高考数学平面向量及其应用专题复习(专题训练)doc

一、多选题

1．若a →，b →，c →

是任意的非零向量，则下列叙述正确的是（ ） A ．若a b →→

=，则a b →→

= B ．若a c b c →→→→?=?，则a b →→

= C ．若//a b →→，//b c →→，则//a c →→

D ．若a b a b →

→

→

→

+=-，则a b →→

⊥

2．在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，已知

cos cos 2B b

C a c

=-，

4

ABC S =

△，且b = ）

A ．1cos 2

B =

B ．cos 2

B =

C ．a c +=

D ．a c +=3．ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2AB a =，2AC a b =+，则下列结论正确的是（ ） A ．a 是单位向量 B ．//BC b C ．1a b ?=

D ．()

4BC a b ⊥+

4．在ABC 中，AB =1AC =，6

B π

=，则角A 的可能取值为（ ）

A ．

6

π B ．

3

π C ．

23

π D ．

2

π 5．下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）

A ．已知A 、

B 、

C 是平面中三点，若,AB AC 不能构成该平面的基底，则A 、B 、C 共线 B ．若a b b c ?=?且0b ≠，则a c =

C ．若点G 为ΔABC 的重心，则0GA GB GC ++=

D ．已知()1

2a =-，，()2,b λ=，若a ，b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为1λ< 6．在ABC ?中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且

()()()::9:10:11a b a c b c +++=，则下列结论正确的是（ ）

A ．sin :sin :sin 4:5:6A

B

C = B ．ABC ?是钝角三角形

C ．ABC ?的最大内角是最小内角的2倍

D ．若6c =，则ABC ?外接圆半径为

7

7．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列结论中正确的是

（ ）

A ．若a b >，则sin sin A

B >

B ．若sin 2sin 2A B =，则AB

C 是等腰三角形 C ．若cos cos a B b A c -=，则ABC 是直角三角形

D ．若2220a b c +->，则ABC 是锐角三角形

8．设向量a ，b 满足1a b ==，且25b a -=，则以下结论正确的是（ ） A ．a b ⊥

B ．2a b +=

C ．2a b -=

D ．,60a b =?

9．已知M 为ABC 的重心，D 为BC 的中点，则下列等式成立的是（ ） A ．11

22AD AB AC =+ B ．0MA MB MC ++= C ．2133

BM BA BD =

+ D ．12

33CM CA CD =

+

10．在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝4，D 为BC 的中点，则以下结论正确的是（ ） A ．BD AD AB -= B ．1

()2

AD AB AC =

+ C ．8BA BC ?=

D ．AB AC AB AC +=-

11．（多选）若1e ，2e 是平面α内两个不共线的向量，则下列说法不正确的是（ ） A ．()12,e e λμλμ+∈R 可以表示平面α内的所有向量

B ．对于平面α中的任一向量a ，使12a e e λμ=+的实数λ，μ有无数多对

C ．1λ，1μ，2λ，2μ均为实数，且向量1112e e λμ+与2212e e λμ+共线，则有且只有一个实数λ，使()

11122122e e e e λμλλμ+=+

D ．若存在实数λ，μ，使120e e λμ+=，则0λμ== 12．对于ABC ?，有如下判断，其中正确的判断是（ ） A ．若sin 2sin 2A B =，则ABC ?为等腰三角形 B ．若A B >，则sin sin A B >

C ．若8a =，10c =，60B ?=，则符合条件的ABC ?有两个

D ．若222sin sin sin A B C +<，则ABC ?是钝角三角形 13．设,a b 是两个非零向量，则下列描述正确的有（ ） A ．若||||||a b a b +=-，则存在实数λ使得a b λ= B ．若a b ⊥，则||||a b a b +=-

C ．若||||||a b a b +=+，则a 在b 方向上的投影为||b

D ．若存在实数λ使得a b λ=，则||||||a b a b +=-

14．点P 是ABC ?所在平面内一点,满足20PB PC PB PC PA --+-=,则ABC ?的形状不可能是( ) A ．钝角三角形

B ．直角三角形

C ．等腰三角形

D ．等边三角形

15．某人在A 处向正东方向走xkm 后到达B 处,他向右转150°,然后朝新方向走3km 到达C

处,,那么x 的值为( )

