《易林》--汉代象数学唯一专著
《易林》--- 汉代象数学唯一专著
《易林》一书，旧题西汉焦延寿所著，是现存汉代象数学的唯一专著。通过爻变而得出另一卦，即“遇某卦之某卦”的方法，是《易林》所以衍六十四卦，又成四千零九十六条断辞。《四库全书总目》把它列入术数类，而不入易类，说明它不是儒家的《周易》的研究作品，而是卜筮的作品。《易林》可以说是研究象数的重要参考资料，其用象不是一象一意，而是一象取其多意，它的审象是复杂、垂叠的特点。
近代易学家尚秉和先生特喜此书，并著有《易林释诂》和《焦氏易林注》。《尚秉和傳》介紹云：“据初在莲池时。读焦氏易林而爱之。继思却一卦为六十四繇词。必有所以主其词者。无如易林所用之象。与汉魏人多不同。故仍不能通其义。久之阅蒙之节云。三夫共妻。莫适为雌。子无名氏。翁不可知。知林词果由象生。又久之阅剥之巽云。三人同行。一人言北。伯仲欲南。少叔不得。中路分道。争斗相贼。巽通震。由是易林言覆象者亦解。又数年读大过。九五曰。老妇得其士夫。大过上兑。而恍然于易林遇兑即言老妇之本此也。大过九二曰女妻。女妻。少妻也。九二巽体。又恍然于易林遇巽即言少齐之本此也。他若易林遇艮即言龟。而恍然于颐损益之龟之之指互艮。遇兑即言月。而恍然小畜归妹中孚之月之指兑。若此者共百余象”。
尚秉和先生研究认为“惟邵子所传一、二~八之先天八卦数，汉儒无知者，而易林每用之，如遇兑毎言二是也”。说明邵子先天之学亦古易之源，亦有所据也。
据《易林记验》记一占验：“宣和末，长庆福崔相公任州日，其时晏清，无事思此聖书，虔诚自卜，—得大过卦云：“典册法书蔵在兰台，虽遭乱溃，独不遇灾之”。卦辞曰：“坐席末温，忧来扣门，踰墙北走，兵来我后，脱于虎口”。其卜后十日州乱，崔相公踰墙而出，家族不损，无事归京，乃知此书賢人所制，初虽难会，后详无不中节，见者当所敬重，黄金自贵，未能蒙于此书”。从记载看用者重此书如黄金。
但如何应用，很少书中有详细介绍，有的说用值日卦气，有的说是用“筮法”，无从选择其正确用法，我个人理解应用于“筮法”与卦气的结合，但不管其如何起卦，对于“卦象”是绝妙的参考资料。
易书辞典如是说：
【易林】十六卷。汉焦延寿（生卒年不详）撰。焦延寿字赣，梁（今河南商丘）人。初以好学得幸于梁王，学生而为郡吏，
察举补为小黄（今河南开封初东北）令。曾从孟喜学《易》，授于京房，故其事附于《汉书·京房传》后。又宋代黄伯思《东观余论》以为其名赣，字廷寿，与史不符。后汉《小黄门譙君碑》称焦延寿之后裔，疑其为谯姓，但史传无不作焦。汉碑本多假借通用，如“欧阳”之作“欧羊”者不一而足，至于旧本《易林》首有费直之语，称王莽建信天水焦延寿，其词盖出于伪托。按治《易》于象数之中别有占候一派，实自焦廷寿始。其《易》著除此《易林》外，又有《易林变占》十六卷，并见于《隋书·经籍志》。《易林变占》久佚。此书内容是以一卦变为六十四卦，六十四封又通变为四千零九十六卦，各系以辞．皆四言韵语，与《左传》所载的“凤凰于飞．和鸣锵锵”相似。专以卦变、纳甲、飞伏等说讲阴阳灾变，吉凶福祸而不及人事义理。此书对后世的影响历代不衰，凡占卦术士皆以此为本。关于《易林》是否真为焦延寿所作，后世人也曾怀疑，如《汉书·艺文志》所载《易》十三家，蓍龟十五家而不及焦氏，《隋书·经籍志》始录于五行家中，清代顾炎武曾说，《易林》疑东汉以后人伪托，焦延寿在宣、昭之世，《左传》尚未立学官，而《易林》引《左传》语甚多，又往往用《汉书》中事，如“彭离济东，迁之上庸”，事在武帝元帝元年；“长城既立．四夷宾服，交和结好，昭君是福”，事在元帝竟宁元年等。今人钱钟书先生《管锥篇》对此也多有评论，此书有《汉魏丛书》丛本、《津逯秘书》
本、《四库全书》本、《学津讨原》本等。
《易林记验》
宣和末，长庆福崔相公任州日，其时晏清，无事思此聖书，虔诚自卜，—得大过卦云：“典册法书蔵在兰台，虽遭乱溃，独不遇灾之”。卦辞曰：“坐席末温，忧来扣门，踰墙北走，兵来我后，脱于虎口”。其卜后十日州乱，崔相公踰墙而出，家族不损，无事归京，乃知此书賢人所制，初虽难会，后详无不中节，见者当所敬重，黄金自贵，未能蒙于此书。
《易林》如何起卦，在《易林元籥十测不分卷》一书中論述甚详，今录其序言及目录如下：
《易林元籥十测不分卷》（旧鈔本）明盛如林撰【序】《周礼》大卜掌三易，一《连山》，一《归蔵》，一《周易》，列山氏之书为《连山》，夏因之卦首《艮》，轩辕氏之书《归蔵》，商因之卦首《坤》，伏羲氏作小成易，有画无文，迨文王系彖辞，周公系爻，孔子作翼，其卦首《乾》，终於《既济》，为《周易》。
自太卜失其官，人各为《易》卜筮之法，几不传，汉焦廷寿好学，得幸梁王。京房其说长於灾变，分六十卦更值日用事，以风、雨、寒、温为候，各以其日观善恶，每一爻主一日，六十卦主三百六十日，余四卦《震》《离》《兌》《坎》为方內监司之官。所以用《震》《离》《兌》《坎》者，是二至二分用事之日，又是四时各专主之气也。
原本久逸爻象，变法占法皆残缺无次，今人鲜能用《易林》者。余友荗茂盛卿君特为编注，附以十测，加以卦之直日用爻，盖本其说於方圆二图，参其变於七十二卦，合之得二十五万九千八百四十之数，古今之《易》无余蕴矣。若云后世有延寿者，能知延寿，则吾豈敢。
东越句章冯元飚题於京口舟次《易林》元籥十测
明延陵盛如林纂著
鹿城顧锡畴
娄东张涛鍳定
男頣、燝参阅
一测《易》籥渊源
二测九六用变
三测占法异同
四测卦按四时八方
五测京房分爻值日
六测卦气消长
七测象义合一
八测起卦捷法
九测八卦各属卦爻分值二十四气
十测节气盈虚起卦图式
一、焦延寿的生平考略
关于《易林》作者焦延寿的情况，我们知道得很少，因为目前能找到的史料太有限了!本文了；要是依据《易林》本身的记载对照下列几条比较可靠的史料，通过调查厂解、分析归纳，作出去伪存真的判断。
1．简略的史料
《汉书·京房传》：“京房字君明，东郡顿丘人也。治易，事梁人焦延寿。延寿，字赣。赣贫贱，以好学得幸梁王，土供其资用，令极意学。既成，为郡吏，察举补小黄今。以候伺先知好邪，盔贱不得发。爱养吏民，化行县中。举最当迁．三老官属[：书愿留赣，有沼许增秩留，卒于小黄。赣常曰：得我道以亡身者，必京生包。’共说长于灾金，分六十四封，更直日用事，以风雨寒温为候，各有占验。房闻之九精……”
义《汉书·儒林传》：“京房受易梁人焦延寿。延寿云尝从孟喜问易，会喜死，房以为延寿易即孟氏学，翟牧、白生不肯，皆曰非也。至成帝时，刘向校书，考易说，以为请易家说皆
祖田何、杨叔、丁将军，大谊赂同。唯京氏为异，党焦延寿，独得院士之说。托之孟氏，不相与同。……”
清嘉庆六十年张海鹏校《易林》，卷首载《易林杂识》：“东弃费直长翁曰：“六十四封变占，王莽时建信天水焦延寿之所拐也夫易，广矣，大矣，以言乎远则不徊，以言乎皮则静而正．以言乎天地之间则备矣i然易谓六十四抖也，推而言之则系、说势之所末尽，故连山、归藏、周易皆异辞．而其势虽三家并行，犹牟‘隅尔。赣善于阴阳．复造此以致易未见者，其射存亡吉凶，逻其事类则多中，至于广碎小事非其类则亦否矣。赣之通达隐几，圣人之一隅也。延寿独得隐士之说。”
铵：费直字长翁，西汉东莱人，与焦赣、京房是同时代人费氏易，《汉书·儒林传》紧接京房之后，记述f他的事迹。
2．纷乱的议论
