答案：(2,6)
6.解析：∵f (x )＝x 2－e x －ax ，∴f ′(x )＝2x －e x －a ， ∵函数f (x )＝x 2－e x －ax 在R 上存在单调递增区间，
∴f ′(x )＝2x －e x －a ≥0，即a ≤2x －e x 有解，设g (x )＝2x －e x ，则g ′(x )＝2－e x ，令g ′(x )＝0，解得x ＝ln 2，则当x 0，g (x )单调递增，当x >ln 2时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，∴当x ＝ln 2时，g (x )取得最大值，且g (x )max ＝g (ln 2)＝2ln 2－2，∴a ≤2ln 2－2. 答案：(－∞，2ln 2－2)
7.解：(1)由题意得x >0，f ′(x )＝1－2x ＋a
x
2.
由函数f (x )在定义域上是增函数，得f ′(x )≥0，即a ≥2x －x 2＝－(x －1)2＋1(x >0)．
因为－(x －1)2＋1≤1(当x ＝1时，取等号)，所以a 的取值范围是[1，＋∞)．
(2)g ′(x )＝e x ? ????2
x －1＋2ln x －x ，由(1)得a ＝2时，f (x )＝x －2ln x －2x ＋1，
且f (x )在定义域上是增函数，又f (1)＝0，
所以，当x ∈(0,1)时，f (x )<0，当x ∈(1，＋∞)时，f (x )>0. 所以，当x ∈(0,1)时，g ′(x )>0，当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )<0. 故当x ＝1时，g (x )取得最大值－e.
8.解：(1)当k ＝1时，f (x )＝(x －1)e x －x 2，f ′(x )＝e x ＋(x －1)e x －2x ＝x e x －2x ＝x (e x －2)，
令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝ln 2. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化如下表：
0]，[ln 2，＋∞)．
f (x )的极大值为f (0)＝－1，极小值为f (ln 2)＝ －(ln 2)2＋2ln 2－2.
(2)f ′(x )＝e x ＋(x －1)e x －2kx ＝x e x －2kx ＝x (e x －2k )， 当x <1时，f (x )<0，所以f (x )在(－∞，1)上无零点． 故只需证明函数f (x )在[1，＋∞)上有且只有一个零点．
①若k ∈???
???0，e 2，则当x ≥1时，f ′(x )≥0，f (x )在[1，＋∞)上单调递增．
∵f (1)＝－k ≤0，f (2)＝e 2－4k ≥e 2－2e>0， ∴f (x )在[1，＋∞)上有且只有一个零点．
②若k ∈? ????
e 2，＋∞，则
f (x )在[1，ln 2k ]上单调递减，在[ln 2k ，＋∞)上
单调递增．
f (1)＝－k <0，f (k ＋1)＝k e k ＋1－k (k ＋1)2＝k [e k ＋1－(k ＋1)2]， 令
g (t )＝e t －t 2，t ＝k ＋1>2，则g ′(t )＝e t －2t ，
g ″(t )＝e t －2，
∵t>2，∴g″(t)>0，g′(t)在(2，＋∞)上单调递增．
∴g′(t)>g′(2)＝e2－4>0，∴g(t)在(2，＋∞)上单调递增．∴g(t)>g(2)＝e2－4>0.
∴f(k＋1)>0.
∴f(x)在[1，＋∞)上有且只有一个零点．
综上，当k∈[0，＋∞)时，f(x)在R上有且只有一个零点．
第13讲 函数与导数之导数及其应用(学生版)
第13讲 函数与导数之导数及其应用 一． 基础知识回顾 1．函数的平均变化率：一般地，已知函数y ＝f (x )，x 0，x 1是其定义域内不同的两点，记Δx ＝x 1－x 0，Δy ＝y 1－y 0＝f (x 1)－f (x 0)＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，则当Δx ≠0时，商 ＝Δy Δx 称作函数y ＝f (x )在区间[x 0，x 0＋Δx ](或[x 0＋Δx ，x 0])的平均变化率． 2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数：(1)定义：函数y ＝f (x)在点x 0处的瞬时变化率 通 常称为f (x )在x ＝x 0处的导数，并记作f ′(x 0)，即 ． (2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是过曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0)) 的 ．导函数y ＝f ′(x )的值域即为 ． 3．函数f (x )的导函数：如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内每一点都是可导的，就说f (x )在开 区间(a ，b )内可导，其导数也是开区间(a ，b )内的函数，又称作f (x )的导函数，记作 ． 4．基本初等函数的导数公式表（右表） 5．导数运算法则 (1)[f (x )±g (x )]′＝ ； (2)[f (x )g (x )]′＝ ； (3)????f (x )g (x )′= [g (x )≠0]． 5．导数和函数单调性的关系：(1)若f ′(x )>0在(a ，b )上恒成立，则f (x )在(a ，b )上是 函数，f ′(x )>0的解集与定义域的交集的对应区间为 区间；(2)若f ′(x )<0在(a ，b )上恒成立，则f (x )在(a ， b )上是 函数，f ′(x )<0的解集与定义域的交集的对应区间为 区间(3)若在(a ，b )上， f ′(x )≥0，且f ′(x )在(a ，b )的任何子区间内都不恒等于零?f (x )在(a ，b )上为 函数，若在 (a ，b )上，f ′(x )≤0，且f ′(x )在(a ，b )的任何子区间内都不恒等于零?f (x )在(a ，b )上为 函 数． 6．函数的极值：(1)判断f (x 0)是极值的方法：一般地，当函数f (x )在点x 0处连续时，①如果 在x 0附近的左侧 ，右侧 ，那么f (x 0)是极大值；②如果在x 0附近的左侧 ， 右侧 ，那么f (x 0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤①求f ′(x )；②求方程 的根；③检查f ′(x )在方程 的根左右值的符号．如果左正右负，那么f (x )在这个根处 取得 ；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得 ． 7．函数的最值：(1)函数f (x )在[a ，b ]上必有最值的条件如果函数y ＝f (x )的图象在区间[a ，b ] 上 ，那么它必有最大值和最小值．(2)求函数y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大值与最小值的步 骤：①求函数y ＝f (x )在(a ，b )内的 ；②将函数y ＝f (x )的各极值与 比较，其中最大 的一个是最大值，最小的一个是最小值． 二．典例精析 探究点一：导数的运算 例1：求下列函数的导数： (1)y ＝(1－x )? ???1＋1x ； (2)y ＝ln x x ；(3)y ＝x e x ； (4)y ＝tan x .
