函数及其表示方法(新版教材)
函数及其表示方法
基础知识
1
．函数的概念
(1)定义：__给定两个非空数集A 与B __，以及__对应关系f __，如果对于集合A 中的__每一个实数x __，在集合B 中都有__唯一确定的实数y __与x 对应，则称f 为定义在集合A 上的一个函数．
(2)记法：y ＝f (x )，x ∈A . (3)定义：
自变量 因变量 定义域 值 域
x
y
A
__{y ∈B |y ＝f (x )，x ∈A }__
2．常见函数的定义域和值域
函数
一次函数
反比例 函数 二次函数
__a ＞0__ __a ＜0__ 对应 关系 y ＝ax ＋b (a ≠0) y ＝k x (k ≠0) y ＝ax 2＋bx ＋c
(a ≠0) y ＝ax 2＋bx ＋c
(a ≠0) 定义域 R {x |x ≠0} R
R
值域
R
{y |y ≠0}
?
?????y |y ≥4ac －b 24a
?
?????
y |y ≤4ac －b 24a
1．下图中能表示函数关系的是__①②④__(填序号)．
解析：由于③中的2与1和3同时对应，故③不是函数．
2．已知f (x )＝3x ＋2，则f (2)＝__8__；若f (a )＝－4，则a ＝__－2__. 3．函数f (x )＝
1
4－x
的定义域是__(－∞，4)__. 解析：由4－x ＞0，解得x ＜4，所以原函数的定义域为(－∞，4)． 4．已知f (x )＝x 3－2，则f [f (－1)]＝__－29__.
解析：∵f (x )＝x 3－2，∴f (－1)＝(－1)3－2＝－3， ∴f [f (－1)]＝f (－3)＝(－3)3－2＝－29.
5．给出下列三组函数，其中表示同一函数的是__③__(填序号)． ①f (x )＝x ，g (x )＝x 2
x ；
②f (x )＝2x ＋1，g (x )＝2x －1； ③f (x )＝x ，g (x )＝3
x 3.
解析：①中f (x )＝x 与g (x )＝x 2
x 的定义域不同；②中f (x )＝2x ＋1，g (x )＝2x －1的对应关系不
同．
关键能力·攻重难
函数的概念 类型 ┃┃典例剖析__■
典例1 设M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}给出下列4个图形，其中能表示集合M 到集合N 的函数关系的有( B )
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
思路探究：由函数的定义知，图中过x 轴上区间[0,2]内任取一点作y 轴的平行线，与图形有且只有一个交点才可．
解析：由函数的定义知，(1)不是，因为集合M 中1 (4)中x ＝1时，在N 中有两个元素与之对应，所以(4)不是； 显然只有(2)是，故选B ． 归纳提升：1.判断一个对应关系是不是函数关系的方法：(1)A、B必须都是非空数集；(2)A中任意一个数在B中必须有并且是唯一的实数和它对应． 注意：A中元素无剩余，B中元素允许有剩余． 2．函数的定义中“任意一个x”与“有唯一确定的y”说明函数中两个变量x、y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”． ┃┃对点训练__■ 1．在下列从集合A到集合B的对应关系中，能确定y是x的函数的是(D) ①A＝{x|x∈Z}，B＝{y|y∈Z}，f为“除以3”； ②A＝{x|x＞0，x∈R}，B＝{y|y∈R}，f为“求3x的平方根”； ③A＝R，B＝R，f为“求平方”； ④A＝{x|－1≤x≤1，x∈R}，B＝{0}，f为“乘以0”． A．①④B．②③④ C．②③D．③④ 解析：①在对应关系f下，A中不能被3整除的数在B中没有唯一确定的数与它对应，所以不能确定y是x的函数；②在对应关系f下，A中的数在B中有两个数与之对应，所以不能确定y是x的函数；③④符合函数的定义． 类型同一函数的判断 ┃┃典例剖析__■ 典例2下列各组函数是否表示同一函数？为什么？ (1)f(x)＝|x|，φ(t)＝t2； (2)y＝x2，y＝(x)2； (3)f(x)＝x·x＋1与g(x)＝x(x＋1)； (4)f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1； (5)f(x)＝1与g(x)＝x0(x≠0)． 思路探究：判断每一对函数的定义域是否相同，对应法则是否相同即可． 