谈超静定结构简化计算的方法
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谈超静定结构简化计算的方法
作者：黄志刚
来源：《科技创新导报》2015年第18期
摘要：超静定结构内力的求解既是结构力学中的一个重点问题，更是一个难点问题。由
于其求解复杂，使得学生在学习过程中倍感费劲。结合笔者多年的教学经验，从结构对称性的利用和力法与位移法混合应用两个方面来谈谈超静定结构内力简化计算的方法，使得学生对超静定结构内力的求解有一个更好地理解和掌握。
关键词：结构力学超静定简化对称混合应用
中图分类号：O342；TU311 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2015）06（c）-0251-01
一个结构，如果它的支座反力和各截面的内力不能完全由静力平衡不能完全由静力平衡条件唯一地加以确定，就称为超静定结构[1]。超静定结构包括超静定梁、超静定刚架、超静定
桁架、超静定组合结构以及超静定拱。由于超静定结构具有良好的力学性能和抵抗突然破坏的能力，其强度、刚度以及稳定性等都要比静定结构更好，因此，超静定结构是土木工程中经常用到的结构[2]。
由于超静定结构的复杂性，在地方性应用型本科院校的《结构力学》课程教学过程中，学生学习到这部分内容时，常常感到十分迷惑，困难重重。利用结构的对称性和某些特点，有时可以达到简化计算的效果[3]。在此对超静定结构简化计算的方法进行归纳和探究，以使得学
生更好地掌握超静定问题的求解，并将其应用到实际工程中，下面就予以介绍。
1 对称性的利用
在实际工程中，很多结构具有对称性，利用对称性可以使计算工作得到简化。超静定结构的对称性包括两方面：（1）几何形状和支承对称；（2）杆件截面和材料性质也对称。对称性利用包括以下几种方法。
1.1 选取对称的基本结构
如图1（a）中的对称结构，在一般荷载作用下有三个多余未知力；若荷载为正对称，则
可以取图1（b）的基本体系，此时有两个多余未知力；若荷载为反对称，则基本体系如图1（c），此时只有一个多余未知力X1。可见，取对称的基本结构可以使未知力的个数减少。
1.2 选取半边结构
超静定结构的计算
单元10 超静定结构的计算 【学习目标】 1、掌握力法、位移法的基本原理，能用这些方法计算常用的简单超静定结构的内力； 2、熟练应用力矩分配法计算连续梁和无侧位移刚架；了解超静定结构的特征。 【知识点】 1、超静定结构的概念、超静定次数及确定；力法的基本原理、基本结构；典型方程；用力法计算简单的超静定梁和刚架；支座移动时单跨超静定梁的内力。 2、力矩分配法的基本原理；转动刚度、分配系数、传递系数、分配弯矩、传递弯矩；用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架。 【工作任务】 任务1 用力法计算超静定结构 任务2 用力矩分配法计算超静定结构 【教学设计】通过对力法和力矩分配法的学习让学生理解这两种方法在解决超静定结构各有何特点，通过例题的讲解能使学生能更好地理解两种方法在解超静定结构的特点。 10.1 用力法计算超静定结构 10.1.1 超静定次数的确定 我们知道，超静定结构由于有多余约束存在，约束反力未知量的数目多于平衡方程数目，仅靠平衡方程不能确定结构的支座反力。从几何组成方面来说，结构的超静定次数就是多余约束的个数；从静力平衡看，超静定次数就是运用平衡方程分析计算结构未知力时所缺少的方程个数，即多余未知力的个数。所以，要确定超静定次数，可以把原结构中的多余约束去掉，使之变成几何不变的静定结构，而去掉的约束个数就是结构的超静定次数。 超静定结构去掉多余约束有以下几种方法： (1)去掉支座处的一根链杆或者切断一根链杆，相当于去掉一个约束。图10-1 (2)去掉一个铰支座或者去掉一个单铰，相当于去掉两个约束。图10-2 图10-1
图10-2 (3)去掉一个固定端支座或者切断一根梁式杆，相当于去掉三个约束。图10-3 (4)将一个固定端支座改为铰支座或者将一刚性连接改为单铰连接，相当于去掉一个约束。图图10-4用去掉多余约束的方法可以确定任何超静定结构的次数，去掉多余约束后的静定结构，称为原超静定结构的基本结构。对于同一个超静定结构来说，去掉多余约束可以有多种方法，所以基本结构也有多种形式。但不论是采用哪种形式，所去掉的多余约束的数目必然是相同的。图10-5 (b)、(c)为去掉多余约束的基本结构，一个是悬臂梁，一个是简支梁，都是原结构的基本结构，它们去掉的多余约束都是三个。 这里要强调的是，基本结构必须是几何不变的静定结构，如图所示的刚架，如果去掉一个支座处的链杆的瞬变体系，是不允许的。 图10-3 图10-4
力法求解超静定结构的步骤
第七章力法 本章主要内容 1）超静定结构的超静定次数 2）力法的解题思路和力法典型方程（显然力法方程中所有的系数和自由项都是指静定基本结构的位移，可以由上一章的求位移方法求出（图乘或积分）） 3）力法的解题步骤以及用于求解超静定梁刚架桁架组合结构（排架） 4）力法的对称性利用问题，对称结构的有关概念四点结论 5）超静定结构的位移计算和最后内力图的校核 §7-1超静定结构概述 一、静力解答特征： 静定结构：由平衡条件求出支反力及内力； 超静定结构的静力特征是具有多余力，仅由静力平衡条件无法求出它的全部（有时部分可求）反力及内力，须借助位移条件（补充方程，解答的唯一性定理）。 二、几何组成特征：（结合例题说明） 静定结构：无多余联系的几何不变体 超静定结构：去掉其某一个或某几个联系（内或外），仍然可以是一个几何不变体系，如桁架。