利用导数研究函数的单调性、极值、最值
利用导数研究函数的单调性、极值、最值 1.函数f(x)=(x-3)e x的单调递增区间是() A.(-∞,2) B.(0,3) C.(1,4) D.(2,+∞) 答案D 解析函数f(x)=(x-3)e x的导数为f'(x)=[(x-3)e x]'=e x+(x-3)e x=(x-2)e x. 由函数导数与函数单调性的关系,得当f'(x)>0时,函数f(x)单调递增,此时由不等式f'(x)=(x-2)e x>0,解得x>2. 2.(2018广东东莞考前冲刺)若x=1是函数f(x)=ax+ln x的极值点,则() A.f(x)有极大值-1 B.f(x)有极小值-1 C.f(x)有极大值0 D.f(x)有极小值0 答案A 解析∵x=1是函数f(x)=ax+ln x的极值点,∴f'(1)=0, ∴a+=0,∴a=-1. ∴f'(x)=-1+=0?x=1. 当x>1时,f'(x)<0,当00,因此f(x)有极大值-1. 3.定义域为R的可导函数y=f(x)的导函数f'(x),满足f(x)2e x的解集为() A.(-∞,0) B.(-∞,2) C.(0,+∞) D.(2,+∞) 答案C 解析设g(x)=,则g'(x)=. ∵f(x)0,即函数g(x)在定义域内单调递增.
∵f(0)=2,∴g(0)=f(0)=2, ∴不等式f(x)>2e x等价于g(x)>g(0). ∵函数g(x)在定义域内单调递增. ∴x>0,∴不等式的解集为(0,+∞),故选C. 4.函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是() 答案D 解析设导函数y=f'(x)的三个零点分别为x1,x2,x3, 且x1<00,f(x)是增函数,所以函数y=f(x)的图象可能为D,故选D. 一、 1.(2018·全国卷I高考理科·T16)已知函数f=2sin x+sin2x,则f的最小值是. 【解题指南】本题考查的是有关应用导数研究函数的最小值问题,在求解的过程中,需要明确相关的函数的求导公式,需要明白导数的符号与函数的单调性的关系,确定出函数的单调增区间和单调减区间,进而求得函数的最小
导数在研究函数中的应用(含标准答案)
导数在研究函数中的应用 【自主归纳，自我查验】 一、自主归纳 1．利用导函数判断函数单调性问题 函数f(x)在某个区间(a，b)内的单调性与其导数的正负有如下关系 (1)若____ ___，则f(x)在这个区间上是增加的． (2)若____ ___，则f(x)在这个区间上是减少的． (3)若_____ __，则f(x)在这个区间内是常数．2．利用导数判断函数单调性的一般步骤 (1)求f′(x)． (2)在定义域内解不等式f′(x)>0或f′(x)<0. (3)根据结果确定f(x)的单调区间． 3．函数的极大值 在包含 x的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值 都_____ x点的函数值，称点0x为函数y＝f(x)的极大值点，其函数 值f( x)为函数的极大值． 4．函数的极小值 在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都_____ x点的函数值，称点0x x0为函数y＝f(x)的极小值点，其函数 值f( x)为函数的极小值．极大值与极小值统称为_______，极大值 点与极小值点统称为极值点． 5．函数的最值与导数 1．函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值点 x指的是：函数在这个区间上
所有点的函数值都_________f( x)． 2．函数y＝f(x)在[a，b]上的最小值点 x指的是：函数在这个区间上 所有点的函数值都_________f( x)． 二、自我查验 1．函数f(x)＝x＋eln x的单调递增区间为() A．(0，＋∞) B．(－∞，0) C．(－∞，0)和(0，＋∞) D．R 2．若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调增函数，则m的取值范围是________． 3.函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x) 在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a， b)内有极小值点() A．1个B．2个 C．3个D．4个 4．若函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3时取得极值，则a等于() A．2 B．3 C．4 D．5 5.函数ln x =的最大值为（） y x A．1e-B．e C．2e D．10 3 【典型例题】 考点一利用导数研究函数的单调性 【例1】(2015·高考全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝ln x＋a(1－x)． (1)讨论f(x)的单调性； (2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围．
高中数学利用导数研究函数的性质( 极值与最值)
3.2利用导数研究函数的性质 第2课时导数与函数的极值、最值 一、基础知识 1．函数的单调性（复习） 在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减． 2．函数的极值 (1)一般地，求函数y＝f(x)的极值的方法 解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时： ①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值； ②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值． (2)求可导函数极值的步骤 ①求f′(x)； ②求方程f′(x)＝0的根； ③考查f′(x)在方程f′(x)＝0的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值． 3．函数的最值 (1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值． (2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值． 知识拓展 (1)对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件． (2)函数的极大值不一定比极小值大．
