复变函数综合练习题
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复变函数综合练习题及答案
第一部分 习题
一. 判断下列命题是否正确,如正确, 在题后括号内填√,否?.(共20题)
1. 在复数范围内31有唯一值1.
( ) 2. 设z=x+iy , 则
=
z z 22y x +.
(
)
3. 设,2
3
21i z -=则.32arg π=z ( ) 4. z cos =ω是有界函数.
( ) 5. 方程1=z
e 有唯一解z=0.
( ) 6.
设函数z g z f (),()在0z 处可导,则)
()
(z g z f 在点0z 处必可导.
(
)
7.
设函数
)
,(),()(y x iv y x u z f +=在
000iy x z +=处可导,则
)(00,0)(
)(y x y
u
i y v z f ??-??='.
(
)
8. 设函数)(z f 在区域D 内一阶可导,则)(z f 在D 内二阶导数必存在. ( ) 9.
设函数)(z f 在0z 处可导, 则)(z f 在0z 处必解析.
( ) 10. 设函数)(z f 在区域D 内可导, 则)(z f 在D 内必解析.
(
)
11. 设),(),,(y x v y x u 都是区域D 内的调和函数,则),(),()(y x iv y x u z f +=是D 内的解析函数.
( ) 12. 设n 为自然数,r 为正实数,则
0)
(00=-?=-r z z n z z dz
.
(
)
13. 设)(z f 为连续函数,则??
'=1
)()]([)(t t c
dt t z t z f dz z f ,其中10,),(t t t z z =分别为曲
线c 的起点,终点对应的t 值.
( )
2
14. 设函数)(z f 在区域D 内解析,c 是D 内的任意闭曲线,则
0)(=?c
dz z f .
( )
15. 设函数)(z f 在单连通区域D 内解析, c 是D 内的闭曲线,则对于c D z ∈0有
)(2)
(00z if dz z z z f c
π=-?. ( )
16. 设幂级数
∑+∞
=0
n n n
z c
在R z ≤(R 为正实数)内收敛,则R 为此级数的收敛半径. ( )
17. 设函数)(z f 在区域D 内解析,D z ∈0,则n n n z z n z f z f )(!
)
()(00
0)(-=
∑
+∞
=. ( )
18. 设级数
n n n
z z c
)(0-∑+∞
-∞
=在园环域)(0R r R z z r <<-<内收敛于函数)(z f ,则它
是)(z f 在此环域内的罗朗级数.
( ) 19. 设0z 是)(z f 的孤立奇点,如果∞=→)(lim 0
z f z z ,则0z 是)(z f 的极点.
(
)
20. 设函数)(z f 在圆周1 ? ==1 ].0),([Re 2) (z z f s i z f dz π ( ) 二. 单项选择题.(请把题后结果中唯一正确的答案题号填入空白处,共20题) 1. 设复数3)22(i z -=,则z 的模和幅角的主值分别为____________. A. 4 5,8π B. 4 , 24π C. 4 7, 22π 2.)Re(1z z -<是__________区域. A. 有界区域 B. 单连通区域 C. 多连通区域 3.下列命题中, 正确的是_____________. A. 零的幅角为零 B. 仅存在一个z 使 z z -=1 C. iz z i =1 4.在复数域内,下列数中为实数的是__________. A. i cos B. 2 )1(i - C. 3 8- 3 5.设i z +=1,则=)Im(sin z _________. A. sin1ch1 B. cos1sh1 C. cos1ch1 6.函数)(z f =2 z 将区域Re(z)<1映射成___________. A. 4 12 v u -< B. 4 12 v u -≤ C. 2 14v u -< 7.函数)(z f =z 在0=z 处____________. A. 连续 B. 可导 C. 解析 8. 下列函数中为解析函数的是_____________. A. )(z f =iy x -2 B. )(z f =xshy i xchy cos sin + C.)(z f =3332y i x - 9. 设函数),(),()(y x iv y x u z f +=且),(y x u 是区域D 内的调和函数,则当) ,(y x v 在D 内是_____________时, )(z f 在D 内解析. A. 可导函数 B. 调和函数 C. 共轭调和函数 10. 设0z 是闭曲线c 内一点, n 为自然数,则?-c n z z dz )(0=________________. A. 0 B. i π2 C. 0或i π2 11. 积分 dz z z z ?=-2 2)1(sin =_______________. A. 1cos B. i π21cos C. i π2sin1 12. 下列积分中,其积分值不为零的是___________________. A. ?=-2 3z dz z z B. 1 sin z z dz z =? C. ?=15z z dz z e 13. 复数项级数∑+∞ =13n n n z 的收敛范围是________________. A. 1≤z B. 1 C. 1>z 14. 设函数)(z f 在多连域D 内解析,210,,c c c 均为D 内闭曲线且210c c c ??组成 4 复合闭路Γ且D D ?Γ,则___________________. A. 0)()()(2 1 =++???c c c dz z f dz z f dz z f B. 0)(=? Γ dz z f C. ??? -=2 1 )()()(c c c dz z f dz z f dz z f 15.函数)(z f =2 21z e z -在z=0的展开式是_______________________. A. 泰勒级数 B. 罗朗级数 C. 都不是 16. 0=z 是4)(z shz z f = 的极点的阶数是_____________. A. 1 B. 3 C. 4 17. 0=z 是4 11)(z e z f z -= 的____________________. A. 本性奇点 B. 极点 C. 可去奇点 18. 设)(z f 在环域)0(0R r R z z r <<<-<内解析,则n n n z z c z f )()(0∑+∞ -∞ =-= , 其中系数n c =______________________. A. !) (0) (n z f n , ,2,1,0=n B. ! ) (0) (n z f n , ,2,1,0±±=n C. ,,2,1,0,) () (2110 ±±=-?+n d z f i c n ζζζπc 为环域内绕0z 的任意闭曲线. 19. 设函数)(z f = 1-z e z ,则]2),([Re i z f s π=__________________. A. 0 B. 1 C. i π2 20. 设函数)(z f = ) 1(cos -z e z z ,则积分 ?=1 )(z dz z f =________________. 5 A. i π2 B. ]0),([Re 2z f s i π C. .2,0,]),([23 1 i z z z f i k k k ππ±=∑= 三. 填空题 (共14题) 1. 复数方程31i e z -=的解为____________________________________. 2. 设i z 22-=,则z arg =_____________,z ln =___________________________. 3. 411<++-z z 表示的区域是___________________________________. 4. 设,sin )(z z z f =则由)(z f 所确定的 ),(y x u =____________________, ),(y x v =_______________________. 5. 设函数)(z f =???=≠+-0 ,00 ,sin z z A e z z 在0=z 处连续,则常数A=____________. 6. 设函数)(z f =ζζζζd z z ?=-++221 73,则)1(+'i f =________________________. 