即：超静定结构的组成特征是其具有多余联系，多余联系可以是外部的，也可能是内部的，去掉后不改变几何不变性。 多余联系（约束）：并不是没有用的，在结构作用或调整结构的内力、位移时需要的，减小弯矩及位移，便于应力分布均匀。 多余求知力：多余联系中产生的力称为 三、超静定结构的类型（五种） 超静定梁、超静定刚刚架、超静定桁架、超静定拱、超静定组合结构 四、超静定结构的解法 综合考虑三个方面的条件： 1、平衡条件：即结构的整体及任何一部分的受力状态都应满足平衡方程； 2、几何条件：也称变形条件、位移条件、协调条件、相容条件等。即结构的变形必须 符合支承约束条件（边界条件）和各部分之间的变形连续条件。 3、物理条件：即变形或位移与内力之间的物理关系。 精确方法： 力法（柔度法）：以多余未知力为基本未知量 位移法（刚度法）：以位移为基本未知量。 力法与位移法的联合应用： 力法与位移法的混合使用：混合法 近似方法：
《结构力学习题集》(上)超静定结构计算――力法1(精)
超静定结构计算——力法 一、判断题: 1、判断下列结构的超静定次数。 (1、 (2、 (a (b (3、 (4、 (5、 (6、 (7、 (a(b 2、力法典型方程的实质是超静定结构的平衡条件。 3、超静定结构在荷载作用下的反力和内力,只与各杆件刚度的相对数值有关。 4、在温度变化、支座移动因素作用下,静定与超静定结构都有内力。 5、图a 结构,取图b 为力法基本结构,则其力法方程为δ111X c =。 (a(bX 1
c 6、图a 结构,取图b 为力法基本结构,h 为截面高度,α为线膨胀系数,典型方程中?12122t a t t l h =--(/(。 t 2 1 t l A h (a(bX 1 7、图a 所示结构,取图b 为力法基本体系,其力法方程为。 (a(bP k P X 1 二、计算题: 8、用力法作图示结构的M 图。 B EI 3m 4kN A 283 kN 3m EI
/m C 9、用力法作图示排架的M 图。已知 A = 0.2m 2,I = 0.05m 4 ,弹性模量为E 0。 q 8m =2kN/m 6m I I A 10、用力法计算并作图示结构M 图。EI =常数。 M a a a a 11、用力法计算并作图示结构的M图。 q l l ql/2 2 EI EI EI 12、用力法计算并作图示结构的M图。
q= 2 kN/m 3 m 4 m 4 m A EI C EI B 13、用力法计算图示结构并作出M图。E I 常数。(采用右图基本结构。P l2/3l/3l/3 l2/3 P l/3 X 1 X 2 14、用力法计算图示结构并作M图。EI =常数。 3m 6m
《结构力学习题集》(上)第四章超静定结构计算——力法
第四章 超静定结构计算——力法 一、判断题： 1、判断下列结构的超静定次数。 （1）、 （2）、 (a ) (b ) （3）、 （4）、 （5）、 （6）、 （7）、 (a)(b) 2、力法典型方程的实质是超静定结构的平衡条件。 3、超静定结构在荷载作用下的反力和内力，只与各杆件刚度的相对数值有关。 4、在温度变化、支座移动因素作用下，静定与超静定结构都有内力。 5、图a 结构，取图b 为力法基本结构，则其力法方程为δ111X c =。 (a) (b) X 1
6、图a 结构，取图b 为力法基本结构，h 为截面高度，α为线膨胀系数，典型方 程中?1212 2t a t t l h =--()/()。 t 21 t l A h (a) (b) X 1 7、图a 所示结构，取图b 为力法基本体系，其力法方程为 。 (a)(b) 1 二、计算题： 8、用力法作图示结构的M 图。 3m m 9、用力法作图示排架的M 图。已知 A = 0.2m 2 ，I = 0.05m 4 ，弹性模量为E 0。 q
a a 11、用力法计算并作图示结构的M 图。 ql /2 12、用力法计算并作图示结构的M 图。 q 3 m 4 m 13、用力法计算图示结构并作出M 图。E I 常数。（采用右图基本结构。） l 2/3 l /3 /3 l /3 14、用力法计算图示结构并作M 图。EI =常数。 3m 3m
2m 2m 2m 2m 16、用力法计算图示结构并作M 图。EI =常数。 l l q l l 17、用力法计算并作图示结构M 图。E I =常数。 18、用力法计算图示结构并作弯矩图。 16 1 kN m m m m 19、已知EI = 常数，用力法计算并作图示对称结构的M 图。 q l l q
静定结构内力计算
静定结构内力计算 一、判断题： 1、静定结构的全部内力及反力，只根据平衡条件求得，且解答是唯一的。 2、静定结构受外界因素影响均产生内力，内力大小与杆件截面尺寸无关。 3、静定结构的几何特征是几何不变且无多余约束。 4、图(a)所示结构||M C =0。 a a (a) B C a a A ? 2a 2 (b) 5、图(b)所示结构支座A 转动?角，M AB = 0， R C = 0。 6、荷载作用在静定多跨梁的附属部分时，基本部分一般内力不为零。 7、图(c)所示静定结构，在竖向荷载作用下，AB 是基本部分，BC 是附属部分。 A B C (c) 8、图(d)所示结构B 支座反力等于P /2() ↑。 (d) 9、图(e)所示结构中，当改变B 点链杆的方向（不通过A 铰）时，对该梁的影响是轴力有变化。 Ａ Ｂ (e) 10、在相同跨度及竖向荷载下，拱脚等高的三铰拱，水平推力随矢高减小而减小。