A B ．C ．D ．3

二、平面向量及其应用选择题

16．在ABC 中，AD 、BE 、CF 分别是BC 、CA 、AB 上的中线，它们交于点G ，则下列各等式中不正确．．．的是（ ） A ．2

3BG BE = B ．2CG GF = C ．1

2

DG AG =

D ．0GA GB GC ++=

17．已知两不共线的向量()cos ,sin a αα=，()cos ,sin b ββ=，则下列说法一定正确的是（ ）

A ．a 与b 的夹角为αβ-

B ．a b ?的最大值为1

C ．2a b +≤

D ．()()

a b a b +⊥-

18．已知向量OA 与OB 的夹角为θ，2OA =，1OB =，=OP tOA ，

()1OQ t OB =-，PQ 在t t =0时取得最小值，则当01

05

t <<

时，夹角θ的取值范围为（ ）

A ．0,3π?? ???

B ．,32ππ?? ???

C ．2,23

ππ?? ???

D ．20,3π??

??? 19．在ABC ?中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设S 为ABC ?的面积，满足cos cos b A a B =，且角B 是角A 和角C 的等差中项，则ABC ?的形状为（ ）

A ．不确定

B ．直角三角形

C ．钝角三角形

D ．等边三角形

20．若△ABC 中，2

sin()sin()sin A B A B C +-=，则此三角形的形状是（ ） A ．直角三角形

B ．等腰三角形

C ．等边三角形

D ．等腰直角三角形

21．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos sin a B b A c +=.若

2a =，ABC 的面积为1)，则b c +=（ ）

A ．5

B ．

C ．4

D ．16

22．已知,a b 是两个单位向量，则下列等式一定成立的是( ) A ．0a b -=

B ．1a b ?=

C ．a b =

D ．0a b ?=

23．已知在四边形ABCD 中， 2, 4,53AB a b BC a b CD a b =--=+=+，则四边形

ABCD 的形状是( )

A ．矩形

B ．梯形

C ．平行四边形

D ．以上都不对

24．下列命题中正确的是（ ） A ．若a b ，则a 在b 上的投影为a B ．若(0)a c b c c ?=?≠，则a b =

C ．若,,,A B C

D 是不共线的四点，则AB DC =是四边形ABCD 是平行四边形的充要条件 D ．若0a b ?>，则a 与b 的夹角为锐角；若0a b ?<，则a 与b 的夹角为钝角 25．在ABC 中，若A B >，则下列结论错误的是（ ） A ．sin sin A B > B ．cos cos A B <

C ．sin2sin2A B

>

D ．cos2cos2A B <26．题目文件丢失！

27．在△ABC 中，M 为BC 上一点，60,2,||4ACB BM MC AM ∠=?==，则△ABC 的面积的最大值为（ ）

A ．

B ．

C ．12

D ．28．ABC 中，5AB AC ==，6BC =，则此三角形的外接圆半径是（ ） A ．4

B ．

72

C ．

258

D ．

259

29．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若1c =，45B =?，

3

cos 5

A =

，则b 等于（ ）

A ．

35

B ．

107

C ．

57

D 30．在ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，若

()2

2S a b c +=+，则cos A 等于（ ）

A ．

45

B ．45

-

C ．

1517

D ．1517

-

31．已知向量(2

2cos m x =，()1,sin2n x =，设函数()f x m n =?，则下列关于函数

()y f x =的性质的描述正确的是( )

A ．关于直线12

x π

=对称

B ．关于点5,012π??

???

对称 C ．周期为2π

D ．()y f x =在,03π??

-

???