若)(z f =ζζζ ζd z z ? =-+2 353,则)(i f ''=________________________. 7. 设函数)(z f 在单连域D 内解析,G(z )是它的一个原函数,且D z z ∈10,,则 ?1 )(z z dz z f =_______________________. 8. 当a =________时,x y iarctg y x a z f ++=)ln()(2 2 在区域x>0内解析. 9. 若z=a 为f(z )的m 阶极点,为g(z)的n 阶极点(m>n ),则z=a 为f(z)g(z)的 __________阶极点,为 ) () (z g z f 的____________阶极点. 10. 函数)(z f =tgz 在z=0处的泰勒展开式的收敛半经为_________________. 11. 函数)(z f = z z sin 在z=0处的罗朗展开式的最小成立范围为_____________. 6 12. 设∑+∞ -∞ ==n n n z c z z 3sin ,则______________________,02==-c c . 13. 积分 dz ze z z ?=1 1 =________________________. 14. 留数__________]0,1 [Re _,__________]0,1[Re 2 sin sin =-=-z e s z e s z z . 四. 求解下列各题 (共6题) 1. 设函数)(z f =)(2323lxy x i y nx my +++在复平面可导,试确定常数l n m ,,并 求)(z f '. 2. 已知,33),(22y x y x u -=试求),(y x v 使),(),()(y x iv y x u z f +=为解析函 数且满足i f =)0(. 3. 试讨论定义于复平面内的函数2 )(z z f =的可导性. 4. 试证2 2),(y x y y x u += 是在不包含原点的复平面内的调和函数, 并求) ,(y x v 使),(),()(y x iv y x u z f +=为解析函数且满足1)(=i f . 5. 证明z e z f =)(在复平面内可导且z z e e =')(. 6. 证明 ??? ?>==-c n n n i z z dz 1 ,01,2)(0π,其中n 为正整数,c 是以0z 为圆心,半径为r 的圆周. 五. 求下列积分 (共24题) 1. 计算dz z c ? sin ,其中c 是从原点沿x 轴至)0,1(0z ,然后由0z 沿直线x=1至 )1,1(1z 的折线段. 2. ?+c dz z z )]Re(2[,其中c 是从点A(1,0)到点B(-1,0)的上半个圆周. 7 3. ?+-c dz z z )652(2 , 其中c 为连接A(1,-1),B(0,0)的任意曲线. 4. dz ze i z ?+π11 . 5. dz z z i z ?= -++1)4)(1(1 22 6. dz z z z z ? =--π π 2) 1(cos 2. 7. ?=-23 2)(sin z dz z z π. 8. ? -+=c z z dz I ) 2()1(2 ,其中c 为r r z ,=为不等于1,2的正常数. 9. ? ++=c z z dz I ) 1)(12(2 ,其中曲线c 分别为 1) 1=-i z 2) 2 3= +i z 10. 设c 为任意不通过z =0和z =1的闭曲线,求dz z z e c z ?-3 )1(. 11. 23 cos sin [](2)z z z e z e I dz z z z ==+-? . 12. ?=--2 )1(1 2z dz z z z . 用留数定理计算下列各题. 13. dz z z e z z ?=-13 02)(,其中0z 为10≠z 的任意复数. 14. dz z e z z ?=+22 2) 1(π. 8 15. ?=-24) 1(sin z dz z z π. 16. dz z z z z ?=-+1 2)12)(2(sin π. 17. ?=1 z zdz tg π. 18. dz z z z ?=2 2sin . 19. ?=+-122521 z dz z z . 20. dz z z z ?=+-14141 . 21. dz iz z z ?=-+122 521 . 22. dz z z z c ?++)4)(1(2 22 ,其中c 为实轴与上半圆周)0(3>=y z 所围的闭曲线. 23. dz z z c ?++1 142,其中c 同上. 24. ?++c dz z z ) 1)(9(1 22,其中c 为实轴与上半圆周)0(4>=y z 所围的闭曲线. 六. 求下列函数在奇点处的留数 (共8题) 1. 421)(z e z f z -=. 2. 1 sin )(-=z z z f . 3. 3 ) 1(sin )(z z z f += . 9 4. 2 2 4 ) 1(1)(++=z z z f . 5. 1 )(-= z e z z f . 6. 2 ) 1()(-=z z e z f z . 7. 11 )(2 3 +--= z z z z f . 8. z z z f sin 1)(+=. 七. 将下列函数在指定区域内展成泰勒级数或罗朗级数 (共10题) 1. )2()1(1 )(22z z z z f --= 110<- 2. 1 3232)(2+--= z z z z f 2 31< +z 3. 1)(-=z e z f z +∞<-<10z 4. 2 1 )(2 --= z z z f 1) 1 2). 1 3). 2<∞ 5. ) 1(1 )(2z z z f -= 110<- z z f cos )(= +∞<-πz 7. 2 )1(1 )(z z f += 1 8. z z z f sin 1)(+= π< 9. ) 1(cos )(2 -= z e z z z f +∞< 10 10. z z z f sin )(= π< 11 第二部分 解答 一、判断题.(共20题) 1. × 2. √ 3. × 4. × 5. × 6. × 7. √ 8. √ 9. × 10. √ 11. × 12. × 13. √ 14. × 15. √ 16. × 17. × 18. √ 19. √ 20. √ 二、单项选择题.(共20题) 1. A. 2. B. 3. C. 4. A. 5. B. 6. A. 7. A. 8. B. 9. C. 10. C. 11. B. 12. C. 13. A. 14. B. 15. B. 16. B. 17. A. 18. C. 19. C. 20. B. 三、填空题 1. ,210)(23 5( 2ln ±±=++，，k k i ππ ) 2. 47π ，i 4 72ln 23π + 3. 13 42 2<+y x 4. xshy y xchy x cos sin - ， xchy y xchy x sin cos + 5. 1 6. i ππ2612+- ，π36- 7. )()(01z G z G - 8. 2 1 9. n m + ，n m - 10. 2 π 11. π< 12 12. 1 ，-6 1 13. i π 14. 0 ，1 四、求解下列各题 1. 由题意得?????+=+=2 32 3),(),(lxy x y x v y nx m y y x u 利用 y v nxy x u ??==??2 ，得l n = 222233ly x x v nx my y u --=??-=+=??，得3-=n ，3-=l ，1=m 则 )33(6)(22y x i xy x v i x u z f -+-=??+??=' 23iz = 2. 由于 x x u y v 6=??=?? 所以 ?+==)(66),(x xy xdy y x v ?， )(6x y x v ?'+=?? 又由 y u x v ??-=??，即y x y 6)(6='+? 所以 0)(='x ?，C x =)(?（C 为常数） 故 c xy y x v +=6),(，ci z i c xy y x z f +=++-=2223)6(33)( 将条件 i f =)0(代入可得1=C ，因此，满足条件i f =)0(的函数i z z f +=2 3)( 3. 由题意知???=+=0 ),(),(22y x v y x y x u ，由于 13 02=??==??y v x x u ，02=??-==??x v y y u 可得?? ?==0 0y x 由函数可导条件知，2 )(z z f =仅在0=z 处可导。 4. 由于222)(2y x xy x u +-=??