上述二条史料，有两个问题需要进—步探讨：“一是焦延寿牛卒年月。费自称焦延寿是“王莽时”人。《汉书》对此无记载但京房十汉元帝“建昭”：年(分元前37年)十一月被处死弃市终年四T—岁．是有记载的。老师的岁数一般要比学生大一些，仕丐下／个“车门、黄”，很容易被认为焦延寿在京房被杀后不久6死在了小黄县令任期以内。有些文人就据此断定焦延寿为“昭、时人”．货直的说法是“伪托”了。二是焦延寿的籍贯，《汉书》焦延寿为“梁人”．费直则说是“建信天水”人。既然给货直定；伪托”罪名，“建信天水”之说自然也就不被采纳了。
由于焦延寿晚年成厂隐士，文书对他的生平和籍贯缺乏详日记载。而《易林》一书在后世影响很大，唐宋以来史籍皆有著录有些封建文人抓住《汉书》记下的一点，不加深入考证，就作／自以为是的判断，甚至有人连焦延寿的《易林》著作权也给夺了。例如：肖《古言》的明代文人郑院和写《曰知录》的明日者顾炎武．就以为焦延寿是昭、宣时人，而《易林》多叙昭、后事．疑为东汉人托名所作。清朝官方出版的《四库全书提要》据此写卜了结论式的意见：“焦赣，梁人，昭帝时由郡吏举小黄令．京房师之。”“费直之语……差出于伪托，郑晓尝辨之审矣。”清代文化人沈炳粪在《权斋老人
笔记》中更进一步推波助澜．三引年庭《翟林升易林校录序》，考定《易林》为东汉崔篆所作。影响所及，使近代有些学者轻信了这一论断，说《易林》作者不是焦延寿而是崔菜。
3．历史的真实
历史事实究竟如何?我们的考察，首先从崔篆开始。
据《后汉书·崔明传》：崔篆是崔驱的祖父，王莽时曾为郡文学，以明经被征，到了旨都长安。太保甄十保举他为步兵都尉，他推辞不干。他的哥哥崔发，以侯巧得幸J：于莽，位于大司空高官。他的母亲师氏，能通经学百家之言，王莽宠以妹礼，赐号“义成夫人”，金印紫经．文轩丹毅，在王莽的新朝显赫一时。后来王莽任命他当建新大尹。他叹曰：“吾生无妄之世，值浇奔之君，上有老母，下有兄弟，安得独洁而危所牛哉?”乃单车到官，称病不视字。二年不行县，后强起，干理冤狱二干余人。有以危演者，他说：“如杀一大尹，赎两干人．盖所愿也。”遂称庆占。东汉刘秀“建武”初年．朝廷多荐之者，他自以宗门受伪莽伪宠，惭愧汉朝．遂
辞归不代’，客居荣阳，闭门潜思，著周易林六十闪篇，用决六
凶．多所七验。
关1：崔篆的政治态度，上述记载婉转地为他粉饰凹护。但狐狸尾巴总是藏不住的，据《后汉书·孔僖传》：孔僖的曾祖父孔扩建，少时曾游长安，与崔篆友善，及至崔篆当了王共鼓朝的建新大尹，曾劝孔于建去做官．孔子建说：“吾有布衣之心．子有褒冕之志，各从所汾，不亦善乎?道既乖矣1请从此秆。”遂归，终于家。后来，7L僖和崔篆的孙子崔驱复相友善，孔僖官拜东汉临晋令，崔明曾以“家林”为他占L，不吉。李贤注：“家林”乃崔篆所作《易林入
由此看来，崔篆确有《易林》之作，但与焦氏《易林》完全是两回事。细度焦氏《易林》，您会深刻地感到它是一位与穷苦百姓同呼吸共命运的隐士处于王莽乱世的呕心之作，与王莽的新朝冰炭不相容“所谓4096针辞，不过是作者满怀激愤写哲理诗的一种掩护手法而已，其主旨完全本是专为占
L而写。而崔篆在王莽新朝，却是豪门显贵，身为“义成夫人”之子，又做到建新大尹高官。他绝对没有焦延寿式的生活经历，所以也不会写出焦氏4易林》式的哲理诗。特别是汉光武当了皇帝以后，东汉政权已经韧告稳定，一个在王莽新朝不但自己做官、还劝别人做官的人，却不愿给推翻五莽政权的东汉王朝服务了，是非爱憎和焦延寿的晚
年完全不同，就更可断定崔篆写不出焦氏《易林》这样内容的著作来。
至于顾炎武、郑晓所说《易林》“多引阳、盲后事”，是事实，fR需要商榷的是：他们诅焦延寿是“昭、宣时人”，只说对了一半。京房死时，四十—‘岁，焦延寿作为他的老师年岁大些，当时可能在五十岁上下。到四十七年后王莽篡位时，年近百岁是完全可能的。焦延寿经历了昭、宣、元、成、哀、平六世，即整个西汉王朝后期。《易林》的写作，几乎贯穿他的一生。既有昭、室时期的痕迹，也有元、成及其以后的烙印。大约是在晚年才系统整理、员府定稿的。他可能死于王莽被杀以前，所以《易林》中对“赤眉”、“铜勺”农民大起义，刘编、刘秀起兵讨代王莽及王莽身死国灭等国家大事，
毫无反映。假如焦氏《易林》是东汉崔篆所写．对这些国家大事岂有不写之理?即使他不真心拥护东汉政权，为了给自己脸上贴金过k晚年安稳日子，也是非写不可的，一点也没写．压是焦氏《易棚并非东汉崔篆所写的反证．读者细读一下焦氏《易林》，自能明辨是非。
《汉书》说焦延寿“卒于小黄”，很值得商榷。他的弟子京房是被汉元帝未了头的，“党焦延寿，独得隐士之说”是京房易学友面长期形成的看法。学生出了问题，者师不可能不受连累，至少是小黄县令不好当下去厂。大约焦延寿在京房死后，是弃宫翅走当了隐士的。这一点，在《易林》原文中，多处有历反映。任他大小是个朝廷命官，既然早有增秩留任记书，他又很得民心，右他逃走以后，县里的二老官员只好上报他已死去，好使朝廷再委派新的县令。从此官方存档自然是“卒于小黄”了。写《汉书》班固是东汉人．与崔明同时，后于焦延寿两代，他写焦延寿“卒子
小黄”，只是顺便一提，并无实据，也无日期。在焦延寿不再当黄县令以后是死是活的问题上，我们应该相信焦延寿同代人费它的说法。而且要对照《易林》原文，来定谁是谁非。
“建信灭水”又是什么地方呢?它与地处今甘肃省南部的汉代天水郡无关。查《汉书·地理志》：千乘郡，高帝置，莽口建信同青州。辖县卜五，干乘、建信，义是其中的两个县朽，
据新版《辞源》介绍：“干乘，春秋时齐地。相传齐景公以千乘在青丘打猎，后来便把该地叫厂乘。汉贵干乘县，并笑郡治地在今IIj东省博兴县西北。”又据《后汉书·孔僖传》：“崔篆什十莽为建新大并。”李贤注：“莽改干乘国为建信，义改曰建新，用守曰大尹。”按新莽1t朝达十五年之久，崔篆到干乘时，焦延寿能已经不在人世。然而．崔在此地约叫五年之久，对于焦延寿岁人，《易林》其八他煎该是知道的。只是不行伤费宜那样明说币巴。两部《易林》义系如何，差别在哪里，我们投看过崔篆的不便妄加评论。
“天水”义在何处?我们访问了现年八十四岁的广饶学者陈呜老教授，点陈老告知t“焦赣，字延寿，西汉干乘人，家贫好学因知遇粱王．得其资助，撰《易林》十六眷。《汉8》称他为梁人是因他年轻时逃荒到梁国长期定居的原故。干
乘．古县名，西江时所置，治所在今山东省博兴县、广饶县北部，古课河沿岸．
中国古代数学
第三章 中国古代数学 教学重点：1理解并掌握《九章算术》的主要贡献。2能叙述《算经十书》的名称；掌握祖冲之的贡献，知道密率及约率值。3 掌握宋元数学家的贡献。 3.1《九章算术》 1 介绍 中国古典数学最重要的著作，成书1cen B.C 《九章算术》：问题集，共九章，分别为：方田，粟米，衰分，少广，商功；均输 ，盈不足，方程，勾股。 面积、体积：方田，商功； 比例：粟米，衰分，均输 ； 开方：少广 贡献一：正负数加减法则 正负数的加减运算法则 李文林在《数学史教程》中指出：“对负数的认识是人类数系扩充的重大步骤。如果说古希腊无理量是演绎思维的发现，那么中算负数则是算法思维的产物。中算家们心安理得地接受并使用了这一概念，并没有引起震撼和迷惑。” 国外首先承认负数的是7世纪印度数学家婆罗门及多，欧洲16世纪时韦达等数学家的著作还回避使用负数。 贡献二：方程术 线性方程组求解：消元法 例：今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗；问上、中、下禾实一秉各几何？ 贡献三：开方术 今有积五万五千二百二十五步，问为方几何？答曰：二百三十五步。 “开方术”演变为”增乘开方法“，开高次方，求高次方程数值解； “开方术”：包含求 方法； 02=++c bx ax