(3)对可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0是x 0点为极值点的必要不充分要条件． 二、基本题型 1.根据函数图象判断极值 【例1-1】 设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( ) A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1) B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1) C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2) D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2) 答案 D 解析 由题图可知，当x <－2时，f ′(x )>0；当－22时，f ′(x )>0.由此可以得到函数f (x )在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值． 【变式1-1】函数f (x )的定义域为R ，导函数f ′(x )的图象如图所示，则函数f (x )( ) A ．无极大值点、有四个极小值点 B ．有三个极大值点、一个极小值点 C ．有两个极大值点、两个极小值点 D ．有四个极大值点、无极小值点 【答案】 C 【解析】 导函数的图象与x 轴的四个交点都是极值点，第一个与第三个是极大值点，第二个与第四个是极小值点． 2.求函数的极值和极值点 【例2-1】设函数f (x )＝2x ＋ln x ，则( ) A ．x ＝12为f (x )的极大值点 B ．x ＝12 为f (x )的极小值点 C ．x ＝2为f (x )的极大值点 D ．x ＝2为f (x )的极小值点 【答案】 D 【解析】 f ′(x )＝－2x 2＋1x ＝x －2x 2(x >0)，当02时，f ′(x )>0， ∴x ＝2为f (x )的极小值点．
导数在研究函数中的应用练习题
导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性 在某个区间(a，b)内，如果f′(x)______0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)______0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减. 2.函数的极值 (1)判断f(x0)是极值的方法 一般地，当函数f(x)在点x0处连续时， ①如果在x0附近的左侧________，右侧________，那么f(x0)是极大值； ②如果在x0附近的左侧________，右侧________，那么f(x0)是极小值. (2)求可导函数极值的步骤 ①求f′(x)； ②求方程________的根； ③检查f′(x)在方程________的根左右值的符号.如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得__________；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得__________. 3.函数的最值 (1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值. (2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则________为函数的最小值，________为函数的最大值；若函 数f(x)在[a，b]上单调递减，则________为函数的最大值，________为函数的最小值. (3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下： ①求f(x)在(a，b)内的________； ②将f(x)的各极值与____________比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 要点梳理 1.>< 2.(1)①f′(x)>0f′(x)<0②f′(x)<0f′(x)>0(2)②f′(x)＝0③f′(x)＝0极大值极小值 3.(2)f(a)f(b)f(a)f(b) (3)①极值②f(a)，f(b) 1. f(x)＝3x－x3的单调减区间为_____________________________________________. 2.函数f(x)＝e x－x在区间(－∞，0)内是单调__________(填“增函数”或“减函数”). 3.函数f(x)＝x3＋ax－2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________. 4.如图是y＝f(x)导数的图象，对于下列四个判断： ①f(x)在[－2，－1]上是增函数； ②x＝－1是f(x)的极小值点； ③f(x)在[－1,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数； ④x＝3是f(x)的极小值点. 其中正确的判断是________.(填序号)
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的单调性 一、选择题 1.函数f (x )＝x ln x ，则( ) A.在(0，＋∞)上递增 B.在(0，＋∞)上递减 C.在? ? ???0，1e 上递增 D.在? ? ???0，1e 上递减 解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1，令f ′(x )>0得x >1 e ， 令f ′(x )<0得00. 答案 C 3.已知函数f (x )＝1 2x 3＋ax ＋4，则“a >0”是“f (x )在R 上单调递增”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 f ′(x )＝3 2x 2＋a ，当a ≥0时，f ′(x )≥0恒成立，故“a >0”是“f (x ) 在R 上单调递增”的充分不必要条件. 答案 A 4.已知函数y ＝f (x )的图象是下列四个图象之一，且其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则该函数的图象是( )
解析由y＝f′(x)的图象知，y＝f(x)在[－1，1]上为增函数，且在区间(－1，0)上增长速度越来越快，而在区间(0，1)上增长速度越来越慢. 答案 B 5.设函数f(x)＝1 2 x2－9ln x在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值 范围是( ) A.(1，2] B.(4，＋∞] C.[－∞，2) D.(0，3] 解析∵f(x)＝1 2 x2－9ln x，∴f′(x)＝x－ 9 x (x>0)， 当x－9 x ≤0时，有00且a＋1≤3，解得10得 x>1. 答案(1，＋∞) 7.已知a≥0，函数f(x)＝(x2－2ax)e x，若f(x)在[－1，1]上是单调减函数，则实数a的取值范围是________.