，3 223222) (26y x y y x x u +-=?? )0(2 2≠+y x 22222)(y x y x y v +-=??，3223 222)(26y x y y x y v ++-= ?? 即02222=??+??y v x u 所以 2 2),(y x y y x u += 是调和函数 )0(2 2≠+y x )() ()(2),(22222x g y x x dy y x xy dy y v y x v ++=+-=??=?? ， 2 22 2 222222) ()()(y x x y y u x g y x x y x v +-=??-='++-=?? 故有 0)(='x g ，C x g =)( （C 为常数） 所以 C y x x y x v ++= ) (),(2 2 ci z i c y x x i y x y z f +=++++= )) (()()(2222 由于 1)(=i f 代入上式可求得0=C ，故满足条件1)(=i f 的函数z i z f =)( 5. 因为 )sin (cos y i y e e e x iy x z +==+，有 y e y x u x cos ),(=，y e y x v x sin ),(= 且可微， 同时有 14 y v y e x u x ??==??cos ，x v y e y u x ??-=-=??sin 所以， z e 在全平面处处可导且 z x x x z e y i y e y ie y e x v i x u e =+=+=??+??= ')sin (cos sin cos )( 6. 设C 的复数方程为 it re z z +=0，不妨设C 的起点对应的参数值为0，有终点对 应的参数值为 π2，则 ??-+'+=-C n o it o t it o n o dt z re z re z dz z z π20)()()(1 ? ---=π 20 )1(1 dt e r i t n i n ?????==>=-=---12|10|) 1(120 20)1(1n i it n e n r t n i n ，，πππ 即 ??? ?>==-C n o n n i z z dz 1 012)(，，π 五、求下列积分 1. ? ? ? +== 1 00 1 sin sin sin dz z dz z dz z I 21I I += 其中 0OZ ：t z = )10(≤≤t 1cos 1|cos sin 101 1-=-==?t tdt I 10Z Z ：it z +=1 )10(≤≤t 1cos )1cos( |)1cos()1()1sin()1()1sin(101 1 2--=-=---=+-=??i it it d it it d it I 11sin 1cos 11cos sh i ch --= 所以 11sin )21(1cos 1sh i ch I --+= 15 2. ?+C dz z z )]Re(2[ (令)0sin cos π≤≤+=t t i t z ， ?+-+=π )cos sin )(sin 2cos 3(dt ti t ti t ??-+-=π π0 220 )sin 2cos 3()cos sin 5(dt t t i dt t t i t t i t 2 ]2sin 452[|2cos 4500π ππ=++= 3. 由于被积函数在全平面处处解析，积分仅与起、终点有关， 所以，原式? -+-=) 0,0() 1,1(2)652(dz z z ) 0,0()1,1(23 ]62 53 2[-+- =z z z ) 2(3 7)665)1(34()] 1(6)1(25 )1(32[23i i i i i i i --=-+++--=-+----= 4. i e z e dz ze i i z z πππ-=-=? ++11 11 |)1( 5. 根据柯西积分公式，原式? = --++= 2 1 2) 4)((1 i z dz i z z i z 3|)4)((122π π=++==i z z i z i 6. 原式? ? =- =- --= π π π π 2222cos 1 cos z z dz z z dz z z ) 11(cos 2]|cos |[cos 22 0212-=-===i z z i z z ππ 7. 由于2 π = z 为被积函数的三阶极点，所以由高阶导数公式有 16 原式i z i z πππ-=''= =2 |)(sin !22 8. 当10< 2()1(1 )(2 -+= z z z f 在C 内解析，0=I ； 当21< i z i I x ππ9 2|)21(21-='-=-= 当2>r 时，21=-=z z ，均在C 内，根据柯西积分定理 ??= -= ++= 4 124 11)()(z z dz z f dz z f I 09292|)1(12)21( 22 2 1=+-=++-==-=i i z i z i z z ππππ 9. 1) 当C 为1=-i z 时 I=)21(5 |))(12(12i i z z i i z -=++=π π 2) 当C 为2 3 =+i z 时 I= ?? +21 )()(c c dz z f dz z f (其中21,c c 分别以2 1 ,--i 为圆心,21,r r 为半径且互不相 交的两个圆) =]|))((21 |))(12(1[ 22 1-=-=-++-+z i z i z i z i z z i π = )61(5 58)21(5 i i i +-=+ --π ππ 10. 1). 若1,0==z z 均不在C 内,则I=0 2). 若0=z 在C 内, 1=z 在C 外,则 I=i z e i z z ππ2|)1(203 =-= 17 3). 若1=z 在C 内, 0=z 在C 外,则 I= i e z e i z z ππ='=1|)(!22 4). 若1,0==z z 均在C 内,则 I=??-+-2133) 1()1(c z c z dz z z e dz z z e (其中411,;41,21=-=z c z c ) =i e i ππ+2=(2+e)i π 11. ??==-+=323 ) 2(sin cos z z z z dz z z e dz z z e I =20 20 3 |)sin (|) 2(sin |cos [2==='+-+z z z z z z e z e z e i π =]sin 4 1 cos 21sin 41[22223 e e e e i -+ +π 12. dz z z z z dz z z z z z )1 2112( )1(1 22 2 ----=--? ?== =])12()12[(201==---z z z z i π =i π4 13. 由于0z 为10≠z 的任意复数,所以当10=∈z z 内时,0z 为被积函数的三阶极点. 此时原式= ,4|)(! 220022i e e i z z z z ππ=''=当10=?z z 内时, 被积函数在1=z 内为解析函数, 所以原式=0.即 ????? ? ,4)(0 023020 z z z z i e dz z z e z z π 14. 原式=]}),([Re ]),([{Re 2i z f s i z f s i -+π,其中i i -,均为二阶极点. 44)()2(lim ])(lim[]),([Re 3 2i i z i z e i z e i z f s z i z z i z +=+-+='+=→→πππππ 18 44) ()2(lim ])([lim ]),([Re 32i i z i z e i z e i z f s z i z z i z -=---='-=--→-→πππππ 所以,原式=i i i i 2)4 444 ( 2πππ π=-++ 15. 1=z 为)(z f 的三阶极点,将)(z f 在1=z 处展开可得 4 4)1() 1(sin )1()sin()(--- =-+-= z z z z z f ππππ = --+-----!5)1(!3)1()1([)1(15 5334z z z z πππ = +---+--!5) 1()1(!3) 1(533 z z z πππ 所以 ! 3]1),([Re 3 π= z f s ,原式i i 3 ! 324 3 πππ= 16. ]21 ),([Re 2) 12)(2(sin 12z f s i dz z z z z ππ=-+?= =]) 2(4sin [lim 22 1 '+→z z i z ππ = i z z z z i z πππππ25 2 )2(sin )2(sin lim 2 2 2 1 - =+-+→ 17. 