初三专题复习+中考代数式、整式与分式复习+
代数式、整式
一、概念
1.代数式
用基本的运算符号(指加、减、乘、除、乘方及今后要学的开方)把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式.
2.单项式 数字与字母的积,这样的代数式叫做单项式. (1)单独的一个数或一个字母也是单项式. (2)单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数.
(3)一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数. 3.多项式 几个单项式的和叫做多项式.
(1)在多项式中,每个单项式叫做多项式的项,其中,不含字母的项叫做常数项. (2)一般地,多项式里次数最高的项的次数,就是这个多项式的次数. 4.整式 单项式和多项式统称整式.
5.同类项 所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项,常数项也是同类项. 二、基本运算法则 1.整式加减法法则
几个整式相加减,通常用括号把每一个整式括起来,再用加减号连接,然后去括号,合并同类项. 2.合并同类项法则 合并同类项时,把系数相加,字母和字母指数不变. 3.同底数幂的相乘
a
a a
n
m n m
+=?(m 、n 都是正整数)
同底数幂相乘,底数不变,指数相加。 4.幂的乘方 a a
mn
n
m =)(
(m 、n 都是正整数)
幂的乘方,底数不变,指数相乘。
5、积的乘方:n
n
n
b a ab ?=)( (n 为正整数)
积是乘方,等于把每一个因式分别乘方,再把幂相乘。
知识梳理
6、乘法公式
平方差公式:22))((b a b a b a -=-+ 完全平方公式:2222)(b ab a b a +±=±
三、因式分解:就是把一个多项式化为几个整式的 的形式.分解因式要进行到每一个因式都不能再分
解为止.
(1) 提公因式法:=++mc mb ma . (2)公式法: ⑴ =-2
2
b a ⑵ =++2
2
2b ab a , ⑶=+-22
2b ab a .
(3)十字相乘法:()=+++pq x q p x 2 . 因式分解的一般步骤:一“提”(取公因式),二“用”(公式).
(
注意咯,下面可是黄金部分!)
例1、)5.0()2()4
1(54322
b a ab b a -÷-?
变式1、)(5)2
1(22
222
ab b a a b ab a -++-
例2、)2)(2(2))(2()2(2
b a b a b a b a b a +--+--+,其中2,2
1
-==
b a .
变式2、[]y y y x y x y x 25)3)(()(2
2
÷-++-+,其中2
12=
-=y x ,
知识 典例
例3、(佛山中考题)上数学课时,老题提出了一个问题:“一个奇数的平方减1,结果是怎样的 数?”请你解答这个问题.
变式3、(佛山中考题)对于任意的正整数n ,所有形如n n n 232
3++的数的最大公约数是什么?
例4、(佛山中考题)阅读材料:把形如2
ax bx c ++的二次三项式(或其一部分)配成完全平方式的方法叫做配方法. 配方法的基本形式是完全平方公式的逆写,即2222()a ab b a b ±+=±.
例如:2
2
(1)3(2)2x x x -+-+、、2
213224
x x ??-+ ???是224x x -+的三种不同形式的配方(即“余项”分别是常数项、一次项、二次项——见横线上的部分). 请根据阅读材料解决下列问题:
(1)比照上面的例子,写出2
42x x -+三种不同形式的配方; (2)将2
2
a a
b b ++配方(至少两种形式);
(3)已知2
2
2
3240a b c ab b c ++---+=,求a b c ++的值.
.
变式4、(佛山中考题)教材或资料出现这样的题目:把方程22
12=-x x 化为一元二次方程的一般形式,并写
出它的二次项系数,一次项系数和常数项。现在把上面的题目改编成下面的两个小题,请回答问题: (1)下面式子中有哪些是方程22
12=-x x 化为一元二次方程的一般形式?(只填写序号)
①02212=--x x ,②02212=++-x x ,③422=-x x ,④0422=++-x x ⑤0343232=--x x
(2)方程22
12=-x x 化为一元二次方程的一般形式后,它的二次项系数,一次项系数和常数项之间具有上面
关系?
强化训练:
1、若2n x y -与23yx 是同类项,则n 的值是( ) A.1-
B.3
C.1
D.2
2、化简()m n m n --+的结果是( ).
A .0
B .2m
C .2n -
D .22m n -
3、若0a >且2x a =,3y a =,则x y
a -的值为( )
A .1-
B .1
C .
23
D .
32
4、计算:=--)2)(2(b a b a .
5、数学上一般把n a a a a a
个···…·记为( )
A .na
B .n a +
C .n a
D .a
n 6、多项式2
1xy xy -+的次数及最高次数的系数是( ) A 、2,1 B 、2,-1 C 、3,-1 D 、5,-1 7
、
分
解
因
式
:
2
2xy y x -=
321
4
x x x +-= . 33222ax y axy ax y +-= .
=++2
2363b ab a .
8、在○14
2
a a ?;○223
()a -;○3122a a ÷;○423a a ?中,计算结果为6
a 的个 数是( )
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个
9、计算()
4
323b a --的结果是( ) A.12881b a
B.7612b a
C.7612b a -
D.12881b a -
10、若2
320a a --=,则2
526a a +-= .
11、若将代数式中的任意两个字母交换,代数式不变,则称这个代数式为完全对称式.....,如a b c ++就是完全对称式.下列三个代数式:①2)(b a -;②ab bc ca ++; ③2
2
2
a b b c c a ++.其中是完全对称式的是( )
A .①②
B .①③
C . ②③
D .①②③ 12、若的值为则2y -x 2,54,32==y x
(A )
53 (B )-2(C )553 (D )5
6
13、图6是一组有规律的图案,第1个 图案由4个基础图形组成,第2个图案由7个基础图形组成,……,第n (n 是正整数)个图案中由 个基础图形组成.
-
14、求证:无论x 、y 为何值,3530912422+++-y y x x 的值恒为正。
课后作业
1、计算:3
2()x x -=· . 2、下列四个算式中,正确的个数有( ) ①4
3
12
a a a =·
②5510
a a a +=
③55
a a a ÷=
④336
()a a =
图
6
(1)
(2)
(3)
……
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
3、代数式 -12 x, 1π ,2xy, 1x ,1-2y,2x-1
3
中是单项式的有( )
A 、2个
B 、3个
C 、4个
D 、5个
4、下列计算错误的是:( )
①、(2x+y )2
=4x 2
+y 2
②、(3b-a)2
=9b 2
-a 2
③、(-3b-a)(a-3b)=a 2
-9b 2
④、(-x-y )2=x 2-2xy+y 2
⑤、(x--12 )2=x 2-2x+14
A 、2个
B 、3个
C 、4个
D 、5个 5、式的乘法中可用平方差公式计算的是( ).
A .()()11x x ++
B .)2
1)(21(a b b a -+ C .()()a b a b -+- D .()()2
2
x y
y
x -+
6、如图所示,把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上,按照这样的规律摆下去,则第n (n 是大于0
的整数)个图形需要黑色棋子的个数是 .
7、已知92
++ax x 是完全平方式,则a 的值是( ) A 、3± B 、6- C 、6 D 、6±
8、单项式5
48
ab π-的系数是 ;
9、已知2×8m
=42m
求m= 10、20152014
0.254
?= 。
11、若10m n +=,24mn =,则2
2
m n += 。 12、先化简,再求值:(2)(2)(2)a a a a -+--,其中1a =-.
13、已知2
514x x -=,求()()()2
12111x x x ---++的值
第1个图形 第2个图形 第3个图形 第4个图形
6题图
分式
1、分式的概念、有无意义或等于零的条件
(1) 概念:形如,且A 、B 为整式,B 中含字母。
(2) 分式有意义的条件:分母不等于零; (3) 分式无意义的条件:分母等于零;
(4) 分式值为零的条件:分子等于零且分母不等于零。(在分式有意义的前提下,才可讨论分式值为零) ★说明:(1) 分式中的分母必须含有字母,但作为分子的整式不一定含有字母;(2) 分式值为零,则分子为零,分母不为零。二者缺一不可;(3) 分式无意义,则分母为零。 2、分式的基本性质、约分、最简分式
基本性质:分式的分子和分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变,符号表示:
(其中A ,B ,M 是整式,且M ≠0)。
约分:把一个分式的分子和分母的公因式约去的变形,称为约分。
★说明:(1) 约分的依据是分式的基本性质;(2) 如果分式的分子和分母是多项式,要先对多项式分解因式,然后再约分;(3) 约分一定要彻底,化成最简分式(在分式化简结果中,分子和分母已没有公因式,这样的分式称为最简分式。)。 3、分式的乘除法
分式的乘法法则:两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母。 分式的除法法则:两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。
分式的乘方:分式的乘方,等于把分子和分母分别乘方,式子表示为:(n 为正整数)。
★说明:(1) 当分式的分子,分母为多项式时,要先分解因式,再进行分式的乘除运算;(2) 进行分式的乘除混合运算时,一定要按从左到右的顺序进行;(3) 分式乘除运算的结果必须为最简分式或整式,并注意其结果的正负性。
知识梳理
4、分式的加减法则
(1) 同分母分式相加减,分母不变,把分子相加减,最后化简为最简分式。
(2) 异分母分式相加减,先通分(确定分式的最简公分母),然后再按同分母分式相加减的法则进行。 5 、分式的加、减、乘、除混合运算
分式的加、减、乘、除混合运算也是先进行乘、除运算,再进行加、减运算,遇到括号,先算括号内的。
(
注意咯,下面可是黄金部分!)
例1、代数式21,,,13x x a
x x x π+
中,分式的个数是( ) A .1 B .2 C .3 D .4
变式1、 当x 时,分式422--x x 有意义。 当x 时,分式1
8
72---x x x 的值为零。
当x 时,分式x
x 61212
-+的值为负数。 当x 时,分式x x 322-的值为-1。
例2、(2012年安徽)化简x 2x -1+x
1-x
的结果是( )
A .x +1
B .x -1
C .-x
D .X
变式2、化简:22
2211
1x x x x x x
-+-÷-+
例3:已知x 2-3x -1=0,求x 2+1
x 2的值.
变式3、(2011年湖南邵阳)已知1x -1=1,求2x -1
+x -1的值.
知识 典例
例4、先化简,再求值: 211(1)22
a a a --÷++,其中2a =。
例5、先化简
1
1112-÷-+x x x )(,然后请你给x 选取一个合适值,再求此时原式的值.
变式4、先化简,再求值:22224242x x x x x x --??
÷-- ?-+??
,其中2x =
变式5、先化简,再求值:222
4124422a a a a a a
??--÷ ?-+--??,其中a 是方程2
310x x ++=的根.
强化训练
1.若分式x -1
(x -1)(x -2)
有意义,则x 应满足的条件是( )
A .x ≠1
B .x ≠2
C .x ≠1,且x ≠2
D .以上结果都不对 2.在括号内填入适当的代数式,使下列等式成立:
(1)2ab =( )
2xa 2b 2; (2)a 3-ab 2(a -b )2=a ( )a -b . 3.若分式x -8x 的值为0,则x 的值等于________.
4.约分:56x 3yz 4
48x 5y 2z =________;x 2-9x 2-2x -3=________.
5.已知a -b a +b =15
,则a
b =________.
6.当x =_______时,分式x 2-2x -3
x -3的值为零.
7.计算:1x -1-x
x 2-1.
8.先化简,再求值:????1+1x -1÷x
x 2-1,其中x =-4.
9.先化简,再求值:????x x -1-1
x 2-x ÷
(x +1),其中x = 2.
10.先化简,再求值:a 2-4a -3·??
??1-1a -2,其中a =-3.
11.先化简,再求值:x 2+y 2x -y +2xy
y -x
,其中x =3+2,y =3- 2.
12.先化简,再求值:????3x x -1-x x +1·
x 2
-1
x ,其中x =2-2.
13.先化简,再求值:? ????1x +1+x 2
-2x +1x 2-1÷x -1x +1,其中x =2.
14.先化简,再求值:? ????x -1x -
x -2x +1÷2x 2
-x x 2+2x +1
,其中x 满足x 2-x -1=0.
课后练习
一、填空题: 1、要使分式23
x
x -有意义,则x 须满足的条件为 . 2、计算:
①x x ---11
2= 。 ②23
2
x y x y y x ÷??? ??-????
? ??-= 。 ③m n n n m m -+-22= 。 ④11
1
2+--+a a a = 。 3、已知
311=-y x 。则分式y
xy x y xy x ---+2232的值为 。 4、若x <0,则
3
1
31--
-x x = 。 5、若分式
1
-x x
的值是整数,则整数x 的值是 。 6、请你先化简,再选一个使原式有意义,而你又喜爱的数值代入求值:112
223+----x x x
x x x = 。 7、已知分式方程k x k
=++1
31无解,则k 的值是 .
二、选择题:
1、在代数式13+x x 、2
12+-x 、2
3y x -、23+-a b a 、112--x x 、πa 中,分式的个数是( )
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个
2、对于非零的两个实数a 、b ,规定11
a b b a
⊕=
-.若1(1)1x ⊕+=则x 的值为( ) A. 23 B. 1 C. 21- D. 2
1
3、若解方程3
33-=-x m x x 出现增根,则m 的值为( ) A . 0 B .-1 C .3 D .1 4、如果
x y =3,则x y y
+等于 A .
4
3
B .xy
C .4
D .x y
5、化简2
11a a a ---的结果是( )
A .11a - B.-11a - C.211a a +- D.21
1
a a a ---
三、解答题:
1、??? ??--+÷--25223x x x x
2、2
111112842
22-+???? ??-+-+-÷---a a a a a a a a a a
3、先化简,再求值:2
21
42
a a a ---,其中2a =-
4、化简求值 3121
11112
2-=+--÷+--+-x x x x x x ,其中
5、先化简,再求值:? ????a -1a 2-4a +4-a +2a 2-2a ÷? ??
??4a -1,其中a =2- 3.
6、计算:先化简代数式:1
)1111(
2
-÷+--x x
x x ,再从你喜欢的数中选择一个恰当的作为x 的值,代入求出代数式的值。
7、已知13+=x ,求x
x x x x x x 112122
÷?
?? ??+---+的值.
8、已知2012x =,求代数式6931x x x x -????
-÷- ? ?????
的值.