小波总结

关于小波的总结

作者：madong123 转自：研学论坛

学习小波4个月了，也来写个小结，有两个目的，第一个当然是完成强化课的作业，其次就是整理下思路，理清脉络，进一步对相关知识模型化，定型于脑中，把自己的理解曝于众人，接受反馈，

然后归纳没有搞明白的问题，有的放矢。

（一）傅立叶变换：

（1）感觉学习小波最大的困难就在于充分地去理解那些公式背后的意义，由于知识背景上的差异，同一个公式不同的人得到的信息量是不一样的。就拿最普通的内积公式来说，< f，g>=……,最

初接触是用来刻画信号之间的相关性，两个信号内积归一化后就得到相关系数，也就是两个信号越相似，内积就越大，这是第一个理解；然后我们会在Hilbert空间里看到这个东西，用来刻画两个向量的

夹角，当内积为0时，两个向量正交，若g为Hilbert空间里的正交基的时候，内积为f向基上的正交投影，这是第二个理解；（Hilbert空间是一个很直观的空间，我一直都理解为欧氏空间去理解定义在其

上的东西，L^2和l^2同样为Hilbert空间）。

（2）接下来不得不提的就是基和框架的概念：

基的概念大家都有，也很常见，只是很少涉及到数学的严格性，大家都知道颜色的RGB分解法，其实就是基的一种表示，取定RGB各自的比重就可以条配出任何一种颜色，信号和函数的表达也是如此。人

们一直渴望找到一组基来表示所有信号，从三角基，DCT，小波，脊波，曲波，基越来越复杂，表示能力也越来越强，当然计算复杂度也大幅度增加，似乎这已经逐渐成为一个不可调和的矛盾，好在计算

机的能力也在按摩尔定律增长。

基具有非冗余性，即使基不是正交的，有相关性，但若去掉其中任何一个，则不成为基，这一点也叫完备性；基的表示有唯一性，即给定一族基对一个函数的表达是唯一的；一般情况下基非正交，也称

为为exact frame（Resize basis），这个时候要表示信号可以将基正交化成唯一的正交基（对偶为其自身）；也可以求其对偶框架（dual frame），其对应了小波变换中的双正交情形！信号可以依框架

分解，然后用对偶框架重构。

若在基集里添加一些新的向量，并随意调整空间位置，则有可能成为框架。把函数与基或框架作内积，也可以说成是一种函数空间到系数空间的变换。若某种变换后的能量（内积的平方和度量）仍然有

一个大于0的上下界，才可以成为框架，由于框架的冗余性，所以系数的表达也不具有唯一性。若上下界相等，则为紧框架，且界表示冗余度。若上下界相等为且为1，称为pasval identity frame，此时

不一定为正交基（想象把一组正交基中某一个拆成两个同方向的基之和，则pasval identity 仍然成立），此时若加上基的长度均为一的条件，则框架退化为正交基。可能你会问我们用基来表示信号就行

了啊，为什么还要框架呢？其实很多信号表示方法不能构成基，却能构成框架，如短时傅立叶变换中如要求窗函数满足基条件，则可推出该函数有很差的时频局部化性质（事实上退化为了傅立叶变换）

，框架的冗余性为我们提供了很多自由度，如果有时间的话会专门写一篇框架应用的总结。（3）傅立叶变换

傅立叶变换将函数投影到三角波上，将函数分解成了不同频率的三角波，这不能不说是一个伟大的发现，但是在大量的应用中，傅立叶变换的局限性却日趋明显，事实上在光滑平稳信号的表示中

，傅立叶基已经达到了近似最优表示，但是日常生活中的信号却并不是一直光滑的，而且奇异是平凡的，傅立叶在奇异点的表现就着实让人不爽，从对方波的傅立叶逼近就可以看出来，用了大量不同频

率的三角波去逼近其系数衰减程度相当缓慢，而且会产生Gibbs效应。其内在的原因是其基为全局性基，没有局部化能力，以至局部一个小小的摆动也会影响全局的系数。实际应用中很需要时频局部化，

傅立叶显然缺乏此能力了。即使如此，由于其鲜明的物理意义和快速计算，在很多场合仍然应用广泛。

傅立叶变换在从连续到离散的情形是值得借鉴与学习的，大家都知道，时间周期对应频域离散，时间离散对应频域周期，时间离散+周期对应频域离散+周期，DFT其实是将离散信号做周期延拓然后做傅立

叶变换再截取一个周期，反变换同样如此，所以DFT用的是块基的概念，这样如果信号两端的信号连接后不再光滑（即使两边都光滑），同样会在边界上产生大幅值系数（边界效应），延伸到图像中就是

块效应。

当对信号做对称+周期延拓后再做傅立叶变换得到的正弦系数全部为0，也就是任何对称函数可以写成余弦的线性组合，同样按照离散的思路构造得到的是离散块余弦基，即DCT变换，虽然DCT可以通过对

称后周期延拓再变换减少了边界效应（两边信号接上了，但不一定平滑），但任不能消除块效应，尤其是图像变换中人为将图像分成8*8处理后块效应更加明显。但是DCT很好的能量聚集效应让人惊奇，

加之快速计算方法使它替代DFT成为图像的压缩的标准了很长时间（JPEG）。

（二）短时傅立叶变换到小波变换

三角基的局部化性质这么差，但是很多应用场合又要求比较精确的时频定位，傅立叶的缺点就越来越突出了，窗口傅立叶变换将信号乘上一个局部窗，然后再做傅立叶变换，获得比较好的时频定

位特性，再沿时间轴滑动窗口，得到整个时间轴上的频率分布，似乎到这里就应该结束了，因为我们可以把窗设计小点获得较高的时间分辨率，并期望有同样高的频率分辨率，但测不准原理无情的告诉

我们，没有这么好的窗能在时间和频率都任意小的，最优的就是gaussian window了（窗的选取还需满足频率域也为窗函数，并不是每个时窗都满足这个条件的）。

通过短时傅立叶变换我们可以画出时频图，但是存在问题：当我们分析频率较高部分信号时应该用更窄的窗，反之用宽窗，但STFT一旦选定窗过后，分辨率就固定了，若要其他分辨率则需要更换窗。接

下来用于分析窗函数的平移本身不能构成基，没有简化计算的可能性，使得时频分析的计算量一直很大（若为正交基，系数的计算相当方便）。另外一个问题：由于时间和频率都使用连续表达，连续窗

口傅立叶变换具有极大的冗余性，怎样去离散时间和频率参数以减少冗余，而又不导致信息丢失，一个明显的要求就是时频盒子一致时间和频率平移必须完全覆盖整个时频平面。由前面的框架分析可以

得知，离散窗口调制不能成为基，但可构成框架（时频采样密度大于临界值，即盒子的有效铺叠刚好邻接并充满整个时频空间），并当时频采样密度为临界采样率一半的时候（盒子有大量重叠），框架

差不多是紧的，并可证实冗余因子为4。

针对短时傅立叶变换的第一个问题，马上想到我们能不能用一个窗函数的伸缩（S）和平移（以前只有平移b）来分析信号，要求这个变换是可以完全重构的且保持能量守恒，如果存在，这样的窗

函数应满足什么条件呢？答案当然是能，这个窗函数就是连续小波，其应满足容许条件即可达到完全重构。容许条件暗含该函数在0点的傅立叶变换为0，这也解释了小波为什么必须有零值平均。由重构

公式可以看到尺度s的积分范围为（-inf，+inf），而我们分析一般只取（1，So）对于大于So以上的信息（对应实际应用的过高频率），我们认为已经不重要了，予以丢弃也不会对我们的分析造成太大

的影响，对于尺度小于等于1的信息（低频成分），我们需要对其截断保留，以便恢复信号。这可通过引入尺度函数（低通滤波）来做到。这样连续小波变换就得到一个在不同尺度和不

同时间的系数图，

系数较大的地方说明信号在该时间与该尺度的窗有很大的相似性（由变换公式和前面提到的内积的含义可知）。这样我们就可以根据系数图来分析信号的特性了。

但是连续小波变换存在很大的冗余性，事实上由连续小波变换的模极大值就可完全稳定重构信号(mallat的模极大迭代投影重构)，很自然就就可以想到对尺度和平移的离散，这一想法导致了小波

框架，离散要求满足时频窗完全覆盖整个时频平面，Daubechies提供了在给定离散参数s和b的情况下估计小波框架的上下界的定理，在满足一定条件的小波函数和一定离散参数选择下，框架界可近似达

到1（当为二进离散正交基时为1），即最大程度上消除了冗余性，此即二进离散小波；但是此举将小波的（任意）平移不变性去掉了（信号平移与采样网格未必一致），即信号移动后再做小波变换后系