利用导数求函数值域
利用导数求函数最值 高二苏庭 导数是对函数的图像与性质的总结与拓展，导数是研究函数单调性极佳、最佳的重要工具，在掌握求函数的极值和最值的基础上学习用导数解决生产生活中的有关最大最小最有效等类似的应用问题广泛运用在讨论函数图像的变化趋势及证明不等式等方面。 导数是初等数学与高等数学的重要衔接点，是高考的热点，高考对导数的考查定位于作为解决初等数学问题的工具出现，高考对这部分内容的考查将仍会以导数的应用题为主，如利用导数处理函数的极值、最值和单调性问题和曲线的问题等，考题不难，侧重知识之意。 导数应用主要有以下三个方面： ①运用导数的有关知识研究函数的单调性和最值问题， ②利用导数的几何意义，研究曲线的切线斜率。函数y=f(x)在x=x0处的导数，表示曲线在点P（x0 , y0）处的切线斜率。 由导数来求最值问题的方法可知，解这类实际问题需先建立函数关系，再求极值点，确定最值点及最值．在设变量时可采用直接法也可采用间接法．
求函数极值时，导数值为0的点是该点为极值点的必要条件，但不是充分条件。 运用导数确定函数单调区间的一般步骤为： （1）求出函数y=f(x)的导函数； （2）在函数定义域内解不等式得函数y=f(x)的单调增区间；解不等式得函数y=f(x)的单调减区间。 例题剖析 例1、求函数的值域. 分析： 求函数的值域以前学过一些方法，也可利用求导的方法，根据函数的单调性求解. 解答： 函数的定义域由求得，即x≥－2.
当x>－2时，y′>0，即函数，在（－2，＋∞）上是增函数，又f(－2)=－1，∴所求函数的值域为[－1，＋∞）. 点评： （1）从本题的解答过程可以看到，当单调区间与函数的值域相同时，才可使用此法，否则会产生错误. （2）求值域时，当x=－2，函数不可导，但函数 在[－2，＋∞）上是连续的，函数图象是连续变化的，因此在x=－2时，取得最小值. 例2、把长度为16cm的线段分成两段，各围成一个正方形，它们的面积之和的最小值为多少？ 分析：建立面积和与一正方形的周长的函数关系，再求最小值． 解答：设一段长为xcm，则另一段长(16－x)cm． ∴面积和 ∴S′＝－2，令S′＝0有x＝8． 列表：
高三数学专题复习 函数的零点与导数的应用关系
高三数学专题复习 函数的零点与导数的应用关系 21、（本题满分14分） 已知函数1()ln ,()f x a x a R x =-∈其中 （1）设()(),h x f x x =+讨论()h x 的单调性。 （2）若函数()f x 有唯一的零点，求a 取值范围。 21．解：（1）1()ln h x a x x x =-+，定义域为(0,)+∞………………1分 22211()1a ax x h x x x x ++'=++=………………2分 令22()1,4g x x ax a =++?=- 当0?≤，即22a -≤≤时()0g x ≥，()0h x '≥此时()h x 在(0,)+∞上单调递增。………………4分 当0?>即2a <-或2a >时，由()0g x =得1x =，2x = ………………5分 若2a >则10x <又1210x x =>所以20x < 故()0h x '>在(0,)+∞上恒成立 所以()h x 在(0,)+∞单调递增……………………6分 若2a <-则20x >又1210x x =>所以20x > 此时当1(0,)x x ∈时()0h x '>；当12(,)x x x ∈时()0h x '<当2(,)x x ∈+∞时()0h x '> 故()h x 在1(0,)x ，2(,)x +∞上单调递增，在12(,)x x 单调递减……………………7分 综上，当2a ≥-时()h x 在(0,)+∞上单调递增 当2a <-时()h x 在1(0,)x ，2(,)x +∞单调递增，在12(,)x x 单调递减……………8分 （2）方法1：问题等价于1ln a x x = 有唯一实根 显然0a ≠则关于x 的方程1ln x x a =有唯一实根……………10分 构造函数()ln x x x ?=，则()1ln x x ?'=+ 由0ln 1'=+=x ?，得e x 1=
利用导数研究函数的极值、最值
利用导数研究函数的极值、最值 【例1－1】设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( ) A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1) C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2) D.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2) 角度2已知函数求极值 【例1－2】已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R). (1)当a＝1 2 时，求f(x)的极值； (2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数. 【训练1】 (1)(角度1)已知函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)上的图象如图所示，则函数f(x)在(a，b)上的极大值点的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 (2)(角度2) 设函数f(x)＝(x－a)(x－b)(x－c)，a，b，c∈R，f′(x)为f(x)的导函数. ①若a＝b＝c，f(4)＝8，求a的值； ②若a≠b，b＝c，且f(x)和f′(x)的零点均在集合{－3，1，3}中，求f(x)的极小值. 考点二已知函数的极值求参数
