第七讲 简单的分数应用题

第七讲 简单的分数应用题（一）

一、基础知识：

1、分数应用题的一般关系式是：

表示单位“1”的量（标准量）×分率=分率的对应量。

2、解题思路：

①一道分数应用题中，先根据分率所在的哪个条件，找出并判断“1”。 分率是“谁的”几分之几，谁就是单位“1”（分率是一个不带单位的、不具体的分数，反映的是两个数之间的一种倍数关系。）

单位“1”的量的判断：根据分率来判断把哪个数量平均分成多少份，哪个数量就是单位“1”。

②表示单位“1”的量是已知的，则该题用“×”。

表示单位“1”的量是未知的，则该题用“÷”或方程。

(

③解题的关键是：寻找“与数量对应的分率”，“与分率对应的数量”。

二、例题解析：

（一）基本方法

例1、指出下面每组中单位“1”和对应分率。 ①一只鸡的重量是鸭的。把( )平均分为3份,把（ ）看作单位“1”,( )相当于这样的2份，2/3对应的数量是（ ）。 ②甲的相当于乙。把( )平均分为5份,把（ ）看作单位“1”,( )相当于这样的3份，3/5对应的数量是（ ）。

③现价是原价的

。把( )平均分为40份,把（ ）看作单位“1”,( )相当于这样的3份，3/40对应的数量是（ ）。现价比原价少的部分对应的分率是（ ）。

④小红的书比小明少。把( )平均分为8份,把（ ）看作单位“1”,( )相当于这样的7份，7/8对应的数量是（ ）。小明的书对应的分率是（ ）。

/

例2、根据已知条件用“——”线标出单位“1”的量，再写出数量关系式。

（1）白兔只数的125是黑兔的只数。 （2）已经修了公路全长的21

10。

（3）二班植树棵数相当于一班的

2110。 （4）今年棉花产量比去年增加85。

（4）第三季度冰箱价格比第二季度便宜

517。 （6）还剩这堆煤的15

7。 《

例3、小王买了一个本子和一支钢笔。本子的价格是1 元，钢笔的价格比本子的价格多，钢笔的价格是多少元

例4、一条裤子比一件上衣便宜25元。一条裤子是一件上衣价格的2/3，一件上衣多少元

例5、商店运来一批水果，运来苹果20筐，梨的筐数是苹果的3/4，梨的筐数同时又是桔子的3/5。运来桔子多少筐

…

例6、学校买来54本新书，其中科技书占 1/6，文艺书占1/3，文艺书比科技书多多少本

（二）能力拓展

例7、小强看一本故事书，每天看16页,看了5天后，还剩全书的3/5没有看，这本故事书有多少页

#

分析：把全书看作单位“1”，是未知的，可以用除法或方程解答。3/5与没有看的页数相对应，看了的已知量16×5与1—3/5相对应。

例8、客车由甲城开往乙城要10小时,货车由乙城开往甲城要15小时, 两车同时从两城相向开出,多少小时两车相遇如果相遇时客车走了600千米,甲乙两城之间的公路长多少千米

分析：本题的关键是要求相遇时间，我们知道相遇时间=相遇距离÷速度和，而本题要求的就是相遇距离，怎么办可以假设全程为单位“1”。

[

练一练：一项工作,由甲单独做需要10天；由乙单独做需要12天.如果两人合做,几天才能完成

！

练习：

一、基本题

1、指出下面每组中单位“1”和对应分率。

①白兔是黑兔的。把( )平均分为6份,把（）看作单位“1”,( )

相当于这样的5份，对应的数量是（）。

②一种毛衣现价是原价的4/7。把( )平均分为7份,把（）看作单位“1”,( )相当于这样的4份,4/7对应的数量是（）。现价比原价少的部分对应的分率是（）。

③九月份的产量比八月份增加了。

单位“1”：（）。九月份的产量对应分率（）。

-

2、根据已知条件用“——”线标出单位“1”的量，再写出数量关系式。

（1）妈妈年龄的125是女儿的年龄。 （2）已经用这根绳子的11

9。

（3）男生人数占总数的2120。 （4）今年车祸比去年减少8

5。

（4）现价比原价增加107。 （6）没有看的占这本书的15

7。 ：

3、六年级有男生100人，女生有80人。

（1）男生人数是女生的几分之几

（2）女生是男生的几分之几

:

