某工厂生产两种产品，受到原材料供应和设备工时的限制.在单件利润等有关数据已知的条件下，要求制订一个获利最大的生产计划，具体数据见下表。
200
300
400
500
1
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
1.访问时间最好不超过680小时； 2.访问时间最好不少于600小时； 3.销售收入尽量不少于70,000； 4.访问老顾客数最好不少于200个； 5.访问新顾客数最好不少于120个。
目标规划的求解---多阶段算法
访问时间最好不超过680小时；
故有：目标值＝实际值＋d－ － d＋
实际值
目标值
1.当实际值>目标值时 d－＝0
01
02
03
目标约束（软约束）是指在目标规划问题中目标值允许发生正、负偏差，在这些约束中加入正、负偏差变量的约束。
绝对约束（硬约束）是指必须严格满足的等式约束和不等式约束。
线性规划问题的目标函数在给定目标值和加入正、负偏差变量后，可变换为目标约束，也可根据问题的需要将绝对约束变换为目标约束。
200
600
500
400
X
2
100
200
300
400
500
(1)
(2)
1.访问时间最好不超过680小时； 2.访问时间最好不少于600小时； 3.销售收入尽量不少于70,000； 4.访问老顾客数最好不少于200个； 5.访问新顾客数最好不少于120个。
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第四章 目标规划
目标规划（Good Programming，简记为GP）是在线性规划的基础上，为适应经济管理中多目标决策的需要而逐步发展起来的一个运筹学分支，是实行目标管理这种现代化管理技术的一个有效工具。
4.1 目标规划的数学模型
例4.1 某工厂生产两种产品，受到原材料供应和设备工时的限制.在单件利润等有关数据已知的条件下，要求制订一个获利最大的生产计划，具体数据见下表。
200
300
400
500
1
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
1.访问时间最好不超过680小时； 2.访问时间最好不少于600小时； 3.销售收入尽量不少于70,000； 4.访问老顾客数最好不少于200个； 5.访问新顾客数最好不少于120个。
目标规划的求解---多阶段算法
访问时间最好不超过680小时；
故有：目标值＝实际值＋d－ － d＋
实际值
目标值
1.当实际值>目标值时 d－＝0
01
02
03
目标约束（软约束）是指在目标规划问题中目标值允许发生正、负偏差，在这些约束中加入正、负偏差变量的约束。
绝对约束（硬约束）是指必须严格满足的等式约束和不等式约束。
线性规划问题的目标函数在给定目标值和加入正、负偏差变量后，可变换为目标约束，也可根据问题的需要将绝对约束变换为目标约束。
200
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(1)
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1.访问时间最好不超过680小时； 2.访问时间最好不少于600小时； 3.销售收入尽量不少于70,000； 4.访问老顾客数最好不少于200个； 5.访问新顾客数最好不少于120个。
运筹学第四章多目标规划
习题四4.1 分别用图解法和单纯形法求解下述目标规划问题（1） min z ＝p 1（ d 1 ＋ d 2 ）＋p 2 d 3st.－x 1＋ x 2＋ d －1－ d ＋ 1＝1－＋ －0.5x 1＋ x 2 ＋ d 2－d 2 ＝2－＋3x 1＋3x 2 ＋ d 3 － d 3＝50x 1，x 2≥0；d － i ，d ＋i ≥0（i =1 ，2，3）（2） min z ＝ p 1（ 2 d 1 ＋3 d 2 ）＋ p 2 d 3 ＋ p 3 d 4st.x 1＋ x 2＋d －1－d＋1＝10x 1＋d － 2－d ＋2 ＝45x 1＋ 3x 2＋d －3－d ＋3 ＝56 x 1＋ x 2＋d －4－d ＋4 ＝12x 1，x 2≥0；d －i ，d ＋i ≥0（ i =1 ，⋯， 4）4.2 考虑下述目标规划问题＋＋－－－min z ＝p 1（d 1＋d 2）＋ 2p 2d 4＋p 2d 3＋p 3d 1 st. x 1＋d － 1－d ＋1＝ 20x 2＋d －2 －d ＋2 ＝35 －5x 1＋3x 2＋ d － 3－d ＋ 3＝220x 1－ x 2＋ d －4－d ＋4＝60x 1，x 2≥－＋≥0（ i =1 ，⋯， 4）0；d i ，di（ 1）求满意解；（ 2）当第二个约束右端项由 35 改为 75 时，求解的变化；（ 3）若增加一个新的目标约束： － 4x 1＋x 2＋d －5－d ＋5＝ 8，该目标要求尽量达到目标值，并列为第一优先级考虑，求解的变化；（ 4）若增加一个新的变量 x 3，其系数列向量为（ 0，1， 1，－ 1）T ，则满意解如何变化？4.3 一个小型的无线电广播台考虑如何最好地来安排音乐、新闻和商业节目时间。