【例2】设函数f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x . (1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行，求a ； (2)若f (x )在x ＝2处取得极小值，求a 的取值范围. 【训练2】 已知函数f (x )＝ax 3 ＋bx 2 ＋cx －17(a ，b ，c ∈R)的导函数为f ′(x )，f ′(x )≤0的解集为{x |－2≤x ≤3}，若f (x )的极小值等于－98，则a 的值是( ) A.－8122 B.1 3 C.2 D.5 考点三 利用导数求函数的最值 【例3】 已知函数f (x )＝2x 3 －ax 2＋2. (1)讨论f (x )的单调性； (2)(经典母题)当0人教版数学高二选修2-2作业1.3导数在研究函数中的应用课时作业4
课时作业 函数的最大(小)值与导数 A 组 基础巩固 1．函数y ＝f (x )＝ln x x 的最大值为( ) A ．e －1 B ．e C ．e 2 D ．10 解析：令y ′＝ln x ′x －ln x x 2＝1－ln x x 2＝0?x ＝e. 当x ＞e 时，y ′＜0；当0＜x ＜e 时，y ′＞0， 所以y 极大值＝f (e)＝e －1 ， 在定义域内只有一个极值，所以y max ＝e －1. 答案：A 2．函数f (x )＝1x ＋1＋x (x ∈[1,3])的值域为( ) A ．(－∞，1)∪(1，＋∞) B.???? ??32，＋∞ C.? ????32，134 D.???? ??32，134 解析：f ′(x )＝－1x ＋12＋1＝x 2＋2x x ＋12 ， 所以在[1,3]上f ′(x )＞0恒成立，即f (x )在[1,3]上单调递增． 所以f (x )的最大值是f (3)＝ 134，最小值是f (1)＝32 .故选D. 答案：D 3．若函数f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x ＋a 在区间[－2，－1]上的最大值为2，则它在该区间上的最小值为 ( ) A ．－5 B ．7 C ．10 D ．－19 解析：f ′(x )＝－3x 2＋6x ＋9＝－3(x －3)·(x ＋1)． 令f ′(x )＝0，得x ＝3或－1. ∵x ∈[－2，－1]时，f ′(x )＜0， ∴f (x )在[－2，－1]上递减． ∴f (－2)＝2，即a ＋2＝2，a ＝0，它的最小值为f (－1)＝－5. 答案：A 4．f (x )＝2x －cos x 在(－∞，＋∞)上( ) A ．是增函数 B ．是减函数 C ．有最大值 D ．有最小值
《导数在研究函数中的应用—函数的单调性与导数》说课稿
《导数在研究函数中的应用—函数的单调性与导数》说课稿 周国会 一、教材分析 1教材的地位和作用 “函数的单调性和导数”这节新知识是在教材选修1—1，第三章《导数及其应用》的函数的单调性与导数.本节计划两个课时完成。在练习解二次不等式、含参数二次不等式的问题后，结合导数的几何意义回忆函数的单调性与函数的关系。例题精讲强化函数单调性的判断方法，例题的选择有梯度，由无参数的一般问题转化为解关于导函数的不等式，再解关于含参数的问题，最后提出函数单调性与导数关系逆推成立。培养学生数形结合思想、转化思想、分类讨论的数学思想。能利用导数研究函数的单调性；会求函数的单调区间.在高考中常利用导数研究函数的单调性，并求单调区间、极值、最值、以及利用导数解决生活中的优化问题。其中利用导数判断单调性起着基础性的作用，形成初步的知识体系，培养学生掌握一定的分析问题和解决问题的能力。 （一）知识与技能目标： 1、能探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间； 2、能解决含参数函数的单调性问题以及函数单调性与导数关系逆推。 （二）过程与方法目标： 1、通过本节的学习，掌握用导数研究函数单调性的方法。 2、培养学生的观察、比较、分析、概括的能力，数形结合思想、转化思想、分类讨论的数学思想。 （三）情感、态度与价值观目标： 1、通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结， 2、培养学生的探索精神，渗透辩证唯物主义的方法论和认识论教育。激发学生独立思考和创新的意识，让学生有创新的机会，充分体验成功的喜悦，开发了学生的自我潜能。（四）教学重点，难点 教学重点：利用导数研究函数的单调性、求函数的单调区间。 教学难点：探求含参数函数的单调性的问题。 二、教法分析 针对本知识点在高考中的地位、作用，以及学生前期预备基础，应注重理解函数单调性与导数的关系，进行合理的推理，引导学生明确求可导函数单调区间的一般步骤和方法，无参数的一般问题转化为解关于导函数的不等式。解关于含参数的问题，注意分类讨论点的确认，灵活应用已知函数的单调性求参数的取值范围。采用启发式教学，强调数形结合思想、转化思想、分类讨论的数学思想的应用，培养学生的探究精神，提高语言表达和概括能力，