令0cos =z π得)(0cos i iLn Arc z ±-==π 求得 ),2,1,0(21 ±±=+ =k k z 在1=z 内仅有奇点2 1 ±=z 且均为简单极点 )]21,(Re )21,([Re 21 -+=?=z tg s z tg s i zdz tg z ππππ,其中 π πππ1|)(cos sin )21,(Re 21-='==z z z z tg s 19 π πππ1 )(cos sin )21,(Re 2 1-='=--=z z z z tg s 故有 i i zdz tg z 4)1 1 (21 -=-- =? =π π ππ 18. 被积函数z z z f 2 sin )(= 在2=z 内仅有奇点0=z 且为简单极点,故有 )0,sin (Re 2sin 222z z s i dz z z z π=?= =i z z i z ππ2sin lim 222 0=→ 19. ]21 ,)2)(12(1[Re 22 5212--=+-?=z z s i z z dz z π =1 122lim 2(2)3 z i i z ππ→=-- 20. )]32(,141 [Re 21 4212-+-=+-?=z z s i z z dz z π =22z i π→= 21. ]2),2)(2(1[Re 22 5212i i z i z s i iz z dz z -++=-+?=π =2122lim 2(2)3 i z i z i ππ→-=+ 22. ]}2),([Re ]),([{Re 2) 4)(1(222 i z f s i z f s i dz z z z c +=++?π =22222112[lim lim ]2()()(4)(1)(2)633 z i z i z z i i z i z z z i i i π ππ→→+=-+= ++++ 20 23. ]}),([Re ]),([{Re 21 1434 42i e z f s e z f s i dz z z i c πππ+=++? =5734 4 222 2 11 2[lim lim ]()() ()() i i i i z e z e z z i z e z i z e z i πππ π π→→+++-+-- =ππ2)221221( 2=+ i i i 24. ]}3),([Re ]),([{Re 2) 1)(9(22i z f s i z f s i z z dz c +=++?π =22311 2[lim lim ](9)()(1)(3) z i z i i z z i z z i π→→+++++ =12 )481161( 2ππ=-i i i 六. 求下列函数在奇点处的留数 (共8题) 1. 421)(z e z f z -=的奇点为0,且0=z 为其三阶极点. 22401114Re (,0)lim()2!3z z z e e s z z →--''==- 或 ]!3)2(!2)2(21(1[1)(3 24 ++++-=z z z z z f = ---- z z z 34 222 3 有 34 )0,1(Re 142-==--c z e s z 2. 1sin )(-=z z z f 的奇点为1=z ,且 11s i n 1c o s 11c o s 1s i n )111s i n (1s i n -+-=-+=-z z z z z =])1(!31 11[1cos ]) 1(!41)1(!211[1sin 3 42 +---+--+-- z z z z 第一章 复数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，50 75100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π = -z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+- （D ）i 2 123+- 3．复数)2 (tan πθπ θ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2sin()2[cos( sec θπθπ θ+++i （B ）)]2 3sin()23[cos(sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos( sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 ７．使得2 2 z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ） （A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -43 （D ）i --4 3 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无界闭区域 10．方程232= -+i z 所代表的曲线是（ ） （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z （C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 13．0 0) Im()Im(lim 0z z z z x x --→（ ） （A ）等于i （B ）等于i - （C ）等于0 （D ）不存在 14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ） （A ）),(y x u 在),(00y x 处连续 （B ）),(y x v 在),(00y x 处连续 （C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续 习题一答案 1．求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数： （1） 1 32i + （2） (1)(2) i i i -- （3）13 1 i i i - - （4）821 4 i i i -+- 解：（1） 132 3213 i z i - == + ， 因此： 32 Re, Im 1313 z z ==-， 232 arg arctan, 31313 z z z i ==-=+ （2） 3 (1)(2)1310 i i i z i i i -+ === --- ， 因此， 31 Re, Im 1010 z z =-=， 131 arg arctan, 31010 z z z i π ==-=-- （3） 133335 122 i i i z i i i -- =-=-+= - ， 因此， 35 Re, Im 32 z z ==-， 535 ,arg arctan, 232 i z z z + ==-= （4）821 41413 z i i i i i i =-+-=-+-=-+ 因此，Re1,Im3 z z =-=， arg arctan3,13 z z z i π ==-=-- 2．将下列复数化为三角表达式和指数表达式： （1）i（2 ）1 -+（3）(sin cos) r i θθ + （4）(cos sin) r i θθ -（5）1cos sin (02) i θθθπ -+≤≤解：（1）2 cos sin 22 i i i e π ππ =+= （2 ）1-+23 222(cos sin )233 i i e πππ=+= （3）(sin cos )r i θθ+()2 [cos()sin()]22 i r i re π θππ θθ-=-+-= （4）(cos sin )r i θ θ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-= （5）2 1cos sin 2sin 2sin cos 222 i i θ θθ θθ-+=+ 2 2sin [cos sin ]2sin 22 22 i i e πθ θπθ πθ θ ---=+= 3． 求下列各式的值： （1 ）5)i - （2）100100(1)(1)i i ++- （3 ）(1)(cos sin ) (1)(cos sin ) i i i θθθθ-+-- （4） 23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ????+- （5 （6 解：（1 ）5)i -5[2(cos()sin())]66 i ππ =-+- 5 552(cos()sin()))66 i i ππ =-+-=-+ （2）100 100(1) (1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=- （3 ）(1)(cos sin ) (1)(cos sin )i i i θθθθ-+-- 2[cos()sin()](cos sin ) 33)sin()][cos()sin()]44 i i i i ππ θθππ θθ-+-+= -+--+- )sin()](cos2sin 2)12 12 i i π π θθ=- +- + (2)12 )sin(2)]12 12 i i π θπ π θθ- =- +- = 复变函数与积分变换复习题汇总 一、填空题 1、31i +的三角函数表示为_____________________； i i +-12的指数函数表示为______________________； 2、=-)1ln(___________________； 3、i 有两个根，他们分别是_________________和_______________； 4、)3(3)(2323xy x i y x y z f -+-=，则=)(z f ___________________； 5、31z e z -的孤立奇点为Z=______________，其类型为_________________； 6、=-]01[Re 42，z e s z ________________； 7、)(2]1[ωπδ=g ，则=]2[cos t g __________________； 8、￡ =][0t s e ____________________; 9、n n n n z ∑∞ +313的收敛半径是_______________； 10、=+-?c z z dz 422_____________，其中C ：|z|=1 正向； 11、bi a Z +=，a 与b 是实数，且00> 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题2分，共30分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括 号内。错选、多选或未选均无分。 1．下列复数中，位于第三象限的复数是（ ） A. 12i + B. 12i -- C. 12i - D. 12i -+ 2．下列等式中，不成立的等式是（ ） 3．下列命题中，正确．．的是（ ） A. 1z >表示圆的内部 B. Re()0z >表示上半平面 C. 0arg 4 z π << 表示角形区域 D. Im()0z <表示上半平面 4．关于0 lim z z z z ω→=+下列命题正确的是（ ） A.0ω= B. ω不存在 C.1ω=- D. 1ω= 5．下列函数中，在整个复平面上解析的函数是（ ） 6．在复平面上，下列命题中，正确．．的是（ ） A. cos z 是有界函数 B. 2 2Lnz Lnz = 7 ．在下列复数中，使得z e i =成立的是（ ） 8．已知3 1z i =+，则下列正确的是（ ） 9．积分 ||342z dz z =-??的值为（ ） A. 8i π B.2 C. 2i π D. 4i π 10．设C 为正向圆周||4z =, 则10()z C e dz z i π-??等于（ ） A. 1 10! B. 210! i π C. 29! i π D. 29! i π- 11．以下关于级数的命题不正确的是（ ） A.级数0327n n i ∞ =+?? ?? ?∑是绝对收敛的 B.级数 212 (1)n n i n n ∞ =??+ ?-??∑是收敛的 C. 在收敛圆内，幂级数绝对收敛 D.在收敛圆周上，条件收敛 12．0=z 是函数(1cos ) z e z z -的（ ） A. 可去奇点 B.一级极点 C.二级极点 D. 三级极点 第三章习题详解 1． 沿下列路线计算积分? +i dz z 30 2 。 1) 自原点至i +3的直线段； 解：连接自原点至i +3的直线段的参数方程为：()t i z +=3 10≤≤t ()dt i dz +=3 () ()()?? +=??????+=+= +1 3 1 332 3 30 2 3313313i t i dt t i dz z i 2) 自原点沿实轴至3，再由3铅直向上至i +3； 解：连接自原点沿实轴至3的参数方程为：t z = 10≤≤t dt dz = 33 33 2 3 2 33131=??? ???== ? ? t dt t dz z 连接自3铅直向上至i +3的参数方程为：it z +=3 10≤≤t i d t dz = () ()()33 1 31 2 33 2 3313313313-+=??????+=+= ?? +i it idt it dz z i ()()()33 3 3 1 02 30 2 30 2 33 13 3 133 133 13i i idt it dt t dz z i += - ++ = ++ = ∴ ?? ? + 3) 自原点沿虚轴至i ，再由i 沿水平方向向右至i +3。 解：连接自原点沿虚轴至i 的参数方程为：it z = 10≤≤t i d t dz = ()()31 31 20 2 3131i it idt it dz z i =??? ???== ? ? 连接自i 沿水平方向向右至i +3的参数方程为：i t z += 10≤≤t dt dz = () ()()33 1 31 2 32 3113131i i i t dt i t dz z i i -+=??????+=+= ?? + ()()33 3 3 32 2 30 2 13 13 113 13 1i i i i dz z dz z dz z i i i i += - ++ = + = ∴ ? ? ? ++ 2． 分别沿x y =与2 x y =算出积分()? ++i dz iy x 10 2 的值。 解：x y = ix x iy x +=+∴2 2 ()dx i dz +=∴1 ()()()()()??? ??++=? ???? ???? ??++=++=+∴ ? ?+i i x i x i dx ix x i dz iy x i 213112131111 0231 210 2 2 x y = ()2 2 2 2 1x i ix x iy x +=+=+∴ ()dx x i dz 21+=∴ ()()()()()? ???? ??++=????? ???? ??++=++=+∴ +1 1 0432 10 2 2131142311211i i x i x i dx x i x i dz iy x i 而()i i i i i 6 5 6121213131213 11+-=-++=??? ??+ + 《复变函数》试卷 第1页（共4页） 《复变函数》试卷 第2页（共4页） XXXX 学院2016—2017学年度第一学期期末考试 复变函数 试卷 一、单项选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分，请从每题备选项中选出唯一符合题干要求的选项，并将其前面的字母填在题中括号内。） 1. =)i Re(z ( ) A.)i Re(z - B.)i Im(z C.z Im - D.z Im 2. 函数2 ) (z z f =在复平面上 ( ) A.处处不连续 B. 处处连续，处处不可导 C.处处连续，仅在点0= z 处可导 D.处处连续，仅在点0=z 处解析 3.设复数a 与b 有且仅有一个模为1，则b a b a --1的值 ( ) A.大于1 B.等于1 C.小于1 D.无穷大 4. 设x y z f y x z i )(i +-=+=，，则=')(z f ( ) A.i 1+ B.i C.1- D.0 5.设C 是正向圆周 1=z ，i 2sin π=?dz z z C n ，则整数n 等于 ( ) A.1- B.0 C.1 D.2 6.0=z 是2 1 )( z e z f z -=的 ( ) A.1阶极点 B.2阶极点 C. 可去奇点 D.本性奇点 7.幂级数!2)1(0 n z n n n n ∑∞ =-的和函数是 ( ) A.z e - B.2 z e C.2 z e - D.z sin 8.设C 是正向圆周 2=z ，则 =?C z dz 2 ( ) A.0 B.i 2π- C.i π D.i 2π 9.设函数)(z f 在)0( 00+∞≤<<- 第一章 一、选择题 1. 