高中向量经典题目
已知,a b 是单位向量,0a b =.若向量c 满足1,c a b c --=则的取值范围是
A
.?? B
.?? C
.1???? D
.1????
1.已知向量()()1,1,2,2m n λλ=+=+,若()()
m n m n +⊥-,则=λ
A .4-
B .3-
C .2-
D .-1 2.已知点()1,1A -.()1,2B .()2,1C --.()3,4D ,则向量AB 在CD 方向上的
投影为()A
B
C
.
. 3.已知正方形
的边长为,为的中点,则_______. 4.已知向量与的夹角为°,且,,若,且,则实数的值为__________.
5.已知两个单位向量a ,b 的夹角为60°,c =t a +(1-t)b ,若b ·c =0,则t =_____.
6.向量a ,b ,c 在正方形网格中的位置如图所示.若c =λa +
μb (λ,μ∈R),则λμ
=_________. 7.设21,e e 为单位向量,非零向量R y x e y e x ∈+=,,21,若21,e e 的夹角为6π
,||b 的最大值等于________. 8.设E D ,分别是A B C ?的边BC AB ,上的点,AB AD 21=,BC BE 3
2=,若21λλ+= (21λλ,为实数),则21λλ+的值为__________.
9.在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点O ,AB AD AO λ+=,则λ=
10.设1e ,2e 为单位向量.且1e ,2e 的夹角为
3π,若123a e e =+,12b e =,则向量a
在b 方向上的射影为 ___________
11.在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ?∠=, E 为CD 的中点. 若·1AD BE =, 则AB 的长为___.
12.设向量满足且的方向相反,则的坐标为 .
13
定义平面向量之间的一种运算“”如下,对任意的a =(m,n),b p,q)=(,令AB AC 1203AB =2AC =AP AB AC
λ=+AP BC ⊥λ,a b ||25,(2,1),a b ==a b 与a
a b=mq- np ,下面说法错误的是( )
A.若a 与b 共线,则a b=0
B.a
b=b a C.对任意的R λ∈,有a)b=(λλ(a b) D. 2222(a b)+(ab)=|a||b|
14
若平面向量,满足,平行于轴,,则 .
15设、、是单位向量,且·=0,则的最小值为 ( )
(A ) (B
(C ) (D)
16已知向量a = (2,1), a
·b = 10,︱a +
b ︱= b
︱= (A (B (C )5 (D )25
17设向量a b c 、、满足|a |=|b |=1, a b ?1=2-
,,,a c b c <-->=060,则c 的最大值等于 18若a ,b ,c 均为单位向量,且0=?b a ,0)()(≤-?-c b c a ,则||c b a -+的最大值为
(A )12- (B )1 (C )2
(D )2 19若向量(1,2),(1,1)==-a b ,则2a b +与a b -的夹角等于
A.4π-
B.6π
C.4π
D. 34
π 202,()()
22-=-?+b a b a ,则a 与b 的夹角为 .
21设非零向量、、满足,则
(A )150°B 120° (C )60° (D )30°
22已知a 与b 均为单位向量,其夹角为θ,有下列四个命题 12:10,3P a b πθ??+>?∈???? 22:1,3P a b πθπ??+>?∈ ???
3:10,3P a b πθ??->?∈???? 4:1,3P a b πθπ??->?∈ ???
23若平面向量α、β 满足1,1αβ=≤,且以向量α、β为邻边平行四边形的面积为12,则α和β的夹角θ取值范围是___。
a b 1=+b a b a +x )1,2(-=b =a a b c a b ()()a c b c -?-2-21-1c b a c b a =+==|,|||||>=
24.设点M 是线段BC 的中点,点A 在直线BC 外,216BC =, AB AC AB AC +=-,则AM =
(A )8 (B )4 (C )2 (D )1
25已知直角梯形ABCD 中,AD ∥BC,90ADC ∠=,AD=2,BC=1,P 是腰DC 上的动点,则|3|PA PB +的最小值为 .
