中国地图四色染色问题

中国地图四色染色问题

一、问题描述

将中国地图用四种不同的颜色红、蓝、绿、黄来染色，要求相邻的省份染色不同，有多少种不同的方案？

二、问题分析

本文将中国地图的34个省、直辖市、自治区、以及特别行政区转化为图论中的图模型。其中每个省、市、自治区、特别行政区用图中的一个结点表示，两个结点间联通仅当两个板块接壤。则问题转化为图论中的染色问题。由于海南、台湾省不与其它任何省份相邻，所以如果除海南、台湾外如果有n种染色方法，那么加上海南和台湾省后，有4*4*n种染色方法。下面考虑除海南和台湾后的32个结点的染色方法。

三、中国地图染色方法

采用分开海南和台湾省的分析方法，一方面的原因是除海南和台湾后的32个结点，可以组成一个联通图，因为海南省和台湾省不和任何其它省份邻接。另一方面，我们建立一个联通图模型后，染色问题可以用深度优先遍历算法DFS，或者广度优先遍历算法BFS来解决，由于该方法的时间复杂度较高，属于暴力法，少考虑两个省份可以减少计算机处理此问题的时间。本文采用DFS算法来解决这个染色问题。

3.1 DFS算法简介

DFS算法是图的一种图的深度遍历算法，即按照往深的地方遍历

一个图，若到一个分支的尽头，则原路返回到最近一个未被遍历的结点，继续深度遍历。

DFS遍历的具体步骤可为下：

1）标记图中所有结点为“未访问”标记。

2）输出起始结点，并标记为“访问”标记

3）起始结点入栈

4）若栈为空，程序结束；若栈不为空，取栈顶元素，若该元素存在未被访问的邻接顶点，则输出一个邻接顶点，并置为“访

问”状态，入栈；否则，该元素退出栈顶。

3.2 染色问题中的DFS算法设计

我们先对任一结点染色，然后用DFS从该结点出发，遍历该图，遍历的下一结点颜色染为与之相邻的结点不同的颜色即可。如果该结点无法染色则回到上一个结点重新染色，直到所有的结点都被染色即可。最后统计染色种数。

染色问题的算法伪代码可以描述如下：

color_DFS(当前染色结点):

for i in 所有颜色

{ while j的已染色邻接点

if 结点j相邻接点被染成i颜色

标记并break

if 未被标记

{

当前结点染为i色

if 当前结点为最后一个结点

end

else

color_DFS(next)

｝

}

3.3 数据结构设计

为了实现DFS染色算法，我们需要设计相应的数据结构。由于图的结点不多，只有32个，我们采用图的邻接矩阵来存储该图，记为map[33][33]，map[0]不存储数据，如果两结点i，j相邻，map[i][j]=1，否则map[i][j]=0。

为了便于计算机编程，我们将每一个地名用相应结点号来表示，1："新疆",2:"西藏",3:"青海",4:"甘肃",5:"内蒙古",6:"宁夏",7:"黑龙江",8:"吉林",9:"辽宁",10:"河北",11:"北京",12:"山西",13:"陕西",14:"山东

",15:"天津",16:"河南",17:"安徽",18:"江苏",19:"上海",20:"浙江",21:"福建",22:"江西",23:"广东",24:"湖南",25:"湖北",26:"重庆",27:"四川",28:"贵州",29:"云南",30:"广西",31:"香港",32:"澳门"。

新疆和西藏相邻，那么我们就可以用map[1][2]=1来表示。

同样地，一种颜色我们也可以用一个数字来表示，在这里，我们用数字来代表颜色，比如1-红、2-蓝、3-绿、4-黄。

四、C语言代码实现

#include

#include

using namespace std;

char name[][10]={"","新疆","西藏","青海","甘肃","内蒙古","宁夏","黑龙江","吉林","辽宁","河北","北京","山西","陕西","山东","天津","河南","安徽","江苏","上海","浙江","福建","江西","广东","湖南","湖北","重庆","四川","贵州","云南","广西","香港","澳门"};

char color[][4]={"","红","蓝","绿","黄"};

int map[33][33];

int vis[33];

int n,m;

long long cnt;//染色方法设置为long long防止溢出

void init_map()