上是增函数 32．如图所示，在ABC 中，点D 是边BC 上任意一点，M 是线段AD 的中点，若存在实数λ和μ，使得BM AB AC λμ=+，则λμ+=（ ）

A ．1-

B ．12

-

C ．2-

D ．32

-

33．已知ABC ?的内角A 、B 、C 满足()()1sin 2sin sin 2

A A

B

C C A B +-+=--+

，面积S 满足12S ≤≤，记a 、b 、c 分别为A 、B 、C 所对的边，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．()8bc b c +> B ．()162ab a b +> C ．612abc ≤≤

D ．1224abc ≤≤

34．如图所示，在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD 的顶端C 对于山坡的斜度为15°，向山顶前进50 m 到达B 处，又测得C 对于山坡的斜度为45°，若CD ＝50 m ，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ等于（ ）

A ．

3 B ．

2 C ．

31

- D ．

21- 35．如图，测量河对岸的塔高AB 时，选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D .现测得15BCD ∠=?，45BDC ∠=?，302CD m =，并在点C 测得塔顶A 的仰角为30，则塔高AB 为( )

A ．302m

B ．203m

C ．60m

D ．20m

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、多选题 1．ACD 【分析】

根据平面向量的定义、数量积定义、共线向量定义进行判断． 【详解】

对应，若，则向量长度相等，方向相同，故，故正确； 对于，当且时，，但，可以不相等，故错误； 对应，若，，则方向相同

解析：ACD 【分析】

根据平面向量的定义、数量积定义、共线向量定义进行判断． 【详解】

对应A ，若a b =，则向量,a b 长度相等，方向相同，故||||a b =，故A 正确； 对于B ，当a c ⊥且b c ⊥时，··0a c b c ==，但a ，b 可以不相等，故B 错误； 对应C ，若//a b ，//b c ，则,a b 方向相同或相反，,b c 方向相同或相反， 故,a c 的方向相同或相反，故//a c ，故C 正确；

对应D ，若||||a b a b +=-，则22222?2?a a b b a a b b ++=-+，

∴0a b =，∴a b ⊥，故D 正确．

故选：ACD 【点睛】

本题考查平面向量的有关定义，性质，数量积与向量间的关系，属于中档题．

2．AD 【分析】

利用正弦定理，两角和的正弦函数公式化简，结合，可求，结合范围，可求，进而根据三角形的面积公式和余弦定理可得. 【详解】 ∵，

整理可得：， 可得，

∵A 为三角形内角，， ∴，故A 正确

解析：AD 【分析】

利用正弦定理，两角和的正弦函数公式化简

cos cos 2B b

C a c

=-，结合sin 0A ≠，可求1cos 2

B =

，结合范围()0,B π∈，可求3B π

=，进而根据三角形的面积公式和余弦定理

可得a c += 【详解】 ∵

cos sin cos 22sin sin B b B

C a c A C

==--， 整理可得：sin cos 2sin cos sin cos B C A B C B =-，

可得()sin cos sin cos sin sin 2sin cos B C C B B C A A B +=+==， ∵A 为三角形内角，sin 0A ≠， ∴1

cos 2

B =

，故A 正确，B 错误， ∵()0,B π∈， ∴3

B π

=

，

∵4

ABC S =△，且3b =，

11sin 22ac B a c ==??=， 解得3ac =，

由余弦定理得()()2

2

22939a c ac a c ac a c =+-=+-=+-，

解得a c +=C 错误，D 正确. 故选：AD. 【点睛】

本题主要考查正弦定理，余弦定理以及两角和与差的三角函数的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

3．ABD 【分析】 A.

根据是边长为2的等边三角形和判断；B.根据，，利用平面向量的减法运算得到判断；C. 根据，利用数量积运算判断；D. 根据， ，利用数量积运算判断. 【详解】 A. 因为是边长