2019高考数学二轮复习第二编专题二函数与导数第2讲导数及其应用配套作业文
第2讲导数及其应用 配套作业 一、选择题 1．(2018·成都模拟)已知函数f (x )＝x 3 －3ax ＋14 ，若x 轴为曲线y ＝f (x )的切线，则a 的值为() A.12B ．－12 C ．－34D. 14 答案 D 解析 f ′(x )＝3x 2 －3a ，设切点坐标为(x 0,0)，则 ??? ?? x30－3ax0＋14＝0，3x2 0－3a ＝0，解得????? x0＝1 2，a ＝1 4， 故选D. 2．(2018·赣州一模)函数f (x )＝12 x 2 －ln x 的递减区间为() A ．(－∞，1) B ．(0,1) C ．(1，＋∞) D．(0，＋∞) 答案 B 解析 f (x )的定义域是(0，＋∞)， f ′(x )＝x －1 x ＝ x2－1 x ， 令f ′(x )＜0，解得0＜x ＜1， 故函数f (x )在(0,1)上递减．故选B. 3．(2018·安徽示范高中二模)已知f (x )＝ln x x ，则() A ．f (2)＞f (e)＞f (3) B ．f (3)＞f (e)＞f (2) C ．f (3)＞f (2)＞f (e) D ．f (e )＞f (3)＞f (2) 答案 D 解析 f (x )的定义域是(0，＋∞)， 因为f ′(x )＝1－ln x x2 ，所以x ∈(0，e)，f ′(x )>0； x ∈(e ，＋∞)，f ′(x )<0， 故x ＝e 时，f (x )max ＝f (e)， 而f (2)＝ln 22＝ln 86，f (3)＝ln 33＝ln 9 6 ， f (e)>f (3)>f (2)．故选D. 4．(2018·安徽芜湖模拟)设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1
(完整版)导数与函数的极值、最值问题(解析版)
【高考地位】 导数在研究函数的极值与最值问题是高考的必考的重点内容，已由解决函数、数列、不等式问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的极值与最值、零点的个数等问题，在高考中以各种题型中均出现，对于导数问题中求参数的取值范围是近几年高考中出现频率较高的一类问题，其试题难度考查较大. 【方法点评】 类型一 利用导数研究函数的极值 使用情景：一般函数类型 解题模板：第一步 计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ； 第二步 求方程'()0f x =的根； 第三步 判断'()f x 在方程的根的左、右两侧值的符号； 第四步 利用结论写出极值. 例1 已知函数x x x f ln 1 )(+= ，求函数()f x 的极值. 【答案】极小值为1，无极大值. 【点评】求函数的极值的一般步骤如下：首先令'()0f x =，可解出其极值点，然后根据导函数大于0、小于0即可判断函数()f x 的增减性，进而求出函数()f x 的极大值和极小值． 【变式演练1】已知函数322()f x x ax bx a =+++在1x =处有极值10，则(2)f 等于（ ） A ．11或18 B ．11 C ．18 D ．17或18 【答案】C 【解析】
试题分析：b ax x x f ++='23)(2,???=+++=++∴1010232 a b a b a ???-==????=----=?114012232b a a a a b 或???=-=33 b a ．当???=-=3 3 b a 时,∴≥-=',0)1(3)(2x x f 在1=x 处不存在极值． 当???-==11 4b a 时， )1)(113(1183)(2-+=-+='x x x x x f ，0)(),1,3 11 (<'- ∈∴x f x ；0)(),,1(>'+∞∈x f x ,符合题意． 所以???-==114b a ．181622168)2(=+-+=∴f ．故选C ． 考点：函数的单调性与极值． 【变式演练2】设函数()21 ln 2 f x x ax bx =--，若1x =是()f x 的极大值点，则a 的取值范围为 （ ） A ．()1,0- B ．()1,-+∞ C ．()0,+∞ D ．()(),10,-∞-+∞U 【答案】B 【解析】 考点：函数的极值． 【变式演练3】函数x m x m x x f )1(2)1(2 1 31)(23-++-=在)4,0(上无极值，则=m _____. 【答案】3 【解析】 试题分析：因为x m x m x x f )1(2)1(2 1 31)(23-++-= ， 所以()()2'()(1)2(1)21f x x m x m x x m =-++-=--+，由()'0f x =得2x =或1x m =-，又因为
高考数学第二章 函数与导数第12课时 导数在研究函数中的应用
