2020届江苏省泰州市高三下学期调研测试数学试题(解析版)

2020届江苏省泰州市高三下学期调研测试数学试题

一、填空题

1．已知集合{}1,2A =，{}2,48B =,

，则A B =U _______． 【答案】{}1,2,4,8

【解析】利用并集的定义可求得集合A B U . 【详解】

{}1,2A =Q ，{}2,48B =,

，{}1,2,4,8A B ∴=U . 故答案为：{}1,2,4,8. 【点睛】

本题考查并集的计算，考查计算能力，属于基础题.

2．若实数x 、y 满足()1x yi x y i +=-+-（i 是虚数单位），则xy =_______． 【答案】

1

2

【解析】根据复数相等建立方程组，求出x 、y 的值，进而可得出xy 的值. 【详解】

()1x yi x y i +=-+-Q ，1x y x y =-?∴?=-?，解得1

12x y =-??

?=-??

，因此，12xy =.

故答案为：1

2

. 【点睛】

本题考查利用复数相等求参数，考查计算能力，属于基础题.

3．如图是容量为100的样本的频率分布直方图，则样本数据落在区间[)6,18内的频数为_______．

【答案】80

【解析】将样本数据落在区间[)6,18内的频率乘以100可得出结果. 【详解】

由直方图可知，样本数据落在区间[)6,18内的频率为()0.080.090.0340.8++?=， 因此，样本数据落在区间[)6,18内的频数为1000.880?=. 故答案为：80. 【点睛】

本题考查利用频率分布直方图计算频数，解题时要明确频率、频数与总容量之间的关系，考查计算能力，属于基础题.

4．根据如图所示的伪代码，可得输出的S 的值为_______．

【答案】8

【解析】根据算法程序列举出算法的每一步，进而可得出输出的S 的值. 【详解】

15I =<成立，123I =+=，336S =+=； 35I =<成立，325I =+=，538S =+=； 55I =<不成立，跳出循环体，输出S 的值为8.

故答案为：8. 【点睛】

本题考查利用算法程序计算输出的值，一般要求将算法的每一步计算出来，考查计算能力，属于基础题.

5．双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的一条渐近线方程为2y x =，则离心率等于___.

5【解析】根据双曲线方程得渐近线方程，再根据条件得

b

a

＝2，最后得离心率.

【详解】

双曲线的渐近线方程为：b

y x a

=±， 所以，

b

a

＝2，

离心率为：c e a ==== 【点睛】

本题考查双曲线渐近线方程以及离心率，考查基本分析求解能力，属基础题.

6．将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1、2、3、4、5、6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，这两次出现向上的点数分别记为x 、y ，则1x y -=的概率是_______． 【答案】

518

【解析】计算出基本事件总数，列举出事件“1x y -=”所包含的基本事件，然后利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率. 【详解】

将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，基本事件总数为2636=，

其中，事件“1x y -=”所包含的基本事件有：()1,2、()2,1、()2,3、()3,2、()3,4、

()4,3、()4,5、()5,4、()5,6、()6,5，共10种情况，

因此，所求事件的概率为105

3618

=. 故答案为：518

. 【点睛】

本题考查古典概型概率的计算，考查计算能力，属于基础题.

7．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线24y x =上一点P 到焦点F 的距离是它到y 轴距离的3倍，则点P 的横坐标为_______． 【答案】

12

【解析】设点P 的坐标为()00,x y ，根据抛物线的定义可得出关于0x 的方程，解出0x 的值即可得解. 【详解】

设点P 的坐标为()00,x y ，则00x >，抛物线的准线方程为1x =-， 由于点P 到焦点F 的距离是它到y 轴距离的3倍，则0013x x +=，解得012

x =. 因此，点P 的横坐标为12

. 故答案为：12

. 【点睛】

本题考查抛物线上点的坐标的求解，考查了抛物线定义的应用，考查计算能力，属于基础题.

8．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关……”其大意为：“某人从距离关口三百七十八里处出发，第一天走得轻快有力，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程为前一天的一半，共走了六天到达关口……” 那么该人第一天走的路程为______________ 【答案】192

【解析】根据题意，记每天走的路程里数为{a n }，可知{a n }是公比为1

2

的等比数列，又由6天走完378里，利用求和公式即可得出． 【详解】

根据题意，记每天走的路程里数为{a n }，可知{a n }是公比为1

2

的等比数列， 又由6天走完378里，

则S 6611[1)2112

a ??- ?