解析：对于(1)，在公共定义域R上，f(x)＝|x|和φ(t)＝t2＝|t|的对应法则完全相同，只是表示形式不同；对于(2)，前者x∈R，后者x≥0，两者定义域不同；对于(3)，前者定义域为[0，＋∞)，后者定义域为(－∞，－1]∪[0，＋∞)；对于(4)，尽管两个函数的自变量一个用x表示，另一个用t表示，但它们的定义域相同，对应法则相同，对定义域内同一个自变量，根据表达式，都能得到同一个函数值，因此二者为同一函数；对于(5)，f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≠0}． 故以上各对函数中，(1)(4)表示同一函数，(2)(3)(5)表示的不是同一函数． 归纳提升：同一函数的判断方法 定义域和对应法则，是确定一个函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则分别相同时，这两个函数才是同一函数． ┃┃对点训练__■ 2．下列四组函数，表示同一函数的是( D ) A ．f (x )＝x 2，g (x )＝x B ．f (x )＝x ，g (x )＝x 2x C ．f (x )＝x 2－4，g (x )＝x －2·x ＋2 D ．f (x )＝x ，g (x )＝3 x 3 解析：选项A 中，f (x )＝|x |，g (x )＝x ，故两函数的对应法则不同；选项B 中，函数f (x )的定义域为R ，函数g (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)；选项C 中，函数f (x )的定义域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)，函数g (x )的定义域为[2，＋∞)；选项D 中，函数f (x )与g (x )的定义域和对应法则均相同，故选 D ． 类型 求函数的定义域 ┃┃典例剖析__■ 典例3 求下列函数的定义域： (1)f (x )＝1 x －2； (2)f (x )＝3x ＋2； (3)f (x )＝－x 2＋2(x ∈Z )． 思路探究：本题主要考查函数的定义域．只给出函数的关系式，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是使函数关系式有意义的实数的全体构成的集合． 解析：(1)要使1 x －2有意义，x 需满足x －2≠0，即x ≠2，故该函数的定义域为{x |x ≠2}． (2)要使3x ＋2有意义，x 需满足3x ＋2≥0，即x ≥－23，故该函数的定义域为??? ???x |x ≥－23. (3)要使 －x 2＋2有意义，x 需满足－x 2＋2≥0，即－2≤x ≤2，又结合x ∈Z ，则x 等于－ 1,0,1，故该函数的定义域为{－1,0,1}． 归纳提升：函数定义域的求法 1．求函数的定义域之前，不能对函数的解析式进行变形，否则可能会引起定义域的变化． 2．求函数定义域的基本原则有： (1)如果f (x )是整式，那么函数的定义域是实数集R . (2)如果f (x )是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合． (3)如果f (x )是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合． (4)如果f (x )是由几个数学式子构成的，那么函数的定义域是使各式子都有意义的实数的集合(即求各部分定义域的交集)． (5)对于由实际问题的背景确定的函数，其定义域还要受实际问题的制约． ┃┃对点训练__■ 3．求下列函数的定义域： (1)f (x )＝x 2－x ； (2)f (x )＝(x ＋2)0； (3)f (x )＝ x ＋1 x －2 ； (4)f (x )＝x ＋4＋1－x (x ∈Z )． 解析：(1)f (x )为整式函数，x 取任意实数时，f (x )都有意义，故函数f (x )的定义域为R . (2)要使函数f (x )有意义，应满足x ＋2≠0，即x ≠－2，故函数f (x )的定义域为{x |x ≠－2}． (3)要使函数f (x )有意义，应满足? ???? x ＋1≥0， x －2≠0，即??? x ≥－1，x ≠2.故函数f (x )的定义域为{x |x ≥－ 1，且x ≠2}． (4)要使函数有意义，应满足? ???? x ＋4≥0， 1－x ≥0，即－4≤x ≤1， 又x ∈Z ，则x 只能取值－4，－3，－2，－1,0,1. 故函数f (x )的定义域为{－4，－3，－2，－1,0,1}． 