11、图(f)所示桁架有9根零杆。 (f) a a a a (g) 12、图(g)所示桁架有：N 1=N 2=N 3= 0。 13、图(h)所示桁架DE 杆的内力为零。 a a (h) (i) 14、图(i)所示对称桁架在对称荷载作用下，其零杆共有三根。 15、图(j)所示桁架共有三根零杆。 (j) (k) 16、图(k)所示结构的零杆有7根。 17、图(l)所示结构中，CD 杆的内力N 1 = P 。 a 4(l) 4a (m) 18、图(m)所示桁架中，杆1的轴力为0。
二、作图题：作出下列结构的弯矩图（组合结构要计算链杆轴力）。 19、 20、 2 a /a 34/a 34/2a / 2m 2m 35、 36、 4m 4m 37、 38、 l q q 39、 40、 a 2a
超静定结构的计算
§1.3超静定结构的计算 超静定结构是具有多余约束的几何不变体系，仅根据静力平衡条件 不能求出其全部支座反力和内力，还须考虑变形协调条件。 计算超静定结构的基本方法是力法和位移法。这两种基本方法的解 题思路，都是设法将未知的超静定结构计算问题转换成已知的结构计算 问题。转换的桥梁就是基本体系，转换的条件就是基本方程，转换后要 解决的关键问题就是求解基本未知量。 1.3.1力法 力法是以多余未知力为基本未知量、一般用静定结构作为基本结构，以变形协调条件建立基本方程来求解超静定结构内力的计算方法。 （一）超静定次数的确定一 超静定结构多余约束（或多余未知力）的数目称为超静定次数，用 n表示。 确定超静定次数的方法是：取消多余约束法，即去掉超静定结构中 的多余约束，使原结构变成静定结构，所去掉的多余约束的数目即为原 结构的超静定次数。 在结构上去掉多余约束的方法，通常有如下几种： ●切断一根链杆，或者移去一个支座链杆，相当于去掉一个约束； ●将一个固定支座改成固定铰支座，或将受弯杆件某处改成铰接，相当于去掉一个抗转动约束； ●去掉一个联结两刚片的铰，或者撤去一个固定铰支座，相当于 去掉两个约束； ●将一梁式杆切断，或者撤去一个固定支座，相当于去掉三个约束。 （二）力法的基本原理法 现以图1-26a所示一次超静定结构为例，说明力法的基本原理。其中，要特别重视力法的三个基本概念。
图1-26 1、力法的基本未知量：取超静定结构中的多余未知力（如图1-26a 中的X1）作为力法的基本未知量，以X i表示。多余未知力在超静定结构内力分析中处于关键的地位，因此，有必要将其突出出来，作为主攻目标。力法这个名称也因此而得。 2、力法的基本体系：将原结构中的多余约束（如图1-26a中的支 座B）去掉，所得到的无任何外加因素的结构，称为力法的基本结构（图1-26b）；基本结构在荷载和多余未知力共同作用下的体系，称为力法的基本体系（图1-26c）。在基本体系中，仍然保留原结构的多余约束反力X1，只是把它由被动力改为主动力，因此基本体系的受力状态与 原结构完全相同。由此看出，基本体系本身既是静定结构（可方便计算），又可用它代表原来的超静定结构。因此，它是由静定结构过渡到超静定结构的一座桥梁。 3、力法的基本方程：为求多余未知力，除平衡条件外，还须补充 新的条件，即利用原结构的已知变形条件。在本例中，基本体系沿多余未知力X1方向的位移Δ1应与原结构支座B处的竖向位移相同，即 Δ1=0 （a） 由图1-26d和e可知，变形条件（a）可表示如下： （b） 根据叠加原理，，于是可进一步将变形条件写成显含多余未知力X1的展开形式为
(整理)力法求解超静定结构的步骤：.
第八章力法 本章主要内容 1）超静定结构的超静定次数 2）力法的解题思路和力法典型方程（显然力法方程中所有的系数和自由项都是指静定基本结构的位移，可以由上一章的求位移方法求出（图乘或积分）） 3）力法的解题步骤以及用于求解超静定梁刚架桁架组合结构（排架） 4）力法的对称性利用问题，对称结构的有关概念四点结论 5）超静定结构的位移计算和最后内力图的校核 6） §8-1超静定结构概述 一、静力解答特征： 静定结构：由平衡条件求出支反力及内力； 超静定结构的静力特征是具有多余力，仅由静力平衡条件无法求出它的全部（有时部分可求）反力及内力，须借助位移条件（补充方程，解答的唯一性定理）。 二、几何组成特征：（结合例题说明） 静定结构：无多余联系的几何不变体 超静定结构：去掉其某一个或某几个联系（内或外），仍然可以是一个几何不变体系，如桁架。即：超静定结构的组成特征是其具有多余联系，多余联系可以是外部的，也可能是内部的，去掉后不改变几何不变性。 多余联系（约束）：并不是没有用的，在结构作用或调整结构的内力、位移时需要的，减小弯矩及位移，便于应力分布均匀。 多余求知力：多余联系中产生的力称为 三、超静定结构的类型（五种） 超静定梁、超静定刚刚架、超静定桁架、超静定拱、超静定组合结构 四、超静定结构的解法 综合考虑三个方面的条件： 1、平衡条件：即结构的整体及任何一部分的受力状态都应满足平衡方程； 2、几何条件：也称变形条件、位移条件、协调条件、相容条件等。即结构的变形必须 符合支承约束条件（边界条件）和各部分之间的变形连续条件。 3、物理条件：即变形或位移与内力之间的物理关系。 精确方法： 力法（柔度法）：以多余未知力为基本未知量 位移法（刚度法）：以位移为基本未知量。 力法与位移法的联合应用： 力法与位移法的混合使用：混合法 近似方法：
静定结构的位移计算
第三章 静定结构的位移计算 一、判断题： 1、虚位移原理等价于变形谐调条件，可用于求体系的位移。 2、按虚力原理所建立的虚功方程等价于几何方程。 3、在非荷载因素(支座移动、温度变化、材料收缩等)作用下，静定结构不产生内力，但会有位移且位移只与杆件相对刚度有关。 4、求图示梁铰C 左侧截面的转角时，其虚拟状态应取： A. ; ; B. D. C. =1 =1 5、功的互等、位移互等、反力互等和位移反力互等的四个定理仅适用于线性变形体系。 6、已知M p 、M k 图，用图乘法求位移的结果为：()/()ωω1122y y EI +。 M k M p 2 1 y 1 y 2 * * ωω ( a ) M =1 7、图a 、b 两种状态中，粱的转角?与竖向位移δ间的关系为：δ=? 。 8、图示桁架各杆E A 相同，结点A 和结点B 的竖向位移均为零。 a a 9、图示桁架各杆EA =常数，由于荷载P 是反对称性质的，故结点B 的竖向位移等于零。