??=

=-378， 解可得：a 1＝192，

即该人第一天走的路程为192里． 故答案为：192里． 【点睛】

本题考查了等比数列求和公式的应用，考查了推理能力与计算能力，注重了数学文化的考查，属于基础题．

9．若定义在R 上的奇函数()f x 满足()()4f x f x +=，()11f =，则

()()()678f f f ++的值为_______．

【答案】1-

【解析】利用函数()y f x =的周期性和奇偶性分别求出()6f 、()7f 、()8f 的值，进而可得出结果. 【详解】

由于定义在R 上的奇函数()y f x =满足()()4f x f x +=，则该函数是周期为4的周期函数，且()11f =，

则()()800f f ==，()()()7111f f f =-=-=-，()()()622f f f =-=， 又()()22f f -=-，()20f ∴=，则()60f =， 因此，()()()6781f f f ++=-. 故答案为：1-. 【点睛】

本题考查利用函数的周期性和奇偶性求函数值，考查计算能力，属于中等题.

10．将半径为R 的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面，若圆锥的体积为，则

R =_______．

【答案】6

【解析】设圆锥的底面半径为r ，根据半圆弧长等于圆锥底面圆的周长可得出r 与R 的等量关系，并求出圆锥的高，得出圆锥的体积，由此可求得R 的值. 【详解】

设圆锥的底面半径为r ，由于半圆弧长等于圆锥底面圆的周长，则2r R ππ=，

2

R r ∴=，

圆锥的高为2

h R =

=

，

则圆锥的体积为22311334224

R V r h R R ππ==??==，解得6R =.

故答案为：6. 【点睛】

本题考查由圆锥的体积求参数，考查计算能力，属于中等题. 11．若函数()2

,1,x a x a

f x x x a +≥?=?

-

只有一个零点，则实数a 的取值范围为_______. 【答案】(](],10,1-∞-U

【解析】分1a ≤-、11a -<≤、1a >三种情况讨论，结合函数()y f x =只有一个零点得出关于实数a 的不等式（组），即可求得实数a 的取值范围. 【详解】

函数2

1y x =-的零点为±1.

①当1a ≤-时，函数()y f x =在区间(),a -∞上无零点，

则函数()y f x =在区间[),a +∞上有零点a -，可得a a -≥，解得0a ≤，此时1a ≤-； ②当11a -<≤时，函数()y f x =在区间(),a -∞上有零点1-，

则函数()y f x =在区间[),a +∞上无零点，则a a -<，解得0a >，此时01a <≤； ③当1a >时，函数()y f x =在区间(),a -∞上的零点为±1，不合乎题意. 综上所述，实数a 的取值范围是(](],10,1-∞-U . 故答案为：(](],10,1-∞-U . 【点睛】

本题考查利用函数的零点个数求参数，解答的关键就是对参数进行分类讨论，考查运算求解能力，属于中等题.

12．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()11,A x y 、()22,B x y 在圆22:4O x y +=上，且满足12122x x y y +=-，则1212x x y y +++的最小值是_______．

【答案】-【解析】求得23

AOB π

∠=，设点()2cos ,2sin A αα、()2cos ,2sin B ββ，设b a >，可得出()223

k k N π

βαπ=+

+∈，然后利用三角恒等变换思想结合正弦函数的有界性可求得1212x x y y +++的最小值. 【详解】

由题意可得()11,OA x y =u u u r 、()22,OB x y =u u u r ，12122OA OB x x y y ?=+=-u u u r u u u r

，

所以，1cos 2OA OB AOB OA OB ?∠==-?u u u r u u u r u u u r u u u r ，0AOB π<∠

AOB π∴∠=，

设点()2cos ,2sin A αα、()2cos ,2sin B ββ，

设b a >，则()223

k k N π

βαπ=++∈， 所以，

12122cos 2cos 2sin 2sin x x y y αβαβ

+++=+++222cos 2cos 22sin 2sin 233k k ππααπααπ????

=+++++++ ? ?

????

()()

()13sin 13cos 22sin ααα?=-++=--，

?为锐角，且31tan 2331

?+==+-，

因此，1212x x y y +++的最小值22-. 故答案为：22-. 【点睛】

本题考查代数式最值的计算，考查了平面向量数量积的应用，同时也考查了三角恒等变换思想的应用，考查计算能力，属于中等题.

13．在锐角ABC V 中，点D 、E 、F 分别在边AB 、BC 、CA 上，若3AB AD =u u u r u u u r

，

AC AF λ=u u u r u u u r ，且26BC ED EF ED ?=?=u u u r u u u r u u u r u u u r

，1ED =u u u r ，则实数λ的值为_______．

【答案】3

【解析】将EF u u u r

表示为1113

3EF BC AC λ

??=+- ???

u u u r u u u r u u u r ，由题意得知ED u u u r 与AC u u u r 不垂直，由

3ED EF ?=u u u r u u u r 可得出11

03

λ-=，进而可求得实数λ的值.

【详解】 如下图所示：

3AB AD =u u u r u u u r Q ，AC AF λ=u u u

r u u u r ，13AD AB ∴=u u u r u u u r ，1AF AC λ

=u u u r u u u r ，

()

11111333EF ED AD AF ED AB AC ED AC AB AC

λλ??∴=-+=-+=+-+- ???

u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 11133ED BC AC λ??=++- ???

u u u r u u u r u u u r

，

ABC QV 是锐角三角形，则ED u u u r 与AC u u u

r 不垂直，即0ED AC ?≠u u u r u u u r ，

1ED =u u u r Q ，6ED BC ?=u u u r u u u r

，

则

21111113333ED EF ED ED BC AC ED ED BC ED AC

λλ???????=?++-=+?+-? ? ?????????

u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 11333ED AC λ??=+-?= ???u u u

r u u u r ，

即1103ED AC λ??-?= ???

u u u

r u u u r ， 0ED AC ?≠u u u r u u u r Q ，11

03

λ∴-=，因此，3λ=.

故答案为：3. 【点睛】

本题考查利用平面向量数量积求参数，解答的关键就是选择合适的基底表示向量，考查计算能力，属于中等题.

14．在ABC V 中，点D 在边BC 上，且满足AD BD =，23tan 2tan 30B A -+=，则

BD

CD

的取值范围为_______． 【答案】(]

1,2 【解析】作出图形，由23tan 2tan 30B A -+=得出()

23

tan tan 12

A B =

+，利用正弦定理和三角恒等变换思想得出24tan 4

1133tan 2tan 33tan 2tan BD B CD B B B B

=+=+

-++-，然后利用不等式的性质和基本不等式可求得BD

CD

的取值范围. 【详解】 如下图所示：

23tan 2tan 30B A -+=Q ，()

23

tan tan 12

A B ∴=

+， AD BD =Q ，BAD B ∴∠=，CAD A B ∠=-，且B 为锐角，

在ACD V 中，

()()sin sin sin cos cos sin sin sin sin cos cos sin A B BD AD C

A B A B CD CD CAD A B A B A B

++====

∠--()()

2222

23

tan 1tan tan tan 3tan 2tan 34tan 2113tan tan 3tan 2tan 33tan 2tan 3tan 1tan 2

B B

A B B B B A B B B B B B B +++++====+>--+-++-， 另一方面

24tan 41112

33tan 2tan 313tan 232tan 2tan tan BD B CD B B B B B B

=+=+≤=-++-??-， 当且仅当4

B π

=

时，等号成立，

因此，

BD

CD

的取值范围是(]1,2. 故答案为：(]1,2. 【点睛】

本题考查三角形中边长比值的取值范围的计算，考查了正弦定理、两角和与差的正弦公式以及基本不等式的应用，考查计算能力，属于中等题.