数发生了很大的变化。如果想保持小波的平移不变性，可以只对尺度进行离散化但平移参数不离散，取尺度序列为二进序列{2^j}即为具有平移不变性的二进小波变换，但得到一个高冗余度的信号表示（

时间未被离散）。怎样继续较少冗余而又保持平移不变性呢？这就要求将采样网格自适应地作与信号相同的平移，也就是信号的平移必须以采样网格为参考。后面我们看到非抽取小波变换在离散了平移

参数情况仍然保持了平移不变性，这是因为信号和小波均离散化后采样网格与信号平移是一致的。

注：在对离散二进小波做重构的时候，需要求其对偶框架，而不是用离散二进小波框架本身来做重构（双正交情形，参看框架部分），但是框架为二进离散正交小波时，对偶为其自身。

到这里，短时傅立叶分析中存在的毛病在这里已经全部解决了，新问题产生了，满足允许条件的离散二进小波怎么构造，其对偶框架又怎么获得，理论上非正交二进小波有无穷多对偶，这带来的是不确

定性还是灵活性？幸而MRA和完全重构滤波器组理论为二进（正交）小波提供了构造方法和快速实现。

在MRA分析出现以前，滤波器组与小波理论是没有融合到一起的，没有人注意到完全重构滤波器中的HG的某种迭代竟是小波的构造和变换的快速实现方法，以至于小波和完全重构滤波器的构造走在

两条不相干的路上。最简单的Harr小波因为其连续性太差得不到好的应用，Meyer试图证明光滑连续的小波不存在，却意外的得到了具有一定衰减性的光滑函数，其二进伸缩和平移构成了L^2空间的标准

正交基！Mallat于同年提出了多分辨分析，为小波的构造提供了统一框架，并提供了函数

分解与重构的快速算法。

（三）MRA（多分辨分析）

我们先来考虑下任何函数的二进网格采样f（2^j*t），随着j的增大，采样网格越来越密，由采样值重构函数的空间也越来越大（频域范围越来越大），可以想象当j趋于+inf 时，L^2中的任何函

数都可以由其采样值重构。j趋于-inf时，这个空间只能包含零空间。直观理解f（2^j*t）就是在分辨率j上的逼近，也可以理解成f（t）在空间Vj上的正交投影。

注：可以这样想象，每个采样点是空间中的一个坐标轴，Vj就是由这些坐标轴张成的一个空间，j每增大一次，坐标轴就越来越多，坐标张成的空间也越来越大，且原来的坐标轴也包含在更大的空间里面

，一般的连续函数f是在一个很大的空间里面的，这样把f向Vj垂直投影，得到的是在Vj 空间上对函数的最佳逼近，可以拿三维的情况想象，再进行扩展。

若Vj空间的有以下几个性质，就称为MRA：

a）属于Vj的函数随网格平移仍属于Vj。（这个条件暗含了平移不变性）

b）空间是随j的增大二进膨胀的且严格包含（一个比一个大，且逐层包含），表明Vj-1的信息完全包含在Vj中且比Vj包含信息要少。

c）若f（t）属于Vj，则f（2t）属于Vj+1，

d）j趋于+inf，Vj能逼近属于L^2的所有函数，j趋于-inf时，Vj丢失所有细节信息，成为零空间。

e）V0存在riesz基{m（t –n）}，即属于V0的f都可以由{m（t –n）}线性组合构成。

则称m为尺度函数，并称m生成了一个多分辨分析{Vj}。可以预见，不同的m张成的多分辨分析性质是不一样的，如由Haar函数张成的空间连续性非常差（分段线性函数空间），用这个空间去逼近

连续函数的效果是很差的。理所当然想找到好的m使得张成的空间有更好的性质，更适合逼近一般的函数。

前面的讨论要求我们构造小波函数，使其二进伸缩平移函数族构成L^2的一组基。怎么构造呢？在MRA背景下，我们可以先找到V0的riesz基{m（t –n）}（可以证明Vj空间的riesz基是{2^(j/2)*m（2^j*t

–n）}）。MRA框架下，Vj是一系列嵌套且随j不断(二进)膨胀的空间，Vj与Vj-1的差空间记为Wj-1空间，很显然，Wj-1空间的任何函数（包括基）可由Vj的基构成，这样，我们就找到了每个Wj空间的基

，把所有Wj空间的基合起来就构成了整个L^2的Riesz基（而且不同空间的Wj是正交的，空间不相交）。实际上，我们一般从V0开始，把V0的基和的Wj（j>0）空间的基合起来作为L^2空间的Riesz基。