{

map[1][2]=map[2][1]=1;//表示新疆和西藏连通

map[1][3]=map[3][1]=1;

map[1][4]=map[4][1]=1;

map[2][3]=map[3][2]=1;

map[2][27]=map[27][2]=1;

map[2][29]=map[29][2]=1;

map[3][4]=map[4][3]=1;

map[3][27]=map[27][3]=1;

map[4][5]=map[5][4]=1;

map[4][6]=map[6][4]=1;

map[4][13]=map[13][4]=1;

map[4][27]=map[27][4]=1;

map[5][6]=map[6][5]=1;

map[5][7]=map[7][5]=1;

map[5][8]=map[8][5]=1;

map[5][9]=map[9][5]=1;

map[5][10]=map[10][5]=1;

map[5][12]=map[12][5]=1;

map[5][13]=map[13][5]=1;

map[6][13]=map[13][6]=1;

map[7][8]=map[8][7]=1;

map[8][9]=map[9][8]=1;

map[9][10]=map[10][9]=1;

map[10][11]=map[11][10]=1;

map[10][12]=map[12][10]=1;

map[10][14]=map[14][10]=1;

map[10][15]=map[15][10]=1;

map[10][16]=map[16][10]=1;

map[11][15]=map[15][11]=1;

map[12][13]=map[13][12]=1;

map[12][16]=map[16][12]=1;

map[13][16]=map[16][13]=1;

map[13][25]=map[25][13]=1;

map[13][26]=map[26][13]=1;

map[13][27]=map[27][13]=1;

map[14][16]=map[16][14]=1;

map[14][17]=map[17][14]=1;

map[14][18]=map[18][14]=1;

map[16][17]=map[17][16]=1;

map[16][25]=map[25][16]=1;

map[17][18]=map[18][17]=1;

map[17][20]=map[20][17]=1;

map[17][22]=map[22][17]=1;

map[17][25]=map[25][17]=1;

map[18][19]=map[19][18]=1;

map[18][20]=map[20][18]=1;

map[19][20]=map[20][19]=1;

map[20][21]=map[21][20]=1;

map[20][22]=map[22][20]=1;

map[21][22]=map[22][21]=1;

map[21][23]=map[23][21]=1;

map[22][23]=map[23][22]=1;

map[22][24]=map[24][22]=1;

map[22][25]=map[25][22]=1;

map[23][24]=map[24][23]=1;

map[23][30]=map[30][23]=1;

map[23][31]=map[31][23]=1;

map[23][32]=map[32][23]=1;

map[24][25]=map[25][24]=1;

map[24][26]=map[26][24]=1;

map[24][28]=map[28][24]=1;

map[24][30]=map[30][24]=1;

map[25][26]=map[26][25]=1;

map[26][27]=map[27][26]=1;

map[26][28]=map[28][26]=1;

map[27][28]=map[28][27]=1;

map[27][29]=map[29][27]=1;

map[28][29]=map[29][28]=1;

map[28][30]=map[30][28]=1;

map[29][30]=map[30][29]=1; }

void dfs(int now)//当前结点染色

{

int i,j,k;

for(i = 1; i<=n; i++)//n种颜色

{

int flag = 1;

for(j = 1; j

{

if(map[j][now] && vis[j]==i)//j的邻接点被染为第i种颜色

{

flag=0;

break;

}

}

if(flag)

{

vis[now]=i;//当前结点染为第i种颜色

if(now == m)//全部结点都已染色

{

cnt++;//种数＋1

/*if(cnt>=5)

exit(0);

for(k=1;k<=m;k++)//输出4组染色结果

{

printf("%s-%s ",name[k],color[vis[k]]);

if(k%8==0)

printf("\n");

}

printf("\n");*/

}

else

dfs(now+1);//下一个结点染色

}

}

}

int main()

{

n=4;//4种颜色

m=32;//32个省份

memset(map,0,sizeof(map));//地图全部置为0，表示未连通

memset(vis,0,sizeof(vis)); //每个顶点未染色

init_map(); //初始化图

cnt = 0;//染色方法数

dfs(1);//从结点1开始染色

printf("%lld\n",cnt);

return 0;

}

五、结果分析

本次实验在MAC_OS操作系统进行实验，处理器为2.8GHz Intel i7处理器，其计算结果为360516096，耗时约150s。如果加上海南省和台湾省，其最终的计算结果为360516096*16=5768257536。

图1是部分染色结果(不包括台湾、海南省)，事实上台湾海南省的染色任意。

图1 32个结点部分染色结果

六、总结

通过这个图论染色问题，加深了我对图论知识的理解。我明白了如何将理论知识应用到实际问题中来。虽然我以前也做过类似的地图染色实验，但是在这过程中我发现了自己的一些不足，比如说不够仔

细，在构建一个邻接矩阵中多次忘记一些邻接边，以至于邻接矩阵错误。

总之，这次实验加强了我的动手能力以及解决问题的能力，加深了我对图论知识的理解和数据结构的应用能力，总之我收获颇多。