二、解答题

15．如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB AC =，点D 、E 、F 分別是AB 、AC 、BC 的中点．

（1）求证：//BC 平面PDE ； （2）求证：平面PAF ⊥平面PDE ． 【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】（1）利用中位线的性质得出//DE BC ，然后利用线面平行的判定定理可证得

//BC 平面PDE ；

（2）证明出DE PA ⊥，DE AF ⊥，利用线面垂直的判定定理可证得DE ⊥平面PAF ，再利用面面垂直的判定定理可得出平面PAF ⊥平面PDE ． 【详解】

（1）在ABC V 中，因为D 、E 分别是AB 、AC 的中点，所以//DE BC ， 因为BC ?平面PDE ，DE ?平面PDE ，所以//BC 平面PDE ； （2）因为PA ⊥平面ABC ，DE ?平面ABC ，所以PA DE ⊥， 在ABC V 中，因为AB AC =，F 是BC 的中点，所以AF BC ⊥， 因为//DE BC ，所以DE AF ⊥，

又因为AF PA A =I ，AF ?平面PAF ，PA ?平面PAF ，所以DE ⊥平面PAF ， 因为DE ?平面PDE ，所以平面PAF ⊥平面PDE ． 【点睛】

本题考查线面平行和面面垂直的证明，考查推理能力，属于中等题. 16．已知函数()2

1

sin sin cos 2

f x x x x =+-

，x ∈R ． （1）求函数()f x 的最大值，并写出相应的x 的取值集合；

（2）若()2f α=，3,88ππα??

∈- ???，求sin 2α的值．

【答案】（1）()f x 的最大值为

2

2，此时x 的取值集合为3,8x x k k Z ππ??=+∈????

；

（2）4sin 26

α+=

. 【解析】（1）利用三角恒等变换思想化简函数()y f x =的解析式为

()sin 224f x x π?

?=

- ???，可得出函数()y f x =的最大值，解方程()224

2

x k k Z π

π

π-

=

+∈可得出对应的x 的取值集合；

（2）由()6

f α=

得出1sin 243πα??-= ???，利用同角三角函数的基本关系求得

cos 24πα?

?- ??

?的值，然后利用两角和的正弦公式可求得sin 2α的值.

【详解】 （1）因为

()()211cos 2111

sin sin cos sin 2sin 2cos 222222

x f x x x x x x x -=+-

=+-=-

sin 2cos cos 2sin sin 224424x x x πππ??

?=

-=-? ????

?， 当()224

2

x k k Z π

π

π-

=+

∈，即()38

x k k Z π

π=+

∈时，函数()y f x =取最大值

，

所以函数()y f x =的最大值为

2，此时x 的取值集合为3,8x x k k Z ππ??=+∈????

；

（2）因为()6f α=

，则sin 2246πα?

?-=

??

?，即1sin 243πα??-= ???， 因为3,88ππα??

∈-

???

，所以2,422πππα??-∈- ???，

则cos 24πα??-=== ???，

所以

sin 2sin 2sin 2cos cos 2sin

444444ππππππαααα???????

?=-+=-+- ? ? ????

???????

1222242

32326

+=?+?=

. 【点睛】

本题考查正弦型函数最值的求解，同时也考查了利用两角和的正弦公式求值，考查计算能力，属于中等题.

17．某温泉度假村拟以泉眼C 为圆心建造一个半径为12米的圆形温泉池，如图所示，

M 、N 是圆C 上关于直径AB 对称的两点，以A 为圆心，AC 为半径的圆与圆C 的

弦AM 、AN 分别交于点D 、E ，其中四边形AEBD 为温泉区，I 、II 区域为池外休息区，III 、IV 区域为池内休息区，设MAB θ∠=．

（1）当4

π

θ=

时，求池内休息区的总面积（III 和IV 两个部分面积的和）；

（2）当池内休息区的总面积最大时，求AM 的长． 【答案】（1）2144(22)m -；（2）(3333)AM m =+

【解析】（1）计算出BM 、DM 的长，利用三角形的面积公式可求得III 和IV 两个部分面积的和；

（2）将BM 、DM 用含θ的代数式表示出来，可得出池内休息区的总面积S 关于θ的函数表达式，令()()sin 2cos 1f

θθθ=-，利用导数求出()f θ的最大值，并求出对

应的θ的值，由此可求得AM 的长. 【详解】

（1）在Rt ABM V 中，因为24AB =，4

π

θ=

，所以24cos

1224

MB AM π

===24cos

12122124

MD π

=-=，

所以池内休息区总面积)(()2

1

21214422

S MB DM m =?