一个向量顺时针旋转 3 π，向右平移3个单位，再向下平移1个单位， 对应的复数为1-，则原向量对应的复数是（A ） A. 2 B. 1 C. i D. i + 2. 设z 为复数，则方程2z z i +=+的解是（B ） A. 34i - + B. 34i + C. 3 4 i - D. 34i -- 3. 方程23z i +-= C ） A. 中心为23i - 的圆周 B. 中心为23i -+，半径为2的圆周 C. 中心为23i -+ D. 中心为23i -，半径为2的圆周 4. 15()1, 23, 5f z z z i z i =-=+=-则 12()f z z -=（C ） A. 44i -- B. 44i + C. 44i - D. 44i -+ 5. 设z C ∈，且1z =,则函数21()z z f z z -+=的最小值是（A ） A. -3 B. -2 C. -1 D. 1 二、填空题 1.不等式225z z -++<所表示的区域是曲线_________________的内部。（椭圆 22 22153()()22 x y +=） 2. 复数 2 2 (cos5sin 5) (cos3sin 3)θθθθ+-的指数表示式为_______________.（ 16i e θ） 3. 方程 2112(1)z i i z --=--所表示曲线的直角坐标方程为__________________.（221x y +=） 4. 满足5|2||2|≤-++z z 的点集所形成的平面图形为， 以±2为焦点 ，长半轴 为25 的椭圆，该图形是否为区域 否 . 5．复数 () i i z --= 11 32 的模为_________，辐角为____________. （5/12π- ） 第二章习题详解 1． 利用导数定义推出： 1) () 1 -=n n nz z ' （n 为正整数） 解： ()()()()()z z z z z n n z nz z z z z z z n n n n n z n n z n ????????-?? ??? ?++-+ += -+= --→→ 2 2 1 12 1lim lim ' ()() 1 1 2 1 12 1----→=?? ? ?? ?++-+ = n n n n z nz z z z n n nz ??? lim 2) 211z z -=?? ? ??' 解： () ()2 11 111 1z z z z z z z z z z z z z z z z z - =+-= +-= - += ?? ? ??→→→?????????lim lim lim ' 2． 下列函数何处可导？何处解析？ 1) ()iy x z f -=2 解：设()iv u z f +=，则2x u =，y v -= x x u 2=??， 0=??y u ， 0=??x v ，1-=??y v 都是连续函数。 只有12-=x ，即2 1- =x 时才满足柯西—黎曼方程。 ()iy x z f -=∴2 在直线2 1- =x 上可导，在复平面内处处不解析。 2) ()3 3 32y i x z f += 解：设()iv u z f +=，则3 2x u =，3 3y v = 2 6x x u =??， 0=??y u ， 0=??x v ， 2 9y y v =??都是连续函数。 只有2 2 96y x =，即032=± y x 时才满足柯西—黎曼方程。 ()3 3 32y i x z f +=∴在直线 032=± y x 上可导，在复平面内处处不解析。 3) ()y ix xy z f 2 2 += 解：设()iv u z f +=，则2 xy u =，y x v 2 = 第一章 复变函数习题及解答 写出下列复数的实部、虚部；模和辐角以及辐角的主值；并分别写成代数形式，三角形式和指数形式．(其中,,R αθ为实常数) （1）1-； （2） ππ2(cos isin )33-； （3）1cos isin αα-+； （4）1i e +； （5）i sin R e θ ； （6）i + 答案 （1）实部－1；虚部 2；辐角为 4π2π,0,1,2,3k k +=±±L ；主辐角为4π 3； 原题即为代数形式；三角形式为 4π4π2(cos isin )33+；指数形式为4π i 32e ． （2）略为 5π i 3 5π5π 2[cos sin ], 233i e + （3）略为 i arctan[tan(/2)][2sin()]2c e αα （4）略为 i ;(cos1isin1)ee e + （5）略为：cos(sin )isin(sin )R R θθ+ （6）该复数取两个值 略为 i i isin ),arctan(1isin ),πarctan(1θθ θθθθθθ+=+=+ 计算下列复数 1）() 10 3 i 1+-；2）()3 1i 1+-； 答案 1）3512i 512+-；2） ()13π/42k π i 6 3 2e 0,1,2k +=； 计算下列复数 （1 （2 答案 （1 （2）(/62/3) i n e ππ+ 已知x 【解】 令 i ,(,)p q p q R =+∈，即,p q 为实数域(Real).平方得到 2 2 12()2i x p q xy +=-+，根据复数相等，所以 即实部为 ,x ± 虚部为 说明 已考虑根式函数是两个值，即为±值． 如果 ||1,z =试证明对于任何复常数,a b 有| |1 az b bz a +=+ 【证明】 因为||1,11/z zz z z =∴=∴=，所以 如果复数b a i +是实系数方程 ()011 10=++++=--n n n n a z a z a z a z P Λ的根，则b a i -一定也是该方程的根． 证 因为0a ，1a ，… ，n a 均为实数，故00a a =，11a a =，… ，n n a a =．且()() k k z z =， 故由共轭复数性质有：()() z P z P =．则由已知()0i ≡+b a P ．两端取共轭得 即()0i ≡-b a P ．故b a i -也是()0=z P 之根． 注 此题仅通过共轭的运算的简单性质及实数的共轭为其本身即得证．此结论说明实系数多项式的复零点是成对出现的．这一点在代数学中早已被大家认识．特别地，奇次实系数多项式至少有一个实零点． 证明： 2222 121212||||2(||||)z z z z z z ++-=+,并说明其几何意义． 若 (1)(1)n n i i +=-，试求n 的值. 【解】 因为 22 2244444444(1)2(cos sin )2(cos sin ) (1)2(cos sin )2(cos sin )n n n n n n n n n n n n i i i i i i ππππππππ+=+=+-=-=- 所以 44sin sin n n ππ=- 即为4sin 0n π =所以 4 ,4,(0,1,2,)n k n k k ππ===±±L 将下列复数表为sin ,cos θθ的幂的形式 （1） cos5θ； （2）sin5θ 答案 53244235 (1) cos 10cos sin 5cos sin (2) 5cos sin 10cos sin sin θθθθθ θθθθθ-+-+ 证明：如果 w 是1的n 次方根中的一个复数根，但是1≠w 即不是主根，则必有 对于复数 ,k k αβ，证明复数形式的柯西(Cauchy)不等式： 练习题 一、选择、填空题 1、下列正确的是（ A ）； A 1212()Arg z z Argz Argz =+； B 1212()arg z z argz argz =+； C 1212()ln z z lnz lnz =+； D 10z Ln Ln Lnz Lnz z ==-=. 2、下列说法不正确的是（ B ）； A 0()w f z z =函数在处连续是0()f z z 在可导的必要非充分条件； B lim 0n n z →∞=是级数1 n n z ∞=∑收敛的充分非必要条件； C 函数()f z 在点0z 处解析是函数()f z 在点0z 处可导的充分非必要条件； D 函数()f z 在区域D 内处处解析是函数()f z 在D 内可导的充要条件. 3、(34)Ln i -+=（ 45[(21)arctan ],0,1,2,3ln i k k π++-=±± ）， 主值为（ 4 5(arctan )3 ln i π+- ）. 4、2|2|1 cos z i z dz z -=? =（ 0 ）. 5、若幂级数0n n n c z ∞=∑ 在1(1)2z = +处收敛，那么该级数在45 z i =处的敛散性为（ 绝对收敛 ）. 