解析：ABD 【分析】

A. 根据ABC 是边长为2的等边三角形和2AB a =判断；

B.根据2AB a =，

2AC a b =+，利用平面向量的减法运算得到BC 判断；C. 根据1

,2

a AB

b BC =

=，利用数量积运算判断；D. 根据b BC =， 1a b ?=-，利用数量积运算判断. 【详解】

A. 因为ABC 是边长为2的等边三角形，所以2AB =，又2AB a =，所以 a 是单位向量，故正确；

B. 因为2AB a =，2AC a b =+，所以BC AC AB b =-=，所以//BC b ，故正确；

C. 因为1,2a AB b BC =

=，所以11

22cos120122

a b BC AB ?=?=????=-，故错误； D. 因为b BC =， 1a b ?=-，所以()()

2

444440BC a b b a b a b b ?+=?+=?+=-+=，所以()

4BC a b ⊥+，故正确. 故选：ABD 【点睛】

本题主要考查平面向量的概念，线性运算以及数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

4．AD 【分析】

由余弦定理得，解得或，分别讨论即可. 【详解】 由余弦定理，得， 即，解得或.

当时，此时为等腰三角形，，所以； 当时，，此时为直角三角形，所以. 故选：AD 【点睛】 本题考查余弦

解析：AD 【分析】

由余弦定理得2222cos AC BC BA BC BA B =+-??，解得1BC =或2BC =，分别讨论即可. 【详解】

由余弦定理，得2222cos AC BC BA BC BA B =+-??，

即2132BC BC =+-，解得1BC =或2BC =.

当1BC =时，此时ABC 为等腰三角形，BC AC =，所以6

A B π

==

；

当2BC =时，222AB AC BC +=，此时ABC 为直角三角形，所以A =2

π. 故选：AD 【点睛】

本题考查余弦定理解三角形，考查学生分类讨论思想，数学运算能力，是一道容易题.

5．AC 【分析】

根据平面向量基本定理判断A ；由数量积的性质可判断；由向量的中点表示和三角形的重心性质可判断，由数量积及平面向量共线定理判断D ． 【详解】

解：因为不能构成该平面的基底，所以，又有公共

解析：AC 【分析】

根据平面向量基本定理判断A ；由数量积的性质可判断B ；由向量的中点表示和三角形的重心性质可判断C ，由数量积及平面向量共线定理判断D ． 【详解】

解：因为,AB AC 不能构成该平面的基底，所以//AB AC ，又,AB AC 有公共点A ，所以A 、B 、C 共线，即A 正确；

由平面向量的数量积可知，若a b b c =，则||||cos ,||||cos ,a b a b b c b c <>=<>，所以

||cos ,||cos ,a a b c b c <>=<>，无法得到a c =，即B 不正确；

设线段AB 的中点为M ，若点G 为ABC ?的重心，则2GA GB GM +=，而

2GC GM =-，所以0GA GB GC ++=，即C 正确；

()12a =-，，()2,b λ=，若a ，b 的夹角为锐角，则220a b λ=?->解得1λ<，且a

与b 不能共线，即4λ≠-，所以()(),44,1λ∈-∞--，故D 错误；

故选：AC ． 【点睛】

本题考查向量共线定理和向量数量积的性质和向量的加减运算，属于中档题．

6．ACD 【分析】

先根据已知条件求得，再根据正余弦定理计算并逐一判断即可. 【详解】 因为

所以可设：（其中），解得：

所以，所以A 正确；

由上可知：边最大，所以三角形中角最大， 又 ，所以角为

解析：ACD 【分析】

先根据已知条件求得::4:5:6a b c =，再根据正余弦定理计算并逐一判断即可. 【详解】

因为()()()::9:10:11a b a c b c +++=

所以可设：91011a b x a c x b c x +=??

+=??+=?

（其中0x >），解得：4,5,6a x b x c x ===

所以sin :sin :sin ::4:5:6A B C a b c ==，所以A 正确； 由上可知：c 边最大，所以三角形中C 角最大，

又222222(4)(5)(6)1

cos 022458

a b c x x x C ab x x +-+-===>?? ，所以C 角为锐角，所以B 错

误；

由上可知：a 边最小，所以三角形中A 角最小，

又222222(6)(5)(4)3

cos 22654

c b a x x x A cb x x +-+-===??，

所以2

1

cos22cos 18

A A =-=

，所以cos2A cosC = 由三角形中C 角最大且C 角为锐角,可得：()20,A π∈，0,2C π??∈ ???