接受开方不尽的数——无理数； 贡献四：盈不足 例：今有共买物，人出八盈三，人出七不足四，问人数、物价各几何？ “盈不足”：线性插值法； “盈不足”可以解决非盈亏类问题； “盈不足”通过丝绸之路传入阿拉伯国家，被称为“契丹算法”。 贡献五：几何 “方田”：各种图形的面积计算； “商功”：各种土木工程中的体积计算。长方体、台体、圆柱体、锥体等体积的计算公式正确；只是圆周率取3，误差较大。 “勾股”：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？答曰：水深一丈二尺；葭长一丈三尺。 评价 小苍金之助（日）：《九章算术》是中国的《几何原本》。 吴文俊：《九章算术》和刘徽的《九章算术注》，在数学的发展历史中具有崇高的地位，足可与《几何原本》东西辉映，各具特色。 1968年德国沃格尔（V ogel）把《九章算术》译成德文出版时的评论：“在古代算术中，包含如此丰富的246个算题，现存的埃及和巴比伦算题与之相比，真望尘莫及。” 《九章算术》数学理论门类繁多，依题列术，术文不附原理说明。刘徽注《九章》，一面阐明每个具体算法的理论依据，一面揭示各种算法之间的内在联系，使之成为一个严谨、完整的理论体系。 刘徽(魏晋, 公元3世纪)，幼习《九章》，长再详览。知识渊博，精通四书五经、诸子，谙熟前人数学，《周髀算经》、张衡数学。 刘徽集前辈之大成，又不迷信古人。注方田章圆田时，由于前人用径一周三，古率失之于粗，刘徽注说：“世传此法，莫肯精核，学者踵古，习其谬失”。 在中国古代数学中的地位、影响：阐述了中国传统数学的理论体系与数学原理；《九章算术注》中有的注文千字以上，是一篇高水平的数学论文；公元263
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第3章 最小均方算法 3．1 引言 最小均方(LMS ,least-mean-square)算法是一种搜索算法，它通过对目标函数进行适当的调整[1]—[2],简化了对梯度向量的计算。由于其计算简单性，LMS 算法和其他与之相关的算法已经广泛应用于白适应滤波的各种应用中[3]-[7]。为了确定保证稳定性的收敛因子范围，本章考察了LMS 算法的收敛特征。研究表明，LMS 算法的收敛速度依赖于输入信号相关矩阵的特征值扩展[2]—[6]。在本章中，讨论了LMS 算法的几个特性，包括在乎稳和非平稳环境下的失调[2]—[9]和跟踪性能[10]-[12]。本章通过大量仿真举例对分析结果进行了证实。在附录B 的B ．1节中，通过对LMS 算法中的有限字长效应进行分析，对本章内容做了补充。 LMS 算法是自适应滤波理论中应用最广泛的算法，这有多方面的原因。LMS 算法的 主要特征包括低计算复杂度、在乎稳环境中的收敛性、其均值无俯地收敛到维纳解以及利用有限精度算法实现时的稳定特性等。 3．2 LMS 算法 在第2章中，我们利用线性组合器实现自适应滤波器，并导出了其参数的最优解，这对应于多个输入信号的情形。该解导致在估计参考信号以d()k 时的最小均方误差。最优(维纳)解由下式给出： 1 0w R p -= (3.1) 其中，R=E[()x ()]T x k k 且p=E[d()x()] k k ，假设d()k 和x()k 联合广义平稳过程。 如果可以得到矩阵R 和向量p 的较好估计，分别记为()R k ∧和()p k ∧ ，则可以利用如下最陡下降算法搜索式(3．1)的维纳解： w(+1)=w()-g ()w k k k μ∧ w()(()()w())k p k R k k μ∧∧ =-＋２ (3.2) 其中，k ＝0，1，2，…,g ()w k ∧ 表示目标函数相对于滤波器系数的梯度向量估计值。
1.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题三
1.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6 天后到达目的地.”则该人最后一天走的路程为 A.24里 B.12里 C.6里 D.3里 2.在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：几日相逢？ A.12日 B.16日 C.8日 D.9日 3.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等. 问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列. 问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位). 这个问题中，甲所得为 A.45钱 B.35钱 C.23钱 D.3 4钱 4.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体. 它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖).其直观图如图1，图2中四边形是为体现其直观性所作的辅助线，当其正视图与侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是 A.a ,b B.a ,c C.c ,b D.b ,d 5.《九章算术》商功章有题：一圆柱形谷仓，高1丈3尺33 1寸，容纳米2000斛(1丈=10尺,1尺=10寸,斛为容积单位,1斛≈1.62立方尺π≈3),则圆柱底面周长约为 A.1丈3尺 B.5丈4尺 C.9丈2尺 D.48丈6尺 6.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，一头粗，一头细，在粗的一段截下一尺，重四斤；在细的一端截下一尺，重二斤. 问依次每一尺各重几斤？”根据上题的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，中间三尺的重量为 A.6斤 B.9斤 C.10斤 D.12斤 7.我国古代数学家利用“牟合方盖”(如图甲)找到了球体体积的计算方法.“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体，图乙所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的主视图是
中国古代数学的成就
中国古代数学的成就 中国是世界文明古国之一。数学是中国古代科学中一门重要学科，其发展源远流长，成就辉煌，其中包括圆周率、割圆术、十进位制计数法、算经十书、勾股定理、杨辉三角和剁积术、珠算等。我想就着这几项谈谈我国古代数学的成就。 一：圆周率。古今中外，许多人致力于圆周率的研究与计算。为了计算出圆周率的越来越好的近似值，一代代的数学家为这个神秘的数贡献了无数的时间与心血。十九世纪前，圆周率的计算进展相当缓慢。中国古算书《周髀算经》中有“径一而周三”的记载，认为圆周率是常数。? 我国数学家刘徽在注释《九章算术》时只用圆内接正多边形就求得π的近似值，也得出精确到两位小数的π值，他的方法被后人称为割圆术。他用割圆术一直算到圆内接正192边形，得出π≈根号10。? 汉朝时，张衡得出π的平方除以16等于5/8，即π等于10的开方。虽然这个值不太准确，但它简单易理解，所以也在亚洲风行了一阵。?王蕃发现了另一个圆周率值，这就是3.156，但没有人知道他是如何求出来的? 南北朝时代着名数学家祖冲之进一步得出精确到小数点后7位的π值，给出不足近似值3.1415926和过剩近似值3.1415927，还得到两个近似分数值，密率355/113和约率22/7。他的辉煌成就比欧洲至少早了1000年。其中的密率在西方直到1573才由德国人奥托得到，1625年发表于荷兰工程师安托尼斯的着作中，欧洲不知道是祖冲之先知道密率的，将密率错误的称之为安托尼斯率。 二、割圆术。3世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法，所谓割圆术，就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周长的方法。?中国古代从先秦时期开始，一直是取“周三径一”（即圆周周长与直径的比率为三比一）的数值来进行有关圆的计算。但用这个数值进行计算的结果，往往误差很大。正如刘徽所说，用“周三径一”计算出来的圆周长，实际上不是圆的周长而是圆内接正六边形的周长，其数值要比实际的圆周长小得多。东汉的张衡不满足于这个结果，他从研究圆与它的外切正方形的关系着手得到圆周率。这个数值比“周三径一”要好些，但刘徽认为其计算出来的圆周长必然要大于实际的圆周长，也不精确。刘徽以极限思想为指导，提出用“割圆术”来求圆周率，既大胆创新，又严密论证，从而为圆周率的计算指出了一条科学的道路。 三、十进位制计数法。十进位制记数法在我国原始社会就已经形成，完成于奴隶社会初期的商代，到商代已发展为完整的十进制系统，并且有了“十”、“百”、“千”、“万”等专用的大数名称。1899年从河南安阳发掘出来的象形文字，是大约3000多年前的殷代甲骨文。其中载有许多数字记录，最大的数目字是3万。如有一片甲骨上刻着“八日辛亥允戈伐二千六百五十六人。”(八日辛亥那天的战争中，消灭了敌方2656人)。这段文字说明我国在公元前1600年，已经采用了十进位值制记数法。这种记数法中，没有形成零的概念和零号，但由于引入了几个表示数位的特殊的数字如十、百、千、万等．能确切地表示出任何自然数，因而也是相当成功的十进位值制记数法，历代稍有变革，但基本框架则一直延用至今。 四、《算经十书》。《算经十书》是指汉、唐一千多年间的十部着名的数学着作，他们曾经是隋唐时代国子监算学科的教科书。十部书的名称是：《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《张丘建算经》、《夏侯阳算经》、《五经算术》、《辑古算经》、《缀术》。其中阐明“盖天说”的《周髀算经》，被人们认为是流传下来的中国最古老的既谈天体又谈数学的天文历着作。其中提到大禹治水时所应用的数学知识，成为现存文献中提到最早使用勾股定理的例
数学专业外文文献翻译
第3章最小均方算法 3．1 引言 最小均方(LMS,least-mean-square)算法是一种搜索算法，它通过对目标函数进行适当的调整[1]—[2],简化了对梯度向量的计算。由于其计算简单性，LMS算法和其他与之相关的算法已经广泛应用于白适应滤波的各种应用中[3]-[7]。为了确定保证稳定性的收敛因子范围，本章考察了LMS算法的收敛特征。研究表明，LMS算法的收敛速度依赖于输入信号相关矩阵的特征值扩展[2]—[6]。在本章中，讨论了LMS算法的几个特性，包括在乎稳和非平稳环境下的失调[2]—[9]和跟踪性能[10]-[12]。本章通过大量仿真举例对分析结果进行了证实。在附录B的B．1节中，通过对LMS算法中的有限字长效应进行分析，对本章内容做了补充。 LMS算法是自适应滤波理论中应用最广泛的算法，这有多方面的原因。LMS算法的主要特征包括低计算复杂度、在乎稳环境中的收敛性、其均值无俯地收敛到维纳解以及利用有限精度算法实现时的稳定特性等。 3．2 LMS算法 1 / 29
2 / 29 在第2章中，我们利用线性组合器实现自适应滤波器，并导出了其参数的最优解，这对应于多个输入信号的情形。该解导致在估计参考信号以d()k 时的最小均方误差。最优(维纳)解由下式给出： 1 0w R p -=(3.1) 其中，R=E[()x ()]T x k k 且p=E[d()x()] k k ，假设d()k 和x()k 联合广义平稳过程。 如果可以得到矩阵R 和向量p 的较好估计，分别记为()R k ∧ 和 ()p k ∧ ，则可以利用如下最陡下降算法搜索式(3．1)的维纳解： w(+1)=w()-g ()w k k k μ∧ w()(()()w())k p k R k k μ∧∧ =-＋２(3.2) 其中，k ＝0，1，2，…,g ()w k ∧ 表示目标函数相对于滤波器系数的梯度向量估计值。 一种可能的解是通过利用R 和p 的瞬时估计值来估计梯度向量，即 ()x()x ()T R k k k ∧ = ()()x()p k d k k ∧=(3.3) 得到的梯度估计值为
中国数学史-
中国数学史 数学是中国古代科学中一门重要的学科，根据中国古代数学发展的特点，可以分为五个时期：萌芽；体系的形成；发展；繁荣和中西方数学的融合。 中国古代数学的萌芽 原始公社末期，私有制和货物交换产生以后，数与形的概念有了进一步的发展，仰韶文化时期出土的陶器，上面已刻有表示1234的符号。到原始公社末期，已开始用文字符号取代结绳记事了。 西安半坡出土的陶器有用1～8个圆点组成的等边三角形和分正方形为100个小正方形的图案，半坡遗址的房屋基址都是圆形和方形。为了画圆作方，确定平直，人们还创造了规、矩、准、绳等作图与测量工具。据《史记·夏本纪》记载，夏禹治水时已使用了这些工具。 商代中期，在甲骨文中已产生一套十进制数字和记数法，其中最大的数字为三万；与此同时，殷人用十个天干和十二个地支组成甲子、乙丑、丙寅、丁卯等60个名称来记60天的日期；在周代，又把以前用阴、阳符号构成的八卦表示八种事物发展为六十四卦，表示64种事物。 公元前一世纪的《周髀算经》提到西周初期用矩测量高、深、广、远的方法，并举出勾股形的勾三、股四、弦五以及环矩可以为圆等例子。《礼记·内则》篇提到西周贵族子弟从九岁开始便要学习数目和记数方法，他们要受礼、乐、射、驭、书、数的训练，作为“六艺”之一的数已经开始成为专门的课程。 春秋战国之际，筹算已得到普遍的应用，筹算记数法已使用十进位值制，这种记数法对世界数学的发展是有划时代意义的。这个时期的测量数学在生产上有了广泛应用，在数学上亦有相应的提高。 战国时期的百家争鸣也促进了数学的发展，尤其是对于正名和一些命题的争论直接与数学有关。名家认为经过抽象以后的名词概念与它们原来的实体不同，他们提出“矩不方，
中国数学发展史
中国数学发展史——宋元数学 中国数学发展史概述 中国是世界文明古国之一，地处亚洲东部，濒太平洋西岸。黄河流域和长江流域是中华民族文化的摇篮，大约在公元前2000年，在黄河中下游产生了第一个奴隶制国家——夏朝（前2033-前1562）,共经历十三世、十六王。其后又有奴隶制国家商（前562年—1066年,共历十七世三十一王）和西周［前1027年—前771年,共历约二百五十七年，传十一世、十二王］。随后出现了中国历史上的第一次全国性大分裂形成的时期——春秋（前770年-前476年）战国（前403年-前221年），春秋后期,中国文明进入封建时代,到公元前221年秦王赢政统一全国,出现了中国历史上第一个封建帝制国家——秦朝（前221年—前206年）,在以后的时间里,中国封建文明在秦帝国的封建体制的基础不断完善地持续发展,经历了统一强盛的西汉（公元前206年—公元8年）帝国、东汉王朝（公元25年—公元220年）、战乱频仍与分裂的三国时期（公元208年-公元280年）、西晋（公元265年—公元316年）与东晋王朝（公元317年—公元420年）、汉民族以外的少数民族统治的南朝（公元420年—公元589年）与北朝（公元386年—公元518年）。到了公元581年，由隋再次统一了全国，建立了大一统的隋朝（公元581—618年），接着经历了强大富庶文化繁荣的大唐王朝（公元618年—907年）、北方少数民族政权辽（公元916年-公元1125年）、经济和文化发达的北宋（公元960年~公元1127年）与南宋（公元1127年-公元1279年）、蒙古族建立的控制范围扩张至整个西亚地区的疆域最大的元朝（公元1271年-1368年）、元朝灭亡后，汉族人在华夏大地上重新建立起来的封建王朝——明朝（公元1368年-公元1644年），明王朝于17世纪中为少数民族女真族（满族）建立的清朝（公元1616年-公元1911年）所代替。清朝是中国最后一个封建帝制国家。自此之后，中国脱离了帝制而转入了现代民主国家。 中国文明与古代埃及、美索不达米亚、印度文明一样，都是古老的农耕文明，但与其他文明截然不同，它其持续发展两千余年之久，在世界文明史上是绝无仅有的。这种文明十分注重社会事务的管理，强调实际与经验，关心人和自然的和谐与人伦社会的秩序，儒家思想作为调解社会矛盾、维系这一文明持续发展的重要思想基础。 一、中国数学的起源与早期发展 据《易?系辞》记载：「上古结绳而治，后世圣人易之以书契」。在殷墟出土的甲骨文卜辞中有很多记数的文字。从一到十，及百、千、万是专用的记数文字，共有13个独立符号，记数用合文书写，其中有十进制制的记数法，出现最大的数字为三万。 算筹是中国古代的计算工具，而这种计算方法称为筹算。算筹的产生年代已不可考，但可以肯定的是筹算在春秋时代已很普遍。
数学 外文翻译 外文文献 英文文献 矩阵
Assume that you have a guess U(n) of the solution. If U(n) is close enough to the exact solution, an improved approximation U(n + 1) is obtained by solving the linearized problem where have a solution.has. In this case, the Gauss-Newton iteration tends to be the minimizer of the residual, i.e., the solution of minU It is well known that for sufficiently small And is called a descent direction for , where | is the l2-norm. The iteration is where is chosen as large as possible such that the step has a reasonable descent.The Gauss-Newton method is local, and convergence is assured only when U(0)is close enough to the solution. In general, the first guess may be outside thergion of convergence. To improve convergence from bad initial guesses, a damping strategy is implemented for choosing , the Armijo-Goldstein line search. It chooses the largest inequality holds: | which guarantees a reduction of the residual norm by at least Note that each step of the line-search algorithm requires an evaluation of the residual An important point of this strategy is that when U(n) approaches the solution, then and thus the convergence rate increases. If there is a solution to the scheme ultimately recovers the quadratic convergence rate of the standard Newton iteration. Closely related to the above problem is the choice of the initial guess U(0). By default, the solver sets U(0) and then assembles the FEM matrices K and F and computes
数学的发展历史
数学的发展历史 数学是一门伟大的科学，数学作为一门科学具有悠久的历史，与自然科学相比，数学更是积累性科学，它是经过上千年的演化发展才逐渐兴盛起来。同时数学也反映着每个时代的特征，美国数学史家克莱因曾经说过:"一个时代的总的特征在很大程度上与这个时代的数学活动密切相关。这种关系在我们这个时代尤为明显"。"数学不仅是一种方法、一门艺术或一种语言，数学更主要是一门有着丰富内容的知识体系，其内容对自然科学家、社会科学家、哲学家、逻辑学家和艺术家十分有用，同时影响着政治家和神学家的学说"。数学已经广泛地影响着人类的生活和思想，是形成现代文化的主要力量。而数学的历史更从另一个侧面反映了数学的发展。但有一点值得注意的是，人是这一方面的创造者，因此人本身的作用起着举足轻重的作用，首先表现为是否爱数学，是否愿为数学贡献毕生的精力。正是这主导着数学。 数学史是研究数学发展历史的学科，是数学的一个分支，和所有的自然科学史一样，数学史也是自然科学和历史科学之间的交叉学科。数学史和数学研究的各个分支，和社会史与文化史的各个方面都有着密切的联系，这表明数学史具有多学科交叉与综合性强的性质。 数学出现于包含著数量、结构、空间及变化等困难问题内。一开始，出现于贸易、土地测量及之后的天文学；今日，所有的科学都存在着值得数学家研究的问题，且数学本身亦存在了许多的问题。而这一切都源于数学的历史。 数学的演进大约可以看成是抽象化的持续发展，或是题材的延展。从历史时代的一开始，数学内的主要原理是为了做测量等相关计算，为了了解数字间的关系，为了测量土地，以及为了预测天文事件而形成的。这些需要可以简单地被概括为数学对数量、结构方面的研究。数学从古至今便一直不断地延展，且与科学有丰富的相互作用，并使两者都得到好处。数学在历史上有着许多的发现，并且直至今日都还不断地发现中。 数学发展具有阶段性，因此根据一定的原则把数学史分成若干时期。目前通常将数学发展划分为以下五个时期： 1．数学萌芽期（公元前600年以前）； 2．初等数学时期（公元前600年至17世纪中叶）； 3．变量数学时期（17世纪中叶至19世纪20年代）； 4．近代数学时期（19世纪20年代至第二次世界大战）； 5．现代数学时期（20世纪40年代以来）
数学专业外文翻译--多元函数的极值
外文文献 EXTREME VALUES OF FUNCTIONS OF SEVERAL REAL VARIABLES 1. Stationary Points Definition 1.1 Let n R D ? and R D f →:. The point a D a ∈ is said to be: (1) a local maximum if )()(a f x f ≤for all points x sufficiently close to a ; (2) a local minimum if )()(a f x f ≥for all points x sufficiently close to a ; (3) a global (or absolute) maximum if )()(a f x f ≤for all points D x ∈; (4) a global (or absolute) minimum if )()(a f x f ≥for all points D x ∈;; (5) a local or global extremum if it is a local or global maximum or minimum. Definition 1.2 Let n R D ? and R D f →:. The point a D a ∈ is said to be critical or stationary point if 0)(=?a f and a singular point if f ? does not exist at a . Fact 1.3 Let n R D ? and R D f →:.If f has a local or global extremum at the point D a ∈, then a must be either: (1) a critical point of f , or (2) a singular point of f , or (3) a boundary point of D . Fact 1.4 If f is a continuous function on a closed bounded set then f is bounded and attains its bounds. Definition 1.5 A critical point a which is neither a local maximum nor minimum is called a saddle point. Fact 1.6 A critical point a is a saddle point if and only if there are arbitrarily small values of h for which )()(a f h a f -+ takes both positive and negative values.
中国古代数学
中国古代数学 先秦时期——中国古代数学的萌芽 摘要：我国数学发展史源远流长，到了先秦时期已经有了数学萌芽，但是其发展形势与西方数学相比有着迥然不同的发展过程．我国最早的记数形势是结绳记数，因当时没有文字的形成、统一，所以人们便用最直观的表现形式来传达各种意思．还有十进位制的应用也是非常有意义的．在别的国家民族还未形成这种意识的时候，我国先辈们便形成了这种记数法．当时这种先进的记数法是别的民族所不能比拟的．而且在当时的数学家们也知道了如何通过精湛的几何作图来解决现实生活问题，很多名流大家在这方面对数学的发展有着很大贡献． 中国是世界著名的文明古国，和古巴比伦、埃及和印度一样，她也是人类文化的发源地之一．数学作为中国文化的重要组成部分，她的起源可以追溯到遥远的古代．根据古籍记载、考古发现以及其他文字资料推测，至少在公元前3000年左右，在中华古老的土地上就有了数学的萌芽．数学是中国古代最为发达的学科之一，通常成为“算术”即“算术之术”．所研究的内容大体上是今天数学教科书中的内容，如算术、代数、几何、三角等方面的内容．后来，算术又成为算学、算法．宋元时期开始使用“数学”一词．此后算学、数学两次并用．与世界上其他民族的数学相比，中国数学源远流长，成就卓著． 下面我们了解一下先秦时期的中国古代数学的发展史： 第一部分：结绳记事
中国古代记数方法的起源是很早的．据《易?系辞传》称：:“上古结绳而治，后世易之为书契”．《九家易》也说：“古者无文字，其为约誓之事，事大大其绳，事小小其绳．结之多少随物众寡，各执以相考，亦足以相治也．”中国古代最早的记数方法是结绳．所谓结绳记数，就是在一根绳子上打结来表示事物的多少．比如今天猎到五头羊，就以在绳子上打五个结来表示；约定三天后再见面，就在绳子上打三个结，过一天解一个结；等等，结可以打得大一些，也可以打得小一点，大的结表示大事，小的结表示小事．这种记数方法在没有掌握文字的民族中曾经被广泛地采用，有些少数民族在很晚的时候仍然是这样．比如鞑靼族在宋代时仍没有掌握文字，每当战争要调动军马时，就在草上打结，然后派人火速传达，有多少结就表示要调多少军马．比结绳记数稍晚一些，古代的人民又发明了契刻记数的方法，即在骨片、木片或竹片上用刀刻上口子，以此来表示数目的多少． 在中国历史上，结绳记数和契刻记数的方法大约使用了几千年时间，到新石器时代的晚期，才逐渐地被数字符号和文字记数所代替．最晚到商朝时，我国古代已经有了比较完备的文字系统，同时也有了比较完备的文字记数系统．那时甲骨文已发展成熟，据对河南安阳发掘的殷墟甲骨文的考古证明，中国当时已采用了“十进位值制记数法”．在商代的甲骨文中，已经有了一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、万这１３个记数单字，而有了这１３个记数单字，就可以记录十万以内的任何自然数了． 有这么一句话“如果没有这种十进位制，就几乎不可能出现我们现在这个世界了．” 而这一点又正是同时代的古埃及和古巴比伦数学所不及得．这也正说明了中国古代数学很多部分是先于其他国家的发展形成的．除了整数以外，中国古代对分数概念的认识也比较早，分数的概念及其应用，在《管子》、《墨子》、《商君书》、《考工记》等春秋战国时代的书籍中都有明确的记载．到春秋战国时代，算术四则运算已经成熟．据汉时燕人韩婴所撰的《韩诗外传》介绍，标志着乘除法运算法则的“九九歌”在春秋时代已相当普及．《吕氏春秋》还载有这样的一则故事：在春秋时代的齐国，齐桓公执政的时候，有一个熟背“九九歌”的人，向齐桓公毛遂自荐，齐桓公问他：“难道仅仅因为你精通九九之术，我便要重用你吗？”
数学与应用数学专业概率论的发展大学毕业论文英文文献翻译及原文
毕业设计（论文）外文文献翻译 文献、资料中文题目：概率论的发展 文献、资料英文题目：The development of probability theory 文献、资料来源： 文献、资料发表（出版）日期： 院（部）： 专业：数学与应用数学 班级： 姓名： 学号： 指导教师： 翻译日期： 2017.02.14
毕业论文（设计）英文文献翻译 外文文献 The development of probability theory Summary This paper consist therefore of two parts: The first is concerned with the development of the calyculus of chance before Bernoulli in order to provide a background for the achievement of Ja kob Bernoulli and will emphasize especially the role of Leibniz. The second part deals with the relationship between Leibniz add Bernoulli an d with Bernoulli himself, particularly with the question how it came about that he introduced probability into mathematics. First some preliminary remarks: Ja kob Bernoulli is of special interest to me, because he is the founder of a mathematical theory of probability. That is to say that it is mainly due to him that a concept of probability was introduced into a field of mathematics. Text Mathematics could call the calculus of games of chance before Bernoulli. This has another consequence that makes up for a whole programme: The mathematical tools of this calculus should be applied in the whole realm of areas which used a concept of probability. In other words，the Bernoullian probability theory should be applied not only to
人教版小学数学中的数学文化与中国古代数学著作
人教版小学数学中的数学文化与中国古代数学著作 知识点汇总（1-6年级） ●一年级上册 阶段：认识了1-10之后 1：我国古代用算筹来表示数。算筹是用竹、木或骨等制成的细棍。分为横式和纵式。 2：在很久以前，古埃及使用象形数字，用丨表示1，∩表示10。 阶段：认识钟表 3：我国古代的计时工具，日晷（利用太阳照射的影子来计时），铜漏壶（利用滴水计时）。 ●一年级下册 阶段：认识图形 4：“七巧板”是我国古代的一种拼板玩具，由7块板组成，拼出来的图案千变万化。 阶段：认识人民币 5：我国的货币历史悠久，种类丰富。蚁鼻钱、布币、刀币、秦半两钱币、唐代开元通宝、元代中统元宝交钞、清代光绪元宝铜币 ●二年级上册 阶段：表内乘法（一） 6：乘号的由来。乘号“×”，是英国数学家奥特雷德在1631年最早使用的。（可以把“×”看作是由“＋”斜过来写的） 阶段：表内乘法（二） 7：我们学习的乘法口诀，在我国两千多年前就有了。那时把口诀刻在“竹木桶”上，从“九九八十一”开始的，所以也叫“九九歌”。七百多年前才倒过来，从“一一得一”开始。 ●二年级下册 阶段：表内除法（一） 8：在1659年，瑞士数学家拉恩在他的《代数》一书中，第一次使用“÷”表示除法。（“÷”用一条横线把两个圆点分开，恰好表示平均分的意思） 阶段：万以内数的认识 9：记数历史。最早人们用石子记数。后来用算筹记数。再往后用摆珠子的方式记数。慢慢该进程算盘记数。●三年级上册 阶段：分数的初步认识10：分数在我国很早就有了。最初分数的表示法跟现在不一样，例如，43表示成丨丨丨丨 丨丨丨后来，印度出现了和
我国相似的分数表示法，4 3表示成43。再往后，阿拉伯人发明了分数线，分数的表示法就成为现在这样了。 ●三年级下册 阶段：位置与方向（一） 11：指南针是用来指示方向的。早在两千多年前，我们的祖先就用磁石制作了指示方向的仪器——司南，后来又发明了罗盘。指南针是我国古代四大发明之一。 阶段：年、月、日 12：节气歌。春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，求出路秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒。 13：公历中，将一年定为365天（平年）。这样，每过4年差不多就要少记1天，把这1天加在2月里，这一年就有366天（闰年）。我国古代就知道一年有365天零 4 1天。（地球总是绕着太阳转动，转一圈大约要用365天5时48分46秒） 补充：公历年份是4的倍数的一般都是闰年；但公历年份是100的倍数时，必须是400的倍数才是闰年。如1900年不是闰年，2000年才是闰年。 14：人们把地球自转一圈所需要的时间定为一日。 15：由于地球在绕太阳转动的同时又自西向东自转，地球上各地日出日落的时间不一致，因而全世界不能统一用一个时间。科学家把全球划分为24个时区，每个时区用同一个时间，相邻时区相差一小时。有的国家为了方便，在自己的国度内统一使用首都所在时区的时间。 阶段：小数的初步认识 16：我国古代用小棒表示数。为了表示小数，就把小数点后面的数放低一格。例如，把3.12摆丨丨 一丨丨丨。这是世界上最早的小数表示方法。在西方，小数的出现很晚。最早使用小圆点作为小数点的是德国数学家克拉维斯。 ●四年级上册 阶段：大数的认识 17：生活中我们有时会看到三位一分节的大数（例如：光速约为299800000米/秒）。这与使用英语的国家（如英国、美国）以三位分级读法的方法有关。 18：记数的发展：用实物记数，用绳结记数，刻道记数。后来人们发明了一些记数符号，这些符号就叫数字。各地区数字不同，交流起来不方便。经过很长时间，才逐渐统一成现在这种通用的阿拉伯数字。 19：阿拉伯数字。大约在3世纪时，印度人发明了一种特殊的数字。后来，这种印度数字传到了阿拉伯。大约在12世纪时，阿拉伯商人又把印度数字带到了欧洲，欧洲人称它们为“阿拉伯数字”。慢慢地，阿拉伯数字成为一种通用的数字。这就是今天的阿拉伯数字。（阿拉伯数字是印度人发明的）