二、计算题： 10、求图示结构铰A 两侧截面的相对转角?A ，EI = 常数。 q l l l /2 11、求图示静定梁D 端的竖向位移 ?DV 。 EI = 常数 ，a = 2m 。 a a a 10kN/m 12、求图示结构E 点的竖向位移。 EI = 常数 。 l l l l /3 2 /3 /3 q 13、图示结构，EI=常数 ，M =?90kN m , P = 30kN 。求D 点的竖向位移。 P 3m 3m 3m 14、求图示刚架B 端的竖向位移。 q 15、求图示刚架结点C 的转角和水平位移，EI = 常数 。 q
超静定计算
一. 用力法计算超静定结构 （一）复习重点 1. 理解超静定结构及多余约束的概念，学会确定超静定次数 2. 理解力法原理 3. 掌握用力法计算超静定梁和刚架（一次及二次超静定结构） 4. 掌握用力法计算超静定桁架和组合结构（一次及二次超静定结构） 5. 了解温度变化、支座移动时超静定结构的计算（一次超静定结构） （二）小结 1. 超静定结构、多余约束、超静定次数 （1）超静定结构 从几何组成角度，结构分为静定结构和超静定结构。 静定结构：几何不变，无多余约束。 超静定结构：几何不变，有多余约束。 （2）多余约束 多余约束的选取方案不唯一，但是多余约束的总数目是不变的。 （3）超静定次数 多余约束的个数是超静定次数。 判断方法：去掉多余约束使原结构变成静定结构。
2. 力法原理 力法是计算超静定结构最基本的方法 （1）将原结构变为基本结构 （2）位移条件： （3）建立力法方程
3．用力法求解超静定梁和刚架例：二次超静定结构 （1）原结构变为基本结构 （2）位移条件 （3）力法方程
（3）绘弯矩图 4. 用力法计算超静定桁架和组合结构 注意各杆的受力特点：二力杆只有轴力，受弯杆的内力有弯矩、剪力和轴力。 例：超静定组合结构 （1）原结构变为基本结构 （2）位移条件
（3）力法方程 （4）绘弯矩图 5. 了解温度变化、支座移动时超静定结构的内力计算 （1）温度变化时，超静定结构的内力计算 原结构变为基本结构 位移条件 力法方程
（2）支座移动时，超静定结构的内力计算 原结构变为基本结构 位移条件 二. 用位移法计算超静定结构 （一）复习重点 1. 了解位移法基本概念及位移法与力法的区别 2. 掌握用位移法计算超静定结构（具有一个及两个结点位移） 3. 掌握计算对称结构的简化方法 （二）小结 1. 了解位移法基本概念及位移法与力法的区别 位移法是求解超静定结构的又一基本方法，适用于求解超静定次数较高的连续梁和刚架。 位移法的前提假设：对于受弯的杆件，可略去轴向变形和剪切变形的影响，且弯曲变形是微 2. 掌握用位移法求解超静定结构（具有一个及两个结点位移的结构） 例：求连续梁的内力 解：（1）确定基本未知量及基本体系
结构力学课后解答：第9章__超静定结构的实用计算方法与概念分析
习 题 9-2 解：设EI=6，则5.1,1==BC AB i i 53 .05 .13145 .1347 .05 .13141 4=?+??==?+??=BC BA μμ 结点 A B C 杆端 AB BA BC 分配系数 固端 0.47 0.53 绞支 固端弯矩 -60 60 -30 0 分配传递 -7.05 -14.1 -15.9 0 最后弯矩 -67.05 45.9 -45.9 ()()() 逆时针方向215.216005.6721609.4522131m KN EI EI m M m M i AB AB BA BA B ?-=?? ? ???+---= ? ?????---=θ (b)解：设EI=9，则 3 ,31,1====BE BD BC AB i i i i 12 .01 41333331 316.01 41333331 436 .0141333333 3=?+?+?+??==?+?+?+??==?+?+?+??= =BC BA BE BD μμμμ 结点 A B C 杆端 AB BA BC BD BE 分配系数 固端 0.16 0.12 0.36 0.36 绞支 固端弯矩 0 45 -90 0 分配传递 3.6 7.2 5.4 16.2 16.2 0 最后弯矩 3.6 7.2 5.4 61.2 -73.8 ()()()顺时针方向22.1606.32102.732131m KN EI EI m M m M i AB AB BA BA B ?=?? ????---= ?? ? ???---= θ 9-3 (a) 解：Ｂ为角位移节点 设EI=8,则1==BC AB i i ，5.0==BC BA μμ 固端弯矩()m KN l b l Pab M BA ?=????=+=488212 443222 2 m KN l M BC ?-=?+- =58262 1 892 结点力偶直接分配时不变号 结点 A B C 杆端 AB BA BC 分配系数 铰接 0.5 0.5 固端弯矩 0 48 -58 12 分配传递 0 50 50 5 5 12 最后弯矩 103 -3 12
静定结构内力计算