所以2A C =，所以C 正确； 由正弦定理得：2sin c R C =

，又sin C ==

所以

2R =

，解得：R =D 正确. 故选:ACD. 【点睛】

本题考查了正弦定理和与余弦定理，属于基础题.

7．AC 【分析】

对选项A ，利用正弦定理边化角公式即可判断A 正确；对选项B ，首先利用正弦二倍角公式得到，从而得到是等腰三角形或直角三角形，故B 错误；对选项C ，

利用正弦定理边化角公式和两角和差公式即可判

解析：AC 【分析】

对选项A ，利用正弦定理边化角公式即可判断A 正确；对选项B ，首先利用正弦二倍角公式得到sin cos sin cos A A B B =，从而得到ABC 是等腰三角形或直角三角形，故B 错误；对选项C ，利用正弦定理边化角公式和两角和差公式即可判断C 正确；对D ，首先根据余弦定理得到A 为锐角，但B ，C 无法判断，故D 错误. 【详解】

对选项A ，2sin 2sin sin sin a b r A r B A B >?>?>，故A 正确； 对选项B ，因为sin 2sin 2sin cos sin cos A B A A B B =?= 所以A B =或2

A B π

+=

，则ABC 是等腰三角形或直角三角形.故B 错误；

对选项C ，因为cos cos a B b A c -=，

所以()sin cos sin cos sin sin A B B A C A C -==+，

sin cos sin cos sin cos cos sin A B B A A B A B -=+，sin cos cos sin B A A B -=，

因为sin 0B ≠，所以cos 0A =，2

A π

=，ABC 是直角三角形，故③正确；

对D ，因为2

2

2

0a b c +->，所以222

cos 02a b c A ab

+-=>，A 为锐角.

但B ，C 无法判断，所以无法判断ABC 是锐角三角形，故D 错误. 故选：AC 【点睛】

本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，同时考查学三角函数恒等变换，属于中档题.

8．AC 【分析】

由已知条件结合向量数量积的性质对各个选项进行检验即可. 【详解】

，且,平方得，即，可得，故A 正确； ，可得，故B 错误； ，可得，故C 正确； 由可得，故D 错误; 故选：AC 【点睛】

解析：AC 【分析】

由已知条件结合向量数量积的性质对各个选项进行检验即可. 【详解】

1a b ==，且25b a -=,平方得22445b a a b +-?=，即0a b ?=，可得a b ⊥，故A

正确；

()2

22

22a b

a b a b +=++?=，可得2a b +=，故B 错误； ()

2

2

2

22a b a b a b -=+-?=，可得2a b -=，故C 正确；

由0a b ?=可得,90a b =?，故D 错误; 故选：AC 【点睛】

本题考查向量数量积的性质以及向量的模的求法，属于基础题.

9．ABD 【分析】

根据向量的加减法运算法则依次讨论即可的答案. 【详解】

解：如图，根据题意得为三等分点靠近点的点.

对于A 选项，根据向量加法的平行四边形法则易得，故A 正确； 对于B 选项，，由于为三

解析：ABD 【分析】

根据向量的加减法运算法则依次讨论即可的答案. 【详解】

解：如图，根据题意得M 为AD 三等分点靠近D 点的点. 对于A 选项，根据向量加法的平行四边形法则易得11

22

AD AB AC =

+，故A 正确； 对于B 选项，2MB MC MD +=，由于M 为AD 三等分点靠近D 点的点，

2MA MD =-，所以0MA MB MC ++=，故正确；

对于C 选项，()

2212

=3333

BM BA AD BA BD BA BA BD =+=+-+，故C 错误； 对于D 选项，()

2212

3333

CM CA AD CA CD CA CA CD =+=+-=+，故D 正确. 故选：ABD

【点睛】

本题考查向量加法与减法的运算法则，是基础题.

