拓扑排序与关键路径在实际的应用

数学与计算机学院

课程设计说明书

课程名称: 算法设计与分析-课程设计

课程代码: 8174123 题目:拓扑排序与关键路径在实际的应用年级/专业/班:

学生姓名:

学号:

开始时间:年月日

完成时间:年月日

课程设计成绩：

指导教师签名：年月日

目录

摘要 (1)

1 引言 (2)

1.1 问题的提出 (2)

1.2 C++语言 (2)

1.3 算法设计与分析的地位 (2)

1.4拓扑排序的描述 (3)

1.5 任务与分析 (4)

2 设计方案 (4)

2.1问题描述 (4)

2.2 算法描述 (5)

2.3算法设计 (6)

2.4算法编码实现 (7)

3.系统测试 (9)

3.1图形化界面展示图及所求解的顶点和路径 (9)

3.2算法的时间复杂度分析 (10)

结论 (12)

致谢 (13)

参考文献 (14)

摘要

排课问题是现在各个学校必须面临的一个问题。而且随着近年来学生规模的扩招,教育机构的复杂化,课程各类的多样化,排课的问题越来越难。尽管目前对排课采用了程序设计的计算机智能排课系统,但是仍然存在着这样或者那样的问题。最为突出的一个问题,比如,有一些排课方案,看上去完美无缺,或者效率比较高,甚至达到了最优解,但是具体地去实施的时候,发现整个课程的设计方案有着大的漏洞,经常出现的问题是,排课的拓扑图出现了一些环,以至于进入了死循环。该文的目的就是针对于如何检测环的存在而避免错误的排课方案。本文采用的算法是基于拓扑序列的拓扑排序算法对特定条件的排课问题提出的一种解决方案,具体的实验结果是展示出一个符合条件的课程拓扑序列,整个算法的设计与实现过程将要用到邻接表,堆栈等数据结构等等。

关键词：有向图，拓扑排序，排课

1 引言

1.1 问题的提出

自1946年第一台计算机问世以来，计算机产业的飞速发展已远远超出人们对它的预料，在某些生产线上，甚至几秒钟就能生产出一台微型计算机，产量猛增，价格低廉，这就使得它的应用范围迅速扩展。如今，计算机已深入到人类社会的各个领域。计算机的应用已不再局限于科学计算，而更多地用于控制、管理及数据处理等非数值计算的处理工作。与这些相应，计算机加工处理的对象由纯粹的数值处理发展到字符、表格和图像等各种具有一定结构的数据，这就给程序设计带来一些新的问题。为了编写出一个“好”的程序，必须分析待处理的对象的特性以及处理对象之间存在的关系。这就是“算法设计与分析”这门学科形成和发展的背景。

1.2 C++语言

C语言本身存在一些局限，例如：C语言不支持代码重用，C语言对类型的检查机制相对较弱。为了解决C语言自身所具有的诸多问题，1980年，贝尔实验室的Bjarne Stroutstrup博士及其同事开始对C语言进行改进和扩充，并使C++语言在C语言的基础上发展起来。在基本语法特点方面，C++语言保持与C语言兼并，二者没有本质上的差别，大多数使用C语言编写的代码可以在C++语言中直接使用。这也是C++语言很快普及的一个重要原因。 C++语言与C语言的主要区别是编程思想上的更新，即编码由面向过程变为面向对象，基于此，C++语言引入了类与对象机制，包括类的定义，类的继承与派生，类的多态性等。在类定义方面，C++语言一方面自定义结构类型进行扩充，另一方面也支持新的类构造。数据封装和隐藏是与类的定义紧密相关，并且在C++语言中经常碰到的现象，也是C++语言中的一大特点。数据的封装和隐藏使重要的内部数据得到保护。

1.3 算法设计与分析的地位

算法设计与分析在计算机科学中是一门综合性的专业基础课。算法的研究不仅涉及到计算机硬件（特别是编码理论、存储装置和存取方法等）的研究范围，而且和计算机软件的研究有着更密切的关系，无论是编译程序还是操作系统，都涉及到数据元素在存储器

中的分配问题。在研究信息检索时也必须考虑如何组织数据，以便查找和存取数据元素更为方便。因此，可以认为算法设计与分析是介于数学、计算机硬件和计算机软件三者之间的一门核心课程。在计算机科学中，算法设计与分析不仅是一般程序设计的基础，而且是设计和实现编译程序、操作系统、数据库系统及其他系统程序和大型应用程序的重要基础。

