升第八讲容斥原理之重叠问题

第八讲：容斥原理之重叠问题

一、导入

文氏图

文氏图，也叫“维恩图”，是由英国著名数学家 Venn 发明的．

维恩（公元 1834 年 8 月 4 日─公元 1923 年 4 月 4 日）十九世纪英国著名的数学家和哲学家，生于英国赫尔．他 1883 年获得理学博士学位，同年被选为英国皇家学会会员．

维恩最主要的成就是系统解释并发展了几何表示的方法，也就是发明了文氏图．他作出一系列简单闭曲线（圆或更复杂的图形），将平面分为许多间隔．利用这种图表，维恩阐明了演绎推理的基本原理．为了进一步明确起见，他还引入了一些数学难题作为实例．虽然在维恩之前，

莱布尼茨（Leibniz）已系统地运用过这类逻辑图，但今天这种逻辑图仍称作“维恩图”另外，维恩在概率论和逻辑学方面也有很大贡献，他的著作——《机会逻辑》和《符号逻辑》，在 19 世纪末 20 世纪初曾享有很高的声誉．

除了数学以外，维恩还有一项较为特别的技能——制作机器．他曾制作过一部板球发球机，当澳洲板球队在 1909 年到访剑桥大学时，维恩的机器依然运作正常，并使他们其中一位成员打空四次．

什么是容斥原理？

这一讲我们主要学习和“包含”与“排除”有关的问题，这样的问题在生活中就有不少，

比如吃瓜子．我们说吃掉了一斤瓜子，指的是带壳的瓜子，并非真的吃到肚子里一斤，因为这一斤中还“包含”着瓜子壳．如果要计算到底吃了多少，最简单的方法就是称一称瓜子壳，用原来的一斤“排除”掉瓜子壳的重量．瓜子的例子相对简单，一斤瓜子里一部分是瓜子仁，另一部分就是瓜子壳，两者各不相关．但本讲要学习的包含与排除问题要复杂一些，各部分之间会有重叠．

比如一个办公室中每个人都至少爱喝茶或咖啡中的一种，已知有 7 个人爱喝茶，10 个人爱喝咖啡，那能不能就说办公室里有 17 个人呢？显然不能，因为可能有一些人既爱喝茶也爱喝咖啡，如果直接将喝茶的人数和喝咖啡的人数相加，会把既爱喝茶又爱喝咖啡的人计算 2 次，计算人数的时候要把这一部分减去才行．

比如，如果有 3 个人既爱喝茶又爱喝咖啡，那总的人数就应该是 7 + 10 ? 3 = 14 人．

这就是我们今天要来研究的问题——有重叠的计数问题，即包含与排除问题．研究这种问题通常需要画出示意图，这样的示意图又叫做文氏图，下面我们就用文氏图推导两个对象的容斥原理公式．

两个量之间的重叠

例1、某班有34名同学参加了学校的运动会，其中有17名参加了跳绳，有20 名参加了拔河，问：及参加了跳绳又参加了拔河的又多少人？

如右图所示，如果要计算三个部分的总数，直接计算 A+B

就会算多了，而多算的正好是共同部分，只要把多算的减掉就可以

了．上述分析总结成公式就是：

这个公式就是两个对象的容斥原理．

17+20-34

=37-34

=3（人）

答：即参加跳绳又参加拔河的同学有3人。

练一练

1、五年级有 122 名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课的成绩是优秀，其中语文成绩优秀的有 65 人，数学优秀的有 87 人．语文、数学都优秀的有多少人？

2、在一次数学测试中有两道题全班同学都至少答对一题，答对第一题的有33人，答对第二题的又38 人，两题都答对的又15 人，问全班又多少人？

3、学校文艺组每人至少会演奏一种乐器。已知会拉手风琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其中两种乐器都会的有8人，这个文艺组一共有多少人？

挑战思维

1、为了参加一次竞赛，某班46人中，每人至少参加一项。其中有20人参加语文兴趣小组，，参加语文同时又参加数学兴趣小组的有2人，两项都没有报的有10 人，那么参加数学兴趣小组的有多少人？