（3）女生是全年级学生的几分之几

（4）男生人数比女生多几分之几

3、某生产队挖一条长300米的水渠，第一天挖了全长的1/4，挖了多少米还剩多少米

4、某车间五月份生产零件3000个，六月份比五月份多生产了，六月份生产了多少个零件

分析：把（ ）看作单位“1”，是（ ）知的。可用（ ）方法计算。对应的数量是（ ），六月份生产的对应分率是（ ）。 …

解答：

5、某小学有学生若干人，其中女生占3/8，还已知该校男生有240人，这所小学共有多少人

分析：把（）看作单位“1”，是（）知的。可用（）方法计算。男生的对应分率是（）。

解答：

"

6、小亮在银行存了240元，小华存的钱是小亮的5/6，小华存的钱是小新的2/3，小新存了多少元

7、某粮店共有大米2800千克，第一天卖了4/7，粮店还有大米多少千克

8、商店有红气球和黄气球，共有48只，其中黄气球的只数是红气球的3/5 。红气球和黄气球各多少只

"

9、一只大雁由北方飞往南方要6天, 一只野鸭由南方飞往北方要8天,如果大雁和野鸭同时从两个方向同时出发,多少天他们可以相遇

二、综合题：

10、王琳看一本连环画共80页，第一天看了全书的1/5，第二天看了全书的1/4。还剩多少页没有看

：

11、本站有一批货物，上午运走了总数的2/5，下午运走了总数的3/8 ，还剩下2700吨没有运，这批货物一共有多少吨

12、一袋大米吃了1/3后又加入8千克，这时袋里的大米恰好是22千克。这袋大米原来有多少千克

13、小刚读一本书，先读了全书的52，又读了全书的31，已读的比没读的多70页，这本书共有多少页

，

14、根据算式写出问题。（说明：35%=7/20）

还剩下全长的1/3没有修完，————————

（1）2400×1/4

（2）2400×35%

（3）2400×（1/4+35%）

（4）2400×1/3

（5）2400×（35% - 1/4）

￥

（6）2400×（1/3 - 1/4）

（7）2400×（1/4+35% - 1/3）

第八讲 较复杂的分数应用题（二）

本讲继续学习较复杂的应用题——两个单位“1”的情况和量与率的对应关系。较复杂的分数应用题常常需要画出线段图或用方程的方法解答。

例1、一根140厘米长的绳子，第一次用去它的4/7 ，第二次又用了余下的3/5 ，两次共用去多少厘米

分析：本题有2个分率，相对应的有2个单位“1”。

[

例2、小红看一本书，第一天看了全书的4/7 ，第二天又看了剩下的 3/5，还剩下42页没有看，这本书共有多少页

练一练：某生产队挖一条长300米的水渠，第一天挖了全长的，第二天挖了余

下的，第三天恰好挖完，第三天挖了多少米

；

例3、一瓶油第一次吃了1/5千克，第二次吃了余下的3/4，这时瓶内还有1/5千克，问这瓶油原来有多少千克

分析：根据条件“第二次吃了余下的3/4”，我们先确定“1”；再利用线段图来找出：“与量对应的率”或“与率对应的量”。

例4、某校男生人数比全校学生总数的4/9少25人，女生人数比全校学生总数的4/7 多15人。求全校学生总人数。

分析：利用线段图来找出：“与量对应的率”或“与率对应的量”。而单位“1”是未知的，可以用除法或方程解答。

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例5、有一瓶酒精，第一次倒出2/3又80克，然后倒回140克；第二次再倒出瓶里酒精的3/4，这时瓶里还剩下90克酒精。求原来瓶里有酒精多少克分析：本题2个分率，相对应的有2个单位“1”。利用线段图来找出：“与量对应的率”或“与率对应的量”。单位“1”是未知的，可以用除法或方程解答。

|

试一试：东盛化肥厂生产一批化肥，分三次运出，第一次运出的比总数的3/5还多300吨，第二次运出的是第一次的1/3，第三次运出的450吨，求这批化肥有多少吨

例6、某工厂二月份比元月份增产1/10，三月份比二月份减产1/10．问三月份比元月份增产了还是减产了

分析：本题没有告诉我们具体的数量，要求的也是不具体的分率，所以我们可以假设老三年龄为“1”,或者假设一个具体的数量、字母。

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练一练：有兄弟三个，老大比老二年龄大2/5，老二比老三年龄大2/5，老大的年龄是老三的几分之几