类型 简单函数值域的求法 ┃┃典例剖析__■ 典例4 求下列函数的值域： (1)y ＝2x ＋1 x －3 ； (2)y ＝x 2－4x ＋6，x ∈[1,5)； (3)y ＝2x －x －1. 思路探究：求函数的值域没有统一的方法，如果函数的定义域是有限个值，那么就可将函数 值都求出得到值域；如果函数的定义域是无数个值，那么可根据函数表达式的特点采取相应的方法来求其值域，如，观察法、配方法、换元法等． 解析：(1)(观察法)y ＝2x ＋1x －3＝2＋7x －3. 因为x ≠3，所以7 x －3≠0，所以y ≠2. 故所求函数的值域为{y |y ≠2}． (2)(配方法)y ＝x 2－4x ＋6＝(x －2)2＋2. 因为1≤x ＜5，所以函数的值域为{y |2≤y ＜11}． (3)(换元法)设t ＝ x －1，则t ≥0，且x ＝t 2＋1. 所以y ＝2(t 2＋1)－t ＝2????t －142＋158. 因为t ≥0，所以y ≥15 8. 故函数y ＝2x － x －1的值域为{y |y ≥ 158 }． 归纳提升：求函数值域的常用方法 1．观察法：通过对函数关系式的简单变形，利用熟知的一些函数的值域，观察求得函数的值域． 2．配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量的取值范围的情况下，利用求二次函数的值域的方法求函数的值域． 3．换元法：通过对函数的关系式进行适当换元，可将复杂的函数化归为简单的函数，从而求出函数的值域． 求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，要通过自己在解题过程中逐渐探索和积累． ┃┃对点训练__■ 4．(1)已知f (x )＝11＋x 2，g (x )＝x 2－2，则f (3)＝__110__，f [g (3)]＝__1 50__. (2)求下列函数的值域： ①y ＝x 2－2x ＋3，x ∈[0,3)； ②y ＝3x －1x ＋1 . 解析：(1)∵f (x )＝11＋x 2，∴f (3)＝11＋32＝1 10 . 又g (x )＝x 2－2，∴g (3)＝32－2＝7. ∴f [g (3)]＝f (7)＝11＋72＝1 50 . (2)①(配方法)y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，由x ∈[0,3)，再结合函数的图像(如图)， 可得函数的值域数[2,6)． ②(分离常数法)y ＝3x －1x ＋1＝3x ＋3－4x ＋1＝3－4 x ＋1. ∵4 x ＋1 ≠0，∴y ≠3， ∴y ＝3x －1x ＋1 的值域为{y |y ∈R 且y ≠3}． 易混易错警示 求函数定义域时非等价化简解析式 ┃┃典例剖析__■ 典例5 求函数y ＝x ＋1 x 2－1 的定义域． 错因探究：在求函数的定义域时，尽量不要对函数解析式进行变形处理，以免导致定义域的变化．如本题易得错解：y ＝ x ＋1 x 2－1＝1x －1，故x －1≠0，x ≠1，即函数的定义域为{x |x ≠1}． 解析：因为当x 2－1≠0，即x ≠±1时，函数有意义，所以函数的定义域为{x |x ≠±1}． 误区警示：求函数的定义域时，一定要根据最原始的解析式来求解，否则可能会改变原函数的定义域． 学科核心素养 复合函数定义域的求法 ┃┃典例剖析__■ 复合函数：如果函数y ＝f (t )的定义域为A ，函数t ＝g (x )的定义域为D ，值域为C ，则当C ?A 时，称函数y ＝f [g (x )]为f 与g 在D 上的复合函数，其中t 称为中间变量，t ＝g (x )称为内函数，y ＝f (t )称为外函数． 复合函数的定义域是由外函数的定义域、内函数的值域以及内函数的定义域共同确定的． 若已知复合函数f [g (x )]的定义域，求f (x )的定义域，可令t ＝g (x )，由x 的范围推出t 的范围，再以x 换t 即得f (x )的定义域．若已知f (x )的定义域求复合函数f [g (x )]的定义域，令g (x )在已知范围内解出x 的范围就是复合函数的定义域． 典例6(1)函数f(x)的定义域为[2,3]，求函数f(x－1)的定义域； (2)函数f(x－1)的定义域为[2,3]，求函数f(x)的定义域． 解析：(1)函数f(x)的定义域为[2,3]，则函数f(x－1)中，2≤x－1≤3，解得3≤x≤4，即函数f(x－1)的定义域为[3,4]． (2)函数f(x－1)的定义域为[2,3]，即2≤x≤3，则1≤x－1≤2，所以函数f(x)的定义域为[1,2]． 