6、 311z -的幂级数展开式为（ 30n n z ∞=∑ ），收敛域为（ 1z < ）； 7、 sin z z -在0z =处是（ 3 ）阶的零点； 8、函数221 (1)z z e -在0z =处是（ 4 ）阶的极点； 二、计算下列各值 1．3i e π+； 2．tan()4i π -； 3．(23)Ln i -+； 4 ． 5．1i 。 解：（略）见教科书中45页例2.11 - 2.13 成绩 西安交通大学考试题 课程复变函数（A） 系别考试日期 2007 年 7 月 5 日专业班号 姓名学号期中期末 1. 填空（每题3分， 2. 共30分） 1．＝ 2．＝0是函数的 （说出类型，如果是极点，则要说明阶数） 3. ,则＝ 4. 5. 函数在处的转动角为 6. 幂级数的收敛半径为 =____________ 7. 8．设C为包围原点在内的任一条简单正向封闭曲线，则 9．函数在复平面上的所有有限奇点处留数的和为___________ 10． 二．判断题（每题3分，共30分） 1．在解析。【】 2．在点可微，则在解析。【】 3．是周期函数。【】 4．每一个幂函数在它的收敛圆周上处处收敛。【】 5．设级数收敛，而发散，则的收敛半径为1。【】 6．能在圆环域展开成洛朗级数。【】 7．为大于1的正整数, 成立。【】 8．如果函数在解析，那末映射在具有保角性。【】 9．如果是内的调和函数,则是内的解析函数。【】10．。【】三．（8分）为调和函数，求的值，并求出解析函数。 四．（8分）求在圆环域和内的洛朗展开式。 五．（8分）计算积分。 六．（8分）设，其中C为圆周的正向，求。 七．（8分）求将带形区域映射成单位圆的共形映射。 复变函数与积分变换(A)的参考答案与评分标准 (2007.7.5) 一.填空(各3分) 1. ； 2. 三级极点； 3. ； 4. 0 ； 5. 0 ； 6. ； 7. ； 8. 0； 9. 0 ；10. 。 二.判断1.错；2.错；3.正确； 4. 错；5.正确；6.错； 7.错；8. 错；9. 正确；10. 错。 三(8分) 解: 1)在 -----4分 2) 在 --4分 四.(8分) 解:被积函数分母最高次数比分子最高次数高二次,且在实轴上无奇点,在上半平面有一个一级极点 -2+i, 故 --------3分 --------6分 故 ---------8分 五.(8分) 解: -------3分 由于1+i在所围的圆域内, 故 -------8分 六. (8分) 解:利用指数函数映射的特点以及上半平面到单位圆的分式线性映射,可以得到 (映射不唯一,写出任何一个都算对) 七.(8分) 解:对方程两端做拉氏变换: 代入初始条件,得 --------4分 故, ---------8分(用留数做也可以) 复变函数 (A)的参考答案与评分标准 (2007.7.5) 一.填空(各3分)1. ；2. 三级极点；3. ； 4. 0 ；5. 0 ；6. ；7. ；8. 0 ； 9. 0 ； 10. 0。 二.判断1.错；2.错；3.正确；4. 错；5.正确；6.错；7.错；8. 错；9. 正确；10. 错。 三.(8分) 解:因为是调和函数,则有 ,即故 ---------2分 1) 当时, , 由C-R方程, , 则 , 又由 ，故 , 所以。 则 ----------3分 2) 当时, , 由C-R方程, , 则 , 又由 ，故 , 所以。 则 复变函数与积分变换 第一章 练习题 1． 计算 (1)(2) i i i --； 解：（1） 10 3) 31)(31()31(312 3) 2)(1(2 i i i i i i i i i i i i i +-= +-+= -= +-= --； （2）10 310 ) 2)(1() 2)(2(1)1)(1()2)(1() 2)(1(i i i i i i i i i i i i i +-= ---= ----------= --。 2． 解方程组1212 2(1)43z z i i z iz i -=??++=-?； 解：消元法，)2()1(+?i 得：i z i 33)31(1-=+， 解得：5 63) 31)(31()31)(33(31331i i i i i i i z --= -+--= +-= ， 代入)1(得：5 1765 6322i i i z --= ---? =。 3．求1i --、13i -+的模与辐角的主值； 解：]arg arctan arctan ,arctan arg ππππ，（，，三 ，二一，四 -∈??? ? ? ???? -+=z x y x y x y z ， ?? ? ???-+-= --)43s i n ()43c o s (21ππi i ； [])3a r c t a n s i n ()3a r c t a n c o s (1031-+-= +-ππi i 。 4 ．用复数的三角表示计算3 12?? - ? ??? 、； 解：1)sin()cos()3cos()3cos(2313 3 -=-+-=??? ?? -+-=??? ? ??-ππππi i i ； 3,2,1,0,424 3s i n 4243c o s 2)43s i n 43(c o s 2283 4 1 =???? ? ? ? ? +++=?? ??? ? +k k i k i ππππππ， 第一章 复 数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 i （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z （C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 0) Im()Im(z z -） 1 1．设) 2)(3() 3)(2)(1(i i i i i z ++--+= ，则=z 2．设)2)(32(i i z +--=，则=z arg 3．设4 3)arg(,5π = -=i z z ，则=z 第一章 复变函数测试题及答案-精品 2020-12-12 【关键字】条件、充分、关系、满足、方向、中心 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π = -z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+- （D ）i 2 123+- 3．复数)2 (tan πθπ θ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2sin()2[cos( sec θπθπ θ+++i （B ）)]2 3sin()23[cos(sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos( sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点) ,(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为 i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 ７．使得2 2 z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ） （A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -43 （D ）i --4 3 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无界闭区域 10．方程232= -+i z 所代表的曲线是（ ） （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z （C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 13．0 0) Im()Im(lim 0z z z z x x --→（ ） （A ）等于i （B ）等于i - （C ）等于0 （D ）不存在 14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ） 第一章 复变函数习题及解答 1.1 写出下列复数的实部、虚部；模和辐角以及辐角的主值；并分别写成代数形式，三角形式和指数形式．