?==；

（2）在Rt ABM V 中，因为24AB =，MAB θ∠=， 所以24sin BM θ=，24cos AM θ=，

24cos 12MD θ=-，由24sin 0BM θ=>，24cos 120MD θ=->得πθ0,3

骣琪?琪桫， 则池内休息区总面积

()()1

224sin 24cos 12288sin 2cos 12

S MB DM θθθθ=??=-=-，πθ0,3

骣琪?

琪桫； 设()()sin 2cos 1f θθθ=-，πθ0,3

骣琪?琪桫， 因为

()()221cos 2cos 12sin 4cos cos 20cos 8

f θθθθθθθ=--=--=?='

又1cos 2

θ=>，所以00,3πθ???∈ ???，使得01cos 8θ+=， 则当()00,x θ∈时，()()0f f θθ'>?在()00,θ上单调增，

当0,3x πθ??

∈ ??

?

时，()()0f f θθ'

θ是极大值，也是最大值，所以()()0max f f θθ=，此时

024cos 3AM θ==+

【点睛】

本题考查导数的实际应用，涉及三角函数的应用，解答的关键就是求出函数解析式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()22

22:10x y M a b a b

+=>>的左顶点为A ，

过点A 的直线与椭圆M 交于x 轴上方一点B ，以AB 为边作矩形ABCD ，其中直线

CD 过原点O ．当点B 为椭圆M 的上顶点时，AOB V 的面积为b ，且AB =．

（1）求椭圆M 的标准方程； （2）求矩形ABCD 面积S 的最大值； （3）矩形ABCD 能否为正方形？请说明理由．

【答案】（1）22

142

x y +=；

（2）22（3）ABCD 为正方形，理由见解析. 【解析】（1）根据题意得出关于a 、b 的方程组，解出a 、b 的值，即可得出椭圆M 的标准方程；

（2）设直线AB 的方程为()2y k x =+，其中0k >，将直线AB 的方程与椭圆M 的方程联立，求出点B 的坐标，利用两点间的距离公式求出AB ，并求出BC ，可得出四边形ABCD 的面积S 关于k 的表达式，然后利用基本不等式可求得S 的最大值； （3）由四边形ABCD 为正方形得出AB BC =，可得出()3

2

22200k k k k -+-=>，

构造函数()()3

2

2220f k k k k k =-+->，利用零点存在定理来说明函数()

y f k =在()0,k ∈+∞时有零点，进而说明四边形ABCD 能成为正方形. 【详解】

（1）由题意：22312

a b b ab b +=?=??，解得2a =，2b =

所以椭圆M 的标准方程为22

142

x y +=；

（2）显然直线AB 的斜率存在，设为k 且0k >，则直线AB 的方程为()2y k x =+，即20kx y k -+=，

联立()22214

2y k x x y ?=+??+=??得()2222

128840k x k x k +++-=，

解得2

2

2412B k x k

-=+，2412B k y k =+，所以

AB ==， 直线CD 的方程为y kx =，即0kx y -=

，所以BC =

=

，

所以矩形ABCD

面积2881122k S k k k

====++

所以当且仅当2

k =

时，矩形ABCD

面积S 取最大值为 （3）若矩形ABCD 为正方形，则AB BC

=

=，则()3222200k k k k -+-=>，

令()()3

2

2220f k k k k k =-+->，

因为()110f =-<，()280f =>，又()()3

2

2220f k k k k k =-+->的图象不间

断，

所以()()3

2

2220f k k k k k =-+->有零点，所以存在矩形ABCD 为正方形.

【点睛】

本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了四边形面积最值的计算，以及动点问题的求解，考查运算求解能力，属于中等题.

19．定义：若一个函数存在极大值，且该极大值为负数，则称这个函数为“YZ 函数”． （1）判断函数()1x x

f x e

=

-是否为“YZ 函数”，并说明理由； （2）若函数()()ln g x x mx m R =-∈是“YZ 函数”，求实数m 的取值范围； （3）已知()32111

323

h x x ax bx b =

++-，()0,x ∈+∞，a 、b R ∈，求证：当2a ≤-，且01b <<时，函数()h x 是“YZ 函数”．

【答案】（1）()f x 是“YZ 函数”，理由见解析；（2）1,e ??