第二章 函数与导数第12课时 导数在研究函数中的应用 第三章 (对应学生用书(文)、(理)30～32页 ) , 1. (选修22P 28例1改编)函数f(x)＝x 3 －15x 2 －33x ＋6的单调减区间为______________． 答案：(－1，11) 解析：f′(x)＝3x 2 －30x －33＝3(x －11)(x ＋1)，由(x －11)(x ＋1)<0，得单调减区间为(－1，11)．亦可填写闭区间或半开半闭区间． 2. (选修22P 34习题3改编)若函数f(x)＝e x －ax 在x ＝1处取到极值，则a ＝________． 答案：e 解析：由题意，f ′(1)＝0，因为f′(x)＝e x －a ，所以a ＝e. 3. (选修22P 34习题8)函数y ＝x ＋sinx ，x ∈[0，2π]的值域为________． 答案：[0，2π] 解析：由y′＝1＋cosx ≥0，所以函数y ＝x ＋sinx 在[0，2π]上是单调增函数，所以值域为[0，2π]． 4. (原创)已知函数f(x)＝－12x 2 ＋blnx 在区间[2，＋∞)上是减函数，则b 的取值范 围是________． 答案：(－∞，4] 解析：f′(x)＝－x ＋b x ≤0在[2，＋∞)上恒成立，即b≤x 2 在[2，＋∞)上恒成立． 5. (选修22P 35例1改编)用长为90cm 、宽为48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻折90°角，再焊接而成，则该容器的高为________cm 时，容器的容积最大． 答案：10 解析：设容器的高为xcm ，即小正方形的边长为xcm ，该容器的容积为V ，则V ＝(90－ 2x)(48－2x)x ＝4(x 3－69x 2＋1080x)，00；当10用导数研究函数的恒成立与存在性问题-答案
用导数研究函数的恒成立与存在问题 1．已知函数23()2ln x f x x x a = -+，其中a 为常数． （1）若1a =，求函数()f x 的单调区间； （2）若函数()f x 在区间[1,2]上为单调函数，求a 的取值范围． 2．已知函数3 2 ()4()f x x ax a R =-+-∈，'()f x 是()f x 的导函数。 （1）当2a =时，对于任意的[1,1]m ∈-，[1,1]n ∈-，求()()f m f n '+的最小值； （2）若存在0(0,)x ∈+∞，使0()f x ＞0，求a 的取值范围。
3．已知函数x ax x f ln )(+= )(R a ∈. （1）若2=a ，求曲线)(x f y =在点1x =处的切线方程； （2）求)(x f 的单调区间； （3）设22)(2 +-=x x x g ，若对任意1(0,)x ∈+∞，均存在[]1,02∈x ，使得)()(21x g x f <， 求实数a 的取值范围.
4．（2016届惠州二模）已知函数()22ln f x x x =-+． （Ⅰ）求函数()f x 的最大值； （Ⅱ）若函数()f x 与()a g x x x =+ 有相同极值点． ①求实数a 的值； ②对121,,3x x e ???∈???? (e 为自然对数的底数)，不等式 ()() 1211 f x g x k -≤-恒成立，求实数k 的取值范围．
5．已知函数2 12 ()()ln ()f x a x x a R =-+∈． （1）当1a =时，01[,]x e ?∈使不等式0()f x m ≤，求实数m 的取值范围； （2）若在区间1(,)+∞，函数()f x 的图象恒在直线2y ax =的下方，求实数a 的取值范围．
用导数法求函数的最值的练习题解析
用导数法求函数的最值的练习题解析 一、选择题 1．函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的最大值是M ，最小值是m ，若M ＝m ，则f ′(x )( ) A ．等于0 B ．大于0 C ．小于0 D ．以上都有可能 [答案] A [解析] ∵M ＝m ，∴y ＝f (x )是常数函数 ∴f ′(x )＝0，故应选A. 2．设f (x )＝14x 4＋13x 3＋1 2x 2在[－1,1]上的最小值为( ) A ．0 B ．－2 C ．－1 D.1312 [答案] A [解析] y ′＝x 3＋x 2＋x ＝x (x 2＋x ＋1) 令y ′＝0，解得x ＝0. ∴f (－1)＝512，f (0)＝0，f (1)＝13 12 ∴f (x )在[－1,1]上最小值为0.故应选A. 3．函数y ＝x 3＋x 2－x ＋1在区间[－2,1]上的最小值为( ) A.22 27 B ．2 C ．－1 D ．－4 [答案] C [解析] y ′＝3x 2＋2x －1＝(3x －1)(x ＋1) 令y ′＝0解得x ＝1 3或x ＝－1
当x ＝－2时，y ＝－1；当x ＝－1时，y ＝2； 当x ＝13时，y ＝22 27；当x ＝1时，y ＝2. 所以函数的最小值为－1，故应选C. 4．函数f (x )＝x 2－x ＋1在区间[－3,0]上的最值为( ) A ．最大值为13，最小值为3 4 B ．最大值为1，最小值为4 C ．最大值为13，最小值为1 D ．最大值为－1，最小值为－7 [答案] A [解析] ∵y ＝x 2－x ＋1，∴y ′＝2x －1， 令y ′＝0，∴x ＝1 2，f (－3)＝13，f ? ?? ??12＝34，f (0)＝1. 5．函数y ＝x ＋1－x 在(0,1)上的最大值为( ) A. 2 B ．1 C ．0 D ．不存在 [答案] A [解析] y ′＝1 2x －121－x ＝12·1－x －x x ·1－x 由y ′＝0得x ＝1 2，在? ????0，12上y ′>0，在? ????12，1上 y ′<0.∴x ＝1 2时y 极大＝2， 又x ∈(0,1)，∴y max ＝ 2. 6．函数f (x )＝x 4－4x (|x |<1)( ) A ．有最大值，无最小值 B ．有最大值，也有最小值
(完整版)导数知识点总结及应用