与Vj的基类似，我们当然希望由一个函数g（t）的二进伸缩平移构成整个W空间的基，当然MRA保证了有这样的函数存在，它就是小波函数。如果m（t）二进伸缩平移构成的是V0规范正交基，则可以得到

L^2的规范正交基。

由空间的关系和我们的希望可以写出几个关系：

a）Vj中的基函数可以由Vj+1的基线性组合构成（尺度方程）

b）Wj的基函数可以由Vj+1的基线性组合构成（小波方程）

c）不同尺度的小波基是正交的（不同尺度空间分割关系）

d）同一尺度上的小波基与尺度函数是正交的（同一尺度空间分割关系）

e）同一尺度中的不同的基之间是正交的(正交基关系)，若无此条件则为双正交情形。

到这里就有两条路摆在面前，一是找尺度函数，然后得到小波函数，迭代求极限可得到尺度函数和小波函数。对于第一条路，我们根据关系（a）找到h，然后由（d）找到g，再由（b）求得小波函数。但

是一般情况下可供选择的尺度函数都太少，而且求得的小波函数性质都比较差。

第二条路是滤波器组，通过找到满足条件的h，g，迭代求极限可得到尺度函数和小波函数。

可以说滤波器组完美重构理论为我们提供了小波构造的一般方法。

（四）滤波器组完美重构与小波快速算法。

前面的分析可以知道Vj相当于在j分辨率的逼近，Vj-1相当于j-1分辨率的逼近，这样Wj-1相当于两个分辨率逼近的差。在高分辨率下，我们可以用f在（2^j*t）的采样值来代替向Vj空间的投影，

但是这是需要说明的，否则成为“小波的罪恶”，本来在Vj上的投影需要函数对Vj上的基{2^(j/2)*m（2^j*t –n）}投影，用采样值来代替是因为当j足够大的时候，如一般情况下j=7~9时，尺度函数已

经非常窄，以致用delta采样来表示误差可以忽略（其实数学推导中还因为尺度函数的消失矩有关），但是必须理解这个取代是近似的。

得到了第j层的系数，如何求得j-1层的逼近系数和两个逼近层次间的误差系数呢？这就是mallat由MRA得出的快速算法。这个算法由上面列出的几个空间和相应基的关系很容易得出。同样重构算法也可以

推导得出。（具体可以查看任意一本小波书）

到这里是不是就结束了呢，那这样的话MRA也得不到这么大的名声了，它的伟大之处是与完美滤波器重构桥接上了，从而为小波构造提供了一个普遍的方法，个人认为双正交小波也是由滤波器组理论发展

出来。

把快速算法的一级分解和重构结构画出来，这不就是一个完美滤波器重构么？之前对完美滤波器的重构的结论大都可以搬上来了，大家熟知的两个PR方程其实也可以通过MRA下的空间关系推出。当然单由

这两个方程得到的h和g有很多解，并不是每个解都可以收敛到尺度函数和小波函数，必须附加其他条件，其中以Daubechies的p阶消失矩条件构造出的小波应用得最多（Daubechies 系列小波）。

很遗憾，除了Haar小波以外（haar小波可由一阶消失矩条件构造出来），没有正交小波满足对称性条件，也就是不满足线性相位，这样在分解重构后会造成失真，在一些需要对称性的场合（如图像的分

解重构，奇异点的检测等），结果是不能满足要求的。

为了构造具有光滑特性，一定消失矩，对称的小波，就不得不放弃正交条件，也就是前面提到的双正交多分辨分析

在正交情形下，我们只需要知道H0，就可以由共轭镜像滤波器条件推导得出其他滤波器为G0，H1，G1（是H0的逆序及调制），也就是我们只需要知道一个滤波器。在双正交情形下，由完美重构滤波器条

件可从H0，G0推导出H1和G1（通过逆序及调制），这表示我们需要知道两组滤波器。{（H0，G0）（H1，G1）}这两组（双）正交滤波器是可以对调的，就是谁做分解另一组就做重构。由滤波器来造小波

的步骤前面已经提及！四个滤波器之间的关系是相互交叉的，即G1由H0逆序调制，而H1由G0逆序调制。

当然我们希望尺度函数和小波是紧支的(暗含滤波器也是紧支的)，否则在计算时需要进行截断，正交紧支小波的对偶为其自身，当然也是紧支的，但是有一个定理：紧支非正交小波，其对偶必然是无限