依据法律，该台每天允许广播 12 小时，其中商业节目用以赢利，每小时可收入 250 美元，新闻节目每小时需支出40 美元，音乐节目每播一小时费用为17.50 美元。
运筹学第四章目标规划-精品文档
• 从线性规划的角度来看，问题似乎已经得到圆满的解，但实际上工厂作 决策时可能还需根据市场和工厂实际情况，考虑其它问题，如：
• （1）由于产品Ⅱ销售疲软，故希望产品Ⅱ的产量不超过产品Ⅰ的一半； • （2）原材料严重短缺，生产中应避免过量消耗； • （3）最好能节约4小时设备工时； • （4）计划利润不少于48元. • 这时，问题变成一个多目标问题，线性规划方法就很难处理。
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Page:7
1.当实际值>目标值时 d－＝0
目标值
实际值
d＋
有：目标值＝实际值－d+
2.当实际值<目标值时d+＝0
实际值
目标值
（此时d－＝0）
d－
有：目标值＝实际值＋d－ （此时d＋＝0）
故有：目标值＝实际值＋d－ － d＋
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4
4
利润 (元/件)
6
8
限量 60
40
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Page:4
设产品Ⅰ、Ⅱ的产量分别为 x1 , x2 ，建立线性规划模型
M azx6x18x2
St. 4x14x240
5x110 x260
x1,x2 0
解之得最优生产计划为 x1 8 件，x2 2 件，利润为 zmax64元。
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3、优先因子（优先等级）与权系数
• 在实际问题中，决策者要求达到这些目标时，是有主次或 轻重缓急的不同，凡要求第一位达到的目标赋予优先因子 P1 ，次位的目标赋予优先因子P2，…，并规定：Pk>>Pk+1 表示Pk 比Pk+1有更大的优先权，即首先保证级P1目标的实 现，这时可不考虑次级目标；而P2级目标是在实现P1级目
• （1）由于产品Ⅱ销售疲软，故希望产品Ⅱ的产量不超过产品Ⅰ的一半； • （2）原材料严重短缺，生产中应避免过量消耗； • （3）最好能节约4小时设备工时； • （4）计划利润不少于48元. • 这时，问题变成一个多目标问题，线性规划方法就很难处理。
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1.当实际值>目标值时 d－＝0
目标值
实际值
d＋
有：目标值＝实际值－d+
2.当实际值<目标值时d+＝0
实际值
目标值
（此时d－＝0）
d－
有：目标值＝实际值＋d－ （此时d＋＝0）
故有：目标值＝实际值＋d－ － d＋
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设产品Ⅰ、Ⅱ的产量分别为 x1 , x2 ，建立线性规划模型
M azx6x18x2
St. 4x14x240
5x110 x260
x1,x2 0
解之得最优生产计划为 x1 8 件，x2 2 件，利润为 zmax64元。
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3、优先因子（优先等级）与权系数
• 在实际问题中，决策者要求达到这些目标时，是有主次或 轻重缓急的不同，凡要求第一位达到的目标赋予优先因子 P1 ，次位的目标赋予优先因子P2，…，并规定：Pk>>Pk+1 表示Pk 比Pk+1有更大的优先权，即首先保证级P1目标的实 现，这时可不考虑次级目标；而P2级目标是在实现P1级目
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二、目标规划的数学模型
（1）偏差变量 对每一个决策目标，引入正、负偏差变量d+和d－，分别表示 决策值超过或不足目标值的部分。按定义应有d+≥0，d－≥0， d+·d－＝0。 （2）绝对约束和目标约束 绝对约束是指必须严格满足的约束条件，如线性规划中的 约束条件都是绝对约束。绝对约束是硬约束，对它的满足与 否，决定了解的可行性。 目标约束是目标规划特有的概念，是一种软约束，目标约 束中决策值和目标值之间的差异用偏差变量表示。
C三种新产品，对应的投资利润率分别为5%、7%和10%。 公司制定如下的优先顺序目标：
第一，A产品至少投资300万元； 第二，为分散投资风险，任何一种新产品的开发投资不 超过开发基金总额的35%； 第三，应至少留有10%的开发基金，以备急用； 第四，使总的投资利润最大。
建立投资分配方案的目标规划模型。
（2）线性规划立足于求满足所有约束条件的最优解，而 在实际问题中，可能存在相互矛盾的约束条件。目标规划 可以在相互矛盾的约束条件下找到满意解。