1.4拓扑排序的描述

1.4.1拓扑排序的基本思想：

对于学生选修课程问题：顶点——表示课程；有向弧——表示先决条件，若课程i

是j的先决条件，则图中有弧。学生应按怎样的顺序学习这些课程，才能无矛盾、顺利地完成学业——拓扑排序。AOV网——用顶点表示活动，用弧表示活动间优先关系的有向图称为顶点表示活动的网(Activity On Vertex network)，简称AOV网。若是图中有向边，则vi是vj的直接前驱；vj是vi的直接后继；AOV网中不允许有回路，这意味着某项活动以自己为先决条件。拓扑排序——把AOV网络中各顶点按照它们相互之间的优先关系排列成一个线性序列的过程叫拓扑排序。检测AOV网中是否存在环方法：对有向图构造其顶点的拓扑有序序列，若网中所有顶点都在它的拓扑有序序列中，则该AOV 网必定不存在环。

1.4.2设计拓扑排序的步骤：

1、在有向图中选一个没有前驱的顶点且输出之；

1、从图中删除该顶点和所有以它为尾的弧；

3、重复上述两步，直至全部顶点均已输出；或者当图中不存在无前驱的顶点为止。

1.4.3拓扑排序问题的特征：

拓扑排序的有效性依赖于图本身所具有的两个重要性质：有向和无环。

1、有向：任务之间有先后关系，即有方向。

2、无环：若有环，回路中就会存在彼此矛盾的条件。

1.4.4关键路径的基本思想：

在项目管理中，关键路径是指网络终端元素的元素的序列，该序列具有最长的总工期并决定了整个项目的最短完成时间。关键路径的工期决定了整个项目的工期。任何关键路径上的终端元素的延迟将直接影响项目的预期完成时间（例如在关键路径上没

有浮动时间）。一个项目可以有多个，并行的关键路径。另一个总工期比关键路径的总工期略少的一条并行路径被称为次关键路径。最初，关键路径方法只考虑终端元素之间的逻辑依赖关系。关键链方法中增加了资源约束。用顶点表示事件，弧表示活动，弧上的权值表示活动持续的时间的有向图叫AOE（Activity On Edge Network）网。AOE网常用于估算工程完成时间。

1.4.5设计关键路径的步骤：

(1) 输入e条弧，建立AOE网的存储结构。

(2) 从源点v1出发，令ve(1)=0,求 ve(j) 2<=j<=n。

(3) 从汇点vn出发，令vl(n)=ve(n),求 vl(i) 1<=i<=n-1。

(4) 根据各顶点的ve和vl值，求每条弧s（活动）的最早开始时间e(s)和最晚开始时间l(s)，其中e(s)=l(s)的为关键活动。

1.4.6关键路径问题的特征：

（1）求关键路径必须在拓扑排序的前提下进行，有环图不能求关键路径；

（2）只有缩短关键活动的工期才有可能缩短工期；

（3）若一个关键活动不在所有的关键路径上，减少它并不能减少工期；

（4）只有在不改变关键路径的前提下，缩短关键活动才能缩短整个工期。

1.5 任务与分析

1．掌握拓扑排序算法的基本思想，包括有向无环图的性质和基于拓扑排序的关键路径计算方法。

2．熟练掌握拓扑排序和关键路径分析方法。

3．学会利用拓扑排序和关键路径算法解决实际问题。

2 设计方案

2.1问题描述

给定一个有向无环图，其存储形式为如下所示。在此图中，从入度为0的顶点出发，删除此顶点和所有以它为尾的弧；重复直至全部顶点均已输出；或者当图中不存在无前驱的顶点为止。

2.2 算法描述

算法分析：这道题如果用拓扑排序法，在图的顶点数稍大的情况下（比如40，100或者更大），由阶乘可知需要列举出的路径条数将是一个非常庞大的数目，故不做讨论。如果用其它方法又往往得不到最优解。在用拓扑排序考虑图的问题时可以自顶向下的分析，自底向上的计算。核心是从入度为0顶点出发时到底向左走还是向右走应取决于是从左走能取到最大值还是从右走能取到最大值，删除该顶点和其尾弧。继续向下一个入度为0顶点做删除操作，直到全部顶点均已输出；或者当图中不存在无前驱的顶点为止。

