2020-2021学年辽宁省瓦房店市高二上学期期中考试数学试题 Word版

瓦房店市普通高中2020-2021学年上学期期中考试

高二数学试卷

（本试卷满分150分，考试时间120分钟）

考试范围：选择性必修一第一章---第二章2.5

一、单项选择题（共8小题，每题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．直线310x y --=的倾斜角α=（）

A ．30

B ．60?

C ．120?

D ．150?

2．过点作与圆相切的直线l ，则直线l 的方程为（） A ． B

C ．或

D ．或

3．圆2220x y x +-=与圆22(1)(2)9x y -++=的位置关系为（）

A ．相离

B ．相交

C ．外切

D ．内切 4．人造地球卫星的运行轨道是以地心为焦点的椭圆设地球的半径为R ，卫星近地点、远地点离地面的距离分别为，，则卫星轨道的离心率等于（） A ． B ． C ．

D ．

5．唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说：“白日登山望

烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（） A ． B ． C ． D ． 6．直三棱柱中，，，则直线与平面所成的角的大小为（） A ． B ． C ． D ． 7．在空间直角坐标系O xyz -中，四面体ABCD 的顶点坐标分别是

()0,0,2A ，()2,2,0B ，()1,2,1C ，()2,2,2D .则点B 到面ACD

的距离是（）

A ．

B ．

C ．

D ．

8．过椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的右焦点作x 轴的垂线，交C 于A ，B 两点，直线

l 过C 的左焦点和上顶点.若以AB 为直径的圆与l 存在公共点，则C 的离心率的取值范

围是（）

A ．50,

5?? ? ?

B ．5,15??

C ．20,

2?? ?? D ．2,12??

二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。） 9．下列说法正确的是（） A ．点（2，0）关于直线y ＝x +1的对称点为（﹣1，3） B ．过（x 1，y 1），（x 2，y 2）两点的直线方程为

2121

y y x x y y x x --=--

C ．经过点（1，1）且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为x +y ﹣2＝0或x ﹣y ＝0

D ．直线x ﹣y ﹣4＝0与两坐标轴围成的三角形的面积是8

10．正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 、H 分别为1CC 、BC 、CD 、BB 、1BB 的中点，则下列结论正确的是（） A ．1B G BC ⊥ B ．平面AEF

平面111AA D D AD =

C ．1//A H 面AEF

D ．二面角

E A

F C --的大小为

π 11．椭圆2

2:14

x C y +=的左右焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点，以下说法正确的是（）

A ．过点2F 的直线与椭圆C 交于A ，

B 两点，则1ABF ?的周长为8. B ．椭圆

C 上存在点P ，使得120PF PF ?=.

C ．椭圆C 的离心率为

D ．P 为椭圆2

214

x y +=一点，Q 为圆221x y +=上一点，则点P ，Q 的最大距离为3.

12．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：平面内到两个定

点,A B 的距离之比为定值(1)λλ≠的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的

名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy 中，(2,0)A -，(4,0)B ，点P 满足

PA PB =．设点P 所构成的曲线为C ，下列结论正确的是（） A ．C 的方程为22(4)9x y ++=

B ．在

C 上存在点

D ，使得D 到点(1,1)的距离为3 C ．在C 上存在点M ，使得2MO MA =

D ．在C 上存在点N ，使得2

4NO NA +=

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）

13．已知直线l 的法向量为（-1,2），且经过圆C ：的圆心，则直线l 的方程为。 14．已知圆C 过点（8，1），且与两坐标轴都相切，则面积较小的圆C 的方程为。 15．已知正方体中，过顶点A 作与直线BD 、都成角的直线的条数为条。

16．如图，椭圆E 的左右焦点为1F ，2F ，以2F 为圆心的圆过原点，且与椭圆E 在第一象限交于点P ，若过P ?1F 的直线l 与圆2F 相切，则直线l 的斜率k =；

椭圆E 的离心率e =.

三、解答题（本题共6小题，共70分。第17题满分10分，第18—22题每题满分12分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

17．（10分）平面直角坐标系中，已知ABC ?三个顶点的坐标分别为(1,2)A -，

(3,4)B -，(0,6)C .

（1）求BC 边上的高所在的直线方程；（2）求ABC ?的面积.

18．（12分）已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，90BAC ∠=?，12AB AA ==，

1AC =，M ，N 分别是11A B ，BC 的中点．

（1）求证：1AB AC ⊥；（2）求证：//MN 平面11ACC A .

19．（12分）已知圆C 经过点()3,2A -和()10B ,

，且圆心在直线10x y ++=上. （1）求圆C 的方程；

（2）直线l 经过()2,0，并且被圆C 截得的弦长为23，求直线l 的方程.

20．（12分）已知O 为坐标原点，定点，定直线l ：，动点P 到直线l 的距离为d ，且满足：．

（1）求动点P 的轨迹曲线W 的方程；

（2）若直线m ：与曲线W 交于A ，B 两点，求面积的最大值．

21．（12分）如图，已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，1PA AD ==，2AB =，F 是PD 的中点，E 是线段AB 上的点. （1）当E 是AB 的中点时，求证：//AF 平面PEC ；

（2）试确定E 点的位置，使二面角P EC D --的大小为45，并指出AE 的长.

22．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>的离心率为2

，且过点(2,2).

（1）求椭圆M 的方程；

（2）若A ，B 分别为椭圆M 的上，下顶点，过点B 且斜率为()0k k >的直线l 交椭

圆M 于另一点N （异于椭圆的右顶点），交x 轴于点P ，直线AN 与直线x a =相交于点Q .求证：直线PQ 的斜率为定值.