支集的，可能你会很奇怪，我们平时用的双正交小波不都是紧支的么，其实这些紧支双正交小波是经过提升的，Daubechies有一个定理，任何双正交滤波器可通过对惰性滤波器不断做提升和对偶提升而

生成！你只需要了解这一事实即可，深入的理解恐怕需要太多的数学知识。至于提升我也希望我能有时间写一个总结，从框架的角度来理解提升，恐怕会容易得多，只是这个愿望可能不太好实现，因为

这必须要大量的推导来表述。

最后说说消失矩这个条件，Haar小波得不到应用是因为它的消失矩为1，也就是对大于一次多项式的函数的“消失”效果不好，所谓消失矩其实就是对多项式的抑制能力，消失矩越高，与信号做内积得到

的系数越少越小，这在度量信号局部正则性和压缩方面是相当重要的。提升就是一种提高小波消失矩和正则性的及其重要的手段。

注：由mallat算法得到的快速算法不具有平移不变性，其中的原因是因为采样因子是不具有平移不变性的。如果需要保持平移不变性，则需要去掉抽取这一步（多孔算法），其实不是去掉，如果去掉了

，就不是小波变换了，而是利用noble identity把抽样算子移到每一分支的分解完全结束之前而已。得到的是每次分解得到原来两倍长信号，而mallat算法是每次抽掉了其中的一部分，这样随着分解层

次的增加，小波系数也越来越稀。多孔也抽，不过移到最后一起抽，然后在重构之前同数目的上采样。

注：实际编程实现的时候由于要做滤波器卷积，每次卷积完后要用wkeep保持原来的长度。

（五）小波的性质及构造

很明显随附加条件不同，我们可以构造出无穷多的正交或双正交小波，Mallat说过，如果没有应用的刺激，小波的构造将变成聊的游戏，这里我们先分析小波具有的性质，然后谈谈如果根据应用

来构造（更多情况是选择）小波。

前面虽然给出了小波构造的统一方法，但感觉太笼统，太灵活，这需要些著名的定理来逐步加强认识，既然是定理，大家就试着接受，记住，再理解好了。这里我们只谈紧支正交小波的构造，因为紧支

双正交小波的构造已经涉及到了提升的概念。

性质1：消失矩（Vanishing Moment），这可以说是小波最具杀伤力的一个性质，压缩，去噪，快速计算等无不希望小波VM越高越好，虽然是通过滤波器卷积来求小波系数，但是思考上仍然用信

号与小波的内积来表示，这样有助于理解小波的性质。由VM的定义可知具有p阶消失矩的小波与小于p次的多项式是正交的，也就是内积为0，这样若函数f是正则的且小波有足够的消失矩，则内积产生很

小的系数。注，讨论函数的局部正则性其实是一个比较复杂的问题，在这里，姑且将f在某点附近想成一个k阶多项式和一个误差函数的逼近，这样当k

f与误差函数产生较小的系数。

小波的消失矩与对应滤波器h的傅立叶变换在pi处的零点重数是等价的，事实上我们也用这一点作为附加条件来构造具有p阶消失矩的小波（Daubechies系列的构造方法），当然我们可以构造出任

意消失矩的小波，但是我们不得不注意到滤波器长度随小波消失矩增加而增加的事实，时的我们同样只能在支集与消失矩之间折衷！

性质2：正则性，小波的正则性（光滑程度），即使理论上的完全重构，在计算机实施的时候会引起由于量化和截断造成的误差，这样在重构的时候，若小波基不够光滑，则引入的误差很容易被人察觉，

如haar小波，若小波基足够正则，引入的光滑误差不容易被察觉。有结论说明，对重要的共轭镜像滤波器族，如样条和Dx系列，小波的正则性随消失矩提高而提高

性质3：紧支性，我们当然希望我们的滤波器越短越好，因为这意味着计算量的大大减少，同时考虑到小波滑动作内积时包含到函数奇异点的时候同样可能造成大幅值系数（支集越长，包含奇异

点的小波次数越多），这样若想大幅值系数数目最小，必须尽可能减小支集长度。前面提到了，紧支与消失矩是矛盾的，为了得到更小的系数，需要高的消失矩，而要得到更少的系数，希望小的支集。

有定理在给定的消失矩情形下，Dx系列小波具有最小支集

在这个意义上，这个系列小波是最优的。

注：紧支性和消失矩可以在多小波构造下得到更好的权衡，在实际情况中，我们更多是根据信号的奇异程度来权衡，若信号奇异点很少，则考虑高的消失矩，若奇异点很平凡，则考虑更短的支集。