第二章 静定结构内力计算 一、是非题（正确的打√，错误的打×） 1、图示体系是一个静定结构。（ ） 2、某刚架的弯矩图如图所示，则由此可以判断出此刚架在E 处必作用了一个水平向右的集中荷载，其大小为10kN 。（ ） 30 5 M 图（KN m ×?） 3、已知某简支直梁的M 图如图（a ）所示，其中AB 段为二次抛物线，BC 段为水平线，且在B 处M 图数值无突变，则其剪力图如图（b ）所示。（ ） （a ） （b ） 4、图示三种结构中，ABC 杆的内力是相同的。（ ） （a ） （b ） （c ） 5、图（a ）是从某结构中取出的一段杆AB 的隔离体受力图，则图（b ）为该段杆的弯矩图，这是可能的。（ ）
（a ） (b) 6、图示结构的M 图的形状是正确的。（ ） 7、对图示结构中的BC 段杆作弯矩图时，叠加法是不适用的。（ ） 8、在图示结构中，支座A 处的竖向反力0=RA F 。 （ ） 9、图示结构中CA BA M M =。 （ ）
10、图示结构中0BA CA M M ==。 （ ） 题10图 题11图 11、图示结构中AB 杆的弯矩为零。（ ） 12、图示三铰拱，轴线方程为(x l x l f y ?=2 4)，受均布竖向荷载q 作用，则拱内任一截面的弯矩等于零。（ ） 题12图 题13图 13、图示桁架，因对称结构受反对称荷载，故AB 杆的轴力为零。( ) 14 、不受外力作用的任何结构，内力一定为零。（ ） 15、对于图中所示同一结构受两种不同荷载的情况，其对应的支座反力相等，且内力图也相同。（ ） (a) (b) 16、比较图a 和b 所示同一结构受两种不同的荷载可知，除CD 段弯矩不同外，其余各部分弯矩完全相同。（ ）
工程力学习题集(三)
力法 思考题 1.超静定结构与静定结构在几何组成上有何区别？解法上有什么不同？ 2.力法中超静定结构的次数是如何确定的？ 3.力法方程及方程中各系数和自由项的物理意义是什么？ 4.应用力法计算时，对超静定结构作了什么假定？ 5.在超静定桁架和组合结构中，切开或撤去多余链杆的基本结构，两者的力法方程是否相同？ 6.举例说明用力法解超静定结构的步骤。 7.力法方程中为什么主系数必为正值，而副系数可为正值、负值或为零？ 8.如何判定结构是否为对称结构？在分析对称结构时，应如何简化计算？ 习题 1.试确定图示各结构的超静定次数。
题1图 2.试用力法计算图示超静定梁，并绘出内力图。 题2图 3.用力法计算图示连续梁，并绘弯矩图，EI为常量。
题3图 4.用力法计算图示刚架，并作出内力图。 题4图 5.用力法计算图示刚架，并作出内力图。 题5图 6.用力法计算图示刚架，并作出弯矩图。
题6图 7.试求图示超静定桁架各杆的内力。各杆EA均相同。 题7图 8.作图示结构中CD梁的弯矩图，各杆EI=常数，立柱AB截面面积A= 题8图 9.试用力法计算下列排架，作弯矩图。
题9图 10.利用对称性计算图示结构，绘出弯矩图。 题10图 位移法 思考题 1.用位移法计算结构时，为什么能够用结点位移作为基本未知量？ 2.举例说明用位移法解超静定结构的步骤。 3.为什么一个刚结点只有一个转角作为基本未知量？为什么铰处的转角不作
为基本未知量？ 4.位移法能否用于求解静定结构，为什么？ 习题 1.试确定图示各结构用位移法计算时的基本未知量数目。 题1图 2.用位移法计算图示刚架，并作出内力图。 题2图 3.用位移法计算图示刚架，并作出内力图。
1、静定结构与超静定结构静力计算公式
静定结构与超静定结构静力常用计算公式 一、短柱、长柱压应力极限荷载计算公式 1、短柱压应力计算公式 荷载作用点 轴方向荷载 A F = σ bh F = σ 偏心荷载 ) 1(2 1x Y i ye A F W M A F - = -= σ )1(2 2 x Y i ye A F W M A F + =+ =σ )61(2,1h e bh F ± = σ 偏心荷载 ) 1(2 2x y y x x x y Y i ye i xe A F I x M I x M A F ± ±= ?± ?± = σ ) 661(b e h e bh F y x ± ± = σ 长短柱分界点如何界定？ 2、长柱方程式及极限荷载计算公式 支座形式 图 示 方 程 式 极限荷载 一般式 n=1 两端铰支 β=1 y a dx y d ?=2 2 2 ax B ax A y sin cos += y F M EI F a ?== ,2 EI l n 2 2 2 π EI l 2 2π 一端自由他端固定 β=2 y a dx y d ?=2 2 2 ax B ax A y sin cos += EI l n 2 2 24)12(π - EI l 2 24π
y F M EI F a ?== ,2 两端固定 β=0.5 )(2 2 =- +F M y a dx y d A F M ax B ax A y A + +=sin cos A M y F M EI F a +?-== ,2 EI l 2 2 4π EI l 2 2 4π 一端铰支他端固定 β=0.75 )(2 2 2 x l EI Q y a dx y d -= ?+ ) (sin cos x l F Q ax B ax A y -+ +=水平荷载 -= Q EI F a ,2 —— EI l 2 2 7778.1π 注：压杆稳定临界承载能力计算公式：EI l P cr 2 2) (βπ = 二、单跨梁的反力、剪力、弯矩、挠度计算公式 1、简支梁的反力、剪力、弯矩、挠度计算公式 荷载形式 M 图 V 图 反力 2 F R R B A = = L Fb R A = L Fa R B = 2 qL R R B A = = 4 qL R R B A = = 剪力 V A =R A V B =-R B V A =R A V B =-R B V A =R A V B =-R B V A =R A V B =-R B