(其中,,R αθ为实常数) （1）1-； （2） ππ2(cos isin )33-； （3）1cos isin αα-+； （4）1i e +； （5）i sin R e θ ； （6）i + 答案 （1）实部－1；虚部 2；辐角为 4π 2π,0,1,2,3k k +=±±；主辐角为4π 3； 原题即为代数形式；三角形式为 4π4π2(cos isin )33+；指数形式为4π i 32e ． （2）略为 5π i 3 5π5π 2[cos sin ], 233i e + （3）略为 i arctan[tan(/2)][2sin()]2c e αα （4）略为 i ;(cos1isin1)ee e + （5）略为：cos(sin )isin(sin )R R θθ+ （6）该复数取两个值 略为 i i isin ),arctan(1isin ),πarctan(1θθ θθθθθθ+=+=+ 1.2 计算下列复数 1）() 10 3 i 1+-；2）()3 1i 1+-； 答案 1）3512i 512+-；2） ()13π/42k π i 6 3 2e 0,1,2k +=； 1.3计算下列复数 （1 （2 答案 （1） （2）(/62/3) i n e ππ+ 1.4 已知x 的实部和虚部． 【解】 令 i ,(,)p q p q R =+∈，即,p q 为实数域(Real).平方得到 2 2 12()2i x p q xy +=-+，根据复数相等，所以 22 1,(p q pq p x q x ?-=??=??=±==±+ 即实部为 ,x ± 虚部为 说明 已考虑根式函数是两个值，即为±值． 1.5 如果 ||1,z =试证明对于任何复常数,a b 有| |1 az b bz a +=+ 【证明】 因为||1,11/z zz z z =∴=∴=，所以 1() ()1||||| |||||||1()az b az b az b z az b az b z bz a bz a z z bzz az b az b az +++++=====+++++ 1.6 如果复数b a i +是实系数方程 ()011 10=++++=--n n n n a z a z a z a z P 的根，则b a i -一定也是该方程的根． 证 因为0a ，1a ，… ，n a 均为实数，故00a a =，11a a =，… ，n n a a =．且()() k k z z =， 故由共轭复数性质有：()()z P z P =．则由已知()0i ≡+b a P ．两端取共轭得 ()( ) 00i i =≡+=+b a P b a P 即()0i ≡-b a P ．故b a i -也是()0=z P 之根． 注 此题仅通过共轭的运算的简单性质及实数的共轭为其本身即得证．此结论说明实系数多项式的复零点是成对出现的．这一点在代数学中早已被大家认识．特别地，奇次实系数多项式至少有一个实零点． 1.7 证明： 2222 121212||||2(||||)z z z z z z ++-=+,并说明其几何意义． 1.8 若 (1)(1)n n i i +=-，试求n 的值. 第三章习题详解 1． 沿下列路线计算积分 ? +i dz z 30 2。 1) 自原点至i +3的直线段； 解：连接自原点至i +3的直线段的参数方程为：()t i z +=3 10≤≤t ()dt i dz +=3 ()()()?? +=??????+=+=+1 3 1 0332330 233 13313i t i dt t i dz z i 2) 自原点沿实轴至3，再由3铅直向上至i +3； 解：连接自原点沿实轴至3的参数方程为：t z = 10≤≤t dt dz = 33 033 2 3 2 33 131=??? ???== ? ? t dt t dz z 连接自3铅直向上至i +3的参数方程为：it z +=3 10≤≤t idt dz = ()()()33 1 031 02 33 233133 13313-+=??????+=+=?? +i it idt it dz z i ()()()3 3331 02 3 0230233 133********i i idt it dt t dz z i +=-++= ++= ∴??? + 3) 自原点沿虚轴至i ，再由i 沿水平方向向右至i +3。 解：连接自原点沿虚轴至i 的参数方程为：it z = 10≤≤t idt dz = ()()31 031 2 02 3 131i it idt it dz z i =??????==?? 连接自i 沿水平方向向右至i +3的参数方程为：i t z += 10≤≤t dt dz = ()()()33 1 031 02323113 131i i i t dt i t dz z i i -+=??????+=+=?? + ()()3 333320 230 213 13113131i i i i dz z dz z dz z i i i i +=-++= += ∴? ? ? ++ 2． 分别沿x y =与2 x y =算出积分 ()?++i dz iy x 10 2 的值。 解：x y =Θ ix x iy x +=+∴2 2 ()dx i dz +=∴1 ()()()()()??? ??++=????? ???? ??++=++=+∴ ?? +i i x i x i dx ix x i dz iy x i 213112131111 0231 0210 2 2 x y =Θ ()2 2 2 2 1x i ix x iy x +=+=+∴ ()dx x i dz 21+=∴ ()()()()()? ???? ??++=????? ???? ??++=++=+∴ +1 1 043210 2 2131142311211i i x i x i dx x i x i dz iy x i 而()i i i i i 656121213 1 3121311+-=-++=??? ??++ 复变函数与积分变换期末试题附有答案 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】 复变函数与积分变换期末试题 一．填空题（每小题3分，共计15分） 1．231i - 2.)1(i Ln +-的主值是（ ）；3. 211)(z z f +=，=)0()5(f （ 0 ），4．0=z 是 4sin z z z -的（ 一级 ）极点；5． z z f 1)(=，=∞]),([Re z f s （-1 ）； 二．选择题（每题3分，共15分） 1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（ ）； （A ） y x iu u z f +=')(； （B ）y x iu u z f -=')(； （C ）y x iv u z f +=')(； （D ）x y iv u z f +=')(. 2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （ ），则0d )(=?C z z f ． （A ） 23-z ； （B ）2 )1(3--z z ； （C ）2)2()1(3--z z ； 3．如果级数∑∞=1n n n z c 在2=z 点收敛，则级数在 （A ）2-=z 点条件收敛 ； （B ）i z 2=点绝对收敛； （C ）i z +=1点绝对收敛； （D ）i z 21+=点一定发散． ４．下列结论正确的是( ) （A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析； （C ）如果0)(=?C dz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析； （D ）函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、 ),(y x v 在该区域内均为调和函数． 5．下列结论不正确的是（ ）． (A) 的可去奇点；为z 1sin ∞(B) 的本性奇点；为z sin ∞ (C) ;1sin 1 的孤立奇点为z ∞三．按要求完成下列各题（每小题10分，共40分） （1）．设)()(2 222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a 解：因为)(z f 解析，由C-R 条件 ,2,2==d a ，,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c 给出C-R 条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。复变函数测试题及答案
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