课堂检测·固双基 1．已知函数f(x)＝－1，则f(2)的值为(B) A．－2B．－1 C．0D．不确定 解析：∵函数f(x)＝－1，∴不论x取何值其函数值都等于－1，故f(2)＝－1. 2．下列图形可作为函数y＝f(x)的图像的是(D) 解析：选项D中，对任意实数x，都有唯一确定的y值与之对应，故选D． 3．函数y＝x2－2x的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为__{－1,0,_3}__. 解析：x＝0时，y＝0； x＝1时，y＝－1； x＝2时，y＝0； x＝3时，y＝3. 故函数的值域为{－1,0,3}． 4．函数y＝8 x2－4x＋5的值域是__(0,8]__. 解析：通过配方可得函数y＝ 8 x2－4x＋5 ＝8 (x－2)2＋1 ， ∵(x－2)2＋1≥1， ∴0＜8 (x－2)2＋1 ≤8，故0＜y≤8. 故函数y＝8 x2－4x＋5 的值域为(0,8]． 5．已知函数f(x)＝6 x－1－x＋4. (1)求函数f(x)的定义域； (2)求f(－1)，f(12)的值． 解析：(1)根据题意知x－1≠0且x＋4≥0，所以x≥－4且x≠1，即函数f(x)的定义域为[－4,1)∪(1，＋∞)． (2)f(－1)＝6 －2 －－1＋4＝－3－3， f(12)＝ 6 12－1 －12＋4＝6 11 －4＝－38 11. A级基础巩固 一、单选题(每小题5分，共25分) 1．设全集为R，函数f(x)＝1－x的定义域为M，则?R M为(B) A．(－∞，1)B．(1，＋∞) C．(－∞，1]D．[1，＋∞) 解析：要使f(x)＝1－x有意义，则需1－x≥0，即x≤1，所以M＝{x|x≤1}，?R M＝{x|x＞1}． 2．函数f(x)定义在区间[－2,3]上，则函数y＝f(x)的图像与直线x＝a的交点个数有(D) A．1个B．2个 C．无数个D．至多一个 解析：当a∈[－2,3]时，由函数定义知，y＝f(x)的图像与直线x＝a只有一个交点；当a?[－2,3]时，y＝f(x)的图像与直线x＝a没有交点，所以直线x＝a与函数y＝f(x)的图像最多有一个交点，故选D． 3．已知f(x)＝x2＋1，则f[f(－1)]＝(D) A．2B．3 C．4D．5 解析：f(－1)＝(－1)2＋1＝2， ∴f[f(－1)]＝f(2)＝22＋1＝5. 4．函数f(x)＝x＋3＋(2x＋3)0 3－2x 的定义域是(B) A ．? ???－3，32 B ．????－3，－32∪????－32，32 C ．? ???－3，32 D ．????－3，－32∪????－32，32 解析：由题意得???? ? x ＋3≥0 3－2x >0 2x ＋3≠0 ， 解得－3≤x <32且x ≠－3 2，故选B ． 5．若函数f (x )满足f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )1－f (a )f (b ) ，且f (2)＝12，f (3)＝1 3，则f (7)＝( B ) A ．1 B ．3 C ．4 3 D ．83 解析：因为函数f (x )满足f (a ＋b )＝f (a )＋f (b ) 1－f (a )f (b )，所以f (4)＝f (2＋2)＝f (2)＋f (2) 1－f (2)f (2)＝4 3，结合f (3) ＝1 3，可得f (7)＝f (4＋3)＝f (4)＋f (3)1－f (4)f (3)＝43＋1 31－43×1 3＝3，故选B ． 二、填空题(每小题5分，共15分) 6．函数y ＝3－2x －x 2的定义域是__[－3,1]__. 解析：因为函数有意义，所以3－2x －x 2≥0，即x 2＋2x －3≤0，得(x －1)(x ＋3)≤0，即－3≤x ≤1，故所求函数的定义域为[－3,1]． 7．函数y ＝－x 2－2x ＋5的值域为__(－∞，6]__. 解析：y ＝－x 2－2x ＋5＝－(x ＋1)2＋6， 因为x ∈R ，所以－(x ＋1)2＋6≤6. 所以函数的值域为(－∞，6]． 8．已知函数y ＝f (2x )的定义域为[0,1]，求函数y ＝f (x ＋1)的定义域为__[－1,1]__. 解析：∵y ＝f (2x )中，0≤x ≤1， ∴0≤2x ≤2， ∴函数y ＝f (x ＋1)中，0≤x ＋1≤2， ∴－1≤x ≤1， ∴函数y ＝f (x ＋1)的定义域为[－1,1]． 三、解答题(共20分) 9．(10分)已知函数f (x )＝3－x ＋1 x ＋2