练习：

1、某水泥厂第二个月生产水泥2400吨，比第一个月多生产1/4，第一个月生产水泥多少吨第三个月生产的水泥，比第一个月少生产1/5，那么第三个月生产水泥多少吨

、

2、小红看一本240页的书，第一天看了全书的1/4 ，第二天又看了剩下的1/3，还剩下多少页没有看

3、某粮店，第一天卖了全部大米的4/7，第二天又卖了余下的3/5，这时还剩下420千克米没有卖。这个粮店共有大米多少千克

【

4、某车间一月份生产了1000个零件，以后每个月都增产1/10，三月份生产了多少个零件

5、某工厂去年制造一种零件，成本逐渐下降，每一季度的成本都比前一季度降低1/4，问第三季度的成本是第一季度的几分之几

(

6、某班学生中，男生人数比全班人数的5/9 少5人，女生人数比全班人数的3/7多11人，求全班人数。

7、一桶柴油，第一次用了全桶的2/5，第二次用去20千克，第三次用了前两次的和，这时桶里还剩8千克油．问这桶油有多少千克

(

二、综合题

8、两队合修一条水渠，甲队完成的比全长的1/2还多千米，乙队完成的相当于甲队的1/3。这条水渠有多长

9、小王做零件，已经做了240个，比计划还少20%，为了超额25%，小王还应再做多少个

】

10、一袋大米第一周吃了1/3又6千克，后又加入8千克，第二周又吃了剩下的1/3，这时袋里的大米恰好是24千克。这袋大米原来有多少千克

11、向阳村用拖拉机耕地，第一天耕了全部土地的1/4，第二天耕了剩下的三分之二，第二天比第一天多耕30公顷，问这个村共有多少公顷土地

》

12、一种商品，先提价51，再降价5

1，现价相当于原价的几分之几

第九讲 阶段复习与考试

（

第十讲 简单的工程问题（一）

准备题：修建一条长1200米的公路，甲队需要30天，乙队需要40天，如果两队合修需要多少天

在日常生活中，做某一件事，制造某种产品，完成某项任务，完成某项工程等等，都要涉及到工作量、工作效率、工作时间这三个量，它们之间的基本数量关系是：工作效率×工作时间=工作总量（由此还可以变化为工作时间=工作总量÷工作效率，工作效率=工作总量÷工作时间），在小学数学中，探讨这三个数量之间关系的应用题，我们都叫做“工程问题”。

工程问题中的本质关系为：工作效率×工作时间=工作总量。分数工程问题的特点，常常不给出具体的工作总量，我们把全部工程看作单位“1”，这样，工作效率=1/工作时间，然后再根据工总、工效和工时这三个量的关系解题。

一、基本方法

例1、加工一批零件，甲单独做6小时完成，乙单独做9小时完成。

（1）甲、乙合做，每小时完成这批零件的几分之几

#

（2）合做3小时完成这批零件的几分之几

（3）合做3小时后完成剩下零件两人合作还需要多少小时

（4）如果合做2小时后，剩下的由甲单独做还需要多少小时做完

！

练一练：现在打一份文稿，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成.现在甲先做了3天，余下的工作由甲、乙合作完成，还需要做几天可以完成全部工作

例2、两列火车同时从甲、乙两地相向而行，货车从甲地开往乙地需要10小时，客车从乙地开往甲地需要8小时，现货车先行2小时后，客车才出发，求客车出发后多少小时两车相遇

分析；没有告诉我们甲、乙两地的路程，我们把甲、乙两地路程看做单位“1”，速度用1/时间来表示。求相遇时间，相遇时间=相隔路程÷速度和。

?

例3、一个水池有两个进水管，一个出水管。单开甲管12小时可把空池注满，单开乙管20小时可把空池注满，单开丙管15小时可把满池水放空，三管同开，多少小时把空池注满水

分析：注意本题是两个进水管，一个出水管，进水管来灌水，出水管来放水。

例4、水池上装有甲、乙两个大小不同的水龙头，单开甲龙头60分钟可注满水池，现在两个水龙头同时注水，20分钟可注满水池的1/2，如果单开乙龙头需要多长时间注满水池

分析：根据条件可以求出甲、乙两水龙头的工效和，再根据甲龙头的工效，就可以求出乙龙头的工效了。进而求出乙龙头的工作时间。

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二、能力拓展

例5、一项工程，先由甲、乙合做5天完成了全部工程的1/3，再由乙单独做了2天完成了全部工程的1/30 ，然后由乙、丙二人合做19天完成余下的工程。如果这项工程由甲、乙、丙三人合做，需要多少天完成