26已知O ,N ,P 在所在平面内,且,且
,则点O ,N ,P 依次是的
(A )重心 外心 垂心 (B )重心 外心 内心
(C )外心 重心 垂心 (D )外心 重心 内心
27设P 是△ABC 所在平面内的一点,,则( )
A. B. C. D.
ABC ?,0OA OB OC NA NB NC ==++=PA PB PB PC PC PA ?=?=?ABC ?2BC BA BP +=0PA PB +=0PC PA +=0PB PC +=0PA PB PC ++=
2021年高中数学-平面向量专题
第一部分:平面向量的概念及线性运算 欧阳光明(2021.03.07) 一.基础知识自主学习 1.向量的有关概念 名称定义备注 向量既有又有的量;向量的大小叫做向量 的(或称) 平面向量是自由向量 零向量长度为的向量;其方向是任意的记作0 单位向量长度等于的 向量 非零向量a的单位向量为± a |a| 平行向量方向或的非零向量 0与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量 相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等,不能比 较大小 相反向量长度且方向的向量0的相反向量为0 2.向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何 意义) 运算律 加法求两个向量和的运算(1)交换律: a+b=b+a. (2)结合律: (a+b)+c=a+(b+c). 减法求a与b的相反向量-b 的和的运算叫做a与b 的差 法则 a-b=a+(-b) 数乘求实数λ与向量a的积的 运算 (1)|λa|=|λ||a|. (2)当λ>0时,λa的方向与a的方向; 当λ<0时,λa的方向与a的方向;当λ =0时,λa=0. λ(μa)=λμa; (λ+μ)a=λa+μa; λ(a+b)=λa+λb. 向量a(a≠0)与b共线的条件是存在唯一一个实数λ,使得b=λa. 二.难点正本疑点清源 1.向量的两要素 向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时,与有向线段起点的位置没有关系.同向且等长的有向线
段都表示同一向量.或者说长度相等、方向相同的向量是相等的.向量只有相等或不等,而没有谁大谁小之说,即向量不能比较大小. 2.向量平行与直线平行的区别 向量平行包括向量共线(或重合)的情况,而直线平行不包括共线的情况.因而要利用向量平行证明向量所在直线平行,必须说明这两条直线不重合. 三.基础自测 1.化简OP →-QP →+MS →-MQ → 的结果等于________. 2.下列命题:①平行向量一定相等;②不相等的向量一定不平行;③平行于同一个向量的两个向量是共线向量; ④相等向量一定共线.其中不正确命题的序号是_______. 3.在△ABC 中,AB →=c ,AC →=b.若点D 满足BD →=2DC →,则AD → =________(用b 、c 表示). 4.如图,向量a -b 等于() A .-4e1-2e2 B .-2e1-4e2 C .e1-3e2 D .3e1-e2 5.已知向量a ,b ,且AB →=a +2b ,BC →=-5a +6b ,CD → =7a -2b ,则一定共线的三点是 () A .A 、B 、DB .A 、B 、C C .B 、C 、DD .A 、C 、D 四.题型分类深度剖析 题型一 平面向量的有关概念 例1 给出下列命题: ①若|a|=|b|,则a =b ;②若A ,B ,C ,D 是不共线的四点,则AB →=DC → 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件;③若a =b ,b =c ,则a =c ;④a =b 的充要条件是|a|=|b|且a ∥b ;⑤若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c.其中正确的序号是________. 变式训练1 判断下列命题是否正确,不正确的请说明理由. (1)若向量a 与b 同向,且|a|=|b|,则a>b ; (2)若|a|=|b|,则a 与b 的长度相等且方向相同或相反; (3)若|a|=|b|,且a 与b 方向相同,则a =b ; (4)由于零向量的方向不确定,故零向量不与任意向量平行; (5)若向量a 与向量b 平行,则向量a 与b 的方向相同或相反; (6)若向量AB →与向量CD → 是共线向量,则A ,B ,C ,D 四点在一条直线上; (7)起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相等向量; (8)任一向量与它的相反向量不相等 题型二 平面向量的线性运算 例2 如图,以向量OA →=a ,OB →=b 为边作?OADB ,BM →=13BC →,CN →=13 CD →,用a 、b 表示OM →、ON →、MN → . 变式训练2 △ABC 中,AD →=23 AB →,DE ∥BC 交AC 于E ,BC 边上的中线AM 交DE 于N.设AB →=a ,AC → =b ,用a 、b 表示向 量AE →、BC →、DE →、DN →、AM →、AN →. 题型三 平面向量的共线问题 例3 设e1,e2是两个不共线向量,已知AB →=2e1-8e2,CB →=e1+3e2,CD → =2e1-e2. (1)求证:A 、B 、D 三点共线; (2)若BF → =3e1-ke2,且B 、D 、F 三点共线,求k 的值.