《结构力学习题集》(上)超静定结构计算——力法1
超静定结构计算——力法 一、判断题： 1、判断下列结构的超静定次数。 （1）、 （2）、 (a )(b ) （3）、 （4）、 （5）、 （6）、 （7）、 (a)(b) 2、力法典型方程的实质是超静定结构的平衡条件。 3、超静定结构在荷载作用下的反力和内力，只与各杆件刚度的相对数值有关。 4、在温度变化、支座移动因素作用下，静定与超静定结构都有内力。 5、图a 结构，取图b 为力法基本结构，则其力法方程为δ111X c =。 (a)(b)X 1 c
6、图a 结构，取图b 为力法基本结构，h 为截面高度，α为线膨胀系数，典型方 程中?12122t a t t l h =--()/()。 t 2 1 t l A h (a)(b)X 1 7、图a 所示结构，取图b 为力法基本体系，其力法方程为 。 (a)(b)P k P X 1 二、计算题： 8、用力法作图示结构的M 图。 B EI 3m 4kN A 283 kN 3m EI /m C 9、用力法作图示排架的M 图。已知 A = 0.2m 2，I = 0.05m 4 ，弹性模量为E 0。
q 8m =2kN/m 6m I I A 10、用力法计算并作图示结构M 图。EI =常数。 M a a a a
11、用力法计算并作图示结构的M图。 q l l ql/2 2 EI EI EI 12、用力法计算并作图示结构的M图。 q= 2 kN/m 3 m 4 m 4 m A EI C EI B
13、用力法计算图示结构并作出M图。E I 常数。（采用右图基本结构。） P l2/3l/3l/3 l2/3 P l/3 X 1 X 2 14、用力法计算图示结构并作M图。EI =常数。 3m 6m q=10kN/m 3m
超静定结构计算力法
第十章超静定结构计算力法 一．超静定次数确定 1、 超静定结构的特性：与静定结构比较，超静定结构有如下特性： 静定结构 超静定结构 几何特性 无多余约束的几何不变体系 有多余约束的几何不变体系 静力特性 满足平衡条件内力解答是唯 一的，即仅由平衡条件就可求出 全部内力和反力。 超静定结构满足平衡条件内力解 答有无穷多种，即仅由平衡条件求 不出全部内力和反力，还必须考虑 变形条件。 非荷载外因的影响 不产生内力 产生了自内力 内力与刚度的关系 无关 荷载引起的内力与各杆刚度的比值有关，非载载外因引起的内力与各杆刚度的绝对值有关。 内力超静定，约束有多余，是超静定结构区别于静定结构的基本特点。 2、超静定次数的确定： 结构的超静定次数为其多余约束的数目，因此上，结构的超静定次数等于将原结构变成静定结构所去掉多余约束的数目。 在超静定结构上去掉多余约束的基本方式，通常有如下几种： （1）断一根链杆、去掉一个支杆、将一刚接处改为单铰联接、将一固定端改为固定铰支座，相当于去掉一个约束。 （2）断一根弯杆、去掉一个固定端，相当于去掉三个约束 （3）开一个单铰、去掉一个固定铰支座、去掉一个定向支座，相当于去掉两个约束。 3、几点注意： ①由图10-1结构的分析可得出结论：一个无铰闭合框有三个多余约束，其超静定次数等于三。对于无铰闭合框结构其超静定次数=3×闭合框数。如图10-2 所示结构的超静定次数为3×5=15次；对于带铰闭合框结构其超静定次数=3×闭合框数－结构中的单铰数（复铰要折算成单铰）如图10-3所示结构的超静 定次
数为3×5-（1+1+3）=15次。D点是连接四个刚片的复铰，相当于（4-1）=3个单铰。 ②一结构的超静定次数是确定不变的，但去掉多余约束的方式是多种多样的。如图10-1结构。 ③在确定超静定次数时，要将内外多余约束全部去掉。如图10-4结构外部1次超静定，内部6次超静定，结构的超静定次数是7。 ④在支座解除一个约束，用一个相应的约束反力来代替，在结构内部解除约束，用作用力和反作用力一对力来代替。如图10-1结构所示。 ⑤只能去掉多余约束，不能去掉必要的约束，不能将原结构变成瞬变体系或可变体系。如图10-4结构中A点的水平支杆不能作为多余约束去掉。如图10-5结 构中支杆a,b和链杆c不能作为多余约束去掉，否则就将原结构变成了瞬变体系。
静定结构位移计算练习题
静定结构的位移计算 一、判断题： 1、虚位移原理等价于变形谐调条件，可用于求体系的位移。 2、按虚力原理所建立的虚功方程等价于几何方程。 3、在非荷载因素(支座移动、温度变化、材料收缩等)作用下，静定结构不产生内力，但会有位移且位移只与杆件相对刚度有关。 4、求图示梁铰C 左侧截面的转角时，其虚拟状态应取： A. ; ; B. D. C. M =1 5、功的互等、位移互等、反力互等和位移反力互等的四个定理仅适用于线性变形体系。 6、已知M p 、M k 图，用图乘法求位移的结果为：()/()ωω1122y y EI +。 M k M p 2 1 y 1 y 2 * * ωω ( a ) M 1 7、图a 、b 两种状态中，粱的转角?与竖向位移δ间的关系为：δ=? 。 二、计算题： 10、求图示结构铰A 两侧截面的相对转角?A ，EI = 常数。 q l l l /2 11、求图示静定梁D 端的竖向位移 ?DV 。 EI = 常数 ，a = 2m 。
a a a 10kN/m 12、求图示结构E 点的竖向位移。 EI = 常数 。 l l l l /3 2 /3 /3 q 14、求图示刚架B 端的竖向位移。 q 15、求图示刚架结点C 的转角和水平位移，EI = 常数 。 q 17、求图示刚架横梁中Ｄ点的竖向位移。 EI ＝ 常数 。 18、求图示刚架中D 点的竖向位移。 E I = 常数 。 q l l/2