瓦房店市期中考试高二数学试题答案

一、单项选择题

1、A

2、C

3、D

4、B

5、C

6、A

7、D

8、A

二、多项选择题

9、ACD10、BC11、ABD12、BD

三、填空题

13、x-2y+5=0

14、

15、3

四、解答题（本题共6小题，共70分。第17 题满分10分，第18—22题每题满分12分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

17．【解】

（1）直线BC的斜率

642

0(3)3

，则BC边上高所在直线斜率

k=-，---

------2分

则BC 边上的高所在的直线方程为32(1)2

y x -=-+，即3210x y +-=.---------------4分

（2）BC 的方程为2

y x =+，即23180x y -+=.--------------------------------6分

点A 到直线BC 的距离

d ==

-------------------8分

||BC ==------------------------------------------9分

则ABC ?的面积11||52213

S BC d ===---------------------------------------10分 18.【解】

三棱柱为直三棱柱1AA ∴⊥平面ABC 1AA AC ∴⊥，1AA AB ⊥

又90BAC ∠=，则1,,AB AC AA 两两互相垂直，可建立如下图所示的空间直角坐标系

则()0,0,0A ，()0,2,0B ，()1,0,0C -，()11,0,2C -，()0,1,2M ，1,1,02N ??- ???

-------------4分（1）

()0,2,0AB =，()11,0,2AC =-

()10120020AB AC ∴?=?-+?+?=1AB AC ∴⊥------------------------------------------8分

（2）由题意知：AB 是平面11ACC A 的一个法向量

()0,2,0AB =，1,0,22MN ??

=-- ???

()10200202AB MN ??

∴?=?-+?+?-= ???

AB MN ∴⊥

MN ?平面11ACC A //MN ∴平面11ACC A --------------------------------------------12分

（视具体情况，安排步骤分） 19.【解】

解：（1）设圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=

依题意得94320101022

D E F D F D E

?++-+=?

++=???--+=?

解之得2,4,1D E F =-==

∴圆C 的方程为222410x y x y +-++=-------------------------------------------------------------4分

（2）圆222410x y x y +-++=可化为()()2

124x y -++=，

所以圆心到直线的距离为1d ==-----------------------------------------------

------6分

当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为2x =，

此时直线l 被圆C 截得的弦长为----------------------------------8分

当直线l 的斜率k 存在时，设直线l 的方程为(2)y k x =-，即20kx y k --=

1=，解得34

k =--------------------------------------------------------------10分

∴直线的方程为3460x y --=

综上所述，直线l 的方程为2x =或3460x y --=-----------------------------------------------12分 20. 【解】设点，由题知：，所以，

整理得点P 的轨迹方程为：．-------------------------------------------4分

将带入

得：，

所以，，

得，-----------------------------6分

，-------------------------------------8分

点O到直线m的距离，------------------------------------------------------9分

，

当且仅当即时等号成立满足，

面积最大值为．---------------------------------------------------------12分

21.【解】（1）如图，取PC的中点O，连接OE、OF.

O、F分别为PC、PD的中点，则//

OF DC且

OF DC

，

四边形ABCD 是矩形，E 为AB 的中点，则//AE CD 且1

AE CD =

， //AE OF ∴且AE OF =，所以，四边形AEOF 为平行四边形，//AF OE ∴，

又OE ?平面PEC ，AF ?平面PEC ，//AF ∴平面PEC ；----------------------------4分（2）

PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为矩形，

以点A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,1P ，()2,1,0C ，()0,1,0D ，-------------------------------------5分

平面DEC 的一个法向量为()0,0,1AP =，-------------------------------------------6分

设(),0,0E t =，其中02t ≤≤，设平面PEC 的法向量为(),,n x y z =，

()2,1,0EC t =-，(),0,1EP t =-，

由00n EC n EP ??=??=?

，得()200t x y tx z ?-+=?-+=?，

令1x =，则2y t =-，z t =，()1,2,n t t ∴=-，----------------------------------8分

由

cos 451AP n AP n

??--------------------------------10分

解得5

4t =

，即54

AE =.-------------------------------------------------------------------------12分

22.（12分）

已知椭圆2222:1(0)

x y M a b a b +=>>的离心率为

，且过点. （1）求椭圆M 的方程；

（2）若A ，B 分别为椭圆M 的上，下顶点，过点B 且斜率为()0k k >的直线l 交椭圆M 于另一点N （异于椭圆的右顶点），交x 轴于点P ，直线AN 与直线x a =相交于点Q .求证：直线PQ 的斜率为定值.

【答案】（1）2

184

x y +=；（2）证明见解析. 【解】

（1）设椭圆的焦距为2c ，则

c a =

①，

242

1a b

+=②，又222a b c =+③，由①②③解得28a =，24b =，24c =，

所以椭圆M 的标准方程为22

184

x y +=.---------------------------------------------4分

（2）证明：易得(0,2)A ，(0,2)B -，直线l 的方程为2y kx =-，

因为直线l

不过点0)

，所以2

k ≠

，由22228y kx x y =-??+=?

，得()22

2180k x kx +-=，所以2

821N k x k =+，----------------------6分

从而222842,2121k k N k k ??- ?

++??

，2,0P k ??

???，-------------------------------------------8分

直线AN 的斜率为222

4221218221

k k k k k --+=-+，故直线AN 的方程为122y x k =-+.

令x =

2Q k ??-+ ? ???

，----------------------------------------------10分

直线PQ

的斜率

22 PQ

====.

所以直线PQ

---------------------------------------------

-------12分