高中数学平面向量测试题及答案[001]
平面向量测试题 一、选择题: 1。已知ABCD 为矩形,E 是DC 的中点,且?→?AB =→a ,?→?AD =→b ,则?→ ?BE =( ) (A ) →b +→a 2 1 (B ) →b -→a 2 1 (C ) →a +→b 2 1 (D ) →a -→ b 2 1 2.已知B 是线段AC 的中点,则下列各式正确的是( ) (A ) ?→?AB =-?→?BC (B ) ?→?AC =?→?BC 2 1 (C ) ?→?BA =?→?BC (D ) ?→?BC =?→ ?AC 2 1 3.已知ABCDEF 是正六边形,且?→?AB =→a ,?→?AE =→b ,则?→ ?BC =( ) (A ) )(2 1→→-b a (B ) )(2 1 →→-a b (C ) →a +→b 2 1 (D ) )(2 1→ →+b a 4.设→a ,→b 为不共线向量,?→?AB =→a +2→b ,?→?BC =-4→a -→b ,?→ ?CD = -5→ a -3→ b ,则下列关系式中正确的是 ( ) (A )?→?AD =?→?BC (B )?→?AD =2?→ ?BC (C )?→?AD =-?→ ?BC (D )?→?AD =-2?→ ?BC 5.将图形F 按→ a =(h,k )(其中h>0,k>0)平移,就是将图形F ( ) (A ) 向x 轴正方向平移h 个单位,同时向y 轴正方向平移k 个单位。 (B ) 向x 轴负方向平移h 个单位,同时向y 轴正方向平移k 个单位。 (C ) 向x 轴负方向平移h 个单位,同时向y 轴负方向平移k 个单位。 (D ) 向x 轴正方向平移h 个单位,同时向y 轴负方向平移k 个单位。 6.已知→a =()1,2 1,→ b =(), 2 22 3- ,下列各式正确的是( ) (A ) 2 2?? ? ??=??? ??→ →b a (B ) →a ·→b =1 (C ) →a =→b (D ) →a 与→b 平行 7.设→ 1e 与→ 2e 是不共线的非零向量,且k → 1e +→ 2e 与→ 1e +k → 2e 共线,则k 的值是( ) (A ) 1 (B ) -1 (C ) 1± (D ) 任意不为零的实数 8.在四边形ABCD 中,?→?AB =?→?DC ,且?→?AC ·?→ ?BD =0,则四边形ABCD 是( ) (A ) 矩形 (B ) 菱形 (C ) 直角梯形 (D ) 等腰梯形 9.已知M (-2,7)、N (10,-2),点P 是线段MN 上的点,且?→ ?PN =-2?→ ?PM ,则P 点的坐标为( ) (A ) (-14,16)(B ) (22,-11)(C ) (6,1) (D ) (2,4)
(完整版)高中物理经典选择题(包括解析答案)
物理 1.一中子与一质量数为A(A>1)的原子核发生弹性正碰。若碰前原子核静止,则碰撞前与碰撞后中子的速率之比为( ) A. B. C. D. [解析] 1.设中子质量为m,则原子核的质量为Am。设碰撞前后中子的速度分别为v0、v1,碰后原子核的速度为v2,由弹性碰撞可得mv0=mv1+Amv2,m=m+Am,解得v1=v0,故=,A正确。 2.很多相同的绝缘铜圆环沿竖直方向叠放,形成一很长的竖直圆筒。一条形磁铁沿圆筒的中心轴竖直放置,其下端与圆筒上端开口平齐。让条形磁铁从静止开始下落。条形磁铁在圆筒中的运动速率( ) A.均匀增大 B.先增大,后减小 C.逐渐增大,趋于不变 D.先增大,再减小,最后不变[解析] 2.对磁铁受力分析可知,磁铁重力不变,磁场力随速率的增大而增大,当重力等于磁场力时,磁铁匀速下落,所以选C。 3.(2014大纲全国,19,6分)一物块沿倾角为θ的斜坡向上滑动。当物块的初速度为v时, 上升的最大高度为H,如图所示;当物块的初速度为时,上升的最大高度记为h。重力加速度大小为g。物块与斜坡间的动摩擦因数和h分别为( )