19、求图示结构Ａ、Ｂ两截面的相对转角，EI＝常数。 23 l/ l/3 20、求图示结构A、B两点的相对水平位移，E I = 常数。 l l 26、求图示刚架中铰C两侧截面的相对转角。 27、求图示桁架中D点的水平位移，各杆EA 相同。 D 30、求图示结构D点的竖向位移，杆AD的截面抗弯刚度为EI，杆BC的截面抗拉（压）刚度为EA。
建筑力学问题简答(七)超静定结构内力计算
建筑力学问题简答（七）超静定结构内 力计算 194．什么是超静定结构？它和静定结构有何区别？ 答：单靠静力平衡条件不能确定全部反力和內力的结构为超静定结构。 从几何组成的角度看，静定结构是没有多余约束的几何不变体系。若去掉其中任何一个约束，静定结构即成为几何可变体系。也就是说，静定结构的任何一个约束，对维持其几何不变性都是必要的，称为必要约束。对于超静定结构，若去掉其中一个甚至多个约束后，结构仍可能是几何不变的。 195．什么是超静定结构的超静定次数？ 答：超静定结构多余约束的数目，或者多余约束力的数目，称为结构的超静定次数。 196．超静定结构的基本结构是否必须是静定结构？ 答：超静定结构的基本结构必须是静定结构。 197．如何确定超静定结构的超静定次数？ 答：确定结构超静定次数的方法是：去掉超静定结构的多余约束，使之变为静定结构，则去掉多余约束的个数，即为结构的超静定次数。 198．撤除多余约束的方法有哪几种？ 答：撤除多余约束常用方法如下： （1）去掉一根支座链杆或切断一根链杆，等于去掉一个约束。 （2）去掉一个固定铰支座或拆去一个单铰，等于去掉两个约束。 （3）去掉一个固定端支座或把刚性连接切开，等于去掉三个约束。 199．用力法计算超静定结构的基本思路是什么？ 答：用力法计算超静定结构的基本思路是： 去掉超静定结构的多于约束，代之以多余未知力，形成静定的基本结构；取多余未知力作为基本未知量，通过基本结构的位移谐调条件建立力法方程，利用这一变形条件求解多余约束力；将已知外荷载和多余约束力所引起的基本结构的内力叠加，即为原超静定结构在荷载作用下产生的内力。 200．什么是力法的基本结构和基本未知量？ 答：力法的基本结构是：超静定结构去掉多余约束后得到的静定结构。力法的基本未知量是对应于多余约束的约束反力。 201．简述n 次超静定结构的力法方程，及求原结构的全部反力和內力的方法。 答：（1）n 次超静定结构的力法方程 对于n 次超静定结构，撤去n 个多余约束后可得到静定的基本结构，在去掉的n 个多余约束处代以相应的多余未知力。当原结构在去掉的多余约束处的位移为零时，相应地也就有n 个已知的位移谐调条件：Δi =0（i =1，2，…，n ）。由此可以建立n 个关于求解多余未知力的方程： 00 22112222212111212111=?++++=?++++=?++++nP n nn n n P n n P n n X X X X X X X X X δδδδδδδδδ 式中： δii 称为主系数，表示当X i =1作用在基本结构上时，X i 作用点沿X i 方向的位移。由于δ
超静定结构内力计算
六超静定结构內力计算 1．什么是超静定结构？它和静定结构有何区别？ 答：单靠静力平衡条件不能确定全部反力和內力的结构为超静定结构。 从几何组成的角度看，静定结构是没有多余约束的几何不变体系。若去掉其中任何一个约束，静定结构即成为几何可变体系。也就是说，静定结构的任何一个约束，对维持其几何不变性都是必要的，称为必要约束。对于超静定结构，若去掉其中一个甚至多个约束后，结构仍可能是几何不变的。 2．什么是超静定结构的超静定次数？ 答：超静定结构多余约束的数目，或者多余约束力的数目，称为结构的超静定次数。3．超静定结构的基本结构是否必须是静定结构？ 答：超静定结构的基本结构必须是静定结构。 4．如何确定超静定结构的超静定次数？ 答：确定结构超静定次数的方法是：去掉超静定结构的多余约束，使之变为静定结构，则去掉多余约束的个数，即为结构的超静定次数。 5．撤除多余约束的方法有哪几种？ 答：撤除多余约束常用方法如下： （1）去掉一根支座链杆或切断一根链杆，等于去掉一个约束。 （2）去掉一个固定铰支座或拆去一个单铰，等于去掉两个约束。 （3）去掉一个固定端支座或把刚性连接切开，等于去掉三个约束。 6．用力法计算超静定结构的基本思路是什么？ 答：用力法计算超静定结构的基本思路是： 去掉超静定结构的多于约束，代之以多余未知力，形成静定的基本结构；取多余未知力作为基本未知量，通过基本结构的位移谐调条件建立力法方程，利用这一变形条件求解
多余约束力；将已知外荷载和多余约束力所引起的基本结构的内力叠加，即为原超静定结构在荷载作 用下产生的内力。 7．什么是力法的基本结构和基本未知量？ 答：力法的基本结构是：超静定结构去掉多余约束后得到的静定结构。力法的基本未知量是对应于多余约束的约束反力。 8．简述n次超静定结构的力法方程，及求原结构的全部反力和內力的方法。 答：（1）n次超静定结构的力法方程 对于n次超静定结构，撤去n个多余约束后可得到静定的基本结构，在去掉的n个多余约束处代以相应的多余未知力。当原结构在去掉的多余约束处的位移为零时，相应地也就有n个已知的位移谐调条件：Δi=0（i=1，2，…，n）。由此可以建立n个关于求解多余未知力的方程： （6-5） 式中： δii称为主系数，表示当Xi=1作用在基本结构上时，Xi作用点沿Xi方向的位移。由于δii是Xi=1引起的自身方向上的位移，故恒大于零。可由自身图乘得出。 δij称为副系数，表示当Xj=1作用在基本结构上时，Xi作用点沿Xi方向的位移。可正可负也可等于零。由位移计算公式：
静定结构位移计算练习题(答案在后)