《导数及其应用》知识点总结 一、导数的概念和几何意义 1. 函数的平均变化率：函数()f x 在区间12[,]x x 上的平均变化率为： 2121 ()() f x f x x x --。 2. 导数的定义：设函数()y f x =在区间(,)a b 上有定义，0(,)x a b ∈，若x ?无限趋近于0时，比值00()()f x x f x y x x +?-?=??无限趋近于一个常数A ，则称函数()f x 在0x x =处可导，并称该常数A 为函数()f x 在0x x =处的导数，记作0()f x '。函数()f x 在0x x =处的导数的实质是在该点的瞬时变化率。 3. 求函数导数的基本步骤：（1）求函数的增量00()()y f x x f x ?=+?-；（2）求平均变化率：00()()f x x f x x +?-?；（3）取极限，当x ?无限趋近与0时，00()() f x x f x x +?-?无限趋近与一个常数A ，则 0()f x A '=. 4. 导数的几何意义： 函数()f x 在0x x =处的导数就是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率。由此，可以利用导数求曲线的切线方程，具体求法分两步： （1）求出()y f x =在x 0处的导数，即为曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率； （2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为000()()y y f x x x '-=-。 当点00(,)P x y 不在()y f x =上时，求经过点P 的()y f x =的切线方程，可设切点坐标，由切点坐标得到切线方程，再将P 点的坐标代入确定切点。特别地，如果曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线平行与y 轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为0x x =。 5. 导数的物理意义： 质点做直线运动的位移S 是时间t 的函数()S t ，则()V S t '=表示瞬时速度，()a v t '=表示瞬时加速度。 二、导数的运算 1. 常见函数的导数： （1）()kx b k '+=(k , b 为常数)； （2）0C '=(C 为常数)； （3）()1x '=； （4）2()2x x '=； （5）32()3x x '=； （6）211()x x '=-； （7 ）'； （8）1()ααx αx -'=（α为常数）；
利用导数研究函数的极值、最值
利用导数研究函数的极值、最值 一、选择题 1.(2016·四川卷)已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝( ) A.－4 B.－2 C.4 D.2 解析f′(x)＝3x2－12，∴x<－2时，f′(x)>0，－22时， f′(x)>0，∴x＝2是f(x)的极小值点. 答案 D 2.函数f(x)＝1 2 x2－ln x的最小值为( ) A.1 2 B.1 C.0 D.不存在 解析f′(x)＝x－1 x ＝ x2－1 x ，且x>0.令f′(x)>0，得x>1；令f′(x)<0，得 0解析 设圆柱的底面半径为R ，母线长为l ，则V ＝πR 2 l ＝27π，∴l ＝27R 2， 要使用料最省，只须使圆柱的侧面积与下底面面积之和S 最小. 由题意，S ＝πR 2＋2πRl ＝πR 2＋2π·27 R . ∴S ′＝2πR －54π R 2 ，令S ′＝0，得R ＝3，则当R ＝3时，S 最小.故选A. 答案 A 5.(2017·东北四校联考)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是( ) A.(－1，2) B.(－∞，－3)∪(6，＋∞) C.(－3，6) D.(－∞，－1)∪(2，＋∞) 解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)， 由已知可得f ′(x )＝0有两个不相等的实根. ∴Δ＝4a 2－4×3(a ＋6)>0，即a 2－3a －18>0， ∴a >6或a <－3. 答案 B 二、填空题 6.(2017·肇庆模拟)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，若x ＝－3是函数f (x )的一个极值点，则实数a ＝________. 解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3. 依题意知，－3是方程f ′(x )＝0的根， 所以3×(－3)2＋2a ×(－3)＋3＝0，解得a ＝5. 经检验，a ＝5时，f (x )在x ＝－3处取得极值. 答案 5 7.(2016·北京卷改编)设函数f (x )＝???x 3 －3x ，x ≤0， －2x ，x >0，则f (x )的最大值为 ________. 解析 当x >0时，f (x )＝－2x <0； 当x ≤0时，f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)，当x <－1时，f ′(x )>0，f (x )是增函数，当－1