+∞ ???

；（3）证明见解析.

【解析】（1）利用导数求出函数()y f x =的极大值，结合题中定义判断即可；

（2）分0m ≤和0m >两种情况讨论，利用导数分析函数()y g x =的单调性，利用题中定义得出关于m 的不等式，进而可解得实数m 的取值范围；

（3）求出函数()y h x =的导数()2

h x x ax b =++'，利用导数分析函数()y h x =的单

调性，设函数()y h x =的极值点分别为1x 、2x ，可知1x 、2x 是方程()0h x '=的两根，进而可列出韦达定理，结合韦达定理证明出函数()y h x =的极大值为负数，由此可证得结论. 【详解】

（1）函数()1x

x

f x e =

-是“YZ 函数”，理由如下： 因为()1x x f x e =-，则()1x x

f x e

='-，

当1x <时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<， 所以函数()1x x f x e =-的极大值()1110f e =-<，故函数()1x

x

f x e =-是“YZ 函数”；

（2）函数()ln g x x mx =-的定义域为()0,+∞，()1

g x m x

'=-. 当0m ≤时，()1

0g x m x

-'=

>，函数()y g x =单调递增，无极大值，不满足题意； 当0m >时，当10x m

<<

时，()1

0g x m x -'=>，函数单调递增，

当1x m

>

时，()1

0g x m x -'=<，函数单调递减，

所以函数()y g x =的极大值为111ln ln 1g m m m m m ??

=-?=--

?

??

， 易知1ln 10g m m ??

=--<

???

，解得1m e >， 因此，实数m 的取值范围是1

,e

??+∞ ???

；

（3） ()2

h x x ax b =++'，因为2a ≤-，01b <<，则240a b ?=->，

所以()2

0h x x ax b =++='有两个不等实根，设为1x 、2x ，

因为121200

x x a x x b +=->??=>?，所以1>0x ，20x >，不妨设120x x <<，

当10x x <<时，()0h x '>，则函数()y h x =单调递增； 当12x x x <<时，()0h x '<，则函数()y h x =单调递减. 所以函数()y h x =的极大值为()321111111

323

h x x ax bx b =

++-， 由()2

1110h x x ax b =++='得()3

2

11111x x ax b ax bx =--=--， 因为2a ≤-，01b <<， 所以()()

322211111111111111

323323

h x x ax bx b ax bx ax bx b =

++-=--++- ()()2

2211111121121111063333333

ax bx b x bx b x b b b =+-≤-+-=--+-<． 所以函数()y h x =是“YZ 函数”． 【点睛】

本题考查函数的新定义“YZ 函数”的应用，考查利用导数求函数的极值、利用极值求参数，同时也考查了利用导数证明不等式，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题. 20．已知数列{}n a 、{}n b 、{}n c 满足2n n n b a a +=-，12n n n c a a +=+． （1）若数列{}n a 是等比数列，试判断数列{}n c 是否为等比数列，并说明理由； （2）若n a 恰好是一个等差数列的前n 项和，求证：数列{}n b 是等差数列； （3）若数列{}n b 是各项均为正数的等比数列，数列{}n c 是等差数列，求证：数列{}n a 是等差数列．

【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）见解析；（3）见解析. 【解析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，分1

2q =-和12

q ≠-两种情况讨论，结合等比数列的定义判断即可；

（2）设n a 是公差为d 的等差数列{}n d 的前n 项和，推导出11n n n a a d ++-=，由

2n n n a a b +=+推导出12n n b b d +-=，进而可证得结论成立；

（3）利用数列{}n c 是等差数列结合12n n n c a a +=+推导出212n n n b b b ++=+，再结合数列{}n b 是等比数列，推导出1n n b b +=，由数列{}n c 是等差数列得出212n n n c c c +++=，推导出3223n n n a a a +++=，并将321n n n n a a a a +++=+-代入化简得212n n n a a a +++=，从而可证明出数列{}n a 是等差数列.