（3）目标规划的最优解指的是尽可能地达到或接近一个 或若干个已给定的指标值。
（4）线性规划的约束条件是不分主次地同等对待，而目 标规划可根据实际的需要给予轻重缓急的考虑。
2、某彩色电视机组装工厂，生产A、B、C三种规格电视 机。装配工作在同一生产线上完成，三种产品每件装配时 的工时消耗分别为6小时、8小时和10小时，生产线每月 正常工作时间为200小时；三种规格电视机销售后，每台 可获利分别为500元、650元和800元。每月销量预计分别 为12台、10台和6台。该厂经营目标如下：
产品
Ⅰ
原材料（kg/件） 5
设备工时（h/件） 4
利润（元/件）
6
Ⅱ
限量
10
60
4
40
8
mz a 6 x x 1 8 x 2
5 x1 10 x 2 60
4
x1
4x2
40
x1 , x 2 0
最优生产计划为x1＝8件，x2＝2件，max z＝64元。
3.目标规划与线性规划相比的优点
（1）线性规划只能处理一个目标，而现实问题往往要处 理多个目标。目标规划就能统筹兼顾地处理多个目标的关 系，求得更切合实际要求的解。
P1：利润指标定为至少每月1.6104元；
P2：充分利用生产能力；
P3：加班时间不超过24小时；
P4：产量恰好能够满足预计销量；
为确定生产计划，试建立该问题的目标规划模型
三、目标规划的图解法
只有两个决策变量的目标规划问题可以用图解方法来求解。 在用图解法解目标规划时，首先必须满足所有绝对约束。在 此基础上，再按照优先级从高到低的顺序，逐个地考虑各个 目标约束。一般地，若优先因子Pj对应的解空间为Rj，则优先
目标规划数学模型的一般形式为 ：
k
m P iln
(W l k d k W l k d k ) ,l 1 ,2 , ,L
k 1
n
ckj x j
d
k
d
k
gk
k 1,2,, K
j1
n
aij x j
(, )bi
i 1,2,, m
j1
x
j
0
j 1,2,, n
d
k
,
mifn (d)
例2 (1)产品Ⅱ的产量不超过产品I的一半；
(2)原材料严重短缺，生产中应避免过量消耗；
(3)最好能节约4小时设备工时；
(4)计划利润不少于48元。 一致意见： 1.原材料使用限额不得突破； 2.产品Ⅱ产量要求必须优先考虑； 3.设备工时问题其次考虑；
产品
Ⅰ Ⅱ 限量
原材料（kg/件） 5 10 60
第4章 目标规划
目标规划问题的提出 目标规划数学模型 目标规划的图解法
一、目标规划问题的提出
1.线性规划问题的局限性
(1)线性规划是单目标最优化问题 (2)线性规划有最优解的必要条件是其可行解集非空， 即各约束条件彼此相容 (3)线性规划数学模型是相对于实际问题的近似
例1 某工厂生产两种产品，受到原材料供应和设备工时的 限制。在单件利润等有关数据已知的条件下，要求制订一个 获利最大的生产计划。具体数据见表。
（3）优先因子和权系数
不同目标的主次轻重有两种差别。一种差别是绝对的，可
用优先因子 来Pl 表示。只有在高级优先因子对应的目标已满 足的基础上，才能考虑较低级优先因子对应的目标；在考虑
低级优先因子对应的目标时，绝不允许违背已满足的高级优
先因子对应的目标。优先因子间的关系为 >P>l ，Pl 即1
Pl
有三种基本表达式：
① 要求恰好达到目标值。这时，决策值超过或不足目标值 都是不希望的，因此有：
mfi (d n d )
② 要求不超过目标值，但允许不足目标值。这时，不希望 决策值超过目标值，因此有：
mif( n d)
③ 要求不低于目标值，但允许超过目标值。这时，不希 望决策值低于目标值，因此有：
d
k
0
k 1,2,, K
模型中gk为第k个目标约束的预期目标值，
W
和
lkLeabharlann 为Wlk优先P因l 子对
应各目标的权系数。
在建立目标规划数学模型时，需要确定预期目标值、优先级和权系
数等，应当综合运用各种决策技术,尽可能地减少主观片面性。
习题: 1、公司决定使用1000万元新产品开发基金开发A，B，
对应的目标比 Pl 对1 应的目标有绝对的优先性。
另一种差别是相对的，这些目标具有相同的优先因子,它
们的重要程度可用权系数的不同来表示。
（4）目标规划的目标函数
目标规划的目标函数由各目标约束的偏差变量 及相应的优先因子和权系数构成。由于目标规划 追求的是尽可能接近各既定目标值,也就是使各有 关偏差变量尽可能小，所以其目标函数只能是极 小化。
因子Pj+1对应的解空间只能在Rj中考虑。即 :
Rj1 Rj
若Rj≠Φ，而Rj+1=Φ，则Rj中的解为目标规划的满意解， 它只能保证满足P1，P2，…，Pj级目标。而不保证满足其 后的各级目标。
设备工时（h/件） 4 4 40
利润（元/件） 6 8
4.最后考虑计划利润的要求。
m P 1 d i 1 ,P n 2 d 2 ,P 3 d 3
5x110x2
60
x12x2d1 d1
4x14x2
d2 d2
0 36
6x18x2
d3 d3 48
x1,x2,di,di 0 i 1,2,3
(6.1a) (6.1b) (6.1c) (6.1d)