三个量之间的重叠

1、某单位元旦期间组织旅游，每人至少说出一个想去的地方。其中想去海南的有42人，想去桂林的有44人，想去港澳的有36人，既想去海南又想去桂林的有12人，既想去桂林又想去港澳的有8人，既想去海南又想去港澳的有10人，三个地方都想去的有4人。问这个单位一共有多少人？

（42=44+36）-12-8-10+4

=122-（12+8+10）+4

=122-30+4

=96（人）

答：这个单位一共有96 人。

方法总结：

练一练

1、学校对150名大学生做关于《业余生活》的调查，统计到喜欢看电影的有63人，喜欢玩球的有66人，喜欢读书的有54人，既喜欢看电影又喜欢玩球的有18人，既喜欢玩球又喜欢读书的有12人，既喜欢看电影又喜欢读书的有15人.问：三种都喜欢的有多少人？

2、在校园艺术活动中，五（2）班的同学参加了美术和声乐比赛。参加美术比赛的有25人，参加声乐比赛的有20人，两项都参加的有12人，两项都没有参加的有10人。五（2）班一共有多少人？

挑战竞赛

3、学校举行运动会。四年级共有60名同学，其中参加百米赛跑的有21人，参加投掷的有26人，即参加百米有参加跳远的有12人，即参加跳远有参加投掷的有9人，即参加百米有参加投掷的有14人，三项都参加的有5人，三项都没有参加的有12人，问参加跳远的有多少人？

重叠问题中的极值问题

1、40人参加某次晚会，其中28 人在晚会上唱了歌，25人在晚会上跳舞，那么即唱歌有跳舞的人最多有多少人，最少有多少人？

最少:(28+25)-40=13人

答：最多25 人最少13 人。

方法总结：

练一练

1、某校100名学生中，爱好音乐的有56人，爱好美术的有75人，那么即爱好音乐有爱好美术的最多有多少人？最少有多少人？

2、某班30 名同学。在一项测试中，答对一题的有19 人，答对2题的14 人，那么两题都答对的最多有多少人？最少有多少人？

挑战思维

3、希望小学音乐兴趣小组有37 人，其中20人会手风琴，16人会钢琴，24人会电子琴，即会手风琴又会钢琴的8人，即会电子琴又会钢琴的10人，即会手风琴又会电子琴的8人，

那么三种都不会的至少多少人？

方法总结：

家庭作业

1、一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业?请举手!”有37人举手。又问：‘谁做完数学作业?请举手!”有42人举手。最后问：“谁语文、数学作业没有做完?”没有人举手。求这个班语文、数学作业都完成的人数是______人。

2、某个班的全体学生进行了短跑、游泳、篮球三个项目的测试，有4名学生在这三个项目上都没有达到优

求这个班的学生数？

3、某班共有30名男生，其中20人参加足球队，12人参加蓝球队，10人参加排球队。已知没一个人同时参加3个队，且每人至少参加一个队，有6人既参加足球队又参加蓝球队，有2人既参加蓝球队又参加排球队，那么既参加足球队又参加排球队的有多少人？

4、班有46人其中会弹琴的有30人，会拉小提琴的有28人，则这个班级会弹琴又会拉小提琴的至少有多少人？

5、某班同学中，有26人爱打篮球，17人爱打排球，19人爱踢足球，有9人既爱打篮球又爱踢足球，有4人既爱打排球又爱踢足球，有7人既爱打篮球又爱打排球，没有一个人三种球都爱玩，也没有一个人三种球都不爱玩，问：这个班共有多少学生？

6、某班有45名同学，其中22名同学参加科技兴趣小组，27名同学参加数学兴趣小组，同时参加两个小组的人数是两个小组均未参加的人数的2倍，那么至少参加一个兴趣小组的同学有多少名？

7、我校六年级三班学生每人至少参加了一种竞赛，其中有32人参加数学竞赛，27人参加英语竞赛，22人参加语文竞赛.其中参加英语和数学两科的有12人，参加英语和语文两科的有14人，参加数学和语文两科的有10人.问：这个班至少有多少人？至多有多少人？