·

例6、一项工程，甲队独做需要45天完成，乙队独做需要60天完成，现在甲、

乙两队合作，中途乙队因事调走，这样完成全部工程共用了30 天，求乙队工作了几天

分析：这项工程，我们可以看成甲队做了一部分，乙队也做了一部分。

例7、某项工程，甲、乙两队合做，30天可以完成。今两队合做12天后，剩下的由甲队独做，经过24天才完成。问：乙队独做全部工程需几天完成:

分析：根据条件可以求出两队工效和。

例8、加工一批零件，甲独做20天完成，乙独做每天完成这件零件的1/30，现在两人合作完成这批零件，甲中途休息了天，乙也休息了几天，这样用了15天才全部完成，求乙休息了几天

分析：乙休息的天数可能天多或少或同样多。解题方法多样：按前面例题的思路，可用方程的方法，或假设方法。

…

练习：

一、基本题：

1、修一栋楼房，甲公司单独做5个月完成，乙公司单独做6个月完成。

（1）合做2个月完成这栋楼房的几分之几

（2）如果合做2个月后，剩下的由甲公司做还需要多少个月做完

：

2、一项工程，甲队单独做20天完成，乙队单独做30天完成。现在两队合作，多少天可以完成

3、一件工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成.现在甲先做了3天，余下的工作由乙继续完成.乙需要做几天可以完成全部工作

{

4、做一批零件，甲单独做12天完成，乙单独做16天完成，现在两人合作4天后，余下的由乙独做多少天可以完成

5、一个水池上装有一根进水管和一根出水管，单开一根进水管30分钟可以将水池注满，单开一根出水管45分钟可以将一池水放完。现在水池有1/2的水，两管齐开，多少分钟水池可以把水池灌满

]

6、一只大雁从甲地飞向乙地需要10天，一只野鸭从乙地飞向甲地需要12天，现野鸭先飞了3天后，大雁才出发，求大雁出发后多少天大雁和野鸭相遇

7、一项工程，甲队单独做5天完成；乙队单独做6天完成，甲、乙两队合做2天后，甲队因事调走，余下的部分由乙队单独做完，还需要多少天完成

)

二、综合题

8、做一批零件，甲、乙两人合做12天完成，现在甲、乙合做4天后，余下的乙独做20天可以完成。如果甲单独完成这批零件要用多少天

9、有一项工程，甲队独做40天可完成，乙队独做60天可完成，现在已知两队合做这项工程，但中间甲队因另有任务调走几天，所以经过27天才完成全部工作，甲队离开了几天

、

10、一件工程，甲5小时先完成了1/4，乙接着用9小时又完成了剩下任务的一半，最后余下的部分由甲、乙合作，还需要多少小时才能完成

11、一项工程，先由甲做10天完成了全部工程的1/6；再由乙做5天完成了全部工程的1/4；然后由丙做2天完成了全部工程的1/15。最后甲、乙、丙合做余下的工程，还要几天可以完成

~

—

第十一讲：圆和扇形（一）

（一）基本知识

1、圆：圆周长公式：C=πd 或C=2πr 。

圆面积公式：2

r S π=。

圆环面积：)(22r R S -=π环

》

图一 图二 图三

2、扇形。如上图二，连接两条半径OA 、OB ，就可得到一个扇形OAB ，扇形

面积公式是：S=3602

r n π。扇形的圆弧长=所在圆周长的。其中r 是指扇形的在圆的面积，n 指的是圆心角的度数。

例1、图二中n=60°，半径为6厘米，扇形面积是多少弧AB 是多少

《

3、弓形。如上图三， S 弓AC= S 扇AOC —S △AOC

例2、图三中，直角三角形AOC 的直角边OA= 6厘米，求弓形AC 的面积。

（二）基本运用

例3、街心花园中圆形花坛的周长是米。花坛的面积是多少平方米

！

例4、计算下图阴影部分的面积．(单位：厘米)

例5、在一块长米，宽2米的长方形铁板上截下2个最大的圆形后，剩下的铁板面积是多少平方米

[

例6、从一块边长10厘米的正方形铁皮上剪下一个最大的圆，这块圆形铁皮的面积是多少平方厘米剩下的面积是多少

例7、从一个直径为10厘米的圆中，剪去一个最大的正方形，正方形面积是多少

"