10．BC 【分析】

根据向量的加法和减法运算，以及向量的数量积运算可选项. 【详解】

对于A 选项：，故A 错；

对于 B 选项：因为D 为BC 的中点，，故B 正确； 对于C 选项：，故正确； 对于D 选项：，而，故

解析：BC 【分析】

根据向量的加法和减法运算，以及向量的数量积运算可选项. 【详解】

对于A 选项：BD AD BD DA BA -=+=，故A 错； 对于 B 选项：因为D 为BC 的中点，

()

111

++++()222

AD AB BD AB BC AB BA AC AB AC ====+，故B 正确；

对于C 选项：cos 248BD BA BC BA BC B BA BC BA

?=??∠=??

=?=，故正确；

对于D 选项：2,AB AC AD AB AC CB +=-=，而2AD CB ≠，故D 不正确. 故选：BC. 【点睛】

本题考查向量的线性运算和向量的数量积运算，属于基础题.

11．BC 【分析】

由平面向量基本定理可判断出A 、B 、D 正确与否，由向量共线定理可判断出C 正确与否. 【详解】

由平面向量基本定理，可知A ，D 说法正确，B 说法不正确， 对于C ，当时，这样的有无数个，故C

解析：BC 【分析】

由平面向量基本定理可判断出A 、B 、D 正确与否，由向量共线定理可判断出C 正确与否. 【详解】

由平面向量基本定理，可知A ，D 说法正确，B 说法不正确，

对于C ，当12120λλμμ====时，这样的λ有无数个，故C 说法不正确. 故选：BC 【点睛】

若1e ，2e 是平面α内两个不共线的向量，则对于平面α中的任一向量a ，使

12a e e λμ=+的实数λ，μ存在且唯一. 12．BD 【分析】

对于A ，根据三角函数的倍角公式进行判断；对于B ，根据正弦定理即可判断证明；对于C ，利用余弦定理即可得解；对于D ，根据正弦定理去判断即可． 【详解】 在中，

对于A ，若，则或， 当A ＝

解析：BD 【分析】

对于A ，根据三角函数的倍角公式进行判断；对于B ，根据正弦定理即可判断证明；对于C ，利用余弦定理即可得解；对于D ，根据正弦定理去判断即可． 【详解】 在ABC ?中，

对于A ，若sin 2sin 2A B =，则22A B =或22A B π+=， 当A ＝B 时，△ABC 为等腰三角形； 当2

A B π

+=

时，△ABC 为直角三角形，故A 不正确，

对于B ，若A B >，则a b >，由正弦定理得sin sin a b A B

=，即sin sin A B >成立．故B 正确；

对于C ，由余弦定理可得：b C 错误； 对于D ，若222sin sin sin A B C +<，由正弦定理得222a b c +<，

∴222

cos 02a b c C ab

+-=<，∴C 为钝角，∴ABC ?是钝角三角形，故D 正确；

综上，正确的判断为选项B 和D ． 故选：BD ． 【点睛】

本题只有考查了正弦定理，余弦定理，三角函数的二倍角公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．

13．AB 【分析】

若，则反向，从而； 若，则，从而可得；

若，则同向，在方向上的投影为

若存在实数使得，则共线，但是不一定成立. 【详解】

对于选项A ，若，则反向，由共线定理可得存在实数使得； 对于选

解析：AB 【分析】

若||||||a b a b +=-，则,a b 反向，从而a b λ=； 若a b ⊥，则0a b ?=，从而可得||||a b a b +=-；

若||||||a b a b +=+，则,a b 同向，a 在b 方向上的投影为||a

若存在实数λ使得a b λ=，则,a b 共线，但是||||||a b a b +=-不一定成立. 【详解】

对于选项A ，若||||||a b a b +=-，则,a b 反向，由共线定理可得存在实数λ使得

a b λ=；

对于选项B ，若a b ⊥，则0a b ?=，

222222||2,||2a b a a b b a b a a b b +=+?+-=-?+,可得||||a b a b +=-；

对于选项C ，若||||||a b a b +=+，则,a b 同向，a 在b 方向上的投影为||a ;

对于选项D ，若存在实数λ使得a b λ=，则,a b 共线，但是||||||a b a b +=-不一定成立. 故选：AB. 【点睛】

本题主要考查平面向量的性质及运算，明确向量的性质及运算规则是求解的关键，侧重考查逻辑推理的核心素养.

14．AD 【解析】

由条件可得，再两边平方即可得答案. 【详解】

∵P 是所在平面内一点，且， ∴， 即， ∴，

两边平方并化简得， ∴，

∴，则一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形， 故

解析：AD 【解析】 【分析】

由条件可得||||AB AC AC AB -=+，再两边平方即可得答案. 【详解】

∵P 是ABC ?所在平面内一点，且|||2|0PB PC PB PC PA --+-=， ∴|||()()|0CB PB PA PC PA --+-=， 即||||CB AC AB =+， ∴||||AB AC AC AB -=+， 两边平方并化简得0AC AB ?=， ∴AC AB ⊥，

∴90A ?∠=，则ABC ?一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形， 故不可能是钝角三角形，等边三角形， 故选：AD. 【点睛】

本题考查向量在几何中的应用，考查计算能力，是基础题.

15．AB 【分析】

由余弦定理得，化简即得解. 【详解】

由题意得,由余弦定理得, 解得或. 故选：AB. 【点睛】

本题主要考查余弦定理的实际应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

【分析】

由余弦定理得293

cos306x x

?

+-=，化简即得解.

【详解】

由题意得30ABC ?

∠=,由余弦定理得293

cos306x x

?

+-=

,

解得x =x 故选：AB. 【点睛】

本题主要考查余弦定理的实际应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

二、平面向量及其应用选择题

16．C 【分析】

由三角形的重心定理和平面向量的共线定理可得答案． 【详解】

ABC 中，AD 、BE 、CF 分别是BC 、CA 、AB 上的中线，它们交于点G ，可得G

为重心，则23BG BE =，2CG GF =，1

2

DG GA =且0GA GB GC ++=

故选：C 【点睛】

本题考查了三角形的重心定理和向量共线定理，属于中档题． 17．D 【分析】

由向量夹角的范围可判断A 选项的正误；计算出a b ?，利用余弦函数的值域以及已知条件可判断B 选项的正误；利用平面向量模的三角不等式可判断C 选项的正误；计算

()()a b a b +?-的值可判断D 选项的正误.综合可得出结论.

【详解】

()cos ,sin a αα=，()cos ,sin b ββ=，则2cos 1a α==，同理可得

1b =，

a 与

b 不共线，则()sin cos cos sin sin 0αβαβαβ-=-≠，则()k k Z αβπ-≠∈.

对于A 选项，由题意知，a 与b 的夹角的范围为()0,π，而()R αβ-∈且

()k k Z αβπ-≠∈，A 选项错误；

对于B 选项，设向量a 与b 的夹角为θ，则0θπ<<，所以，

()cos cos 1,1a b a b θθ?=?=∈-，B 选项错误；

对于C 选项，由于a 与b 不共线，由向量模的三角不等式可得2a b a b +<+=，C 选项错误； 对于D 选项，()()2

2

2

2

0a b a b a

b a b +?-=-=-=，所以，()()

a b a b +⊥-，D

选项正确. 故选：D. 【点睛】

本题考查平面向量有关命题真假的判断，涉及平面向量的夹角、数量积与模的计算、向量垂直关系的处理，考查运算求解能力与推理能力，属于中等题. 18．C 【解析】 【分析】

根据向量的数量积运算和向量的线性表示可得，

()()2

2

254cos 24cos 1PQ PQ t t θθ==+-++，根据二次函数的最值可得出

012cos 54cos t θθ

+=

+，再由01

05t <<，可求得夹角θ的取值范围.