性质4：对称性，对正交小波来说，除haar外不存在对称或反对称小波，这点daubechies 已经严格证明了，而且由消失矩条件通过最小相位构造的小波是极不对称的，这在某些应用中是不好的性质，如奇

异点的确定，图像的重构等等，至于symmlet滤波器虽然更对称，但是产生了复小波系数双正交小波的性质与正交小波是类似的，但是可以做到完全对称，上面讨论的性质对双正交小波依然适用，前面提到双正交情形两组滤波器的位置是可以互调的，在这里我们一般选用消失矩高的

小波来做内积，然后用另一个小波做重构（它通常都是最光滑的那个）

在了解了小波的各种性质之后，我们就可以根据不同的应用来构造或选择我们适合的小波了，这在后面具体的应用中会反复提到。

（六）再谈滤波器与小波的关系

大家肯定都熟知了小波构成了L^2的（双）正交基，我们习惯在脑海中把小波系数的幅度看成未被采样的函数和小波之间的相似性度量，这也是我们获得的清楚的物理意义，那么滤波器组的角色仅

仅是提供一个快速计算？那就太浅显了，我们回忆下mallat的快速算法，对函数进行采样后近似表示系数，是不是可以考虑成l^2（Z）中的函数呢？当然可以！那l^2（Z）的基是什么呢？

再回头看看快速分解的公式：第j层的低频系数Aj（n）与滤波器h（n）卷积后做下采样得到j-1层低频系数Aj-1，这个过程可以写成第j层的系数Aj（n）与下采样的滤波器h（2n）做卷积，也可以

写成Aj-1（k）= < Aj（n），h（2k-n）>，这个形式是不是很熟悉呢，仔细看是l^2（Z）中的函数在基h（2k-n）下投影，系数为Aj-1（k）；同理可以得到第j-1层细节系数Dj-1（k）= < Aj（n），g

（2k-n）>，同样是l^2（Z）中的函数Aj（n）在基g（2k-n）下投影，那这个h和g是不是就是我们要找的离散小波基呢？

可以由滤波器完美重构的条件推得如下结论：

如果h（-n），g（-n），h1，g1是完全重构滤波器组且傅立叶变换都有界，则{h（2k-n），g（2k-n）|k属于Z}和{h1（2k-n），g1（2k-n）|k属于Z}构成了l^2（Z）的双正交resize基如果上面的h（n）=h1（n），g（n）=g1（n），则{h（2k-n），g（2k-n）|k属于Z}构成了l^2

（Z）的规范正交基。

这个结论的含义是什么呢？我们找到了l^2（Z）的离散小波（双）正交基！而且这些滤波器基按照小波树形分解结构得到的基仍然是l^2（Z）的离散小波（双）正交基！

注，好好理解这两句话，可能你需要对正交基或者双正交基的好处有一些体会！其实同样的方法可以构造离散的小波包的基。

大家都知道我们计算机处理的都是离散信号，以前的快速算法似乎通过将采样数据离散来近似高分辨率数据，然后通过连续小波基之间的尺度关系来推出的快速算法，而现在我们可以完全在离散

情况下来考虑这个问题了，因为我们从大自然采集离散数据本身就很方便，我们只需要满足采样定律来保存原信号的信息；同时我们把滤波器看成基，这对以后的提升理解是有帮助的（对这句话有兴趣

的可以和我交流）。

那滤波器基和小波基有什么关系呢，考虑对尺度方程和小波方程两边做傅立叶变换，可以通过反复迭代取极限求得尺度函数和小波基的傅立叶变换，也就是我们把滤波器通过某种方式无穷迭代最

后会收敛到尺度函数和小波基，这个就叫cascade算法吧，事实上我们经过三五次迭代的结果就与连续尺度函数和小波基非常相似了。

注：并不是所有的h，g都可以最后收敛的，必须加条件，但我认为这样的h，g同样也可以用来做分解的，这似乎决定了构造离散的基比连续情况的基要简单。至于用不能收敛的h，g来分析有什么

后果我还没有深入研究过。

其实以前就接触到很多结论中就有尺度函数和小波与对应滤波器组之间的关系了，如消失矩，滤波器在pi处的零点重数与小波基的消失矩是对应的，这些都是通过尺度方程和小波方程联系起来的

，可以说这两个方程为我们的连续与离散架起了一座桥梁