【详解】

（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则()12221n n n n n n c a a a q a q a +=+=+=+， 当1

2

q =-

时，0n c =，数列{}n c 不是等比数列； 当1

2

q ≠-时，因为0n c ≠，所以()()112121n n n n q a c q c q a +++==+，所以数列{}n c 是等比数列； （2）因为n a 恰好是一个等差数列的前n 项和，设这个等差数列为{}n d ，公差为d ， 因为12n n a d d d =+++L ，所以1121n n n a d d d d ++=++++L ， 两式相减得11n n n a a d ++-=， 因为2n n n a a b +=+， 所以

()()()()1312321312n n n n n n n n n n n n b b a a a a a a a a d d d +++++++++-=---=---=-=，

所以数列{}n b 是等差数列；

（3）因为数列{}n c 是等差数列，所以321n n n n c c c c +++-=-， 又因为12n n n c a a +=+，所以

()()43322112222n n n n n n n n a a a a a a a a ++++++++-+=+-+，

即 ()()()423122n n n n n n a a a a a a +++++-=-+-，则212n n n b b b ++=+，

又因为数列{}n b 是等比数列，所以212n n n b b b ++=，则2

112

n n

n n b b b b +++=?

， 即()()1120n n n n b b b b ++-+=，

因为数列{}n b 各项均为正数，所以1n n b b +=， 则312n n n n a a a a +++-=-，即321n n n n a a a a +++=+-， 又因为数列{}n c 是等差数列，所以212n n n c c c +++=，

即()()()321212222n n n n n n a a a a a a ++++++++=+，化简得3223n n n a a a +++=， 将321n n n n a a a a +++=+-代入得2122()3n n n n n a a a a a ++++-+=，化简得

212n n n a a a +++=，

所以数列{}n a 是等差数列． 【点睛】

本题考查等差数列和等比数列的证明，考查了等差、等比中项法以及等差、等比数列定义的应用，考查推理能力，属于中等题.

21．已知列向量5a ??

????

在矩阵 3 41 2M ??=????对应的变换下得到列向量2 b b -??????，求

1b M a -??

????．

【答案】1611??

??-??

【解析】利用25a b M b -??

??

=???

?????

列出方程组求出a 、b 的值，求出矩阵M 的逆矩阵1M -，利用矩阵的乘法可求得矩阵1

b M a -??????

. 【详解】 因为342125a b b -??????=?

???????????，所以3202

10a b a b +=-??+=?

，解得64a b =-??=?， 设1

m p M n q -??=????，则34101201m p n q ??????=????????????

，

即341

340

2021m n p q m n p q +=??+=??+=??+=?

，解得1

12232m n p q =???=-??=-??=

??

， 所以1121

322M --??

??=??-??

， 所以1

12416=1

36112

2M b a --??

????????=????????---

????????

. 【点睛】

本题考查矩阵的变换，同时也考查了逆矩阵的求解以及矩阵乘法的应用，考查计算能力，属于中等题.

22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C

的参数方程为cos x y αα=???=??

（α为参数）．以

坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l

的极坐标方程为

sin 4πρθ??

+

= ??

?

P 为曲线C 上任一点，求点P 到直线l 距离的最大值．

【答案】【解析】将直线l

的极坐标方程化为普通方程，设点()

cos P αα，利用点到直线的距离公式结合正弦型函数的有界性可求得点P 到直线l 距离的最大值． 【详解】

由题：直线方程即为sin cos

cos sin

4

4π

πρθθ??

+= ??

?

由cos x ρθ=，sin y ρθ=得直线l 的直角坐标方程为80x y +-=， 设P

点的坐标为()

cos αα，

∴点P

到直线的距离

6d πα??===+ ?

??， 当()26

2k k Z π

π

απ+

=-

∈，即()2

23k k Z αππ=-∈时，d

取得最大值 此时点P 的坐标为13,22??

-- ???

. 【点睛】

本题考查利用椭圆的参数方程求点到直线距离的最值，同时也考查了三角恒等变换思想的应用，考查计算能力，属于中等题.

23．已知实数a 、b 、

c 满足0a >，0b >，0c >，222

3a b c b c a

++=，求证：3a b c ++≤． 【答案】见解析

【解析】利用柯西不等式证明出()()2222

a b c b c a a b c b c a ??++++≥++

???

，由此可证明出3a b c ++≤. 【详解】

由柯西不等式，得()()2223a b c a b c b c a b c a ??

++=++++ ??

?