例8、求下图中阴影部分的面积和周长。

练习

一、基本题

1、一个圆形花坛的周长是米。花坛的面积是多少平方米

{

2、已知一个圆的面积是平方厘米，求这个圆的周长。

3、下图涂色部分是个环形，它的内圆半径是10厘米，外圆半径是15厘米，它的面积是多少

4、从一块边长8厘米的正方形铁皮上剪下一个最大的圆，阴影部分面积是多少

5、下图圆的半径为6厘米，圆心角为45度，扇形AOC的面积是多少弧AC是多少

【

6、下图是一个直角边长为20厘米的等腰直角三角形。求弓形面积。

7、求阴影部分的面积：(单位：分米) （π=3）

·

8、右图中直角三角形ABC的底AB= 20 厘米，以AB为直径画成一个圆，圆心为O，CO垂直于AB，求弓形AC的面积。

9、求下图中阴影部分面积和周长

（1）等腰梯形的腰是。（单位：厘米）

·

（2）三角形ABC是等边三角形，底BC= 6厘米，扇形圆心角为120度。

思考题：

[

10、在下图中左右两个正方形一样大小，且图（2）中四个小圆一样大．试问是图（1）中的大圆面积大，还是图（2）中四个小圆的面积之和大请说明理由。

第十二讲简单的百分数应用题（一）

百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫做百分数。百分数也叫做百分率或百分比。百分数在生活中大量地运用。如出生率、利息、利润等。一般地，我们可以把百分数应用题看作分数应用题来解答。

一、一般百分数应用题

例1、东风化肥厂去年计划生产化肥60万吨，实际生产了72万吨。实际产量比计划超过百分之几

？

例2、商店卖一种袖珍收音机, 现在按八折出售，每台是元,这种收音机原价每台多少元

例3、有甲、乙两个仓库，甲仓库存粮的2/3正好是乙仓库存粮的60%，已知乙

仓库存粮1500吨，甲仓库存粮多少吨

…

例4、工程队挖一条水渠，每天挖千米，10天挖了全长的70%，还剩多少千米没有挖

例5、学校去年春季植树500棵，成活率为85％，去年秋季植树的成活率为90％。已知去年春季比秋季多死了20棵树，那么去年秋季学校共种多少棵树分析：成活率是指成活的棵数占全部棵数的百分之几。根据去年春季成活率85％，可以求出成活棵数和死了的棵数。进而求出死了的棵数，再根据去年秋季植树的成活率90％，求出去年秋季种的树。

.

例6、纺织厂的女工占全厂人数的80％，一车间的男工占全厂男工的25％。问：一车间的男工占全厂人数的百分之几

分析：没有告诉我们具体的数量，而且求的也是一个不具体的数量百分比，这样，我们可以采用设参数的方法。

二、特殊的百分数应用题——利润问题

:

在这类问题中，特别的在于，它涉及两个量的相乘，一是商品的单价，另一个是销售量。我们要同时把握这两个量的变化：总价=单价×数量利润：一般地，商店购进货物的钱叫成本（或购入价）。卖出去的钱叫售价（或卖出价）。售价与成本的差叫利润。利润与成本的比叫利润率。

售价=成本+利润=成本+成本×利润率=成本×（1+利润率）

利润=售价—成本

例7、某商店进货的批发价为50元一袋，规定零售价为70元一袋，求商品的利润率是多少

例8、商店从某供货商以每台1200元，购进了50台空调。该商店以20%的利润

率来定价，空调的定价是多少如果全部按这个价卖出，商店共获利多少元

：

例9、商场以400元的成本购进一见商品，该商店准备以50%的利润率来定价，但因为价高，没有人购买，只好打75折优惠，问现在这件商品卖多少元

练习

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1、曙光面粉厂

①5000千克小麦可以出面粉4000千克，面粉的出粉率是多少

②面粉的出粉率是80％，4000千克小麦可以出面粉多少千克

③面粉的出粉率是80％，加工3200千克面粉需要多少千克小麦

2、把20克盐溶解在80克水中，盐占盐水的百分之几

}

3、一家大型超级市场,一月份的营业额是5000万元,如果按营业额的5%缴纳营业税后,还剩余多少万元

4、甲数比乙数多20%，乙数比甲数少百分之几

5、某化肥厂第一季度生产化肥2400吨，完成了全年任务的25%，他们准备在第二季度完成全年任务的30%，那么第二季度应生产化肥多少吨

\

6、运送一批树苗，已运了总数的％，未运的比已运的少420棵，这批树苗总数