具体步骤如下：

Step1：存储信息，将邻接矩阵数据存放到数组char indegree[40]中。

Step2：阶段划分，对于拓扑排序问题应该从上而下逐层决策，这样逐层递推求出最后结果。

Step3：关键路径的存储，用indegree [][]存储各个路径的最优值，用TopologicalOrder [][]存储路径。indegree [i][j]初始化char indegree [i][j], TopologicalOrder [i][j]初始化0，TopologicalOrder [i][j]=0为向左，等于1为向右。

Step4：信息的输出，路径最优质为TopologicalOrder [1][1],路径输出为：

if (count

else return OK;

for (j=0; j

for (p=G.vertices[j].firstarc; p; p=p->nextarc)

{

k=p->adjvex;dut=p->info;

ee = ve[j]; el = vl[k]-dut;

tag = (ee==el) ? '*' : ' ';

printf(j, k, dut, ee, el, tag); // 输出关键活动

}

return OK;

2.3算法设计

本次实验程序主要用到二维数组，以及通过动态规划法进行比较每个数的大小。主要运用两个for循环语句实现动态规划，画出流程图如下图2-1所示。

2-1流程图很直观的描述了整个程序操作过程。

2.4算法编码实现

拓扑排序：

Status TopologicalOrder(ALGraph G, Stack &T) {

// 有向网G采用邻接表存储结构，求各顶点事件的最早发生时间ve(全局变量)。 // T为拓扑序列定点栈，S为零入度顶点栈。

// 若G无回路，则用栈T返回G的一个拓扑序列，且函数值为OK，否则为ERROR。

Stack S;int count=0,k;

char indegree[40];

ArcNode *p;

InitStack(S);

FindInDegree(G, indegree); // 对各顶点求入度indegree[0..vernum-1]

for (int j=0; j

if (indegree[j]==0) Push(S, j); // 入度为0者进栈

InitStack(T);//建拓扑序列顶点栈T

count = 0;

for(int i=0; i

while (!StackEmpty(S)) {

Pop(S, j); Push(T, j); ++count; // j号顶点入T栈并计数

for (p=G.vertices[j].firstarc; p; p=p->nextarc) {

k = p->adjvex; // 对j号顶点的每个邻接点的入度减1

if (--indegree[k] == 0) Push(S, k); // 若入度减为0，则入栈

if (ve[j]+p->info > ve[k]) ve[k] = ve[j]+p->info;

}//for *(p->info)=dut()

}//while

if (count

else return OK;

} // TopologicalOrder

关键路径：

Status CriticalPath(ALGraph G)

{ // 算法7.14, G为有向网，输出G的各项关键活动。

Stack T; int a,j,k,el,ee,dut; char tag; ArcNode *p;

if (!TopologicalOrder(G, T)) return ERROR;

for(a=0; a

vl[a] = ve[G.vexnum-1]; // 初始化顶点事件的最迟发生时间while (!StackEmpty(T)) // 按拓扑逆序求各顶点的vl值

for (Pop(T, j), p=G.vertices[j].firstarc; p; p=p->nextarc)

{

k=p->adjvex; dut=p->info; //dut

if (vl[k]-dut < vl[j]) vl[j] = vl[k]-dut;

}//

for (j=0; j

for (p=G.vertices[j].firstarc; p; p=p->nextarc)

{

k=p->adjvex;dut=p->info;

ee = ve[j]; el = vl[k]-dut;

tag = (ee==el) ? '*' : ' ';

printf(j, k, dut, ee, el, tag); // 输出关键活动

}

return OK;

} // CriticalPath

3.系统测试

3.1图形化界面展示图及所求解的顶点和路径

给定一个有向无环图，其存储形式为如下所示。在此图中，从入度为0的顶点出发，在每一入度为0的顶点可以选择向下走还是向右走，一直走到底层。请找出一条关键路径。输入样例（图）：

9

C3;C6;C5;C2;C4;C10;C11.