中国古代数学问题
一板凳鏊子问题 板凳鏊子三十三， 一百条腿都朝天， 问几个板凳几个鏊子？ 板凳和鏊子（烙饼用的，有三条腿；板凳，四条腿）一共三十三个。问几个板凳几个鏊子？二隔墙分银 隔墙听得客分银， 不知人数不知银。 七两分之多四两， 九两分之少半两。 问多少银子多少人？（古时16两1斤） 三一百馒头一百僧 我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名算题： 一百馒头一百僧， 大僧三个更无争， 小僧三人分一个， 大小和尚各几丁? 译成白话文，其意思是：有100个和尚分100只馒头，正好分完。如果大和尚一人分3只，小和尚3人分一只，试问大小和尚各有几人? 方法一，用方程 设大和尚有x人，则小和尚有(100－x)人，根据题意列得方程： 3x+1/3(100－x)=100 解方程得：x=25 小和尚：100－25＝75人 方法二，鸡兔同笼法： (1)假设100人全是大和尚，应吃馒头多少个? 3×100=300(个)． (2)这样多吃了几个呢? 300－100=200(个)． (3)为什么多吃了200个呢?这是因为把小和尚当成大和尚。那么把小和尚当成大和尚时，每个小和尚多算了几个馒头? 3－1/3=8/3 (4)每个小和尚多算了8/3个馒头，一共多算了200个，所以小和尚有： 200÷8/3＝75（人） 大和尚：100－75＝25（人） 方法三，分组法：
由于大和尚一人分3只馒头，小和尚3人分一只馒头。我们可以把3个小和尚与1个大和尚编为一组，这样每组4个和尚刚好分4个馒头，那么100个和尚总共分为100÷（3+1） =25组，因为每组有1个大和尚，所以有25个大和尚；又因为每组有3个小和尚，所以有25×3＝75个小和尚这是《直指算法统宗》里的解法，原话是：”置僧一百为实，以三一并得四为法除之，得大僧二十五个。”所谓“实”便是”“被除数”，“法”便是“除数”。列式就是： 100÷（3+1）=25，100-25=75。我国古代劳动人民的智慧由此可见一斑。 四鸡兔同笼问题 鸡兔同笼不知数， 三十六头笼中露。 数清脚共五十双， 各有多少鸡和兔？ 一队强盗一队狗， 二队拼作一队走， 数头一共三百六， 数腿一共八百九， 问有多少强盗多少狗？ 1. 鸡兔同笼，共17个头，42条腿。问：鸡有几只，兔有几只？ 2. 小明的储蓄罐里有1角和5角的硬币共27枚，价值1。5元。问：一角的硬币有几枚，5角的硬币有几枚？ 3. 用大小卡车往城市运送29吨蔬菜，大卡车每辆每次运5吨，，小卡车每辆每次运3吨，问：大小卡车各用几辆一次能运完?（注意有多解） 4. 每校有100名学生参加数学竞赛，平均分是63分，其中男生平均分是60分，女生平均分是70分。问：男生比女生多几人? 5. 学校买回4个篮球和5个排球，一共用了185元，一个篮球比一个排球贵8元。问：篮球的单价是多少？ 6. 解放军进行野营拉练。晴天每天走35千米，雨天每天走28千米，11天一共走350千米。求这期间晴天共有多少天？ 7. 小强集邮，他用一元钱买了4分和8分的邮票共20张。问：小强买了4分邮票几张？ 8. 一堆2分和5分的硬币共299分，其中2分硬币的个数是5分硬币个数的4倍。问：5分硬币有几枚？
中国古代数学的成就
中国古代数学的成就 摘要：中国古代数学具有悠久的传统。在古代四大文明中，中国数学持续繁荣时期最为长久。从公元前后至公元14世纪，中国古典数学先后经历了三次发展高潮，即两汉时期、魏晋南北朝时期和宋元时期，并在宋元时期达到顶峰。 关键词：中国古代；数学成就 中国古代数学的成就包括圆周率、割圆术、十进位制计数法、算经十书、勾股定理、（测高、远、深的方法）测量太阳高度、祖冲之~祖暅父子、等间距二次内插公式、秦九韶的高次方程数值解法、杨辉三角和剁积术以及珠算 圆周率 古今中外，许多人致力于圆周率的研究与计算。为了计算出圆周率的越来越好的近似值，一代代的数学家为这个神秘的数贡献了无数的时间与心血。十九世纪前，圆周率的计算进展相当缓慢。中国古算书《周髀算经》（约公元前2世纪）中有“径一而周三”的记载，认为圆周率是常数。 我国数学家刘徽在注释《九章算术》（263）时只用圆内接正多边形就求得π的近似值，也得出精确到两位小数的π值，他的方法被后人称为割圆术。他用割圆术一直算到圆内接正192边形，得出π≈根号10（约为3.16）。 汉朝时，张衡得出π的平方除以16等于5/8，即π等于10的开方（约为3.162）。虽然这个值不太准确，但它简单易理解，所以也在亚洲风行了一阵。王蕃（229-267）发现了另一个圆周率值，这就是3.156，但没有人知道他是如何求出来的 南北朝时代著名数学家祖冲之进一步得出精确到小数点后7位的π值（约5世纪下半叶），给出不足近似值3.1415926和过剩近似值3.1415927，还得到两个近似分数值，密率355/113和约率22/7。他的辉煌成就比欧洲至少早了1000年。其中的密率在西方直到1573才由德国人奥托得到，1625年发表于荷兰工程师安托尼斯的著作中，欧洲不知道是祖冲之先知道密率的，将密率错误的称之为安托尼斯率。 割圆术 3世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法，所谓割圆术，就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周长的方法。 中国古代从先秦时期开始，一直是取“周三径一”（即圆周周长与直径的比率为三比一）的数值来进行有关圆的计算。但用这个数值进行计算的结果，往往误差很大。正如刘徽所说，用“周三径一”计算出来的圆周长，实际上不是圆的周长而是圆内接正六边形的周长，其数值要比实际的圆周长小得多。东汉的张衡不满足于这个结果，他从研究圆与它的外切正方形的关系着手得到圆周率。这个数值比“周三径一”要好些，但刘徽认为其计算出来的圆周长必然要大于实际的圆周长，也不精确。刘徽以极限思想为指导，提出用“割圆术”来求圆周率，既大胆创新，又严密论证，从而为圆周率的计算指出了一条科学的道路。 十进位制计数法 十进位制记数法在我国原始社会就已经形成，完成于奴隶社会初期的商代，到商代已发展为完整的十进制系统，并且有了“十”、“百”、“千”、“万”等专用的大数名称。1899年从河南安阳发掘出来的象形文字，是大约3000多年前的殷代甲骨文。其中载有许多数字记录，最大的数目字是3万。如有一片甲骨上刻着“八日辛亥允戈伐二千六百五十六人。”(八日辛亥那天的战争中，消灭了敌方2656人)。这段文字说