数字图像的数学形态学处理与应用

数字图像的数学形态学处理与应用研究

何照文，石乐健，王伟，毕艳亮

摘要：伴随着计算机技术的不断发展，数字图像处理技术日益受到人们的重视，并在生产、生活的各个领域发挥出越来越大的作用。传统的数字图像处理方法一般直接在图像的空间域中进行；或在图像的变换域上间接进行，如傅里叶变换，在变换处理完成后再通过相应的逆变换回到空间域。区别于传统方法，本文研究了基于数学形态学的数字图像处理方法。本文首先研究了数学形态学的相关运算，包括二值图像形态学运算以及灰度图像形态学运算，在此基础上研究了数学形态学处理的相关应用，如边缘检测、图像分割等，最后给出了对数学形态学处理未来的展望。

关键词：数字图像处理数学形态学

1.引言

传统的数字图像处理方法一般直接在图像的空间域中进行；或在图像的变换域上间接进行，如傅里叶变换，在变换处理完成后再通过相应的逆变换回到空间域。本文研究的基于数学形态学的数字图像处理方法不同于传统方法，它从集合的角度来刻画和分析图像，因此拥有完备的理论体系，并在实际应用中不断深入。数学形态学是一门建立在集合论基础之上的学科，是几何形态学分析和描述的有力工具，该方法着重研究数字图像的几何结构，以图像的形态特征为研究对象，其历史可追溯到19世纪的Eular，Steiner，Crofton和90年代的Minkowski，Matheron和Serra。数学形态学的蓬勃发展，由于其算法简洁快速，易于实现，已引起学者们和工程师的普遍重视。目前，数学形态学已在计算机视觉、信号处理与图像分析、模式识别等领域有着非常广泛的应用。

数学形态学可以用来解决滤除噪声、特征提取、边缘检测、图像分割、形态骨架提取等图像处理问题。本文将主要对数学形态学的基本理论与算法，及其在数字图像处理的应用进行研究。

2.数字图像的形态学处理

数学形态学处理方法比起其它空间域或频率域图像处理和分析的方法具有一些明显的优势。利用形态学算法可以有效滤除噪声，同时保留图像中的原有信息，突出图像的几何特征便于进一步分析图像。该方法以形态结构元素为基础，在形态学中，结构元素是最基本最重要的概念，其在形态变换中的作用相当于信号处理中的“滤波窗口”，该方法的基本思想是用具有一定形态的结构元素去度量和提取图像中的对应形状以达到对图像分析和识别的目的。因此，结构元素的选择对于我们能否有效提取图像的有关信息至关重要。数学形态学的应用可以简化图像数据，保持它们的基本形态特征，并除去不相干的结构。

数学形态学的基本运算有4个：膨胀、腐蚀、开启、闭合。它们在二值图像和灰度图像中各有特点。基于这些基本运算还可以推导和组合成各种数学形态学实用算法。

2.1二值图像的数学形态学运算

形态学的初始理论是以二值图像为基础的，二值图像的灰度值只能取两个值，“0”或“1”，因而图像与结构元素之间的运算可以等价为简单的逻辑运算，即“与运算”、“或运算”、“非运算”等。二值形态学运算处理的对象是集合，一般设A为图像集合，B为结构元素，数学形态学运算是用B对A操作。选取的结构元素大小和形状均会在不同程度上影响处理结果。剩下的问题就是如何选取适当的结构元素以及如何利用结构元素对图像进行操作。为此，数学形态学定义了两种基本对偶运算，称为膨胀与腐蚀运算。除了这对基本对偶运算，还有一对对偶运算起着非常重要的作用，即开运算和闭运算。下面将简要介绍二值图像的数学形态学运算：

2.1.1膨胀与腐蚀运算

形态学中的膨胀和腐蚀运算都是建立在集合的基础上进行和差运算所得到的。同时，膨胀与腐蚀运算也是形态学中最基本的运算，对于所有形态学变换来说都可以用这两种运算组合实现。用B(x)代表结构元素，对待处理图像I的每一点x，膨胀和腐蚀的定义为：

膨胀：{:()}

=⊕=?≠Φ

X I B x B X I

腐蚀：{:()}

X I B x B x I

=Θ=?