A.tan θ和 B.tan θ和 C.tan θ和 D.tan θ和 [解析] 3.由动能定理有 -mgH-μmg cos θ=0-mv2 -mgh-μmg cos θ=0-m()2 解得μ=(-1)tan θ,h=,故D正确。 4.两列振动方向相同、振幅分别为A1和A2的相干简谐横波相遇。下列说法正确的是( ) A.波峰与波谷相遇处质点的振幅为|A1-A2| B.波峰与波峰相遇处质点离开平衡位置的位移始终为A1+A2 C.波峰与波谷相遇处质点的位移总是小于波峰与波峰相遇处质点的位移 D.波峰与波峰相遇处质点的振幅一定大于波峰与波谷相遇处质点的振幅 [解析] 4.两列振动方向相同的相干波相遇叠加,在相遇区域内各质点仍做简谐运动,其振动位移在0到最大值之间,B、C项错误。在波峰与波谷相遇处质点振幅为两波振幅之差,在波峰与波峰相遇处质点振幅为两波振幅之和,故A、D项正确。
平面向量经典例题讲解
平面向量经典例题讲解 讲课时间:___________姓名:___________课时:___________讲课教师:___________ 一、选择题(题型注释) 1. 空间四边形OABC 中,OA a =u u u r r ,OB b =u u u r r , OC c =u u u r r ,点M 在OA 上,且MA OM 2=,N 为BC 的 中点,则MN u u u u r =( ) A C 【答案】B 【解析】 试 题 分 析 : 因 为 N 为 BC 的中点,则 , ,选 B 考点:向量加法、减法、数乘的几何意义; 2.已知平面向量a ,b 满足||1= a ,||2= b ,且()+⊥a b a ,则a 与b 的夹角是( ) (A (B (C (D 【答案】D 【解析】 试题分析:2()()00a b a a b a a a b +⊥∴+?=∴+?=r r r r r r r r r Q ,||1=a ,||2=b ,设夹角为θ,则 考点:本题考查向量数量积的运算 点评:两向量垂直的充要条件是点乘积得0,用向量运算得到cos θ的值,求出角 3.若OA u u r 、 OB u u u r 、OC uuu r 三个单位向量两两之间夹角为60u u r 【答案】D 【解析】 试题分析 :ΘOA u u r 、OB u u u r 、OC uuu r 三个单位向量两两之间夹角为 60° 6= r 考点:向量的数量积. 4.在平行四边形ABCD 中,AC 与BD 交于点O E ,是线段OD 的中点,AE 的延长线与CD 交于点F , 若AC a =u u u r r ,BD b =u u u r r ,则AF =u u u r ( ) A.1142a b +r r B.1233a b +r r C.1124a b +r r D.2133 a b +r r 【答案】D 【解析】 试题分析:由题意可知,AEB ?与FED ?相似,且相似比为3:1,所以由向量加减法 的平行四边形法则可知,,AB AD a AD AB b +=-=u u u r u u u r r u u u r u u u r r ,解得,故D 正确。 考点:平面向量的加减法 5.在边长为1的等边ABC ?中,,D E 分别在边BC 与AC 上,且BD DC =u u u r u u u r ,2 AE EC =u u u r u u u r 则AD BE ?=u u u r u u u r ( ) A .【答案】A 【解析】 试题分析:由已知,D E 分别在边BC 与AC 上,且BD DC =u u u r u u u r , 2AE EC =u u u r u u u r 则D 是BC 的中轴点,E 为AC 的三等分点,以D 为坐标原点,DA 所在直线为y 轴,BC 边所在直线为x 轴,建立平面直角坐标系, ,设),(y x E ,由EC AE =2可得: