第一章函数极限连续

高等数学

引言

我们根据考研数学的考试大纲和历年真题，归纳出所需的数学概念、方法和技巧分为（甲）内容要点和（乙）典型例题两大部分来体现。又分为基础、强化和冲刺三个阶段。这次基础班偏重于基本概念和基本方法以及一般性技巧，其内容安排如下：

第一章函数、极限、连续（全体）

第二章一元函数微分学（全体）

第三章一元函数积分学（全体）

第四章常微分方程（全体）

第五章向量代数与空间解析几何（数学一）

第六章多元函数微分学（全体）

第七章多元函数积分学

§7．1 二重积分（全体）

§7．2 三重积分

§7．3 曲线积分

§7．4 曲面积分（数学一）

第八章无穷级数（数学一和数学三）

高等数学

第一章函数、极限、连续

§1．1 函数

甲内容要点

一．函数的概念

1．函数的定义

设D是一个非空的实数集，如果有一个对应规则f，对每一

个D x ∈，都能对应唯一的一个实数y ，则这个对应规则f 称为定义在

D 上的一个函数，记以()x f y =，称x 为函数的自变量，y 为函数的因

变量或函数值，D 称为函数的定义域，并把实数集

,Z

y y

f x x D

称为函数的值域

2．分段函数

如果自变量在定义域内不同的值，函数不能用同一个表达式表示，而要用两个或两个以上的表达式来表示。这类函数称为分段函数。

例如 21

1

1151

x x

y

f x

x x x

x 是一个分段函数，它有两个分段点，1x 和1x ，它们两

侧的函数表达式不同，因此讨论函数y f x 在分段点处的极限、连续、导数等问题时，必须分别先讨论左、右极限，左、右连续性和左、右导数，需要强调：分段函数不是初等函数，不能用初等函数在定义域内皆连续这个定理。

又,

0,0

x x f x

x

x x ，

1,

sgn 0,

01,

x f x x x x ，都是分段函数

3．隐函数

形如y f x的函数称为显函数，由方程,0

F x y确定y y x称为隐函数，有些隐函数可以化为显函数，例如221

x y，2

y x，（不一定一个单值函数），而有些隐函数则不能化为显函1

数。

4．反函数

如果y f x可以解出x y是一个函数（单值）则称它为()x f的反函数，记以1

y f x表示，例如

x f y。有时也用1

2,0

y x x解出0

y而20

y x x解出x y，0

x y y

二．基本初等函数

1．常值函数y c（常数）

2．幂函数y x（α常数）

3．指数函数x

y a(0

a,1≠

a常数)

>

x

y e（ 2.7182

e，无理数）

4．对数函数log

a

y x（0,1

a a常数）

常用对数

10

log lg

y x x

自然对数log ln

e

y x x

5．三角函数sin

y x；cos

y x；tan

y x；

x

y cot

=；x

y sec

=；x

y csc

=。

_1

_-1

_y=s inx

_-3π

_2

_-5π

_2

_-7π

_2

_7π

_2

_5π

_2

_3π

_2

π

_2

_-

π

_2

_-4π_-3π_-2π_4π

_3π

_2π

π

_-π

_o

_y

_x

_1

_-1

_y=c osx

_-3π

_2

_-5π

_2

_-7π

_2

_7π

_2

_5π

_2

_3π

_2

π

_2

_-

π

_2

_-4π

_-3π

_-2π_4π

_3π

_2π

π

_-π

_o

_y

_x _y=t anx

_3π

_2

π

π

_2

_-

_3π

_2

_-π_-

π

_2

_o

_y

_x

_y=c otx

_3π

_2

π

π

_2

_2π

_-π_-π

_2

_o

_y

_x

y

y=11

y

)1

(>

=

a

a x

6．反三角函数x y arcsin =；x y arccos =； x y arctan =；x arc y cot =。

arctanx

关于基本初等函数的概念，性质及其图象非常重要，影响深远。例如以后经常会用lim arctan x x ；lim arctan x

x ；1

lim x

x e ；10

lim x

x e ；0

lim ln x x

等等。就需要关于x y arctan =，x e y =，x y ln =的图象很清晰。

三．复合函数与初等函数

1．复合函数 设y

f

u

定义域U

u g x 定义域X ，值域*U 如果*U U ，则y f g x 是定义在X 上的一个复合函数。

其中u 称为中间变量。

2．初等函数

由基本初等函数经过有限次四则运算和复合所构成的用一个分析表达式表示的函数称为初等函数。

四．考研数学中常出现的非初等函数

1．用极限表示的函数

（1）lim n n

y f x （2）lim ,t x

y f t x

2．用变上、下限积分表示的函数

（1）0

x y f t dt ，其中f t 连续，则

dy f x dx

（2）21

x x

y f t dt ，其中

1

x ，

2

x 可导，f t 连续，

则2

2

1

1

dy f

x x f

x

x dx

五．函数的几种性质

1．有界性：

设函数y f x 在X 内有定义，若存在正数M ，使x X 都有

f x

M 则称()x f 在X 上是有界的。

2．奇偶性：

设区间X 关于原点对称，若对x X ，都有f x

f x ，则

称f x 在X 上是奇函数；若对x X ，都有f

x

f x ，则称()x f 在

X 上是偶函数、奇函数的图象关于原点对称；偶函数图象关于y 轴对

称。

3．单调性：

设()x f 在X 上有定义，若对任意1x X ，2x X ，12x x 都有

1

2

1

2

f x f x f x f x 则称()x f 在X 上是单调增加的[单调减少

的]；若对任意1x X ，2x X ，12x x 都有12

1

2

f x f x f x f x 则

称()x f 在X 上是单调不减[单调不增]。

（注意：有些书上把这里单调增加称为严格单调增加；把这里单调不减称为单调增加。）

4．周期性：

设f x 在X 上有定义，如果存在常数0T

，

使得任意x X ，

x T

X ，都有f x T f x ，则称f x 是周期函数，称T 为f x 的

周期。

由此可见，周期函数有无穷多个周期，一般我们把其中最小正周期称为周期。

乙 典型例题

一．求函数的定义域

例1．求函数2ln ln ln 100f x

x

x 的定义域

解：

2

ln ln 0

101000

10

10

x x e e x x

x

例2．求1

ln 5

y x

x

x 的定义域 解

：

10

5[1,4)(4,5)(5,6)(6,)

045

5

1

6

x x x x x x x x x x

且

例3．设f x 的定义域为,0a a a ，求21f x 的定义域 解

：

22

2

11 x [1,1]

111[

1,

1][1,1]

x a a a a a

x

a

x

a

a x a a a a 当时；　当时；

例4．设1, 022, 2

4

x g x x 求21f x

g x

g x 的定义

域，并求3

2

f

。 解：

024

[1,2]0

14

x x x

3

1

(3)()2132

2

f g g

二．求函数的值域

例1．求3

31

x y e

的值域

解

3

31

0,

1

(0,1)(1,

)

x y

例2．求32

3,

25,2

21

2,

2

x x y

f x

x x

x x 的值域，并求它的反

函数

解：首先确定函数)(x f y 的值域：11,237,

2

21,

2

y x y x

y x

再将x 表示成y 的函数：3311,537,

2

11,

x y

y x y

y x y

y

最后将y x ,符号互换,则得到原函数的反函数：

3

1311,()

537,

211,

x x y

f x x

x x

x

三．求复合函数有关表达式

1．已知f x 和g x ，求f g x 例1．已知1

x f x

x ，求11

f

f x

解：利用迭代法：11

(1)12

x f

f x f x

x 例2．设2

1f x

x ，求

n f f f x

f x n 重复合

解：找规律：12

12f x x

22

13f x

x

32

14f x

x

然后类推得：1(1)n f x

n 并用数学归纳法证明之

例3．设24,20,

2

x x f x

x

，求f f x

解：按值域分段法：0,

22

(2,4),[0,2]2

x x f x

x

424,

22

0,[]

812

2

2

x

x f f x x x x

2．已知g x 和f g x ，求f x 例1．设21

x x x f e e e x ，求f x

解：换元法：令1x t e

则ln(1)x t

代入原方程可得：22()(1)(1)ln(1)ln(1)f t t t t t t t 将t 换成x ：2()ln(1)f x x x x 例2．已知x x f

e xe ，且1

0f ，求f x

解：首先要搞清x f

e 所表达的意思

x f e 是指x x x f e e e 对求导，把看成整体

令x t

e 则ln x

t

'ln ()t f t

t

21

()

(ln )2

f t t C 将初始条件代入得0C 将t 换成x 得：

21

()

(ln )2

f x x

例3．设sin f x ，求

f x

解：换元法

22

2

'

2

;()sin ()sin ,()2cos t

x x t f t t f x x f x x x

令则

例

4．已知

sin 3cos2f x x

，求证

cos 3cos2f x

x

证明：充分利用二倍角公式

2222

2cos 212sin 2cos 1(sin )22sin ()22(cos )22cos ()3cos 2x x x f x x f t t f x x x

3．已知f x 和f g x ，求g x 例．已知ln 1f x x ，f g x

x ，求g x

解：1()g x f x ，实际上为求反函数问题

ln 1f g x g x

x ，1x g x

e

1x g x e

4．有关复合函数方程

例．设1

321

x f

f x

x x ，求f x

解：利用换元法：

21

1,1

1

11

()3(

)2()11

11

()3()2() (1)

11

321

(1)()

4(1)x t t

x x t t t f t f t t x x f x f x x x x f x x 令则代入原方程得：即：

联立式和题设方程可得：

四．有关四种性质

例1．设F x

f x ，则下列结论正确的是[ ]

（A ）若f x 为奇函数，则F x 为偶函数。 （B ）若f x 为偶函数，则

n

n n

a x S x 为奇函数。

（C ）若f x 为周期函数，则F x 为周期函数。 （D ）若f x 为单调函数，则F x 为单调函数。 解：（B ）不成立，反例2

f x x ，3

13

x F x

（C ）不成立，反例cos 1f x x ，sin F x x x

（D ）不成立，反例2f x x ，2F x

x 在,

内

（A ）成立。

证明：00x F x F f t dt ，f 为奇函数 00

00

x

x F

x

F f t dt

F f u d

u

x F f u du

F x

F x为偶函数。

例2．求

152

1

ln1

x x

I x x e e x x dx

因为：()x x

f x e e为奇函数

2

()ln(1)

g x x x为奇函数

所以：()()()

F x f x g x为偶函数

所以()()

G x xF x为奇函数，其在[-1,1]对称区间积分值为0；

故：16

12 7

I x dx

§1.2 极限

甲内容要点

一．极限的概念与基本性质

1．极限的定义

（1）lim

n

n

x A（称数列{}n x收敛于A）

任给0，存在正整数N，当n N时，就有

n

x A。

（2）lim

x

f x A

任给0，存在正整X，当x X时，就有f x A。

（3）lim

x

f x A

任给0，存在正数X，当x X时，就有f x A

（4）lim x f x A

任给

0，存在正数X ，当x

X 时，就有f x

A

（5）0

lim x x

f x

A

任给

0，存在正数δ，当0

x x 时，就有f x

A

（6）0

lim x

x f x A （用00f x 表示f x 在0x 的右极限值）

任给

0，存在正数δ，当0

0x x 时，就有f x

A

（7）0

lim x

x f x A （用00f x 表示f x 在0x 的左极限值）

任给

0，存在正数δ，当

0x x 时，就有f x

A

其中00f x 称为f x 在0x 处右极限值，00f x 称为f x 在0x 处左极限值。

有时我们用lim f x

A 表示上述六类函数的极限，

它具有的性质，上述六类函数极限皆具有这种性质，有时我们把n

x f n ，把

数列极限也看作这种抽象的变量的极限的特例，以便于讨论。

2．极限的基本性质

定理1．（极限的唯一性）设lim f x

A ，lim f x

B ，

则A B 定理2．（极限的不等式性质）设lim f x A ，lim g x

B

若x 变化一定以后，总有f x

g x ，则A B

反之，A B ，则x 变化一定以后，有f x g x

（注：当0g x

，0B 情形也称为极限的保号性）

定理3．（极限的局部有界性）设lim f x

A

则当x 变化一定以后，f x 是有界的。 定理4．设lim f x A ，lim g x B

则（1）lim f x g x A B （2）lim f x

g x

A B （3）lim f x g x A B

（4）lim

f x A

g x

B

0B

（5）lim g x

B f x A 0A

二．无穷小

1．无穷小定义

若lim 0f x

，则称f x 为无穷小

（注：无穷小与x 的变化过程有关，1lim

0x x

，当x

时，

x

1

为无穷小，而0x x 或其它时，

x

1

不是无穷小）

2．无穷大定义

任给0M ，当x 变化一定以后，总有f x M ，则称()x f 为

无穷大。

记以lim f x

3．无穷小与无穷大的关系

在x的同一个变化过程中

若f x为无穷大，则1

f x

为无穷小，

若f x为无穷小，且0

f x，则

1

f x

为无穷大

4．无穷小与极限的关系

lim f x A f x A x其中lim0

x

5．两个无穷小的比较

设lim0

f x，lim0

g x，且lim f x

l g x

（1）0

l，称f x是比g x高阶的无穷小，记以0

f x

g x

称g x是比f x低阶的无穷小。

（2）0

l，称f x与g x是同阶无穷小。

（3）1

l，称f x与()x g是等价无穷小，记以~

f x

g x

6．常见的等价无穷小

当0 x 时

x x ~sin ，x x ~tan ，x x ~arcsin ，x x ~arctan 21

1cos ~2

x x ，1~x e x ，ln 1~x x ，

11~x x

7．无穷小的重要性质

有界变量乘无穷小仍是无穷小

三．求极限的方法

1．利用极限的四则运算和幂指数运算法则

2．两个准则

准则1．单调有界数列极限一定存在

（1）若1n n x x （n 为正整数）又n x m （n 为正整数） 则lim n n x A 存在，且A m

（2）若1n n x x （n 为正整数）又n x M （n 为正整数） 则lim n n x A 存在，且A M 准则2．（夹逼定理）设g x f x

h x

若lim g x A ，lim h x

A ，则lim f x

A

3．两个重要公式

公式1．0

sin lim

1x x x

公式2．1

lim 1

n

n e n ；1

lim 1

u

u e u

；1

lim 1v

v v

e

4．用无穷小重要性质和等价无穷小代换

5．用泰勒公式（比用等价无穷小更深刻）（数学一和数学二） 当0x

时，2102!!

n

x

n x x e x

x n 3

521

21sin 1

03!

5!21!n n

n x x x x x

x n

2

422cos 1

1

02!

4!

2!

n

n

n x x x x x n 231

ln 11

023n

n n x x x x

x

x n

3521

1

21arctan 1

03

5

21

n n n x x x x x x n

2

1

1

11102!

!

n n n x x

x

x x n

6．洛必达法则