用B(x)对I进行膨胀的结果就是把结构元素平移后使B与I的交集非空的点构成的集合。而腐蚀运算与膨胀运算相反，结果是把结构元素平移后使B包含于

I的点构成的集合。

膨胀在数学形态学中的作用是把图像周围的背景点合并到物体中。如果两个物体之间距离较近，那么膨胀运算可能会使这两个物体连通在一起，所以膨胀对填补图像分割后物体中的空洞很有用。腐蚀的作用是消除物体边界点，它可以把小于结构元素的点去除，如果两个物体之间有细小的连通，当结构元素的选取足够大时，通过腐蚀可以将两个物体分开。

膨胀与腐蚀操作的效果如下图所示：

图2.1原始图像

图2.2腐蚀处理后图像

图2.3膨胀处理后结果

2.1.2开运算与闭运算

开运算与闭运算都是在膨胀与腐蚀运算基础之上进行的：

开运算是先结构元素B 先对待处理图像I 进行腐蚀，然后进行膨胀的结果，记为I B ：()I B I B B =Θ⊕

闭运算是用结构元素B 先对待处理图像I 进行膨胀，然后进行腐蚀的结果，记为I B ?：()I B I B B ?=⊕Θ

开运算与闭运算对待处理图像的操作效果如图所示：

图2.4原始图像 图2.5开运算后图像 图2.6闭运算后图像 由图可见，开运算具有消除细小物体，在纤细处分离物体和平滑较大物体边界的作用。而闭运算具有填充物体内细小空洞，连接临近物体和平滑边界的作用。

2.2灰度图像的数学形态学运算

二值图像形态学可以方便的推广到灰度图像，只是灰度形态学的运算对象和结构元素是灰度函数，可充分考虑图像的灰度信息，更完整的描述图像的特征。

2.2.1灰度腐蚀与膨胀

与二值图像形态学相同，在灰度形态学中，膨胀与腐蚀运算也是最基本最重要的运算，是组成其它形态学运算的基础。以下，设f(x,y)是输入图像，b(x,y)是结构元素。用结构元素b 对输入图像f 进行膨胀和腐蚀运算分别定义为： 膨胀：()(,)max{(,)(,)|(,),(,)}f b f b s t f s x t y b x y s x t y D x y D ⊕=--+--∈∈ 腐蚀：()(,)min{(,)(,)|(,),(,)}f b f b s t f s x t y b x y s x t y D x y D Θ=++-++∈∈

灰度膨胀与腐蚀的效果如下图所示：

图2.7原始图像 图2.8灰度膨胀处理 图2.9灰度腐蚀处理

由上图可见，在使用3*3的正方形平坦结构元素进行膨胀时，因为极大运算

的原因，图像的整体亮度提高了，增强了图像的亮细节，消除了图像中的一些小的暗的细节；而灰度腐蚀恰好相反，因为采用了极小值运算，图像的整体亮度变暗，增强了图像的暗细节，削弱了明亮的部分。

2.2.2灰度开运算与闭运算

与二值形态学类似，灰度图像的开运算与闭运算也是将灰度膨胀运算和灰度腐蚀运算相结合来定义的，以下用f表示灰度图像，b表示结构元素，定义公式如下：

开运算：()

=Θ⊕

f b f b b

闭运算：()

?=⊕Θ

f b f b b

灰度开运算与闭运算对待处理图像的操作效果如下图所示：

图2.10原始图像图2.11开运算后图像图2.12闭运算后图像

由上图可知，开运算滤除了较小的明亮细节，因为腐蚀运算将小的明亮细节滤除，再进行膨胀运算无法复原出滤去的小的明亮细节，只能恢复大尺寸的明亮细节。而闭运算则与之相反，滤去了图像中的暗细节部分。

3.数字图像的数学形态学处理应用

之前我们介绍了二值图像形态学和灰度图像形态学运算的基本定义，利用这些基本运算可以构造出一些有效的图像分析和处理方法，下面我们简要介绍几个形态学在图像处理中的应用：

3.1边缘检测

当利用结构元素作膨胀会使图像扩大，作腐蚀会使图像缩小。这两种运算都可以用来检测二值图像的边界。对于图像A和结构元素B，给出了三种运算：②()

⊕-得到图像的外边界；

A B B

②()

-Θ得到图像的内边界；

A A B

③()()

A B A B

⊕-Θ得到图像的形态学梯度边界。

下图所示为利用3*3正方形结构元素抽取汉字内外边界及形态学梯度边界的例子：

图3.1利用3*3正方形结构元素检测汉字内外边界与形态学梯度边界

3.2噪声滤除

对图像的噪声进行滤除是图像预处理中不可缺少的操作，去噪的质量将直接影响后期的处理工作。

对于二值图像，噪声表现为目标周围的噪声块和目标内部的噪声孔。用结构元素B对图像A进行开运算，就可以将目标周围的噪声块消除掉；用结构元素B 对图像A进行闭运算，则可以将目标内部的噪声孔消除掉。

对于灰度图像，滤除噪声就是进行形态学平滑。实际中开运算消除与结构元素相比较小的亮细节，而保持图像的整体灰度值和大的亮区域基本不变；用闭运算消除与结构元素相比尺寸较小的暗细节，而保持图像的整体灰度值和大的暗区域基本不变。将这两种操作综合起来可达到滤除亮区域和暗区域中各类噪声的效果。

使用数学形态学方法对图像进行噪声滤除的效果如下图所示：

图3.2加入椒盐噪声后的图像图3.3开运算操作后的图像图3.4闭运算操作后的图像

图3.5闭运算后开运算图像图3.6开运算后闭运算图像由以上去噪图像的对比分析可知，组合开运算与闭运算操作去除椒盐噪声的效果要好于单独使用开运算或闭运算。所以在设计数学形态学的去噪算法时，一般都要把基本的形态学运算组合起来使用，来增强最终图像去噪的实验效果。

3.3图像分割

在对图像的研究和应用过程中，人们往往仅对图像的某一部分感兴趣。图像分割就是指把图像分成各具特性的区域并提取出感兴趣目标的技术和过程。基于数学形态学的的图像分割算法是利用数学形态学变换，把复杂目标X 分割成一系列互不相交的简单子集X1,X2,…,Xn ，即

1n

i i X X ==∑

对目标X 的分割过程可按下面的方法完成：首先求出X 的最大内接圆X1，然后将X1从X 中减去，再求X-X1的最大内接圆X2，依此类推，直到最后得到的集合为空集为止。

目前已有一些学者利用数学形态学提出了一些有效的图像分割算法，并将其成功应用与工程应用。文献[4]提出了用形态模板过滤彩色图像进行分割的方法，并用于储粮害虫的彩色图像分割中。文献[5]利用数学形态学中的孔填充、膨胀、腐蚀、开和闭运算来提取蝴蝶兰苗期叶片的整个病变区域，取得了很好的效果。

3.4形态骨架提取

寻找二值图像的骨架，是图像处理的一个基本问题。在图像识别或数据压缩时，经常要用到这样的骨架结构。例如，在识别字符之前，往往要对字符做骨架抽取处理，求出字符的骨架结构。它是目标重要的拓扑描述，具有非常广泛的应用。

图像的骨架化是基于二值图像对图像面积进行缩减，通过线条结构对图像的整体结构进行描述的过程。骨架化又称中轴变换。对于一个区域R ，若边界为B ，对区域中每一点P ，在B 上搜索与它最近的点，若能找到多于一个同样距离的最近点，则P 属于R 的中轴，或称骨架。在R 内做与边界有两个以上切点的内切圆，则所有这些圆的圆心的集合就是中轴。

对原始图像进行形态学骨架提取操作后图像的效果如下图所示：

图3.7原始图像 图3.8形态骨架提取图像

4. 结论与展望

数学形态学是对图像的一种非线性描述系统。它具有坚实的理论体系，在图像处理、模式识别和机器人视觉等领域具有非常广泛的应用。数学形态学对数字图像处理的认知是通过图像的结构特征进行的。该方法对图像的处理也是基于结构元素对像素点逐点探查所进行的集合运算。这种对图像的几何结构的描述方法在图像处理中非常简单、直接。这也为数学形态学在图像处理中提供了广阔的发展前景。本文主要研究了数学形态学的相关理论基础，研究了二值图像形态学和

灰度图像形态学。在此之上，介绍了数学形态学在图像处理方面的基本应用，如滤除噪声、边缘检测、图像分割以及形态骨架提取。

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