静定结构的位移计算 一、判断题： 1、虚位移原理等价于变形谐调条件，可用于求体系的位移。 2、按虚力原理所建立的虚功方程等价于几何方程。 3、在非荷载因素(支座移动、温度变化、材料收缩等)作用下，静定结构不产生内力，但会有位移且位移只与杆件相对刚度有关。 4、求图示梁铰C 左侧截面的转角时，其虚拟状态应取： A. ; ; B. D. C. =1 =1 5、功的互等、位移互等、反力互等和位移反力互等的四个定理仅适用于线性变形体系。 6、已知M p 、M k 图，用图乘法求位移的结果为：()/()ωω1122y y EI +。 M k M p 2 1 y 1 y 2 * * ωω ( a ) M =1 7、图a 、b 两种状态中，粱的转角?与竖向位移δ间的关系为：δ=? 。 二、计算题： 10、求图示结构铰A 两侧截面的相对转角?A ，EI = 常数。 q l l l /2 11、求图示静定梁D 端的竖向位移 ?DV 。 EI = 常数 ，a = 2m 。
a a a 10kN/m 12、求图示结构E 点的竖向位移。 EI = 常数 。 l l l /3 2 /3 /3 q 14、求图示刚架B 端的竖向位移。 q 15、求图示刚架结点C 的转角和水平位移，EI = 常数 。 q 17、求图示刚架横梁中Ｄ点的竖向位移。 EI ＝ 常数 。 18、求图示刚架中D 点的竖向位移。 E I = 常数 。 q l l l/2
19、求图示结构Ａ、Ｂ两截面的相对转角，EI＝常数。 23 l/ l/3 20、求图示结构A、B两点的相对水平位移，E I = 常数。 l l 26、求图示刚架中铰C两侧截面的相对转角。 27、求图示桁架中D点的水平位移，各杆EA 相同。 D 30、求图示结构D点的竖向位移，杆AD的截面抗弯刚度为EI，杆BC的截面抗拉（压）刚度为EA。
14.常见问题解答6超静定结构内力计算 静定结构的内力与材料的性质无关
14.常见问题解答6超静定结构内力计算静 定结构的内力与材料的性质无关 建筑力学常见问题解答 6 超静定结构內力计算 1．什么是超静定结构？它和静定结构有何区别？ 答：单靠静力平衡条件不能确定全部反力和內力的结构为超静定结构。 从几何组成的角度看，静定结构是没有多余约束的几何不变体系。若去掉其中任何一个约束，静定结构即成为几何可变体系。也就是说，静定结构的任何一个约束，对维持其几何不变性都是必要的，称为必要约束。对于超静定结构，若去掉其中一个甚至多个约束后，结构仍可能是几何不变的。 2．什么是超静定结构的超静定次数？ 答：超静定结构多余约束的数目，或者多余约束力的数目，称为结构的超静定次数。 3．超静定结构的基本结构是否必须是静定结构？ 答：超静定结构的基本结构必须是静定结构。 4．如何确定超静定结构的超静定次数？ 答：确定结构超静定次数的方法是：去掉超静定结构的多余约束，使之变为静定结构，则去掉多余约束的个数，即
为结构的超静定次数。 5．撤除多余约束的方法有哪几种？ 答：撤除多余约束常用方法如下： 去掉一根支座链杆或切断一根链杆，等于去掉一个约束。 去掉一个固定铰支座或拆去一个单铰，等于去掉两个约束。 去掉一个固定端支座或把刚性连接切开，等于去掉三个约束。 6．用力法计算超静定结构的基本思路是什么？ 答：用力法计算超静定结构的基本思路是： 去掉超静定结构的多于约束，代之以多余未知力，形成静定的基本结构；取多余未知力作为基本未知量，通过基本结构的位移谐调条件建立力法方程，利用这一变形条件求解多余约束力；将已知外荷载和多余约束力所引起的基本结构的内力叠加，即为原超静定结构在荷载作用下产生的内力。 7．什么是力法的基本结构和基本未知量？ 答：力法的基本结构是：超静定结构去掉多余约束后得到的静定结构。力法的基本未知量是对应于多余约束的约束反力。 8．简述n 次超静定结构的力法方程，及求原结构的全部反力和內力的方法。答：n 次超静定结构的力法方程
第二章 静定结构内力计算.
第二章静定结构内力计算 一、是非题（正确的打√，错误的打×） 1、图示体系是一个静定结构。（） 2、某刚架的弯矩图如图所示，则由此可以判断出此刚架在E处必作用了一个水平向右的集中荷载，其大小为10kN。（） M图（） 3、已知某简支直梁的M图如图（a）所示，其中AB段为二次抛物线，BC段为水平线，且在B处M图数值无突变，则其剪力图如图（b）所示。（） （a） （b） 4、图示三种结构中，ABC杆的内力是相同的。（） （a）（b） （c） 5、图（a）是从某结构中取出的一段杆AB的隔离体受力图，则图（b）为该段杆的弯矩图，这是可能的。（）
（a） (b) 6、图示结构的M图的形状是正确的。（） 7、对图示结构中的BC段杆作弯矩图时，叠加法是不适用的。（） 8、在图示结构中，支座A处的竖向反力。 （） 9、图示结构中。（）
10、图示结构中。（） 题10 图题 11图 11、图示结构中AB杆的弯矩为零。（） 12、图示三铰拱，轴线方程为，受均布竖向荷载作用，则拱内任一截面的弯矩等于零。（） 题12图题 13图 13、图示桁架，因对称结构受反对称荷载，故AB杆的轴力为零。( ) 14、不受外力作用的任何结构，内力一定为零。（） 15、对于图中所示同一结构受两种不同荷载的情况，其对应的支座反力相等，且内力图也相同。（）
(a) (b) 16、比较图a和b所示同一结构受两种不同的荷载可知，除CD段弯矩不同外，其余各部分弯矩完全相同。（） (a) (b) 17、简支的斜梁，在竖向荷载作用下，其内力与等跨度且同荷载的水平简支梁相同。（） 18、实际工程中的桁架结构，只有轴力，没有弯矩和剪力。（） 19、图示结构在温度改变作用下，所有的约束力（支座反力、杆件之间的相互约束力、杆截面内力）为零的这组答案满足平衡条件，故为其唯一确定解。（）