绳杆模型在机械能守恒中的应用

绳杆模型在机械能守恒中的应用

1．连绳模型

连绳模型中要注意绳端两个物体运动速度沿绳方向的分量相等这一条件。 例1 如图所示，甲、乙两个物体的质量分别为m 甲和m 乙(m 乙>m 甲)，用细

绳连接跨在半径为R 的光滑半圆柱的两端，连接体由图示位置从静止开始运动，当甲到达半圆柱体顶端时对圆柱体的压力为多大

【解析】 设甲到达半圆柱体顶部时，二者的速度为v ，以半圆柱顶部为零势能面，由机械能守恒定律可得

－(m 乙＋m 甲)gR ＝12(m 乙＋m 甲)v 2－m 乙gR ＋π2R ①

或以半圆柱底部为零势能面，由机械能守恒定律有

0＝m 甲gR ＋12(m 乙＋m 甲)v 2－m 乙g ·π2R

(与上式一样，可见零势能面的选取与解题无关，可视问题方便灵活选择零势能面)

设甲到达顶部时对圆柱体的压力为F N ，以甲为受力分析对象，则

m 甲g －F N ＝m 甲v 2

R ②

联立①②两式可得F N ＝m 甲g ????

??3m 甲－π－1m 乙m 乙＋m 甲 例2 如图所示，跨过同一高度处的光

滑滑轮的细线连接着质量相同的物体A 和

B ，A 套在光滑水平杆上，定滑轮离水平

杆高度为h= m ．开始让连A 的细线与水

平杆夹角θ＝53°，由静止释放，在以后的

过程中A 所能获得的最大速度为多大(cos

53°＝0．6，sin 53°= ，g ＝10 m ／s 2)

解：当A 运动到绳竖直时A 的速度最大，此时B 的速度为0，从A 开始运动到此时AB 系统机械能守恒，设AB 的质量为m B 下降的高度为H=－h=－=

ΔE P 减=ΔE K 增

mgH=

V== 2．连杆模型

连杆模型应注意在运动过程中各个物体之间的角速度、线速度的关系等。 例3 一个质量不计的直角形支架两端分别

连接质量为m 和2m 的小球A 和B ，支架的两直

角边长度分别为2L 和L ，支架可绕固定轴O 在

竖直平面内无摩擦地转动，如图所示，开始时OA

边处于水平位置，由静止释放，则( )

A ．A 球的最大速度为2gL

B ．A 球速度达到最大时，两小球的总重力势能最小

C ．A 球速度达到最大时，两直角边与竖直方向的夹角都为45°

D ．A 、B 两球的最大速度之比为v A ：v B ＝2：1

【解析】 支架绕固定轴O 转动，A 、B 两球运动的角速度相同，速度之比始终为2:1，又A 、B 两球组成的系统机械能守恒，所以B 、D 正确，设A 球速度最大时，OB 与竖直方向的夹角为θ，根据机械能守恒定律，有

mg ·2L sin θ－2mgL (1－cos θ)＝12mv 2A ＋12·2m ? ??

??12v A 2 所以v 2A ＝83gL [2sin(θ＋45°

)－1]≤82－13gL 由此可知，当θ＝45°时，A 球速度最大，C 项正确，A 项错误．

【答案】BCD

例4 如图，滑块a、b质量为m,a套在固定竖直

杆上，与光滑水平地面相距h，b放在地面上，a、b通

过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动。不计摩擦，

a、b可视为质点，重力加速度大小为g。则

A．a落地前，轻杆对b一直做正功

B．a落地速度大小为2

=

v gh

C．a落地过程中，其加速度大小始终不大于g

D．a落地前，当a的机械能最小时，b对地面的压力大小为mg

【解析】本题主要考查动能定理、牛顿运动定律以及机械能守恒定律：

选项A：刚开始b的速度为零，a落地时，由速度分解可知沿杆方向分速度为零，即b的速度为零。而落地前b的速度不为零，由动能定理知杆对b先做正功，后做负功，选项A错误；

选项B：因为b最终速度为零，对系统使用机械能守恒可得a的速度为=，选项B正确；

2

v gh

选项C：落地过程中，既然杆对b先做正功后做负功，且b的速度一直向右，则杆先有对b的推力使其加速，后有拉力使其减速，由牛顿第三定律知对a先有拉力，后有推力，在有拉力阶段a的加速度必定大于g，故选项C错误；

选项D，当a的机械能最小时，对系统机械能守恒可知b的速度最大，又因为b先加速后减速，即杆的作用力由推力变为拉力，且当b的速度最大时，杆的作用力恰好处于推力和拉力的转换临界点，即杆的作用力为零，则对a来说此时只受重力，b此时也只受重力，选项D正确；

本题正确选项为BD。