【详解】 因为2cos OA OB θ?=，()1PQ OQ OP t OB tOA =-=--，

()()22

254cos 24cos 1PQ PQ t t θθ==+-++，

∵PQ 在t t =0时取得最小值，所以012cos 54cos t θθ

+=

+，又01

05t <<，则

12cos 1054cos 5

θθ+<

<+，得1

cos 02θ-<<，∵0θπ≤≤，

所以223ππθ<<，

故选：C. 【点睛】 本题考查向量的数量积运算和向量的线性表示，以及二次函数的最值和分式不等式的求解，关键在于由向量的模的平方等于向量的平方，得到关于角度的三角函数的不等式，属于中档题. 19．D 【分析】

先根据cos cos b A a B =得到,A B 之间的关系，再根据B 是,A C 的等差中项计算出B 的大小，由此再判断ABC 的形状. 【详解】

因为cos cos b A a B =，所以sin cos sin cos =B A A B ，

所以()sin 0B A -=，所以A B =， 又因为2B A C B π=+=-，所以3

B π

=，

所以3

A B π

==，所以ABC 是等边三角形.

故选：D. 【点睛】

本题考查等差中项以及利用正弦定理判断三角形形状，难度一般.（1）已知b 是,a c 的等差中项，则有2b a c =+；（2）利用正弦定理进行边角互化时，注意对于“齐次”的要求. 20．A 【分析】

已知等式左边第一项利用诱导公式化简，根据sin C 不为0得到sin()sin A B C -=，再利用两角和与差的正弦函数公式化简. 【详解】

ABC ?中，sin()sin A B C +=，

∴已知等式变形得：2sin sin()sin C A B C -=，即sin()sin sin()A B C A B -==+，

整理得：sin cos cos sin sin cos cos sin A B A B A B A B -=+，即2cos sin 0A B =，

cos 0A ∴=或sin 0B =（不合题意，舍去），

0A π<< 90A ∴=?，

则此三角形形状为直角三角形． 故选：A 【点睛】

此题考查了正弦定理，以及三角函数中的恒等变换应用，熟练掌握公式是解本题的关键，属于中档题． 21．C 【分析】

根据正弦定理边化角以及三角函数公式可得4

A π

=,再根据面积公式可求得6(2bc =,

再代入余弦定理求解即可. 【详解】

ABC 中,cos sin a B b A c +=,由正弦定理得sin cos sin sin sin A B B A C +=,

又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+,

∴sin sin cos sin B A A B =,又sin 0B ≠,∴sin A cos A =,∴tan 1A =,又(0,)A π∈,

∴4

A π

=

.∵1sin 1)24

ABC

S

bc A ===-,

∴bc =6(2,∵2a =,∴由余弦定理可得2

2

()22cos a b c bc bc A =+--,

∴2()4(22)b c bc +=++4(22)6(22)16=++?-=,可得4b c +=.

故选：C 【点睛】

本题主要考查了解三角形中正余弦定理与面积公式的运用,属于中档题. 22．C 【分析】 取,a b 夹角为3

π

，计算排除ABD ，得到答案. 【详解】 取,a b 夹角为3π

，则0a b -≠，12

a b ?=，排除ABD ，易知1a b ==. 故选：C . 【点睛】

本题考查了单位向量，意在考查学生的推断能力. 23．B 【分析】

计算得到BC A CD B -=，得到BCDM ，ABCM 为平行四边形，得到答案. 【详解】

2, 4,53AB a b BC a b CD a b =--=+=+，则53BC AB BC B a b CD A -=+=+=.

设BC BA BM +=，故BCDM ，ABCM 为平行四边形，故ABCD 为梯形. 故选：B .

【点睛】

本题考查了根据向量判断四边形形状，意在考查学生的综合应用能力. 24．C 【分析】

根据平面向量的定义与性质，逐项判断，即可得到本题答案. 【详解】

因为a b //，所以,a b 的夹角为0或者π，则a 在b 上的投影为||cos ||a a θ=±，故A 不正确；设(1,0),(0,0),(0,2)c b a ===，则有(0)a c b c c ?=?≠，但a b ≠，故B 不正确；

,||||AB DC AB DC =∴=且//AB DC ，又,,,A B C D 是不共线的四点，所以四边形