测试结果如下：

3.2算法的时间复杂度分析。

定义: 如果一个问题的规模是n，解这一问题的某一算法所需要的时间为T(n)，它是n 的某一函数 T(n)称为这一算法的“时间复杂性”。

当输入量n逐渐加大时，时间复杂性的极限情形称为算法的“渐近时间复杂性”。

我们常用大O表示法表示时间复杂性，注意它是某一个算法的时间复杂性。大O表示只是说有上界，由定义如果f(n)=O(n)，那显然成立f(n)=O(n^2)，它给你一个上界，但并不是上确界，但人们在表示的时候一般都习惯表示前者。

for (int j=0; j

if (indegree[j]==0) Push(S, j); // 入度为0者进栈

InitStack(T);//建拓扑序列顶点栈T

count = 0;

for(int i=0; i

解：建邻接表：T(n)=O(e)

搜索入度为0的顶点的时间：T(n)=O(n)

拓扑排序：T(n)=O(n+e)

结论

本次课程设计，让我受益匪浅，本次的课程设计主要是对所学过的知识进行实践应用，不仅是巩固了自己所学的知识，而且把知识与实践相结合，使得自己在各个方面都有所提高。这学期我所做的课程设计是拓扑排序与关键路径在实际中的应用，在做本次课程设计的时候，自己也相继遇到了很多问题，很多自己的不足之处也暴露了出来，但是因为知道了自己哪里有不足，所以可以针对不足去弥补，学到的东西更深刻，更透彻，所以本次课程设计使我对算法有了更好的理解。

经过这段时间的上机实践学习，我对C++有了更进一步的认识和了解，要想学好它要重在实践，要通过不断地练习和上机编程才能熟练地掌握它。当然，在上机的同时也要有一定的C++理论知识，这样才能使理论和实践相互促进，在这两方面都有所提高。

与此同时，我也认识到了算法设计的重要性。算法设计为我们提供了很好的结构和算法来实现一些比较难的程序。同时，它还能帮助我们减少程序在时间和空间上的花费。在许多与编程有关的地方都要用到算法设计的知识。

通过本次课程设计，我对拓扑排序和关键路径都有了更深的了解，和更加熟练的应用。虽然过去编写程序也经常用到拓扑排序，但是当时根本就不了解拓扑排序是什么，现在知道拓扑排序是建立在有向无环图的基础上，而关键路径是建立在拓扑排序之上。

在上机实践中，我发现了自己的基础还不是很扎实。有些算法自己还是不能准确地写出来，有的时候还会因为空间分配等问题造成程序错误，但是经过多次实践，一些小的错误自己已经可以很容易解决了，遇到一些较难的问题时，我还是要查看教材和其他的资料来帮助自己解决问题。这种习惯极好地补充了我在程序设计中不足的知识。这使我更深刻地体会到，学各种编译语言，不仅要动脑，更要动手去做。在以后的学习中，我会更加注重实践操作能力的培养，让自己的各方面能力都有所提高。

致谢

这次课程设计能够顺利完成，最感谢的就是我的指导老师。谭老师一直在鼓励我给我信心，给了我们做课程设计的思想和基础，谭老师引导学生，启发学生，鼓励学生。感谢谭老师一直以来的信任与鼓舞，以前我还找不到自己的乐趣，找不到自己的目标，还在每天忧心忡忡，不知道以后怎么办，但是现在我找到了目标，有了信心，也有了坚持下去的勇气，所以我真心的感谢谭老师，无私的鼓励与教诲。同时，我还要感谢那些帮助过我的同学。在调试程序的过程中，有一些错误我很难发现，每次找他们都是耐心帮我讲解帮我解答，这比我看书学到的东西更多，在同学的帮助下，我进步的更快懂的东西也更多。他们的帮助让我受益匪浅。在此，对他们表示诚挚的感谢。

参考文献

［1］郑宗汉，郑晓明.算法设计与分析.清华大学出版社.2005

［2］王晓东.算法设计与分析.清华大学出版社.2003

［3］吕国英等.算法设计与分析(第2版).清华大学出版社.2009

［4］严蔚敏吴伟民.数据结构C++语言版[M].北京:清华大学出版社.2007

［5］维斯.数据结构与算法分析C++语言描述[M].北京:机械工业出版社.2004

［6］周建丽黄志真.用拓扑排序安排课程顺序[J].重庆交通学院学报.1997

［7］刘声田路明.面向对象技术获取AOV网络拓扑序列的算法[J].山东电大学报,2005